iii model umum ekspektasi rasional linear dan

III MODEL UMUM EKSPEKTASI RASIONAL LINEAR DAN
SOLUSINYA
3.1 Model Ekspektasi Rasional Linear
Pada karya ilmiah ini akan dipelajari
model ekspektasi rasional linear. Pada model
ekspektasi rasional linear, variabel-variabel
yang terlibat dinyatakan dalam bentuk deviasi
logaritmik dari variabel asalnya. Secara
formal, jika Vt adalah sebuah vektor variabel
dan V adalah nilai tengahnya maka deviasi
logaritmik dari Vt didefinisikan sebagai
vt = log Vt − log V .
Berikut ini, lambang dan istilah yang
digunakan.
wt : vektor variabel endogen non-predetetermined berukuran nw × 1 yang nilainya
pada saat ekspektasi dilakukan tidak
diketahui.
kt : vektor variabel endogen predetermined
berukuran nk ×1 yang nilainya pada saat
ekspektasi dilakukan sudah diketahui.
Ωt : vektor yang terdiri atas variabel endogen
non-predetermined dan variabel endogen
predetermined berukuran (nw + nk ) × 1 .
zt : vektor
nz × 1 .
variabel
eksogen berukuran
Et : operator ekspektasi pada periode t.
A : matriks segi berukuran nw + nk yang
melambangkan koefisien struktural dari
variabel di periode selanjutnya.
B : matriks segi berukuran nw + nk yang
melambangkan koefisien struktural dari
variabel di periode yang sedang berjalan.
C : matriks berukuran (nw + nk ) × nk yang
melambangkan koefisien struktural dari
variabel eksogen.
ε t : white noise.
φ : matriks segi berukuran
nz yang
melambangkan koefisien struktural dari
proses autoregresi variabel eksogen.
Bentuk umum model ekspektasi rasional
linear sebagai berikut.
AEt Ωt +1 = BΩt + Czt ,
(1)
zt = φ zt −1 + ε t ,
(2)
dengan
w 
Ωt =  t  .
 kt 
(3)
Ekspektasi dari variabel eksogen dapat
dituliskan sebagai
Et zt +1 = φ zt + Et ε t +1 .
Karena ε t adalah white noise maka Et ε t +1 = 0.
Oleh karena itu, persamaan di atas menjadi
Et zt +1 = φ zt .
(4)
3.2 Solusi Model Ekspektasi Rasional
Linear
7
Di bagian ini akan dibahas solusi model
ekspektasi rasional linear yang telah
diasumsikan memiliki bentuk sebagai berikut.
wt = Mkt + Nzt ,
(5)
kt +1 = Pkt + Rzt .
(6)
N
M
P
R
dengan
,
,
,
merupakan matriksmatriks solusi yang harus dicari.
Persamaan (5) dan (6) mengekspresikan
variabel endogen non-predetermined sebagai
suatu fungsi dari variabel endogen
predetermined dan variabel eksogen.
Selanjutnya akan dijelaskan proses
mencari matriks-matriks solusi tersebut
dengan menggunakan metode koefisien tidak
tentu.
Ekspektasi dari persamaan (6) adalah
Et kt +1 = PEt kt + REt zt ,
karena
(7)
kt
adalah variabel endogen
predetermined dan zt adalah variabel eksogen
yang nilainya pada saat ekspektasi dilakukan
Et kt = kt
sudah diketahui maka
dan
Et zt = zt . Dengan mensubstitusikan Et kt = kt
dan Et zt = zt , maka persamaan (7) menjadi
Et kt +1 = Pkt + Rzt .
(8)
Ekspektasi dari persamaan (5) adalah
Et wt +1 = MEt kt +1 + NEt zt +1 .
(9)
Dengan mensubstitusi persamaan (4) dan (7),
persamaan di atas menjadi
Et wt +1 = MEt kt +1 + NEt zt +1
= MEt ( Pkt + Rzt ) + NEt zt +1
= MPEt kt + MREt zt + N φ zt
= MPkt + MRzt + Nφ zt
= MPkt + ( MR + N φ ) zt .
(10)
Jika persamaan (8) dan (10) disubstitusi
pada persamaan (1) maka diperoleh:
AEt Ωt +1 = BΩt + Czt
E w 
w 
A  t t +1  = B  t  + Czt
 Et kt +1 
 kt 
 MPkt + ( MR + N φ ) zt 
 Mkt + Nzt 
A
 = B
 + Czt
Pkt + Rzt
kt




 MP 
 MR + Nφ 
A
 kt + A 
 zt
R
 P 


(11)
 M 
N 
= B    kt +   zt  + Czt
0 
 I 
Untuk mencari matriks-matriks M, N, P, R
maka dua persamaan berikut harus terpenuhi:
 MP 
M 
A
 = B  ,
(12)
P


 I 
 MR + Nφ 
N
A
 = B  + C .
R


0
matriks-matriks uniter Q dan Z , yaitu
Q H Q = I dan Z H Z = I sedemikian sehingga
dipenuhi
dengan S dan T adalah matriks-matriks
segitiga.
Selanjutnya persamaan (12) dikalikan
dengan Q dan berdasarkan fakta bahwa
QA = SZ −1 dan QB = TZ −1 maka akan
diperoleh
0   H11
T
=  11

T
T
 21 22   H 21
H11 M + H12 = 0 .
Sehingga didapatkan
8
M = − H11−1 H12 .
−1
Karena H = Z , yaitu
 H11

