kinematika gerak dengan analisis vektor

FIS 2
materi78.co.nr
KINEMATIKA GERAK DENGAN ANALISIS VEKTOR
A. PENDAHULUAN
Dalam vektor terdapat dua komponen
utama, yaitu komponen horizontal (sumbu x)
dan komponen vertikal (sumbu y).
Grafik perpindahan dalam berbagai macam
gerak terhadap kecepatan dan waktu:
v
Kedua komponen vektor tersebut memiliki
resultan yang memiliki arah yang merupakan
akar dari jumlah kuadrat komponen x dan y.
∆r
Cara menentukan komponen-komponen
vektor:
t
v konstan
y
v
v
R
∆r
x
θ
t
v dipercepat
∆r
t
v diperlambat
C. KECEPATAN PARTIKEL
x = R cos θ
R = √x2 +y2
B.
y = R sin θ
tan θ =
Kecepatan rata-rata (v) adalah hasil bagi
perpindahan dengan waktu tempuhnya.
y
x
v=
POSISI DAN PERPINDAHAN PARTIKEL
Posisi (r) merupakan kedudukan benda
terhadap titik acuan.
Posisi dapat dinyatakan dengan vektorvektor satuan, pada sumbu x ditulis i, dan
sumbu y ditulis j.
r=xi+yj
∆r
v = √vx 2 +vy 2
v = vx i + vy j
∆t
dengan arah kecepatan:
tanθ =
vy
vx
Kecepatan sesaat adalah kecepatan ratarata untuk ∆t mendekati nol.
r = √x2 +y2
v = lim v̅
∆t→0
Perpindahan (∆r) adalah perubahan posisi
benda dalam waktu tertentu.
Kecepatan sesaat dengan pendekatan grafik:
Perpindahan dapat dirumuskan:
Contoh:
∆r = r2 – r1
v
∆r = ∆x i + ∆y j
∆r = √∆x2 +∆y2
dengan arah perpindahan:
tanθ =
5
A
B
∆y
∆x
O
2
KINEMATIKA GERAK (II)
C
t
10
6
1
FIS 2
materi78.co.nr
Percepatan sesaat merupakan turunan
pertama fungsi kecepatan dan turunan
kedua fungsi posisi.
Untuk 0 ≤ t ≤ 2 (garis OA):
∆x
xA -x0
v=
=
∆t
tA -t0
Untuk 2 ≤ t ≤ 6 (garis AB):
∆x
xB -xA
v=
=
∆t
tB -tA
a = r” =
Untuk 6 ≤ t ≤ 10 (garis BC):
∆x
xC -xB
v=
=
∆t
tC -tB
dt
turunan
r’ = 2.4.r
+ 1.5.r
(1-1)
a = 4 m/s2
Kecepatan dapat ditentukan menggunakan
integral dari fungsi percepatan.
a=
+ 0.1
x
dv
x0
x
dx
x0
=
x – x0 =
vy =
dt
t
v .dt
0 x
t
v .dt
0 x
y
dy
y0
y – y0 =
t
v .dt
0 x
x = x0 +
=
t
v .dt
0 y
lalu dapat dicari resultannya, atau:
r = r0 +
D.
t
v.dt
0
PERCEPATAN PARTIKEL
Percepatan rata-rata (a) adalah perubahan
kecepatan dalam waktu tertentu.
a=
∆v
a = ax i + ay j
∆t
a = √ax 2 +ay 2
dengan arah percepatan:
tanθ =
E.
Percepatan sesaat adalah kecepatan ratarata untuk ∆t mendekati nol.
t
t
a.dt
0
GERAK LURUS DAN GERAK MELINGKAR
Gerak lurus adalah gerak yang dipengaruhi
oleh kecepatan linear, sedangkan gerak
melingkar dipengaruhi oleh kecepatan
sudut.
Gerak lurus berubah beraturan (GLBB)
adalah gerak yang dipengaruhi oleh
kecepatan linear dan percepatan linear
konstan, sedangkan gerak melingkar
berubah beraturan (GMBB) dipengaruhi
oleh kecepatan sudut dan percepatan sudut
konstan.
Hubungan gerak lurus (translasi/linear)
dengan gerak melingkar (rotasi):
Besaran
Perpindahan
ay
ax
t
= 0 a.dt
lalu dapat dicari resultannya.
dt
y = y0 +
dt
v = v0 +
dy
t
v .dt
0 y
t
v .dt
0 y
dv
v – v0 = 0 a.dt
Posisi
partikel
dapat
ditentukan
menggunakan
integral
dari
fungsi
kecepatan.
dx
dan
r’’ = 1.4(1-1) + 0.3
v = 8r + 5 m/s
vx =
dt
v = 4r + 3 m/s
Contoh: Tentukan fungsi kecepatan sesaat dari
fungsi r = 4r2 + 5r + 1!
