Gelombang Gelombang - Diploma of Telecommunication

ELEKTROMAGNETIK
TERAPAN
1. PERAMBATAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNET (GELOMBANG
DATAR)
By Dwi Andi Nurmantris
OUTLINE
Propagasi Gelombang
Elektromagnet (Gelombang
Datar)
PENDAHULUAN
Gelombang
Gelombang adalah suatu fenomena
alamiah yang terjadi dalam dimensi ruang
dan waktu. Gelombang dapat diperhatikan
sebagai ‘gangguan’ yang merambat dengan
kecepatan tertentu.
Jika gangguan tersebut merambat ke satu
arah, maka disebut sebagai gelombang 1-D.
Contohnya adalah gelombang datar ( plane
wave ).
PENDAHULUAN
Uniform Plane Wave
Gelombang EM yang dipancarkan suatu
sumber , akan merambat ke segala arah.
Jika jarak antara pengirim dan penerima
sangat jauh ( d >> ), maka sumber akan
dapat dianggap sebagai sumber titik dan
muka gelombang akan berbentuk suatu
bidang datar.
Muka gelombang adalah titik-titik yang
memiliki fasa yang sama.
Amplitude medan pada bidang muka
gelombang untuk medium propagasi yang
serbasama adalah bernilai sama pula,
karena itu disebut sebagai gelombang
uniform / serbasama
Hampir berbentuk bidang datar
PENDAHULUAN
Uniform Plane Wave
PENDAHULUAN
Why Plane Wave?
1. Plane wave adalah pendekatan yang paling tepat jika posisi
gelombang berada di lokasi yang jauh dari sumber radiasinya.
2. Jika ada 2 atau lebih gelombang EM, cukup menjumlahkan
gelombang-gelombang datar (plane wave) tersebut (prinsip
superposisi gelombang)
PENDAHULUAN
Bukti adanya Gelombang Elektromagnetik
1. James Clerk Maxwell adalah orang yang merangkum postulat
lengkap tentang gelombang elektromagnetik
2. Heinrich Hertz adalah orang pertama yang membuktikan
postulat maxwell
PENDAHULUAN
Bukti adanya Gelombang Elektromagnetik
PENDAHULUAN
Cahaya adalah salah satu contoh gelombang elektromagnetik
Hukum Faraday
Hukum Ampere dan Arus
Pergeseran Maxwell
Hukum Gauss untuk medan
listrik
Hukum Gauss untuk medan
magnet
Maxwell equation in vacuum

 
H
  E   0
 t
 
E
 H  0
t
 
E  0
 
H  0



d 
 E  dL   dt  B  dS



  d 
 H  dL   J  dS  dt  D  dS


 D  dS    V dV  Q
 B  dS  0



  E x
H y
H
 E 
aˆ y    0
  0
aˆ y
z
t
t



 
H y
E
E
 H  
aˆ x   0
  0 x aˆ x
z
t
t

 
B
E  
t

   D
H  J 
t
 
  D  V
 
B  0


H y
E x
  0
z
t
di deferensialkan terhadap z

H y

E x
  0
z
t
di deferensialkan terhadap t
PENDAHULUAN
Cahaya adalah salah satu contoh gelombang elektromagnetik


