Kegiatan Belajar 2 Identitas Trigonometri

Kegiatan Belajar 2
A. Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan siswa dapat
a. Menggunakan identitas trigonometri dalam penyelesaian
b. Membuktikan identitas trigonometri sederhana dengan menggunakan rumus hubungan
antara perbandingan trigonometri
c. Memahami hubungan antara koordinat kutub dan koordinat cartesius suatu titik.
B. Uraian Materi 2
Identitas Trigonometri
a). Identitas Pythagoras
• P (x, y)
r
y
θ
x
Pada gambar di atas berlaku :
x2 + y2 = r 2
y
⇒ y = r sin θ
r
x
cos θ = ⇒ x = cos θ
r
sin θ =
Sehingga titik P (x, y) kita bisa menuliskan menjadi P (r cos θ, r sin θ) dengan menggunkan
teorema Pythagoras maka akan didapat
x2 + y2 = r 2
⇒ (r cos θ ) + (r sin θ ) = r 2
2
2
⇒ r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ = r 2
(
)
⇒ r 2 cos 2 θ + sin 2 θ = r 2
r2
r2
⇒ cos 2 θ + sin 2 θ = 1
⇒ cos 2 θ + sin 2 θ =
Hubungan dari persamaan-persamaan di atas disebut identitas trigonometri dan sering
disebut dengan identitas Pythagoras.
Dari identitas di atas dapat diturunkan menjadi beberapa identitas, diantaranya.
a ). 1 + tan 2 θ = sec 2 θ
b). 1 + cot 2 θ = cos ec 2θ
b). Identitas Kebalikan
1
1
atau cos ecθ =
cos ecθ
sin
1
1
2. cos θ =
atau secθ =
secθ
cos θ
1
1
3. tan θ =
atau cot θ =
cot θ
tan θ
1. sin θ =
c). Identitas Perbandingan (Kuesien)
sin θ
cosθ
cosθ
2. cot θ =
sin θ
1. tan θ =
Contoh :
1. Jika diketahui tan A = −
5
dan 90o < A < 180o tentukan
12
a. sec A
b. sin A
Penyelesaian
a. Dengan menggunakan identitas Pythagoras maka
1 + tan 2 A = Sec 2 A
2
 5
1 +  −  = sec 2 A
 12 
25
sec 2 A = 1 +
144
144
+ 25
sec 2 A =
144
169
sec A =
144
13
sec A =
12
Karena 90o < A < 180o terletak dikuadran II maka sec A = −
b. Dengan menggunakan identitas kebalikan
1
sec A
1
cos A =
13
−
12
12
cos A = −
13
cos A =
Selanjutnya diselesaikan dengan identitas perbandingan
sin A
cos A
sin A = tan A × cos A
tan A =
 12  5 
sin A =  −  − 
 13  12 
5
sin A =
13
2. Buktikan bahwa sec A = tan A +
cos A
1 + sin A
Penyelesaian
Kita ubah ruas kanan
sec A =
sin A
cos A
+
cos A 1 + sin A
sec A =
sin A(1 + sin A) + cos A. cos A
cos A(1 + sin A)
sin A + sin 2 A + cos 2 A
cos A(1 + sin A)
sin A + 1
sec A =
cos A(1 + sin A)
1
sec A =
cos A
sec A = sec A ⇒ (terbukti )
sec A =
Jadi, terbukti sec A = tan A +
cos A
1 + sin A
13
12
3. Sederhanakan bentuk dari
a.
cos θ tan 2 θ
sin θ
b. 3 – 3 cos2 θ
Penyelesaian
 sin θ 
cos θ .

