LUAS SEGITIGA MENGGUNAKAN TRIGONOMETRI

Kelompok V
Musrina
112070148
Zakiyatussoliha 112070156
Riri Sakuri F. 112070153
1K
1K
1L
Pokok bahasan luas segitiga menggunakan
trigonometri
1. Luas segitiga jika diketahui dua sisi dan
satu sudut apitnya
2. Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan
satu sisi yang diapit
3. Luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya
LUAS SEGITIGA MENGGUNAKAN
TRIGONOMETRI
Luas segitiga adalah banyaknya satuan luas yang tepat
menutupi permukaan segitiga itu. Rumus luas segitiga.
Ada tiga cara yaitu :
Cara I : Luas segitiga = ½ x alas x tinggi
Rumus ini dapat digunakan jika alas dan garis tinggi
segitiga diketahui.
Cara II : Menghitung luas segitiga menggunakan
perbandingan trigonometri (Aturan sinus):
L = ½ c t ....... (1)
C
b
A
∆ ADC dengan memperhatikan
sudut di A, didapat :
𝑡
sin 𝐴 =
𝑏
t = b.Sin A
a
t
D
c
B
Sehingga : L = ½ c (b.Sin A)
= ½ c b sin A
=½
b c sin A
Dengan memperhatikan sudut di B, didapat:
t = a Sin B
Sehingga, L = ½ c ( a Sin B )
= ½ c a sin B
= ½ ac sin B
Dengan memperhatikan sudut di C, didapat:
t = a. Sin C
Sehingga, L = ½ b (a Sin C )
= ½ ba sin C
= ½ ab sin C
Ketiga rumus luas segitiga di atas dapat digunakan apabila diketahui
sebuah sudut dan dua sisi yang mengapit sudut tersebut.
Contoh :
Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui AB = 80
m, AC = 50 m, dan sudut A = 127o !
Jawab :
Tampak bahwa dua sisi dan satu sudut apitnya
diketahui. Denga demikian luas ABC adalah :
L = ½ b c Sin A = ½ 50 . 80 . Sin 127o
= 2000 x 0,8 = 1600 m2
Cara III :
Luas segitiga jika diketahui dua sudut dan satu sisi yang mengapit sisi tersebut dapat
menggunakan rumus :
C
Dari aturan sinus kita peroleh :
C
 𝑏=
a
b
A
𝑎 sin 𝐵
𝑆𝑖𝑛 𝐴
Luas ∆ ABC = ½ ab Sin C
B
c
=½a
B
=
Pada setiap segitiga ABC berlaku :
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝑆𝑖𝑛 𝐶
L=
𝑐 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐵
2𝑆𝑖𝑛 𝐶
𝑎 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝑆𝑖𝑛 𝐴
𝑎 2 𝑆𝑖𝑛 𝐵 𝑆𝑖𝑛 𝐶
2𝑆𝑖𝑛 𝐴
=
𝑏 2 𝑆𝑖𝑛 𝐴 𝑆𝑖𝑛 𝐶
2𝑆𝑖𝑛 𝐵
sin 𝐶
𝑐 =
𝑏 Sin 𝐶
 𝑎=
𝑆𝑖𝑛 𝐵
Luas ∆ ABC = bc Sin A
2
= 𝑏
2
=
𝑏 𝑆𝑖𝑛 𝐶
𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝒃𝟐 𝑺𝒊𝒏 𝑪 𝑺𝒊𝒏 𝑨
𝑺𝒊𝒏 𝑩
𝑆𝑖𝑛 𝐶
Luas ∆ABC = ½ ac Sin B
1
1
𝑐 sin 𝐴
𝑆𝑖𝑛 𝐴
=½
=
𝑐 𝑆𝑖𝑛 𝐴
𝑆𝑖𝑛 𝐶
𝑐 𝑆𝑖𝑛 𝐵
𝒄𝟐𝑺𝒊𝒏 𝑨 𝑺𝒊𝒏 𝑩
𝟐𝑺𝒊𝒏 𝑪
Contoh :
Tentukan luas segitiga ABC jika BC = 40 m,
B = 30o dan C = 97o !