H y
E x
  0
z
t


H y
E
  0 x
z
t


2
 Hy
 Ex



0
2z
tz
2

2
 Hy

2
 E
  0 2 x
zt
t
disubstitusikan


 2 Ex
 2 Ex
  0 0 2
2
 z
t

2
 Ex
 2t  1
 2 E x  0 0
2z
2z
1

 2 t  0 0
z

t
z
 v0  c 
t
1
 0 0
1
 0 0
Kecepatan Cahaya v  c  3 108 m / s
0
Di Vacuum
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Persamaan gelombang dapat diturunkan dari persamaan Maxwell, dengan parameter yang
berpengaruh terhadap persamaan gelombang adalah karakteristik medium perambatan.
Pada penurunan persamaan gelombang, terlebih dahulu kita menurunkan persamaan
gelombang untuk kasus yang paling umum, yaitu untuk medium perambatan berupa
dielektrik merugi/Lossy Dielektrik. Selanjutnya pada medium perambatan yang lain , yaitu :
udara vakum, dieletrik tak merugi dan konduktor sempurna dipandang sebagai kasus
khusus dengan memasukkan nilai-nilai karakteristik medium yang bersangkutan
Kondisi Lossy dielectric
0
V  0
r  1
Sehingga
persamaan
Maxwell
(bentuk
fasor) yang
berlaku :
r  1
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0


  H s  0
Kondisi Ruang Hampa
0
0
  0
  0
Sehingga
persamaan
Maxwell
(bentuk
fasor) yang
berlaku :
 

  Es   j 0 Hs
 

  Hs  j 0 Es


   0 Es  0


  0 H s  0
Kondisi Dielektrik Sempurna
0
0
r  1
r  1
Sehingga
persamaan
Maxwell
(bentuk
fasor) yang
berlaku :
 

  Es   j Hs
 

  Hs  jEs
 
  Es  0


  H s  0
Kondisi Konduktor Sempurna
 
0
r  1
r  1
Sehingga
persamaan
Maxwell
(bentuk
fasor) yang
berlaku :
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es   v


  H s  0
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Persamaan Gelombang pada Lossy dielectric
Pada Dielektrik Merugi…
0
V  0
r  1
r  1
Sehingga persamaan Maxwell (bentuk fasor) yang berlaku untuk dielektrik
merugi :
Asumsi-asumsi:
 

 Medium propagasi homogen,
  Es   j Hs
isotropis dan netral (ρv = 0)
 

 Medan E dan H sinusoidal
  Hs    j Es
 
terhadap waktu

  Es  0
 
  Hs  0

Perubahan E dan H sinusoidal ,
dengan pertimbangan bahwa
perubahan periodik lain spt segitiga,
persegi dsb dapat didekati dengan
pendekatan Fourier
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Bentuk waktu (Real Time) dan bentuk fasor
 Karena medan E dan medan H diasumsikan sinusoidal maka kita bisa tuliskan
medan tersebut dalam fungsi sinusoidal
Bentuk waktu
(real time)
 Misalkan suatu fungsi sinusoidal :
A(t )  A0 cost   
 A0 Recos t     j sin t   

 Re A0 e
j t  
  ReA e
0
As  A0e j
j
e
jt

Bentuk Phasor
Note : untuk sementara
Re[….ejωt] di”hidden” dulu
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Bentuk waktu (Real Time) dan bentuk fasor
Contoh :

H ( z , t )  100 cos 108 t  0,5 z  30

PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
 

 
  
 
  Es   j Hs   Hs    j Es   E s  0   Hs  0
Keempat persamaan di atas kemudian menjadi dasar bagi penurunan fungsi waktu real
yang menjelaskan perambatan gelombang datar dalam medium dielektrik merugi.
Dari identitas vektor


  
  
2 
    Es     Es   Es
 
  Es  0
  
 2
    Es   Es
Didapatkan Persamaan Diferensial
Vektor Gelombang Helmholtz, sbb :
Dari pers. Maxwell I
  
 
    Es   j   HS
 

  H s    j Es
  

    Es   j   j Es
 2

 Es  j   j Es
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
 2

 Es  j   j Es
Atau dapat
dituliskan sbb :
 2

2
 Es   Es
Dimana ,
2 = j ( + j)
 disebut sebagai
Konstanta propagasi
Kemudian, dengan uraian bahwa :
2
2
2
2
2
2


E

E

E ys 


  2 E zs  2 E zs  2 E zs 

E

E

E
ys
ys
2
xs
xs
xs
 Es   2 

â   2 

â   2 

â
2
2  x
2
2  y
2
2  z
y
z 
y
z 
y
z 
 x
 x
 x
Komponen x
Komponen y
Komponen z
Persamaan di atas merupakan persamaan diferensial yang rumit, sehingga akan diambil sub
kasus pemisalan :
E y  Ez  0  E ys  Ezs  0
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
 2