2
cos θ tan θ
cos θ 

a.
=
sin θ
sin θ
2
sin 2 θ
= cos θ
sin θ
sin 2 θ
1
=
×
cos θ sin θ
sin θ
=
cos θ
= tan θ
b. 3 – 3 cos2 θ
= 3 – 3 (1 – sin2 θ)
= 3 – 3 + 3sin2 θ
= 3sin2 θ
Koordinat kutub
•
• P (3, 3)
•
3 2
•
•
•
•
•
θ
•
•
•
•
•
•
•
Dengan menggunakan perbandingan trigonometri maka nilai θ pada gambar di atas adalah
45o. titik P (3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, yakni P ( 3 2 , 45o) .
Titik P(3, 3) disebut koordinat cartesius sedangkang P ( 3 2 , 45o) disebut sebagai koordinat
kutub.
Secara umum koordinat cartesius dapat ditulis P(x, y) dan koordinat kutub P(r, θ)
Kita telah mengetahui bahwa
y
r
x
cos θ =
r
sin θ =
maka kita temukan hubungan antara koordinat cartesius dan koordinat kutub
y = r. sin θ
x = r. cos θ
r=
r=
y2 + x2
y
sin θ
atau r =
x
cos θ
Contoh
1. Tentukan koordinat cartesius titik R (4, 150o)
Penyelesaian
r=4
θ = 150o
•
x = r cos θ
= 4 cos150
R(4, 150o)
o
•
•
•
 1

