Soal dan pembahasan soal UN SMA IPA

PEMBAHASAN
SOAL UN 2011
MATEMATIKA IPA (PAKET 12)
Pembahas:
Sigit Tri Guntoro
Marfuah
Reviewer:
Jakim Wiyoto
Rohmitawati
1. Bentuk sederhana dari
√
√
√
√
….
√
A.
√
B.
√
C.
√
D.
√
E.
Alternatif penyelesaian:
Dengan merasionalkan penyebut diperoleh:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√ ) √
√
(√
√
√
√
Jawaban: E
2. Grafik
memotong sumbu X di dua titik. Batas-batas nilai
yang
memenuhi adalah….
A.
atau
B.
atau
C.
atau
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Untuk menghasilkan perpotongan dua titik pada sumbu X maka diskriminan D dari y memenuhi
D>0.
2
atau
Secara ilustrasi:
2
Jadi batas-batas nilai
yang memenuhi adalah
atau
Jawaban: B
3. Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, -1, -1), C(4, 2, -4). Besar sudut ABC adalah….
A.
B.
C.
D.
E. 0
Alternatif penyelesaian:
A(5, 1, 3)
𝑎̅
C(4, 2, -4)
B(2, -1, -1)
𝑏̅
̅
̅
3
Dengan mengingat dot product ̅ ̅
| ̅ || ̅ |
maka diperoleh
̅ ̅
| ̅ || ̅ |
√
√
Jadi
Jawaban: B
4. Diketahui vektor ⃗
vektor
⃗
pada vektor
A. ⃗
B. ⃗
⃗
⃗⃗
C. ⃗
⃗
⃗⃗
⃗
E.
⃗
⃗⃗ dan vektor ⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗. Proyeksi vektor orthogonal
adalah….
⃗⃗
⃗
D.
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
Alternatif penyelesaian:
Misalkan proyeksi vektor orthogonal (tegak lurus) vektor ⃗ pada vektor ⃗⃗ adalah vektor vektor ⃗
𝑎⃗
𝑏⃗⃗
𝑝⃗
maka
⃗
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗ | | ⃗⃗ |
⃗⃗ ⃗⃗
| ⃗⃗ |
⃗⃗
Sesuai dengan soal diperoleh
⃗
( ⃗
⃗
( ⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗)
⃗⃗)
Jawaban: B
4
5. Diketahui
dan
, maka
….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
(
)
(
)
untuk
Jawaban: D
6. Akar-akar persamaan kuadrat
adalah α dan β. Jika α =2β dan α, β positif,
maka nilai m adalah….
A. -12
B. -6
C. 6
D. 8
E. 12
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan bahwa:
dan
.
Sesuai dengan persamaan kuadratnya maka
dan
. Karena
maka diperoleh
5
atau ditulis
. Penyelesaian dari
dipilih
. Selain itu diperoleh
adalah
atau
. Karena
positif maka
. Dari sini diperoleh
Jawaban: E
7. Diketahui persamaan matriks
(
Nilai
)(
)
(
)
….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan hasil perkalian matriks
(
)(
(
)
(
)
)
(
)
Dari sini didapatkan
( )
Jadi
(
)
Jawaban: E
6
8. Pada suatu hari Pak Ahmad, Pak Badrun, dan Pak Yadi panen jeruk. Hasil kebun Pak Yadi lebih
sedikit 15 kg dari hasil kebun Pak Ahmad dan lebih banyak 15 kg dari hasil kebun Pak Badrun.
Jika jumlah hasil panen ketiga kebun itu 225 kg, maka hasil panen Pak Ahmad adalah….
A. 90 kg
B. 80 kg
C. 75 kg
D. 70 kg
E. 60 kg
Alternatif penyelesaian:
Misalkan
jumlah hasil panen Pak Ahmad =
kg,
jumlah hasil kebun Pak Badrun =
kg
jumlah hasil kebun Pak Yadi = kg
Dari data diperoleh
Jadi hasil panen Pak Ahmad 90 kg
Jawaban: A
9. Seorang anak diharuskan minum dua jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I mengandung 5 unit
vitamin A dan 3 unit vitamin B. Tablet jenis II mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin
B. Dalam 1 hari anak tersebut memerlukan 25 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga
tablet 1 Rp. 4000,00 per biji dan tablet II Rp. 8.000,00 per biji, pengeluaran minuman untuk
pembelian tablet per hari adalah….
A. Rp12.000,00
B. Rp14.000,00
C. Rp16.000,00
D. Rp18.000,00
7
E. Rp20.000,00
Alternatif penyelesaian:
Misal
Banyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari :
tablet
