Distribusi Teoritis - UIGM | Login Student

1
DISTRIBUSI
PROBABILITAS
Pokok Bahasan ke-6
Variabel Random :
2


adalah suatu fungsi yang menghubungkan
sebuah bilangan riil dengan setiap unsur
didalam ruang sampel S.
Untuk menyatakan variabel random digunakan
sebuah huruf besar, misalkan X. Sedangkan huruf
kecilnya, misalkan x, menunjukkan salah satu dari
nilainya.
Contoh :
3
S = {BBB, BBC, BCB, CBB, BCC, CBC, CCB, CCC}
dengan B menunjukkan “tanpa cacat (baik)” dan C
menunjukkan “cacat”.
 Variabel random X yang menyatakan jumlah
barang yang cacat pada saat tiga komponen
elektronik diuji, maka ditulis X = 0, 1, 2, 3.

Variabel random diskrit:
4

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah
kemungkinan terhingga atau urutan yang tidak
terbatas dengan unsur sebanyak bilangan bulat,
maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel
Diskrit, dan variabel random yang didefinisikan
disebut Variabel Random Diskrit.
Variabel random kontinu:
5

Jika suatu ruang sampel berisi sejumlah
kemungkinan tak terhingga yang sama dengan
jumlah titik-titik didalam sebuah segmen garis,
maka ruang sampel ini disebut Ruang Sampel
Kontinu, dan variabel random yang didefinisikan
disebut Variabel Random Kontinu.
Distribusi Probabilitas :
6

Kumpulan pasangan nilai-nilai dari variabel
acak X dengan probabilitas nilai-nilai
variabel random X, yaitu P(X=x) disebut
distribusi probabilitas X (distribusi X)
Distribusi Probabilitas Diskrit X (1) :
7

Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah
fungsi probabilitas, fungsi padat probabilitas, atau
distribusi probabilitas dari suatu variabel random
diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin,
berlaku :
- P(X = x) = f(x)
- f ( x)  0
-
n
 f ( x)  1
x 1
Distribusi Probabilitas Diskrit X (2) :
8

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel
random diskrit X dengan distribusi
probabilitas f(x), adalah :
F ( x)  P( X  x)   f (t ) untuk    x  
tx
Distribusi Probabilitas Diskrit X (3) :
9


Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (ratarata) dari variabel random diskrit X.
Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
E ( X )   xi . f ( xi )
Contoh:
10





Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa
ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila
suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2
dari mikrokomputer ini,
Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang
cacat.
Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.
Dengan menggunakan F(x), buktikan f(2) = 3/28
Hitung nilai rata-rata X.
Jawab (1):
11



Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai
banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli
oleh sekolah tersebut. Maka dapat dituliskan :
X
= banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli
oleh sekolah
= 0, 1, 2
Sehingga dapat dihitung :
 3  5 
  
0 2
10
f (0)  P( X  0)     
28
8 
 
 2
 3  5 
  
1 1
15
f (1)  P( X  1)     
28
8 
 
 2
Rumus distribusi probabilitas adalah

 3  5 
 .

x
2

x
 , untuk x  0,1,2
P( X  x)  f ( x)    
8
 
 2
Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah
x
f(x)
0
10/28
1
15/28
 3  5 
  
2 0
3
f (2)  P( X  2)     
28
8 
 
 2
2
3/28
Jawab (2):
12
Distribusi kumulatif F(x) adalah :
F(0) = f(0) = 10/28
F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28
F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28
=1
Sehingga :
1
, untuk x < 0
F(x) =
10/28, untuk 0  x < 1
25/28, untuk 1  x < 2
1
, untuk x  2

Jawab (3):
13


Dengan menggunakan F(x), maka
f(2) = F(2) – F(1)
= 1 – 25/28
= 3/28
Nilai Ekspektasi X adalah
E(X) = 0.f(0) + 1.f(1) + 2.F(2)
= (0). (10/28) + (1). (15/28) +
(2). (3/28)
= 21/28
Distribusi Probabilitas Kontinu X (1):
14