 Es  j   j Es
E y  Ez  0  E ys  Ezs  0
 2

 2 E xs  2 E xs  2 E xs
 Es 


 j   j E s
2
2
2
x
y
z
Masih cukup rumit. Kemudian dengan menganggap bahwa EXS
merambat ke arah z (EXS tidak berubah terhadap x dan y) , didapatkan
persamaan diferensial biasa sbb :
 2 E xs
 j   j E xs
2
z
atau

 2 E xs
2
  E xs
2
z
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Solusi persamaan diferensial
E xs  E x 0 e
 z
 2 E xs
2


E xs dapat dituliskan :
2
z
dimana, 2 = j ( + j)
 =  + j = Konstanta propagasi
 = Konstanta redaman  = Konstanta phasa
Persamaan bentuk waktu untuk medan listrik, dapat dituliskan :



   j z jt
E(t )  Re E x 0 e
e â x

 z
E(t )  E x 0 e cost  z â x
Bentuk waktu (real time)
Bentuk phasor
Ingat kembali perubahan dari
bentuk fasor ke bentuk waktu !!
  konstanta propagasi    j

j   j   j  1  j
Alternatif penulisannya :
Es  E0 e z aˆ x
 j  1  j tan 


Loss Tangent
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Loss Tangent
Didefinisikan suatu besaran yang menyatakan besar kecilnya kerugian dan akan dipakai
untuk mengambil nilai-nilai pendekatan engineering , yaitu Loss tangent

tan  

Loss tangent adalah perbandingan antara rapat arus konduksi
terhadap rapat arus pergeseran
Nilai-Nilai Pendekatan
Untuk

 0,1

 

2 
   

 

1  j 
 
 
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Jika medan listrik diketahui, maka medan magnet dapat dicari dengan hubungan :
 

  Es   j Hs

1 E xs
Hs  
aˆ y
j z

E xs  E x 0 e z


1  E x 0 e z
Hs  
aˆ y
j
z
aˆ x aˆ y aˆ z
Bentuk phasor


 E x 0 e
E xs
  

H

aˆ y
E x 0 e z
s

aˆ y   jH s
Hs 
aˆ y
 j
x y z
z

E xs 0 0
  impedansi intrinsik   
 z
Bentuk waktu (real time)
 E x 0 z
H
e cost  z â y


 E x 0 z
H
e cost  z   aˆ y


j


Ex
j


Hy
  j

1
 1  j tan 


1
1 j


PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG

E
Arah perambatan Perhatikan kembali persamaan-persamaan yang
sudah kita dapatkan,
gelombang

P

H

 z
E(t )  E x 0 e cost  z â x

E x 0 z
Ht  
e cos t  z   â y

Tampak bahwa E dan H saling tegak lurus dan keduanya tegak lurus pula
terhadap arah perambatan gelombang. Gelombang seperti ini disebut
sebagai gelombang Transverse Electro Magnetic (TEM).
Tampak pula bahwa pada dielektrik merugi, antara E dan H tidak sefasa
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Persamaan umum gelombang berjalan
Amplituda medan
 =  + j = Konstanta Propagasi
 = konstanta redaman (neper/meter)
 = konstanta fasa (radian/meter)

 Volt 
 z
E  E xoe cost  z â x  meter 
Tanda ( - ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu z positif.
Tanda ( + ) berarti gelombang merambat ke arah sumbu z negatif
Gelombang bergetar
searah sumbu x
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Soal : Tuliskan persamaan gelombang intensitas medan magnet yang berjalan ke arah
sumbu x negatif , dan bergetar searah sumbu z. Diketahui amplitudo gelombang
adalah 100 (A/m), konstanta propagasi = 2 + j0,5, dan frekuensi 1 MHz
Jawab :
Frekuensi = 1 MHz =
106
Konstanta fasa = 2
(radian/m), merambat ke
sumbu x negatif
Hertz
Bergetar searah
sumbu z