Banyaknya tablet Jenis I yang diperlukan tiap hari :
tablet
Satu Tablet
Satu Tablet
Keperluan
Jenis I
Jenis II
tiap hari
Kandungan Vitamin A
5
10
25
Kandungan Vitamin B
3
1
5
4000
8000
Harga
Dari sini didapatkan model matematik:
Dengan meminimumkan
Daerah penyelesaian dari masalah di atas terlihat pada daerah yang diarsir
Dengan menguji titik-titik sudut daerah penyelesaian diperoleh
Titik
F(x,y)=4000x + 8000y
A(5,0)
20000
8
B(1,2)
20000
C(0,5)
40000
Jadi ada 2 titik yang menyebabkan nilai minimum pada F yaitu A(5,0) dan B(1,2) yang
menghasilkan nilai minimum 20000
Jawaban: E
10. Nilai
√
….
A. 0
B. 4
C. 8
D. 12
E. 16
Alternatif penyelesaian:
√
√
√
√
√
(√
)
Jawaban: B
11. Nilai
….
A.
B.
C.
D.
E. 1
9
Alternatif penyelesaian:
Jawaban: D
12. Akar-akar persamaan
akarnya
dan
adalah
dan . Persamaan kuadrat baru yang akar-
adalah….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Ingat kembali bahwa jika
berlaku
dan
Persamaan Kuadrat Lama
dan
akar-akar persamaan kuadrat
. Dari persamaan kuadrat
maka
diperoleh
Persamaan Kuadrat Baru
10
Persamaan dapat dibentuk dengan cara :
.
Sesuai hasil sebelumnya didapatkan
Jawaban: A
13. Persamaan garis singgung lingkaran
di titik
adalah….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Ingat kembali bahwa persamaan garis singgung lingkaran
adalah
garis singgung lingkaran
di titik
Dengan demikian persamaan
di titik
adalah:
Jawaban: D
14. Diketahui premis-premis
(1) Jika hari hujan, maka ibu memakai payung
(2) Ibu tidak memakai payung
Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah….
A. Hari tidak hujan
B. Hari hujan
C. Ibu memakai payung
D. Hari hujan dan Ibu memakai payung
E. Hari tidak hujan dan Ibu memakai payung
11
Alternatif penyelesaian:
Misalkan,
p : hari hujan
q : Ibu memakai payung
Sesuai dengan premisnya diperoleh
pq
~q
 ~p (hari tidak hujan)
Jawaban: A
15. Diketahui suku banyak
dibagi
sisa -1, maka nilai
. Jika
dibagi
sisa 11,
….
A. 13
B. 10
C. 8
D. 7
E. 6
Alternatif penyelesaian:
dibagi
sisa 11. Berarti
dibagi
sisa -1. Berarti
, yang menghasilkan
, yang menghasilkan
Dari sini diperoleh
12
Jadi
Jawaban: C
16. Diketahui
dan
adalah faktor-faktor suku banyak
Jika akar-akar persamaan suku bannyak tersebut adalah
maka nilai
,
, dan
.
, untuk
….
A. 8
B. 6
C. 3
D. 2
E. – 4
Alternatif penyelesaian:
Untuk
berlaku:
Untuk
Untuk menentukan faktor yang lain dari
berlaku:
digunakan cara:
|
|
Faktor yang lain adalah
, sehingga nilai dari
Jawaban: B
13
17. Nilai yang memenuhi persamaan
A.
1
2
1
log( x 2  3) 2 log x  1 adalah….
atau
B.
atau
C.
atau
D.
saja
E.
saja
Alternatif penyelesaian:
Prasyarat yang harus dipenuhi adalah:
(1)
(
. Sementara itu
√ atau
prasyarat
√ )(
√ )
. Sehingga didapatkan
√
(2) x  0
Kombinasi (1) dan (2) diperoleh prasyarat
√
(*)
Dengan memperhatikan prasyarat di atas selanjutnya diselesaikan
(
)
.
Dari sini diperoleh penyelesaian
atau
.
Mengingat (*) maka didapat penyelesaian
Jawaban: E
18. Persamaan bayangan garis
refleksi terhadap
karena refleksi terhadap garis
, dilanjutkan
adalah….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Matriks transformasi untuk refleksi adalah sebagai berikut:
14
(
)
(
)
( )
(
)(
( )
(
)(
( )
(
)
)(
)
)
Dari sini diperoleh:
Jadi hasil transformasinya adalah
Jawaban: B
19. Bentuk sederhana dari
….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan bahwa
Jawaban: E
15
20. Hasil dari ∫
….
A.
B.
C.
D.
E.
Alternatif penyelesaian:
Misalkan:
, maka
Sehingga
∫
∫
Jawaban B
21. Hasil