Himpunan pasangan tersusun (x, f(x)) adalah
sebuah fungsi probabilitas, fungsi padat
probabilitas, atau distribusi probabilitas dari
suatu variabel random kontinu X bila untuk
setiap keluaran x yang mungkin, berlaku :
f ( x)  0, untuk semua x  R

 f ( x) dx  1

b
P(a  x  b)   f ( x) dx
a
Distribusi Probabilitas Kontinu X (2):
15

Distribusi kumulatif F(x) dari suatu variabel
random diskrit X dengan distribusi probabilitas
f(x), adalah :
x
F ( x)  P( X  x) 
 f (t ) dt ,
untuk    x  

P(a  x  b)  F (b)  F (a)
Distribusi Probabilitas Kontinu X (3):
16


Nilai ekspektasi X adalah nilai tengah (ratarata) dari variabel random kontinu X.
Dinyatakan dengan E(X), yaitu:
E ( X )   x. f ( x)dx
Contoh:
17

Suatu variabel random X mempunyai fungsi
probabilitas f(x) = 1/3 pada interval 1  x  4
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Tunjukkan bahwa luas daerah dibawah kurva f sama
dengan 1.
Hitunglah P(1,5 < x < 3)
Hitunglah P( x < 2,5)
Hitunglah P(x  3,0)
Hitug F(x), kemudian gunakan menghitung P( x < 2,5)
Hitung nilai E(X)
Distribusi Binomial
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
18

Percobaan Bernoulli :
Sifat-sifat sebagai berikut :
 Percobaan
itu terdiri dari n pengulangan
 Tiap pengulangan memberikan hasil yang dapat
diidentifikasi sukses atau gagal
 Probabilitas sukses dinyatakan dengan p, tetap konstan
(tidak berubah) dari satu pengulangan ke
pengulangan lainnya, sedangkan probabilitas gagal
adalah q = 1- p
 Tiap pengulangan dan pengulangan lainnya saling
bebas.
Distribusi Binomial
19

Banyaknya X sukses dalam n pengulangan
suatu percobaan bernoulli disebut sebagai
variabel random Binomial, sedangkan
distribusi probabilitasnya disebut distribusi
Binomial dan nilainya dinyatakan sebagai :
b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n
 n  x nx
b( x;n, p)   p q
 x
 
Rata-rata dan Variansi Distribusi
Binomial :
20

Rata-rata =

Variansi =
  np
2
  npq
Contoh
21
Probabilitas bahwa seorang pasien sembuh
dari penyakit darah yang langka adalah 0,4.
Bila 15 orang diketahui telah terkena penyakit
ini, berapakah probabilitas :





Paling sedikit 10 orang yang selamat
Dari 3 sampai 8 orang yang selamat
Tepat 5 orang yang selamat
Hitung rata-rata dan variansinya
Distribusi Poisson
(Distribusi Probabilitas Diskrit)
22

Percobaan Poisson :
 Jika
suatu percobaan menghasilkan variabel random X
yang menyatakan banyak-nya sukses dalam daerah
tertentu atau selama interval waktu tertentu,
percobaan itu disebut percobaan Poisson.
Distribusi Poisson
23


Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu
percobaan Poisson disebut Variabel random
Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut
distribusi Poisson.
Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi
,  adalah rata-rata banyaknya sukses yang
terjadi dalam interval waktu atau daerah
tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi
Poisson adalah :
e   x
p( x;  ) 
,
x!
x  0,1,2,......
Rata-rata dan Variansi Distribusi
Poisson
24

Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi
Poisson adalah .
Catatan :
 Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan
distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p
mendekati 0 , dan np konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi
Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan
probabilitas Binomial, dengan   np
Contoh
25

Di suatu simpang jalan rata-rata terjadi 6
kecelakaan sebulan, maka hitunglah probabilitas :
 Pada
suatu bulan tertentu di simpang jalan itu terjadi 7
kecelakaan
 Pada suatu bulan tertentu di simpang jalan terjadi
minimal 4 kecelakaan
 Pada suatu minggu tertentu di simpang jalan itu terjadi
4 kecelakaan
Hubungan Distribusi Poisson dengan
Distribusi Binomial
26


Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan
distribusi Binomial pada saat n besar , sedangkan p
mendekati 0 , dan np konstan.
Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi
Poisson dapat digunakan untuk memperkirakan
probabilitas Binomial, dengan  = np
Contoh
27

Dalam suatu proses produksi yang menghasilkan
barang dari gelas, terjadi gelembung atau cacat
yang menyebabkan barang tersebut sukar
dipasarkan. Rata-rata 1 dari 1000 barang yang
dihasilkan mempunyai satu atau lebih gelembung.
Hitung probablitas dalam sampel random sebesar
8000 barang akan berisi kurang dari 7 yang
bergelembung.
Distribusi Normal
(Distribusi Probabilitas Kontinu)
28

Kurva Normal dan Variabel Random Normal
 Distribusi
probabilitas kontinu yang terpenting adalah
distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal.
 Variabel random X yang distribusinya berbentuk
seperti lonceng disebut variabel random normal.



x
Sifat kurva normal, yaitu :
29





Kurva mencapai maksimum pada x  
Kurva setangkup terhadap garis tegak yang
melalui x  
Kurva mempunyai titik belok pada x    
Sumbu x merupakan asimtot dari kurva
normal
Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x
adalah 1
Distribusi Normal
30

Variabel random X berdistribusi normal, dengan
mean dan variansi mempunyai fungsi densitas
1
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
n( x; , ) 
e
 2
  x  
31

luas daerah di bawah kurva dinyatakan dengan :
 P(x1  X  x 2 )
X1
x2
P( x1  X  x 2 )   n( x;, )dx 
x1

1
x2
e

 ( x   ) 2 ( 2 2 )
 2 x
1
1
 ( x   ) 2 ( 2 2 )
P(   X   ) 
e
dx  1

 2  
x
X2
dx
Distribusi Normal Standar (1)
32
• apabila variabel X ditransformasikan dengan
substitusi Z  x  

maka :
1
P( z1  Z  z 2 ) 
 2
ternyata substitusi
z2
e

1 2
z
2
dz 
z1
Z
1
2
z2
e
z1

1 2
z2
z
2
dz 
n ( z;0,1)dz

z1
x

menyebabkan distribusi normal n (z; , )
menjadi n( z;0,1) , yang disebut distribusi normal standar.
Distribusi Normal Standar (2):
33

Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai
P(x1  X  x 2 )
ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel
distribusi normal standar.
Contoh:
34

Rata-rata berat 500 mahasiswa STIKOM adalah 55 kg
dan deviasi standarnya 3.4 kg. Berapakah banyaknya
mahasiswa yang mempunyai berat
◦
◦

kurang dari 53 kg
di antara 53 kg dan 57 kg
Bila nilai ujian statistika mempunyai mean 74 dan
deviasi standar 7.9, hitunglah
◦
◦
Nilai lulus terendah, bila mahasiswa dengan nilai 10%
terendah mendapat E.
Nilai B tertinggi, bila probabilitas mahasiswa dengan nilai
5% tertinggi men-dapat A .
Soal 1
35

Sebuah pengiriman 7 set televisi berisi 2 set
cacat. Sebuah hotel melakukan pembelian secara
acak 3 set dari semua set televisi yang ada. Bila
x adalah jumlah set televisi yang cacat yang
dibeli oleh hotel tersebut,
◦
◦
◦
◦
Carilah distribusi probabilitas X
Carilah distribusi kumulatif F(x)
Dengan menggunakan F(x), hitunglah P(X = 1) dan P(0
< x  2)
Hitung nilai E(X)
Soal 2
36