 H 21
H12   Z11
H 22   Z 21
Z12   I 0 
=
Z 22  0 I 
maka
H11 Z12 + H12 Z 22 = 0
atau
H12 = − H11 Z12 Z 22−1 .
Dengan demikian,
M = Z12 Z 22−1 .
(17)
S21 ( H11 M + H12 ) P + S22 ( H 21 M + H 22 ) P
= T21 ( H11 M + H12 ) + T22 ( H 21 M + H 22 ) .
(18)
Dengan menggunakan persamaan (17) dan
HZ = I ,
persamaan
(18)
dapat
disederhanakan menjadi
(19)
(14)
atau ekivalen dengan
P = Z 22 S22−1T22 Z 22−1 .
(20)
Perhatikan persamaan (13). Dengan
menggunakan dekomposisi Schur yang
diperumum terhadap (13) seperti sebelumnya
akan didapatkan
H12   MP 
H 22   P 
H12   M 
H 22   I  .
Persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya
jika
S22 Z 22−1 P = T22 Z 22−1 ,
−1
dengan H = Z . Partisikan S, T, dan H
sehingga diperoleh
0   H11
S 22   H 21
(16)
Dari persamaan (15), baris keduanya
dapat dituliskan sebagai
QAZ = S dan QBZ = T ,
 S11
S
 21
S11 ( H11 M + H12 ) P = T11 ( H11 M + H12 ) .
(13)
Karena matriks A dan B mungkin singular
(tidak memiliki invers), maka persamaan (12)
dan (13) dapat dipandang sebagai masalah
nilai eigen yang diperumum (generalized
eigenvalue problem). Dengan demikian
dekomposisi
Schur
yang
diperumum
(generalized Schur decomposition) atau
QZ
menjamin eksistensi
dekomposisi
M 
M 
SH   P = TH  
I
 
I 
Dari persamaan (15), baris pertamanya
dapat dituliskan seperti
(15)
 MR + N φ 
N
QA 
 = QB   + QC
R


0
(21)
 MR + Nφ 
N
SH 
 = TH   + D
R


0
(22)
dengan didefinisikan D = QC . Selanjutnya,
persamaan pada baris pertama dapat dituliskan
dalam bentuk suku-suku matriks partisi seperti
berikut:
S11 ( H11 M + H12 ) P + S11 H11 Nφ = T11 H11 N + D1
S11 H11 Nφ = T11 H11 N + D1
N − H11−1T11−1 S11 H11 Nφ = − H11−1T11−1 D1 .
( I + φ T ⊗ G ) vecN = vecF
sehingga didapatkan
T
−1
vecN = ( I + φ ⊗ G ) vecF
(23)
N
dapat diperoleh dengan
Matriks
menggunakan operasi balikan dari vec(.).
Kemudian, baris kedua dari (22)
memberikan persamaan
( S 21 H11 + S22 H 21 )( MR + Nφ ) + ( S21 H12 + S22 H 22 ) R
= (T21 H11 + T22 H 21 ) N + D2
.
atau
Dengan mendefinisikan
G = − H11−1T11−1 S11 H11
dan
S22 ( H 21 M + H 22 ) R + ( S 21 H11 + S 22 H 21 ) Nφ
= (T21 H11 + T22 H 21 ) N + D2 .
F = − H11−1T11−1 D1 ,
persamaan terakhir dapat dituliskan sebagai
N + GN φ = F .
Dengan demikian, penyelesaian untuk R
adalah
R = K1−1 ( K3 − K 2 )
Selanjutya
persamaan
di
atas
ditransformasikan ke dalam bentuk persamaan
linear standar dengan menggunakan operator
vec sebagai berikut:
(24)
dengan
K1 = S22 ( H 21 M + H 22 ) ,
K 2 = ( S 21 H11 + S 22 H 21 ) Nφ , dan
K 3 = (T21 H11 + T22 H1 ) N + D2 .
vecN + vec(GN φ ) = vecF.
Dengan menggunakan Teorema Karakteristik
vec, maka persamaan di atas menjadi
Jadi, matriks solusi M, N, P, dan R
terdapat di persamaan (17), (23), (20), dan
(24).
T
vecN + (φ ⊗ G ) vecN = vecF,
IV APLIKASI
Pada bab ini, akan dijelaskan aplikasi
model ekspektasi rasional linear terhadap
masalah ekonomi. Permasalahan ekonomi
yang dibahas berupa persamaan struktural
yang merepresentasikan masalah ekonomi
yang sebenarnya. Selanjutnya, akan dicari
solusi dari konstruksi persamaan struktural ke
dalam model ekspektasi rasional linear.
4.1 Persamaan Struktural
Pada subbab ini akan dijelaskan
persamaan struktural yang akan digunakan
dalam mempelajari model ekspektasi rasional
linear. Ada enam persamaan struktural yang
akan dijelaskan yaitu suku bunga nominal dan
riil, output gap, output potensial, investment-
saving, aggregate supply, dan monetarypolicy rule.
4.1.1 Suku Bunga Nominal dan Riil
Dalam perekonomian dikenal dua suku
bunga yaitu suku bunga nominal dan suku
bunga riil. Suku bunga nominal adalah suku
bunga yang dikeluarkan oleh bank atau
pemberi pinjaman sedangkan suku bunga riil
adalah kenaikan dalam daya beli seseorang.
Misalkan akan dilakukan penghitungan
suku bunga nominal dari suatu transaksi
pinjam meminjam selama periode t. Jika rt
adalah suku bunga riil yang diperoleh oleh
pemberi pinjaman, Π t adalah tingkat inflasi