Kerapatan Fluks listrik, hukum Gauss, dan divergensi

FLUKS LISTRIK
HUKUM GAUSS DAN
DIVERGENSI
1
Nama
: Candra Mebby Oka
NIM
: 135060301111007
Mata Kuliah
: Elektromagnetika
KERAPATAN
FLUKS LISTRIK

Kira – kira tahun 1387, Direktur Royal Society di London, Michael
Farraday sangat tertatrik pada medan listrik statik dan efek dari
berbagai bahan isolator pada medan tersebut.Persoalan ini telah
mengganggunya 10 tahun yang telah lampau ketika ia melakukan
eksperimen yang terkenal mengenai “elektromotansi induksi (tegangan
elektromotif induksi)”. Ketika ia menyelesaikan eksperimen tersebut,
ia membuat sepasang bola logam (konsentris) yang bola luarnya terdiri
dari dua belahan yang dapat digabungkan dengan erat.Ia juga
mempunyai bahan isolator (bahan dielektrik) yang dapat mengisi
seluruh volum antara kedua bola sepusat tersebut.
2



Faraday menemukan adanya perpindahan muatan dari bola dalam ke bola luar
tanpa memandang jenis dielektriknya, atau disebut fluks listrik.
Eksperimen Farraday juga menunjukkan bahwa jika muatan positif yang terdapat
pada bola dalam semakin banyak maka muatan tersebut akan menginduksi
muatan negatif yang harga mutlaknya semakin besar dan menghasilkan
perbandingan yang lurus antara fluks listrik dengan muatan yang terdapat pada
bola.
Jika fluks listrikdinyatakan dengan ψ dan muatan bola dalam dengan Q, maka
menurut Farraday adalah
Ψ=Q
Ψ = fluks listrik
Q = muatan bola dalam
Catatan : fluks listrik merupakan besaran skalar
3
KERAPATAN FLUKS LISTRIK



Kerapatan fluks listrik D merupakan vektor medan. Arah D pada tiap titik
merupakan arah garis fluks pada tiap titik tersebut, dan besarnya sama
dengan banyaknya garis fluks yang menembus permukaan yang normal
terhadap garis tersebut dibagi dengan luas permukaan tersebut.
Dari gambar tadi terlihat bahwa kerapatan fluks listrik mempunyai arah
radial dan besarnya adalah:
Bila dibandingkan dengan rumus intensitasmedan listrik radial dari sebuah
muatan titik didalam ruang hampa, yaitu :
Maka dalam ruang hampa :
D = ԑ0 . E
4


persamaan diatas tidak terbatas pada medan muatan titik saja. Untuk
distribusi muatan ruang yang umum dalam ruang hampa,
Hubungan ini diturunkan dari muatan titik. Cara yang sama, akan
mendapatkan:
5
HUKUM GAUSS
Hukum gauss menyatakan:
“Fluks listrik yang menembus setiap
permukaan tertutup sama dengan
muatan total yang dilingkungi oleh
permukaan tersebut”
6
DISTRIBUSI MUATAN PADA PERMUKAAN
TERTUTUP



Q Coulomb fluks listrik akan menembus
permukaan tersebut
vector D harus diambil pada permukaan,
dan Ds akan berubah besar dan arahnya
dari titik yang satu ke titik yang lain.
Sebuah unsur penambahan muatan yang
luasnya ∆S hampir merupakan bagian dari
bidang datar.
Gambar diatas menunjukan suatu
kerapatan muatan ρ dalam suatu
permukaan tertutup S
7
Pada setiap titik P, tinjau
unsur pertambahan
permukaan ∆S dan ambil Ds
yang membentuk sudut θ
dengan ∆S. Fluks yang
menembus ∆S merupakan
perkalian antara komponen
normal dari Ds dengan ∆S.
∆Ψ = fluks yang menembus ∆S
= DS, norm . ∆S = DS cosθ ∆S = Ds . ∆S
8
Pada setiap titik P, tinjau unsur pertambahan permukaan ∆S dan ambil Ds yang
membentuk sudut θ dengan ∆S. Fluks yang menembus ∆S merupakan perkalian antara
komponen normal dari Ds dengan ∆S
∆Ψ = fluks yang menembus ∆S
= DS, norm ∆S = DS cosθ ∆S = Ds . ∆S
Fluks total yang menembus permukaan tertutup:
   d  permukaan DS  dS
tertutup

dxdy → Cartesian , ρ dθ dρ → tabung, r2 sinθ dθ dØ →bola
Rumusan matematis hukum Gauss sebagai berikut:
   Ds  dS  Q
S
9