2x
6
H  100 e cos 210 t  0,5x â z


 A 
 m 
Konstanta redaman = 2 (Np/m), merambat ke sumbu x
negatif
Amplitudo = 100 (A/m)
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
Persamaan gelombang berjalan merupakan fungsi
waktu dan posisi. Hal ini terlihat pada gambar di
samping.
Sebab kenapa disebut sebagai gelombang berjalan
dapat dilihat pada gambar di bawah. Untuk nilai t yang
berubah, maka suatu titik dengan amplitudo tertentu
akan berubah posisi
PENURUNAN PERSAMAAN GELOMBANG
VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA
Teorema daya untuk gelombang elektromagnetik mula-mula dikembangkan dari postulat
(hipotesa terhadap persamaan Maxwell) oleh John H Poynting tahun 1884.

   D
H  J 
t
Dengan substitusi,

 
B
E  
t




B  H D  E
Kedua ruas dikalikan
dengan E

      D
E  H  J  E  E 
t


Dengan Identitas vektor

        D
  EH  H E  J  E  E 
t




   
 E
 H
   E  H  J  E  E 
 H 
t
t




 E   E 2   H   H 2 

 H 
 
E 
 
t t  2 
t t  2 


      E 2 H 2 

   E  H  J  E  

t  2
2 
VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA


      E 2 H 2 

   E  H  J  E  

t  2
2 
Kedua ruas diintegrasikan terhadap
seluruh volume


 
 
  E 2 H 2 
 dV
    E  H dV   J  E dV   

t  2
2 
V
V
V
Dengan Teorema Divergensi , didapatkan :


 
 
  E 2 H 2 
 dV
  E  H  dS   J  E dV   

t V  2
2 
S
V
Ruas kiri : Tanda (-) menunjukkan penyerapan/disipasi daya
total pada volume tersebut. Jika ada sumber yang
mengeluarkan daya pada volume tersebut, digunakan tanda
(+)
Ruas kanan :
Integrasi suku pertama
menunjukkan disipasi
ohmik
Integrasi suku kedua
adalah energi total
yang disebabkan/
tersimpan dalam
medan listrik dan
medan magnetik pada
volume tersebut,
kemudian turunan
parsial terhadap waktu
menyatakan daya
sesaatnya
VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA
Didefinisikan Vektor Poynting =

E
Arah perambatan
gelombang

P

H

H

E

P
  
P  EH
Pz â z  E x â x  H y â y
VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA
Peninjauan Daya ...
Misalkan :

E(t )  E x 0 ez cost  z â x

E x 0 z
Ht  
e cos t  z   â y

Maka,
  
P  EH
E x 0  2 z
 Watt 

e
cos t  z  cos t  z    â z  2 
 m 

2
E x 0  2 z

e cos   cos 2t  2z    â z
2
2
 Watt 
 2 
 m 
VEKTOR POINTING DAN TEOREMA DAYA
Daya Rata-Rata ...
T
Pz ,av
2
E x 0 2z
1
  Pz dt 
e
cos 
T0
2
• Terjadi redaman kerapatan daya seharga
e 2z
• Impedansi intrinsik menimbulkan faktor cos  yang juga menentukan
kerapatan daya
GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA
Persamaan Gelombang pada Ruang Hampa
Untuk ruang hampa :
   0  4.10 7 H / m 
   0  8,854.10 12 (F / m)
0
0
• Bentuk umum pada dielektrik
merugi,
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
• Persamaan gelombang Helmholtz
 2

