Document

KALKULUS II
2
INTEGRAL TENTU
JUMLAH PERTEMUAN : 1 PERTEMUAN
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS :
Memahami konsep dasar integral tentu dan sifat-sifat integral tentu
Materi
:
2.1 Pendahuluan
Integral tentu dikonstruksi dengan jumlah Riemann yang menggambarkan luas daerah.
Misal fungsi f(x) terdefinisi pada selang tutup [a,b]. 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}
Langkah-langkah :
1. Partisikan selang [a,b] menjadi n selang dengan titik pembagian 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ <
𝑥𝑛 = 𝑏
𝑃 = {𝑎 = 𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 = 𝑏} disebut partisi dari [a,b]
y = f(x)
y = f(x)
D 𝑐𝑘
D
a
b
a
∆𝑥𝑘 b
2. Definisikan panjang partisi P, sebagai
‖𝑃‖ =
𝑀𝑎𝑘𝑠
|∆𝑥 |, ∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1
1≤𝑖≤𝑛 𝑘
3. Pilih 𝑐𝑘 ∈ [𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ], k = 1, 2, …, n
4. Bentuk jumlah Riemann: ∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑐𝑘 )∆𝑥𝑘
5. Jika ‖𝑃‖ → 0 maka diperoleh limit jumlah Riemann
lim
∑𝑛 𝑓(𝑐𝑘 )∆𝑥𝑘
‖𝑃‖ → 0 𝑘=1
9
KALKULUS II
Jika limit ini ada, maka dikatakan f terintegralkan Riemann pada selang [a,b] dan ditulis
sebagai
𝑛
𝑏
𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 = lim ∑ 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘
‖𝑃‖→0
𝑎
𝑛→∞
𝑘=1
𝑘=1
Contoh:
2
Hitung ∫0 (𝑥 − 2)𝑑𝑥 berdasarkan definisi integral
Jawab:
2
1. Partisikan selang [0,2] menjadi n bagian yang sama panjang → ∆𝑥 = 𝑛
∆𝑥∆𝑥
0 𝑥1 𝑥2
∆𝑥
𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
Sehingga
∆𝑥
𝑥𝑛−1 2
𝑥0 = 0
2
𝑛
4
𝑥2 = 0 + 2∆𝑥 =
𝑛
𝑥1 = 0 + ∆𝑥 =
⋮
𝑥𝑖 = 0 + 𝑖∆𝑥 =
2𝑖
𝑛
⋮
𝑥𝑛 = 0 + 𝑛∆𝑥 = 2
2. Pilih 𝑐𝑖 = 𝑥𝑖 maka 𝑓(𝑐𝑖 ) = 𝑓(𝑥𝑖 ) = 𝑥𝑖 − 2 =
2𝑖
𝑛
−2
3. Bentuk jumlah Riemann
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
2𝑖
2
4𝑖 4
4
4
4 𝑛(𝑛 + 1)
4
∑ 𝑓(𝑐𝑖 )∆𝑥𝑖 = ∑ ( − 2) = ∑ ( 2 − ) = 2 ∑ 𝑖 − ∑ 1 = 2 (
)− 𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
2
𝑛
= −2 +
2
𝑛
10
KALKULUS II
4. Jika 𝑛 → ∞
2
2
∫ (𝑥 − 2)𝑑𝑥 = lim (−2 + ) = −2
𝑛→∞
𝑛
0
Catatan : Jika fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) positif pada selang [a,b] maka integral tentu di atas
menyatakan luas daerah yang terletak dibawah grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan daerah sumbu x antara
garis 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏.
2.2 Sifat-sifat Integral tentu
Andaikan bahwa f dan g terintegralkan pada [a,b] dan bahwa k konstanta. Maka kf dan 𝑓 +
𝑔 adalah terintegralkan dan
1.
2.
b
b
a
a
 kf xdx  k  f xdx
b
b
b
a
a
a
  f x  g xdx   f xdx   g xdx
3. Jika 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, maka
𝑐
𝑏
𝑐
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
4.
𝑎
a
b
a
a
a
b
𝑏
 f xdx  0 dan  f xdx   f xdx
a
5. Jika f(x) ganjil dan a adalah konstanta, maka
 f x dx  0
a
a
6. Jika f(x) genap dan a adalah konstanta, maka

a
a
f x dx  2 f x dx
0
11
KALKULUS II
Teorema Dasar Kalkulus I
Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan f(x) suatu anti turunan dari F(x). Maka
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
2
Contoh: Selesaikan integral tentu  x 2 dx
0
Jawab:
1
Berdasarkan soal di atas 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , dan diketahui bahwa anti turunannya 𝐹(𝑥) = 3 𝑥 3 .
Maka
2
1
1
8
∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = [ 23 ] − [ 03 ] =
3
3
3
0
Teorema Dasar Kalkulus II
Jika fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan andaikan x sebuah titik dalam [a,b].
Maka
𝑥
𝐷𝑥 [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢] = 𝑓(𝑥)
𝑎
Secara umum
𝑣(𝑥)
𝐷𝑥 [ ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢] = 𝑓(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥)
𝑎
𝑤(𝑥)
𝐷𝑥 [ ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢] = 𝑓(𝑤(𝑥))𝑤′(𝑥) − 𝑓(𝑣(𝑥))𝑣′(𝑥)
𝑣(𝑥)
𝑥2
Contoh: Hitung f’(x) dari 𝑓(𝑥) = ∫4 √1 + 𝑡 2 𝑑𝑡
Jawab: 𝑓 ′ (𝑥) = √1 + 𝑥 4 (2𝑥)
12
KALKULUS II
2.3 Latihan
1. Hitung integral tentu memakai definisi
2
a.
 x  1 dx
3
0
 2 x

2
b.
2
 1 dx
1
5
 f x dx
2. Hitung
memakai rumus luas yang cocok dari geometri bidang. Mulai dengan
0
menggambarkan grafik fungsi yang diberikan.
𝑥
a. 𝑓(𝑥) = { 1
𝑥−4
b. 𝑓(𝑥) = {
jika 0 ≤ 𝑥 < 1
jika 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
jika 3 < 𝑥 ≤ 5
𝑥 + 2 jika 0 ≤ 𝑥 < 2
6 − 𝑥 jika 2 ≤ 𝑥 ≤ 5
3. Gunakan teorema dasar kalkulus untuk menghitung tiap integral tentu
 3x

2
a.
2
 2 x  3 dx
1
4
b.
1
w
4
dw
1
7
c.

1
1
dt
2t  2
4. Cari 𝐹′(𝑥)
a. F x  
x
 2 z  1dz
6
b. F x  


 sin t tan t dt,  2  x  2
2x
4
x
13