Muatan yang dilingkungi dapat terdiri dari beberapa muatan titik,
dalam hal ini:
Q   Qn
Muatan Garis:
Q

L
dL
Muatan permukaan:
Q    S dS
S
Muatan volume:

vol
v dv
10
HUKUM GAUSS PADA KOORDINAT

kita periksa eksperimen faraday dengan menempatkan muatan titik Q pada
titik asal system koordinat bola dan dengan memilih permukaan tertutupnya
berupa suatu bola dengan jari-jari a. intensitas medan muatan listrik muatan
titk telah diperoleh, yaitu:
E

BOLA
Q
40 r
2
ar
Pada permukaan bola,
Q
Ds 
 ar
2
4 a
11
Unsur differensial luas pada permukaan bola dalam koordinat bola
adalah:
dS  r 2 sin  d d  a 2 sin  d d
atau
dS  a 2 sin  d d ar
12


Integrannya menjadi,
Q
Q
2
D s  dS
a
sin

d

d

a

a

sin  d d
r
r
2
4a
4
mengarah pada integral permukaan tertutup,
  2
 
Q
 0  0 4 sin  d d
 dimana batas integrasinya telah dipilih sehingga integrasi
dilakukan pada seluruh permukaan bola sekali saja,
integrasi akan menghasilkan

2
0
2 Q
Q

( cos  ) 0 d  
d  Q
0
4
2
13
Pemakaian hukum Gauss pada
beberapa distribusi muatan
simetris
Pemakaian Hukum gauss tergantung dari simetri. Dan
jika kita tidak dapat menunjukkan adanya simetri, maka
kita tidak dapat memakai hukum gauss untuk mencari
pemecahan
 Melalui muatan garis serba sama, jelaslah bahwa hanya
ada komponen radial dari D yang ada, atau

D  D a 

dan komponen ini hanya merupakan fungsi dari ρ,
D  f (  )
14
PADA GAMBAR DIPERLIHATKAN SEBUAH TABUNG
LINGKARAN TERTUTUP YANG MEMPUNYAI JARI-JARI P
MEMANJANG DARI Z = 0 KE Z = L
 Dengan
memakai hukum
Gauss,
Q   DS  dS
tab
 DS
 DS

pinggir
L
dS  0
atas
2
 
z 0
0
dS  0
bawah
dS
 d dz  DS 2L
15

diperoleh,
DS  D 
 Jika
Q
2L
dinyatakan dalam
kerapatan muatan ρL, maka
muatan total yang
terlingkung adalah
Q  L  L
Menghasilkan :
L
D 
2 
atau
E 
pL
20 
16
DUA BUAH TABUNG KONDUKTOR SESUMBU, TABUNG
DALAM BERJARI-JARI A, DAN YANG LUAR BERJARI-JARI B,
PANJANGNYA TAK BERHINGGA
misalkan distribusi muatan
pada permukaan luar dari
konduktor dalam adalah ρS.
komponen Dρ hanya
merupakan fungsi dari ρ.
tabung lingkaran panjangnya L
dan berjari-jari ρ, dimana
a<ρ<b, dipilih sebagai
permukaan gauss. Maka,
Q  Ds  2 L
17
Muatan total pada konduktor dalam yg penjangnya L
adalah,
Q
L
z o
2

0
 S a d dz  2 a L S
dan diperoleh,
DS 
a S

DS 
a S ,

(a < ρ < b)
Hasil ini dapat dinyatakan dlm muatan persatuan Panjang.
karena konduktor dlm bermuatan 2πaρs coulomb jika
panjangnya 1 meter, jadi dengan Menuliskan ρL = 2πєps,
kita dapatkan,