 Es  j   j Es
Pada ruang hampa,
 

  Es   j 0 Hs
 

  Hs  j 0 Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
 2

2
 Es   0 0 Es
GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA
• Konstanta propagasi
Pada ruang hampa,
  j   j 
  0  j 00

 j  1  j

• Impedansi intrinsik
    
j


  j

1

1 j

• Persamaan medan listrik

E(t )  E x 0 ez cost  z â x
• Persamaan medan magnet

E
Ht   x 0 e z cos t  z   â y

0

 3770o
0

E(t )  E x 0 cost  z â x

Ex0
Ht  
cost  z â y
377
GELOMBANG DATAR DALAM RUANG HAMPA
Pada ruang hampa,
• Bentuk Gelombang
E
P
H
• Vektor Poynting
 E x 0 2 2z
P
e cos   cos 2t  2z    â z
2
 Ex02
P
cos 2 t  z  â z
377
• Daya rata-rata
T
Pz ,av
2
E
1
  Pz dt  x 0 e 2z cos 
T0
2
• Kecepatan gelombang
1
3.108
v


rr
2
Pz ,av
1 Ex0

2 377
 dt 
v  3.108 m
GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA
Untuk dielektrik sempurna :
r  1
r  1
0
0
• Bentuk umum pada dielektrik
merugi,
 

  Es   j Hs
 

  Hs    j Es
 
  Es  0
 
  Hs  0
• Persamaan gelombang Helmholtz
 2

 Es  j   j Es
Dielektrik sempurnan memiliki sifat
dan karakteristik yang hampir sama
dengan udara vakum
Pada dielektrik sempurna
 

  Es   j Hs
 

  Hs  jEs
 
  Es  0
 
  Hs  0
2

2
 Es    Es
GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA
• Konstanta propagasi
Pada dielektrik sempurna
  j   j 
 j  1  j
  0  j 


• Impedansi intrinsik
    
j


  j

1
1 j


• Persamaan medan listrik

E(t )  E x 0 ez cost  z â x
• Persamaan medan magnet

E x 0 z
Ht  
e cos t  z   â y


r

 377

r

E(t )  E x 0 cost  z â x

E x0 r
Ht  
cost  z â y
377  r
GELOMBANG DATAR PADA DIELEKTRIK SEMPURNA
Pada dielektrik sempurna
• Bentuk Gelombang
E
P
H
• Vektor Poynting
 E x 0 2z
P
e cos   cos 2t  2z    â z
2
2
 Ex02
P
377
r
cos 2 t  z  â z
r
• Daya rata-rata
T
Pz ,av
2
2
E
1
  Pz dt  x 0 e 2z cos 
T0
2
Pz ,av
1 Ex0

2 377
• Kecepatan gelombang
1
3.108
v


rr
3.108
v
rr
r
r
GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA
Pada konduktor yang baik :
 r  1  
r  1   0

 1

• Konstanta propagasi
Pada konduktor yang baik
  j   j 
 j  1  j
  f  j f


Cobalah menurunkan sendiri !
• Impedansi intrinsik
j

    

  j

1
1 j


Didefinisikan “Skin
Depth”
1
1
2

j

45o

 
1
1 1

 
f  
39
GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA
• Persamaan medan listrik

E(t )  E x 0 ez cost  z â x
• Persamaan medan magnet
Pada konduktor yang baik


z
E( t )  E x 0 e  cos t  z
 â

x



z

E x 0 z
Ht  
E x 0 .e  cos t  z   â y

4
Ht  
e cos t  z   â y
2

Pada konduktor yang baik, intensitas medan
magnet tertinggal (lagging) sebesar 45o (1/8
siklus) terhadap intensitas medan listrik
GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA
Pada konduktor yang baik
• Vektor Poynting
 E x 0 2 2z
P
e cos   cos 2t  2z    â z
2
2z
 