2x  3
3x 2  9 x  1
dx 
A. 2 3x 2  9 x  1  C
B.
1
3x 2  9 x  1  C
3
C.
2
3x 2  9 x  1  C
3
D.
1
3x 2  9 x  1  C
2
E.
3
3x 2  9 x  1  C
2
16
Alternatif penyelesaian:
Misalkan 3x  9 x  1  t , maka berlaku:
2
(6 x  9)dx  dt  3  2 x  3 dx  dt
1
  2 x  3 dx  dt
3
Apabila nilai t disubstitusikan pada soal, diperoleh:

2x  3
3x 2  9 x  1
dx 

1
3 dt  1 t  12 dt  1  2  t 12  C  2  3x 2  9 x  1  C
3
3
3
t
Jawab: C
22. Nilai
cos140  cos100

sin140  sin100
Alternatif penyelesaian:
Menggunakan rumus trigonometri diperoleh:
 140  100
2.sin 
2
cos140  cos100


sin140  sin100
 140  100
2.cos 
2



 140  100
 .sin 
2



 140  100
 .sin 
2








2.sin120 .sin 20
2.cos120 .sin 20
= − tan 120º =
3
y  a log( x)
y
Jawaban: E
(1,0)
-3
8
x
17
23. Perhatikan gambar!
Persamaan grafik fungsi inversnya adalah …
A. y  3
B. y 
x
1
3
x
1
C. y  3 x
1
D. y 
2
x
x
E. y  2
Alternatif penyelesaian:
Dari grafik dapat dilihat bahwa:
a
log1  0 dan a log8  3
dipenuhi untukBerlaku a =
1
2
a
1
Sehingga, apabila f(x)= log x , maka fungsi invers f dapat diperoleh dengan cara:
1
y  a log x  x  a y   
2
1
f 1 ( x)   
2
y
x
Jawaban: D
24. Modus data pada tabel berikut adalah ...
Ukuran
f
1−5
3
6 − 10
17
11 − 15
18
16 − 20
22
21 − 25
25
26 − 30
21
18
31 − 25
4
3
4
A. 20,5  .5
B. 20,5 
3
.5
25
3
7
C. 20,5  .5
3
4
D. 20,5  .5
3
7
E. 20,5  .5
Pembahasan:
Modus = Tb 
fa
.I dengan:
f a  fb
Tb = tepi bawah kelas dengan frekuensi terbesar ( f=25) , yakni 20,5
fa = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya, yakni 2522 = 3
fb = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sesudahnya, yakni 25  21 = 4
I = interval kelas = 5
Jadi:
3
7
Modus = 20,5  .5
Jawaban: C
25. Seorang siswa diwajibkan mengerjakan 8 dari 10 soal, tetapi nomor 1 sampai dengan 4 wajib
dikerjakan. Banyaknya pilihan yang harus diambil siswa tersebut ada ...
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30
Alternatif penyelesaian:
Karena soal nomor 1 sampai dengan 4 wajib dikerjakan, maka tersisa 6 soal lain untuk dipilih sebanyak 4
soal.
19
Kejadian ini merupakan kejadian kombinasi, karena urutan tidak diperhatikan. Apabila soal yang dipilih
adalah {soal 5, soal 6, soal 7, soal 8} maka dianggap sama dengan memilih { soal 6,soal 5, soal 7, soal 8}.
n adalah banyak soal = 6
r adalah banyak soal yang harus dipilih = 4

n!
(n  r )!r !
C4 
6!
 15
2!4!
n Cr
6
Jawaban: B
26. Dari dalam kantong yang berisi 8 kelereng merah dan 10 kelereng putih akan diambil 2 kelereng
sekaligus secara acak. Peluang yang terambil 2 kelereng putih adalah…
A.
20
153
B.
28
153
C.
45
153
D.
56
153
E.
90
153
Alternatif penyelesaian:
Misal:
A= kejadian terambil 2 kelereng putih
S=ruang sampel, yaitu kejadian terambilnya 2 kelereng dari 18 kelereng
Maka peluang terambil 2 kelereng putih adalah
P  A 
n( A)
n( S )
dengan n(A) kombinasi terambilnya 2 kelereng putih dari 10 kelereng putih
Jadi:
20
10!
C
45
P( A)  10 2  8!2! 
18! 153
18 C2
16!2!
Jawaban: C
27. Diketahui  A  B  

dan sin A.sin B 
3
1
. Nilai cos( A  B)  ...
4
A. 1
B. 
1
2
C.
1
2
D.
3
4
E. 1
Alternatif penyelesaian:
Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk jumlahan dan selisih sudut, berlaku:
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B
 cos