D
L
2
a
18

Karena tiap garis fluks listrik yang berawal dari muatan
positif pada tabung dalam harus berakhir pada muatan
negative pada permukaan dalam dari tabung luar, maka
muatan total pada permukaan tersebut haruslah
Qtab.luar  2 a L S tab.dalam
2 bL S tab.luar  2 a L S
tab.dalam
Dan muatan permukaan pada
tabung luar ialah,
 S tab.luar
a
  S
b
tab. dalam
19
JIKA KITA MEMAKAI TABUNG DENGAN JARI-JARI DIMANA Ρ,
Ρ>B , MUATAN TOTAL YANG DILINGKUNGINYA MENJADI NOL,
KARENA ADA MUATAN YANG BESARNYA SAMA TETAPI
TANDANYA BERLAWANAN PADA MASING-MASING TABUNG
KONDUKTOR. JADI,
0  DS 2 L
(ρ > b)
DS  0
(ρ > b)
Hasil yang sama akan didapatkan untuk ρ < a.
Jadi kabel sesumbu atau kapasitor sesumbu tida
mempunyai medan eksternal, dan tak ada medan
pada bagian dalam dari tabung pusat (dalam).
20
Pemakaian hukum gauss pada unsur volume differensial
 Marilah
kita ambil titik P di
gambar. Harga D pada titik P
dapat dinyatakan dalam
komponen kartesian, Do =
Dxo ax + Dyo ay + Dzo az.
Sebagai permukaan
tertutupnya kita pilih persegi
kotak yang pusatnya P dan
panjangD
sisinya
∆x,0∆y dan
 dS 
∆z, dan menurut hukum
Gauss,

21
 Supaya
kita dapat menghitung integral tersebut pada
permukaan tertutup, maka integralnya harus dipecah
menjadi enam integral, yaitu satu integral pada tiap
permukaan,
 D  dS  
s
depan

belakang

kiri

kanan

atas

bawah
 Tinjau
integral yang pertama secara terperinci.
Karena unsur permukaannya sangat kecil, D dapat
dianggap tetap dan,

depan
 Ddepan  S depan
 Ddepan  yza x
 Dx.depanyz
22


Disini kita hanya harus mengaproksimasi harga Dx pada
permukaan depan tersebut. Permukaan dapat berjarak
∆x/2 dari P, jadi
x
Dx.depan  Dxo 
 laju perubahanDx terhadap x 
2
x Dx
 Dxo 
2 x
Rumusan ini dapat diperoleh lebih formal dengan memakai
suku tetapan dan suku yang mengandung turunan
pertama dalam uraian deret Taylor dari Dx disekitar P.
Kita dapatkan sekarang,
x D x 

depan   Dxo  2 x yz
23
 Dbelakang  S belakang  Dbelakang   yza x 
belakang

  Dx.belakang yz
Dx.belakang
x Dx 

  Dxo 

2 x 

x Dx 

belakang    Dxo  2 x  y z
24

Jika kita gabungkan kedua integral tersebut, maka
diperoleh,

depan

belakang
Dan,

kiri


Dx

x y z
x

kanan
Dy

x y z
y
Dengan cara yang sama, didapatkan:

atas

bawah
Dz

xyz
z
25
 Dan
hasilnya dapat digabungkan sehingga kita
dapatkan
 Dx Dy Dz
S D  dS    x   y   z
 Atau
 Dx D y Dz
S D  dS  Q   x  y  z
 Akhirnya

x y z


v

kita mendapatkan rumus sebagai
berikut:
Muatan yang terlingkung dalam volume ∆v:
 Dx Dy Dz 

  volume v


y
z 
 x
26
DIVERGENSI
27

Sekarang kita akan mendapatkan hubungan eksak dari
rumus sebelumnya dengan membuat unsur volume ∆v
menuju nol. Kita tulis persamaannya sebagai berikut :
Dx D y Dz



x
y
z

S
v
Q
v
Atau jika diambil limitnya,
Dx D y Dz



x
y
z

 D  dS 
 D  dS 
Q
v
S
v
Jelas bahwa suku suku terakhir adalah kerapatan muatan
volume ρ, jadi
Dx Dy Dz



x
y
z
 D  dS  
S
v
v
28

Rumus sebelumnya mengandung banyak informasi untuk
dibicarakan sekaligus, kita pisahkan menjadi 2 bagian :
Dx D y Dz