2z   

2

P
E x 0 e cos  cos 2t    â z
4
 4 
2


• Daya rata-rata
T
Pz ,av
2
Ex0
E x 0 2z
1
  Pz dt 
e
cos 
T0
2
Energi elektromagnet tidak diteruskan ke dalam
konduktor, akan tetapi merambat di sekeliling konduktor,
sehingga konduktor hanya membimbing gelombang. Arus
yang mengalir dalam konduktor akan mengalami
redaman tahanan konduktor dan merupakan kerugian
bagi konduktor sebagai pembimbing gelombang.
2
2z
Pz ,av
1
2 
  E x 0 e
4
Rumusan diatas menunjukkan bahwa rapat
daya pada bidang z =  adalah sebesar e-2 ,
atau sebesar 0,135 kali dari rapat daya pada
permukaan konduktor ( z = 0 ).
GELOMBANG DATAR PADA KONDUKTOR SEMPURNA
Skin Effect
As frequency of applied current is
increased, more of the electron flow is
on the surface (skin) of the conductor

2

  Conductivity of the metal(S/m)
f  frequency(Hz)
  permeability of metal(H/m)
Adanya efek kulit (skin depth) menyebabkan
konduktor sangat buruk dipakai sebagai medium
penjalaran daya. Konduktor cukup baik untuk
pembimbing / penghantar arus dan cukup dalam
bentuk pipa berhubung adanya efek kulit tadi.
POLARISASI GELOMBANG
Polarisasi adalah sifat GEM yang
menjelaskan arah dan amplitudo vektor
intensitas medan listrik (E) sebagai
fungsi waktu pada bidang yang tegak
lurus terhadap arah perambatannya.
Macam-macam polarisasi : Linear,
Sirkular (lingkaran), dan Ellips
POLARISASI GELOMBANG
Polarisasi Vertical
Polarisasi Horizontal
Polarisasi Slant
POLARISASI GELOMBANG
RHCP
LHCP
Elips
POLARISASI GELOMBANG
Polarisasi eliptik dapat dipandang sebagai bentuk
•
polarisasi yang paling umum :
Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi linear yang saling tegak lurus
(orthogonal)
•
Dapat merupakan jumlah 2 polarisasi sirkular dengan arah berlawanan dan
magnitudo berbeda
Jika polarisasi eliptik dipandang sebagai penjumlahan polarisasi linear yang saling tegak
lurus, maka :




Ex  Exo sin t  z   x  aˆ x

Et  Ex  E y
E y  E yo sin t  z   y aˆ y

Et  Exo sint  z   x  aˆ x  E yo sin t  z   y aˆ y
Polarisasi selalu ditinjau untuk jarak tertentu.
Misal pada z = 0, akan didapatkan

Et  Exo sint   x  aˆ x  E yo sin t   y aˆ y
POLARISASI GELOMBANG
Polarisasi Linear
Polarisasi Sirkular
Syarat ( salah satu ) :
 E x 0 ada nilainya; E y 0  0
Syarat :
 Ex0  E y 0
 E y 0 ada nilainya; E x 0  0
 1  2n  , n  0,1,2,3...

2
    y   x  
 1 2  2n  , n  0,1,2,3...
    y   x  n , n  0,1,2,3....




RHCP/CW
LHCP/CCW
Polarisasi Eliptik
Syarat :
 Ex0  E y 0




 1  2n  , n  0,1,2,3...

2
    y   x  
 1 2  2n  , n  0,1,2,3...
RHCP/CW
LHCP/CCW
POLARISASI GELOMBANG
Kasus paling umum : Polarisasi
Eliptik
Parameter-parameter pada polarisasi eliptik adalah :
a. Major Axis ( 2 x OA )
OA 
1 2
2
4
4
2
2
E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2

2 
b. Minor Axis ( 2 x OB )
OB 
1 2
2
4
4
2
2
E x  E y  E x  E y  2E x E y cos2

2 
c. Tilt angle ( )
 2E x E y

1

  arctan
cos  
2
2
E E

2
y
 x

d. Axial Ratio (AR )
Major axis OA
AR 

Minor axis OB
AR = 1 Polarisasi Circular
AR =∞  polarisasi linear
1<AR< ∞  Polarisasi Elips
ANY QUESTION???