Jumlah jam total, yang diukur dalam satuan 100 jam, bahwa suatu
fungsi keluarga menggunakan pengisap debu pada periode satu
tahun merupakan suatu variabel random kontinu X yang mempunyai
fungsi probabilitas :
f(x) = x , untuk 0 < x < 1, f(x) = 2 – x , untuk 1  x < 2, dan
f(x) = 0, untuk x lainnya
◦
◦
◦
◦
◦
Tunjukkan bahwa P(0 < x < 2) = 1
Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga
menggunakan pengisap debu mereka kurang dari 120 jam
Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga
menggunakan pengisap debu mereka antara 50 sampai 100 jam.
Carilah probabilitas bahwa pada periode satu tahun, sebuah keluarga
menggunakan pengisap debu mereka lebih dari 150 jam.
Hitung nilai harapan X.
Soal 3
37

Sebuah industri yang menghasilkan sabun mandi telah
mengambil sampel 3 buah sabun mandi dengan aroma melati
dan 7 aroma mawar. Semua sabun mempunyai bentuk dan
ukuran sama. Semua sampel dimasukkan dalam kotak dan
kemudian diambil 4 sabun. Didefinisikan variabel random X
adalah banyaknya sabun mandi beraroma melati yang
terambil, tentukan:




Nilai dari variabel random X
Distribusi probabilitas variabel random X
Distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P(X=2)
Hitung rata-rata dan variansinya
Soal 4
38

Proporsi orang yang menjawab suatu tawaran lewat
pos berbetuk varaibel random kontinu X yang
mempunyai fungsi padat probabilitas
2( x  2) untuk 0 < x < 1 dan f(x) = 0
f ( x) 
5
untuk nilai x lainnya.
Buktikan bahwa f(X) merupakan fungsi padat probabilitas.
 Hitung P( ½ < x < ¼)
 Tentukan distribusi kumulatif F(x) kemudian hitung P( ½ < x
< ¼)

Soal 5
39

Probabilitas menghasilkan produk cacat dari PT Idaman,
sebuah perusahaan yang menghasilkan lemari es, adalah 0,2.
Dalam rangka untuk mengendalikan kualitas lemari es, maka
bagian pengendali kualitas bermaksud melakukan penelitian
tentang probilitas kerusakan lemari es. Sebagai langkah awal
diambillah sampel sebanyak 8 lemari es. Dari 8 lemari es
tersebut berapakah probabilitas diperoleh :
◦
◦
◦
◦
◦
◦
Dua lemari es rusak
Tiga lemari es baik
Paling banyak 7 lemari es baik
Antara 3 sampai 5 lemari es rusak
Paling sedikit 2 lemari es baik
Paling banyak 2 lemari es rusak
Soal 6
40

Disket yang diproduksi oleh PT Akbar ternyata
sangat berkualitas. Hal ini terbukti dari 100 buah
disket ternyata hanya ada 2 disket yang tidak
berfungsi. Apabila diambil 150 buah disket, maka
probabilitas:
◦
◦
◦
◦
Tiga diantaranya tidak berfungsi
Maksimum 5 tidak berfungsi
Antara 3 sampai 6 tidak berfungsi
Minimum 145 berfungsi
Soal 7
41

Rata-rata banyaknya makanan kaleng yang ada
di gudang telah kadaluarsa adalah 5. Diambil
sampel random sebanyak 10 buah makanan
kaleng di gudang, hitung probabilitas:
◦
◦
◦
◦
Lima diantaranya kadaluarsa
Maksimum 4 telah kadaluarsa
Antara 5 sampai 8 telah kadaluarsa
Minimum 186 masih bisa dimakan
Soal 8
42


Tes IQ 600 calon mahasiswa mempunyai mean 115
dan deviasi standarnya 12. Mahasiswa dikatakan
lulus tes, bila mempunyai IQ paling rendah 95,
berapakah mahasiswa yang dinyatakan tidak lulus
?
Gaji pegawai suatu perusahaan rata-rata Rp.525,per jam dengan deviasi standar Rp.60,-.
◦
◦
Berapa persen karyawan yang bergaji Rp.575,- dan
Rp.600,- per jam ?
Di atas berapa rupiahkah 5% gaji per jam tertinggi ?