3
 cos A cos B 
1
4
1
1
 cos A cos B 
2
4
Diperoleh: cos A cos B 
3
4
Dari sini maka,
cos( A  B)  cos A cos B  sin A sin B 
3 1
 1
4 4
Jawaban: E
 3 2
 3 1
 dan B  

0 5
 17 0 
28. Diketahui matriks A  
Jika AT = transpose matriks A dan AX=B+AT, maka determinan matriks X =
21
A. −5
B. −1
C. 1
D. 5
E. 8
Alternatif penyelesaian:
 3 2
 3 0
1  5 2 
T
1
A
 maka A  
 dan A  

15  0 3 
0 5
 2 5
 0 1
B  AT  

 15 5 
Ditentukan matriks X yang memenuhi persamaan: AX=B+AT
Maka :
A-1 A X = A-1(B+AT)  X = A-1(B+AT)
X
1  5 2  0 1 1  30 15   2 1 


= 


15  0 3  15 5  15  45 15   3 1 
Diperoleh det(X) = 2.1 − (-3)(-1) = -1
Jawaban: B
29. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG
adalah ...
A. 4 6 cm
B. 4 5 cm
C. 4 3 cm
D. 4 2 cm
E. 4 cm
Alternatif penyelesaian:
Jarak titik M ke AG merupakan panjang garis yang melalui titik M dan
tegak lurus garis AG, misal garis MTt.
M
H
G
F
E
Tt
D
C
22
A
B
Perhatikan bidang AMG.
AMG merupakan segitiga sama kaki.
8 cm
M
A
Tt
Panjang AM = MG =
G
EM 2  EA2  82  42  4 5
Panjang AG = panjang diagonal ruang = 8 3
Diperoleh:
MT =
1
AM 2  AG 2  (4 5) 2  (4 3) 2  4 2 cm
2
Jawaban : D
30. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG
adalah:
A.
1
6
3
B.
1
3
2
C.
1
2
2
D.
1
3
3
E.
1
2
3
Alternatif penyelesaian:
H
Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah nilai kosinus
sudut MGC.
cos MGC 
G
F
E
GC
MG
t
D
C
M
A
10 cm
B
23


GC
GC 2  MC 2
10
1

102   10 2 
2

2

10
1

6
5 6 3
Jawaban: A
2
31. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar (9000  1000 x  10 x ) rupiah. Jika
semua ahasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp 5000,00 untuk satu
produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah ...
A. Rp 149.000,00
B. Rp 249.000,00
C. Rp 391.000,00
D. Rp 609.000,00
E. Rp 757.000,00
Alternatif penyelesaian:
2
Diketahui biaya produksi = (9000  1000 x  10 x ) rupiah dan harga per produk = Rp 5000,00
Karena laba = pendapatan − biaya produksi, maka:
2
2
Laba = F(x) = 5000 x  (9000  1000 x  10 x )  10 x  4000 x  9000
Laba maksimum diperoleh pada nilai x untuk F’(x) = 0.
F '( x)  0  20 x  4000  0  x  200
Untuk x = 200, diperoleh :
2
Laba = F(x) =  10.(200)  4000(200)  9000 = Rp 391.000,00
Jawaban: C
2
32. Luas daerah yang dibatasi kurva y  4  x , y   x  2 , dan 0  x  2 adalah …
A.
8
satuan luas
3
B.
10
satuan luas
3
24
C.
14
satuan luas
3
D.
16
satuan luas
3
E.
26
satuan luas
3
Alternatif penyelesaian:
2
L=
  f ( x)  f ( x )dx
1
2
0
2
2
0
0
   (4  x 2 )  ( x  2) dx     x 2  x  2 dx
2
1
1