Jawab :
Tampak bahwa dua sudut dan satu sisi
yang diapitnya diketahui. Dengan
demikian,
𝒂𝟐 𝑺𝒊𝒏 𝑩 𝑺𝒊𝒏 𝑪
𝟒𝟎𝟐 𝑺𝒊𝒏 𝟑𝟎𝒐 𝑺𝒊𝒏 𝟗𝟕𝒐
luas ABC =
=
𝒐
𝟐𝑺𝒊𝒏 𝑨
=
𝟏
𝟏𝟔𝟎𝟎𝒙 𝒙𝟎,𝟗𝟗𝟑
𝟐
𝟐𝒙𝟎,𝟖
𝟐 𝑺𝒊𝒏 (𝟑𝟎+𝟗𝟕)
= 𝟒𝟗𝟔, 𝟓 𝒎𝟐
Cara IV :
Luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya
1
𝐿 = 𝑏𝑐 𝑆𝑖𝑛 𝐴 =
2
1
𝑏𝑐 𝑆𝑖𝑛 𝐴
2
=
=
1
𝑏𝑐 1 + 𝑐𝑜𝑠𝐴
2
2
𝑆𝑖𝑛2 𝐴
1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝐴
Kita akan menemukan
1
𝑏𝑐 1 − 𝑐𝑜𝑠𝐴
2
1
𝑏𝑐 1 + 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑑𝑎𝑛
2
peroleh cos A sebagai :
Back
=
1
𝑏𝑐
2
2
1
𝑏𝑐
2
Cos A =
2
𝑏 2 +𝑐 2 −𝑎 2
2𝑏𝑐
.............. (1)
1
2
𝑏𝑐 1 − 𝑐𝑜𝑠𝐴 . Dari aturan cosinus kita
Cos A =
𝑏 2 +𝑐 2 −𝑎 2
2𝑏𝑐
.............. (1)
1
1
𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
𝑏𝑐 1 + 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑏𝑐 1 +
2
2
2𝑏𝑐
1
1
𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
𝑏𝑐 1 − 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 𝑏𝑐 1 −
2
2
2𝑏𝑐
𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
=
+
2
4𝑏𝑐
𝑏𝑐 1 2 2 2
=
+ 𝑏 +𝑐 −𝑎
2
4
𝑏𝑐 𝑏𝑐 𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
=
−
2
4𝑏𝑐
𝑏𝑐 1 2 2 2
=
− 𝑏 +𝑐 −𝑎
2
4
𝑏𝑐
𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
=
+
2
4
𝑏𝑐
𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
=
−
2
4
2𝑏𝑐 + 𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
=
4
1 2
=
𝑏 +2𝑏𝑐 + 𝑐 2 −𝑎2
4
1 2
1
=
𝑏 +2𝑏𝑐 + 𝑐 2 − 𝑎2
4
4
1
1
=
𝑏 + 𝑐 2 − 𝑎2
4
4
1
=
𝑏 + 𝑐 2 − 𝑎2
4
2𝑏𝑐 − 𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
=
4
1
= − 𝑏2 +2𝑏𝑐 + 𝑐 2 −𝑎2
4
1
1
= − 𝑏2 +2𝑏𝑐 + 𝑐 2 + 𝑎2
4
4
1
1
=−
𝑏 + 𝑐 2 + 𝑎2
4
4
1
= 𝑎2 − 𝑏 − 𝑐 2
4
1
= 4 𝑏 + 𝑐 + 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 .......(2)
1
= 4 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 .......(3)
Dari (2) dan (3) kita peroleh
1
L=
=
4
1
2
1
𝑏 + 𝑐 + 𝑎 𝑏 + 𝑐 − 𝑎 x4 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 𝑎 − 𝑏 + 𝑐
𝑏+𝑐+𝑎 x
Tetapkan
1
2
1
2
𝑏+𝑐−𝑎 x
1
2
𝑎+𝑏−𝑐 x
1
2
𝑎 − 𝑏 + 𝑐 ......... (4)
1
𝑏 + 𝑐 + 𝑎 = S = x keliling segitga ABC ...... (5)
2
Dari (5) kita peroleh
1
1
1
1
1
1
𝑏+𝑐 + 𝑎 = 𝑆 ;
𝑎+𝑏 + 𝑐 =𝑆 ;
𝑎+𝑐 + 𝑏=𝑆
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
𝑏+𝑐 − 𝑎+𝑎 =𝑆 ;
𝑎+𝑏 − 𝑐+𝑐 =𝑆 ;
𝑎+𝑐 − 𝑏+𝑏 =𝑆
2
2
2
2
2
2
1
2
𝑏+𝑐−𝑎 =𝑆−𝑎 ;
1
2
𝑎+𝑏−𝑐 =𝑆−𝑐 ;
1
2
𝑎 + 𝑐 − 𝑏 = 𝑆 − 𝑏 ........(6)
Substitusi hasil-hasil pada (5) dan (6) ke dalam persamaan (4) kita peroleh
L= 𝑺 𝑺 − 𝒂 𝑺 − 𝒃 (𝑺 − 𝒄)
1
1
dengan S = 2 x keliling = 2 𝑏 + 𝑐 + 𝑎
Rumus di atas disebut dengan rumus Heron
Contoh :
Tentukan luas segitiga dengan panjang sisi-sisinya
13,14, dan 15 satuan !
Jawab :
1
1
𝑠 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 13 + 14 + 15 = 21
2
2
𝐿=
=
𝑠 𝑠−𝑎 𝑠−𝑏 𝑠−𝑐
21 21 − 13 21 − 14 21 − 15
= 21 x 8 x 7 x 6
= 7056 = 84 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠
Latihan :
Tentukan luas jajar gengang
ABCD jika diketahui AB=14m,
AD=8m, dan sudut A=60⁰ !
Sekian Dan
Terima Kasih