= 4 −
3
 2 
150o
•
•
•
•
= −2 3
•
•
•
y = r sin θ
= 4 sin 150 o
1
= 4 
2
=2
Jadi koordinat titik R ( − 2 3 , 2)
2. Tentukan koordinat kutub dari Q(6, 3)
Penyelesaian
r = 6 2 + 32
•
• P (6, 3)
= 36 + 9
= 45
•
=3 5
•
y
sin θ =
r
sin θ =
•
3
3 5
1
sin θ =
5
5
sin θ = 0,4472
•
θ
•
•
•
•
θ ≈ 27 o
(
Jadi, koordinat kutub dari P(6,3) adalah P 3 5 , 27 0
)
•
•
•
•
C.
Rangkuman 2
1. Jenis-jenis identitas trigonometri
a. Identitas Pythagoras
cos 2 θ + sin 2 θ = 1
1 + tan 2 θ = sec 2 θ
1 + cot 2 θ = cos ec 2θ
b. Identitas Perbandingan
tan θ =
sin θ
cos θ
cot θ =
sin θ
cos θ
c. Identitas kebalikan
sin θ =
1
cos ecθ
cos θ =
1
secθ
atau secθ =
1
cos θ
tan θ =
1
cot θ
atau cot θ =
1
tan θ
atau cos ecθ =
1
sin
2. Hubungan koordinat cartesius dan koordinat kutub
sin θ =
y
r
cos θ =
x
r
y = r. sin θ
x = r. cos θ
r=
r=
y2 + x2
y
sin θ
atau
atau r =
x
cos θ
D. Lembar Kerja 2
1. Sederhanakanlah
a. cos x.tan x
b. sin2 x. cot2 x + cos2x. tan2 x
c. sec x. tan x. cos x
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
2. Buktikan bahwa
a. (sin x – cosx)2 = 1 – 2 sin x cos x
b. (sin θ + cos θ)2 + (sin θ – cos θ)2 = 2
c.
1
cos x
−
= tan x
cos x sin x sin x
d.
sin 3 A + cos 3 A
= 1 − sin A cos A
sin A + cos A
e.
1 − cos θ
= cos ecθ − cot θ
1 + cos θ
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
3.
Nyatakan bentuk akar berikut ini ke dalam bentuk fungsi trigonometri sederhana
dengan mensubtitusikan x yang diberikan.
a.
9 − x2 ;
untuk x = 6 sin α
b. 16 − x 2 ; untuk x = 4 cos β
c.
4 + x 2 ; untuk x = 2 tan θ
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
4. Tentukan koordinat cartesius dari titik
a. R (6, 30o)
c. P (5, 240o)
b. Q (2, 120o)
d. T (8, 300o)
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
5. Tentukan koordinat kutub dari
a. R (5, 13)
c. P ( − 2 15 ,−2 10 )
b. Q (- 24, 7)
d. T (- 5, - 5)
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
6. Sebuah perahu berlayar dari pelabuhan dengan arah 037o. kecepatan rata-rata perahu
itu adalah 12 KM/jam, setelah 5 jam hitunglah:
a. Jarak dari pelabuhan
b. jarak dari timur pelabuhan
c. jarak dari utara pelabuhan
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
7. Gambar di samping adalah bandul B yang diayun ke
Atap
C
o
kanan sebesar 30 . jika panjang tali 30 cm, hitunglah
a. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi tali (BA)
30o
b. Bandul pada posisi tersebut terhadap posisi atap (BC)
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Tali
A
B
…………………………………………………………
…………………………………………………………
Bandul
…………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
E. Tes Formatif 2
1. Jika 0 ≤ θ ≤ π, maka cos θ identik dengan …
a.
sec 2 θ − 1
sec 2 θ
b.
tan θ
secθ
c.
cot θ
cos ecθ
d. 1 − cos 2 θ
e.
2. Betnuk sederhana dari
sin 4 x − cos 4 x
= ....
sin x − cos x
a. sin3x – cos2x
3
secθ . cos θ
cos ecθ
d. sin x – cos x
3
b. sin x + cos x
e. sin x + cos x
c. sin2x – cos2x
3. Bentuk yang senilai dengan 5.tan2 x + 3 adalah….
a.
5
−2
sin 2 x
d.
3
+2
sin 2 x
b.
5
−2
cos 2 x
e.
2
+5
cos 2 x
c.
5
+3
sin 2 x
4. Bentuk yang senilai dengan bentuk
1 − cos x
adalah…
sin x
a.
− sin x
1 + cos x
d.
cos x
1 + cos x
b.
− cos x
1 − sin x
e.
sin x
1 + cos x
c.
sin x
1 − cos x
(
)
5. Bentuk 1 − sin 2 A tan 2 A dapat disederhanakan menjadi…
a. 2 sin2 A – 1
d. 1 – sin2A
b. sin2 a + cos2 A
e. cos2 A + 2
c. 1 – cos2 A
6. Nilai dari
2. tan x
adalah…
1 + tan 2 x
a. 2. sin x. cos x
d. 2 sin x
b. sin x cos x
e. 2 cos x
c. 1 – 2 sin x
7. Bentuk sederhana dari
1 + sec x
adalah…
tan x + sin x
a. sec x
d. cosec x
b. sin x
e. cos x
c. tan x
8. Diketahui p − q = cos x dan
2 pq = sin x maka p2+ q2 =…..
a. sin x + cos x
d. sin2 x + sin2 x
b. sin2 x + cos2 x
e. cos2 x – sin2 x
c. sin2 x – cos2 x
9. Untuk setiap sudut β, maka bentuk (1 – sin2 β)(1 + tan2 β) dapat disederhanakan
menjadi…
a. 1 + sin2 β
d. 1
b. sin2 β – cos2 β
e. sin2 β
c. 1 + cos2 β
10. Bentuk sederhana dari tan A +
cos A
adalah…
1 + sin A
a. sec A
d. tan A
b. cos A
e. cosec A
c. cot A
11. Koordinat kutub (8, 30o) jika dinyatakan dalam koordinat cartesius adalah….
(
b. (4
c. (4
)
3 , 4)
2 , 4)
a. 4, 4 3
(
)
e. (4, 4 2 )
d. 4 2 , 4 3
(
)
12. Koordinat kutub dari titik − 1, 3 adalah..
a. (2, 120o)
d. (2, 330o)
b. (2, 240o)
e. (2, 360o)
c. (2, 300o)
13. Koordinat cartesius dari titik P (1, y) dan koordinat kutubnya adalah P ( 2 , βo),
jika titik P terletak di kuadran I. maka nilai y dan β berturut-turut adalah…
a. 3 dan 30o
d. 2 dan 225o
b. 1 dan 45o
e. 1 dan 315o
c. 1 dan 135o
14. Koordinat titik P adalah (3, 30o). posisi P pada koordinat cartesius adalah..
3 3 
a.  ,
3
2 2 
 3 
d.  3,
3
 2 
3
3
b. 
3, 
2
2
3

e. 
3 ,3 
2

 3
c.  3, 
 2
1
1

15. Koordinat titik Q adalah 
2,
2  . Posisi Q dalam koordinat kutub adalah..
2
2


 π
a. 1, 
 3
1 π 
d.  , 
2 4
 π
b. 1, 
 6
 π
e. 1, 
 3
1 π 
c.  , 
2 3