  x3  x 2  2 x 
3
2
0
10
 8

    2  4  0 =
3
 3

Jawaban: B
33. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ke-30 barisan
aritmetika tersebut adalah ...
A. 308
B. 318
C. 326
D. 344
E. 354
Alternatif penyelesaian:
25
Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika, a adalah suku pertama dan b adalah beda.
U9  150  a  8b  150 ...... 1)
U 4  110  a  3b  110 ....... 2)
Dengan menggunakan metode eliminasi antara persamaan 1) dan 2) diperoleh:
a = 86 dan b = 8.
Sehingga:
U30  a  29b  86  (29)(8)  318
Jawaban: B
34. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan
seterusnya selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan sebelumnya. Jumlah daging yang
terjual selama 10 bulan ada ....
A. 1.050 kg
B. 1.200 kg
C. 1.350 kg
D. 1.650 kg
E. 1.750 kg
Alternatif penyelesaian:
Sn adalah jumlahan suku ke-n suatu barisan aritmetika, a adalah suku pertama dan b adalah beda.
Dari soal: a=120 dan b=10. Berlaku:
Sn 
n
 2a   n  1 b 
2
S10 
10
 2.120  9.10   1650 kg
2
Jawaban: D
4
35. Hasil
 ( x
2
 6 x  8)dx  ...
2
A.
38
3
B.
26
3
26
C.
20
3
D.
16
3
E.
4
3
Alternatif penyelesaian:
4
 ( x
2
2
4
1
 6 x  8)dx   x3  3x 2  8 x 
2
3
1
1
4
  (4)3  3.42  8.4  ( (2)3  3.22  8.2) =
3
3
3
Jawaban: E

  sin 3x  cos x dx  ...
36.
0
A.
10
3
B.
8
3
C.
4
3
D.
2
3
E. 
4
3
Penyelesaian

  sin 3x  cos x dx 
0

1
  1
 1 1 2
  1
  cos 3x  sin x     cos 3  sin      cos 0  sin 0  =  =
3
  3
 3 3 3
0  3
Jawaban: D
27
2
37. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y  x , garis y  2 x di
kuadran I diputar 360º terhadap sumbu x adalah ...
A.
20
 satuan volume
15
B.
30
 satuan volume
15
C.
54
 satuan volume
15
D.
64
 satuan volume
15
E.
144
 satuan volume
15
Alternatif penyelesaian:
Untuk menentukan volume benda putar antara dua kurva, ditentukan terlebih dahulu titik potong dua
kurva.
Titik potong antara y1  x 2 dan y2  2 x diperoleh untuk:
y1  y2  x2  2 x  x  x  2   0  x = 0 dan x=2
Sehingga:
2
2 2

2
2
V     ( y1 )   y2   dx     4x  x 4  dx
0

0

2
1
1 
4
 64
4
   x3  x5     (8)  (32)  0    satuan volume
5
5 0
3
 15
3
28
Jawaban: D
38. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm dibuat segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut
adalah ...
A.
128  64 3 cm
B.
128  64 2 cm
C.
128  16 2 cm
D.
128  16 2 cm
E.
128  16 3 cm
Alternatif penyelesaian:
Perhatikan segitiga BIJ pada gambar di samping.
BJ 2  BI 2  IJ 2  2.BI .IJ .cos 45
 82  82  2.8.8.
1
2
2
BJ  128  64 2 cm
Jawaban: B
39. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF . Panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, AC = 2 7 cm, dan CF = 8
cm. Volume prisma tersebut adalah …
A. 96 3 cm3
B. 96 2 cm3
C. 96 cm3
D. 48 3 cm3
E. 48 2 cm3
D
Alternatif penyelesaian:
Volume Prisma= Luas alas × tinggi
F
E
Luas alas prisma = luas segitiga ABC
8
2 7
A
4
B
C
α
6
2 7
A
C
4
B
6
29
30
Menggunakan rumus cosinus sudut pada segitiga, berlaku:
b2  a2  c2  2.a.c.cos 
(2 7)2  62  42  2.6.4.cos 
cos  
1
   60
2
Sehingga diperoleh:
Luas segitiga ABC =
1
1
1
1
.a.c.sin  = .6.4.sin 60  .6.4. 3  6 3
2
2
2
2
Jadi: Volume Prisma= 6 3 × 8 = 48 3 cm3
Jawaban : D
40. Himpunan penyelesaian persamaan cos 2 x  cos x  0,0  x  180 adalah …
A. {45º,120º}
B. {45º,120º}
C. {60º,135º}
D. {60º,120º}
E. {60º,180º}
Alternatif penyelesaian:
cos 2 x  cos x  0
 2cos2 x 1  cos x  0
 2cos2 x  cos x 1  0
 2cos2 x  2cos x  cos x 1  0
 2cos x(cos x  1)  1(cos x  1)  0
 (2cos x 1)(cos x  1)  0
 (2cos x  1)  0 atau (cos x  1)  0 , 0  x  180
 x  60 atau x  180
Jawaban: E
31