x
y
z


Dan,
S
v
Dx Dy Dz


 v
x
y
z
Persamaan diatas tidak mengandung kerapatan muatan dan cara
yang dipakai pada pasal yang lalu dapat dipakai untuk setiap vektor
A untuk mendapatkan A  dS untuk permukaan tertutup yang kecil,
yang menghasilkan 
Dx D y Dz



x
y
z

 D  dS
 A  dS
S
v
Dengan A dapat menyatakan kecepatan,gradient temperature, gaya
29
atau medan vektor yang lain
Operasi di atas dinamakan
Divergensi.
Divergensi A
Didefinisikan sebagai
Divergensi A = div A =
 A  dS
S
v
Divergensi vektor kecepatan fluks A ialah
banyaknya aliran fluks yang keluar dari
seluruh permukaan tertutup persatuan
volume yang menuju ke nol .
30
Divergensi positif menunjukkan adanya sumber
kuantitas vektor tersebut pada titik yang ditinjau
 Divergensi negatif menunjukkan adanya sink (sungap)

Rumusan divergensi pada setiap koordinat :
 Cartesian:
Dx Dy Dz
Div D 


x
y
z
 Tabung:
 Bola
1 
1 D Dz
D  
Div D 

 
 
z
:
1 
1

1 D
2
sin  D  
Div D  2
r Dr 
r r
r sin   
r sin  


31
Persamaan pertama Maxwell (elektrostatika)
 Karena
dengan hukum Gauss,
D

dS

Q

s
 kemudian
per satuan volume,
 D  dS 
S
v
 Jika
Q
v
diambil volume menuju nol,
 D  dS 
S
v
Q
v
32
 Ruas
kiri adalah div D dan ruas kanan
adalah kerapatan muatan volume,
Div D   v
pernyataan tersebut merupakan
persamaan pertama Maxwell jika
persamaan tersebut dipakai untuk
elektrostatika dan medan magnet
tunak, dan persamaan tersebut
menyatakan bahwa fluks listrik
persatuan volume yang meninggalkan
volume yang menuju nol sama dengan
kerapatan muatan volume di tempat
tersebut.
33
Operasi divergensi dengan
menggunakan rumus
sebelumnya menghasilkan
skalar.
Operator del
adalah operator vektor
Dy
Dx
Dz

ax 
ay 
az
x
y
z
34

Tinjaulah
. D , yang menyatakan,
 



 D   a x 
a y  a z   Dx a x  Dy a y  Dz a z 
y
z 
 x

kita tinjau perkalian titik antara vektor satuan; dengan
membuang 6 suku nol, kita dapatkan
D 


Dx    ( Dy )   ( Dz )
x
y
z
Kemudian tanda kurangnya kita buang dan kita lakukan
operasi diferensial
Dx Dy Dz
D 


x
y
z
35

hasilnya dikenal sebagai divergensi D, sehingga diperoleh :
Dev D=

Dx Dy Dz
D 


x
y
z
operator vektor
titik hanya dipakai dalam kaitannya
dengan divergensi, tetapi akan kita temui dalam beberapa
operasi yang sangat penting. Salah satunya adalah u dengan
u suatu scalar yang menghasilkan
 



 u
u
u 


u   ax 
a y  a z  u   a x 
ay 
a z 
y
z 
y
z 
 x
 x
36
 Operator
tidak mempunyai bentuk khusus
dalam sistem koordinat yang lain. Jika kita
meninjau D dalam koordinat tabung, maka .
D tetap menyatakan divergensi D, atau
1 
1 D Dz
D 
( D ) 

 
 
z
 Tinjaulah rumusan hukum Gauss berikut,
 D  dS  Q
s
 dan
mengambil,
Q   v dv
vol
37
 Kemudian
mengganti ρ
melalui persamaannya,
 D  v
 kita
dapatkan,
 D  dS  Q  
S
vol
 v dv  
vol
 D dv
 Rumusan
pertama dan
terakhir menyatakan
teorema divergensi
 D  dS  
S
vol
 D dv
38
YANG DAPAT DINYATAKAN SEBAGAI
BERIKUT
“Integral komponen normal dari setiap medan
vektor pada seluruh permukaan
tertutup dengan integral divergensi vektor
tersebut dalam seluruh volume yang terlingkung
oleh permukaan tertutup tersebut”
39