(2-1)
Turunan sederhana:
r = xn
r” = n(n-1).xn-2
dr'
r’ = 2.2.r(2-1) + 1.3.r(1-1) + 0.1
Turunan sederhana:
r = xn
r’ = n.xn-1
dr
dt
=
Contoh: Tentukan fungsi kecepatan
percepatan dari fungsi r = 2r2 + 3r - 5!
Kecepatan sesaat merupakan
pertama fungsi posisi.
v = r’ =
dv
Kecepatan
Percepatan
Linear
Rotasi
r
θ
(m)
(rad)
v
ω
(m/s)
(rad/s)
a
α
2
(m/s )
(rad/s2)
Hub.
r = θ.R
v = ω.R
a = α.R
a = lim a̅
∆t→0
KINEMATIKA GERAK (II)
2
FIS 2
materi78.co.nr
Hubungan GLBB dengan GMBB:
GLBB
dapat dirumuskan:
GMBB
v = v0 + a.t
ω = ω0 + a.t
s = v0.t + 1/2a.t2
θ = ω0.t + ½α.t2
vt2 – v02 = 2as
ωt2 – ω02 = 2αθ
ω=
∆𝛉
ω=
∆t
v=
a=
ω = 2πf
T
at
at
Hubungan GLBB dengan GMBB dengan
analisis vektor:
GLBB
2π
as
a
a
as
GMBB
dr
ω=
dt
dv
α=
dt
dθ
dt
dω
Percepatan tangensial/linear pada GMBB:
dt
a. Arahnya searah dengan garis singgung
lingkaran.
r = r0 +
t
r.dt
0
θ = θ0 +
t
θ.dt
0
v = v0 +
t
a.dt
0
ω = ω0 +
t
α.dt
0
Gerak melingkar
dipengaruhi oleh:
berubah
beraturan
b. Arahnya sejajar dengan kecepatan linear.
c. Arahnya tegak lurus dengan percepatan
sentripetal.
d. Mengubah besar kecepatan total benda.
dapat dirumuskan:
a. Kecepatan linear
b. Kecepatan angular/sudut
at = α.r
at =
c. Percepatan tangensial/linear
dv
dt
Percepatan sentripetal pada GMBB:
d. Percepatan sentripetal
a. Arahnya menuju pusat lingkaran.
v
v
ω
θ
r
b. Arahnya tegak lurus dengan percepatan
tangensial.
c. Mengubah arah kecepatan total benda
(menuju pusat).
dapat dirumuskan:
as =
Kecepatan linear pada GMBB arahnya
menuju arah gerak benda (lurus) yaitu
menyinggung lintasan gerakan, dimana
lintasannya berupa busur/keliling lingkaran.
dapat dirumuskan:
v=
∆s
∆t
v=
2πr
T
v = 2πrf
r = jari-jari lingkaran (m)
T = periode (s)
f = frekuensi (1/s)
Kecepatan angular/sudut pada GMBB
arahnya menuju arah putaran benda
(melingkar) yaitu berupa perubahan besar
sudut busur lingkaran.
v2
as = ω2.r
r
menghasilkan gaya sentripetal:
Fs =
mv2
r
Fs = m.ω2.r
Percepatan total adalah perpaduan antara
percepatan tangensial dan percepatan
sentripetal, dapat dirumuskan:
a = √at 2 +as 2
dengan arah percepatan total:
tanθ =
at
as
KINEMATIKA GERAK (II)
3
FIS 2
materi78.co.nr
Beberapa contoh gerak melingkar:
Gerak melingkar vertikal dengan tali
Gerak melingkar vertikal di luar bidang
lingkaran
N
C
N
T
W
W
T
T
W.sinθ
B
θ
W
D
Wcosθ W
W
θ
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
T
N - Wsinθ = -Fs
A
W
Kecepatan minimum agar benda tidak
meninggalkan lintasan:
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
T ± Wcosθ = Fs
Kecepatan minimum yang dibutuhkan agar
benda dapat mencapai titik B dari A adalah:
Vmaks = √g.r
Ayunan konis
θ
vmin = √2.g.r
L
Kecepatan minimum yang dibutuhkan agar
benda berputar satu lingkaran penuh:
Lcosθ
T
Tcosθ
vmin = √5.g.r
Fs = Tsinθ
Gerak melingkar vertikal di dalam bidang
lingkaran
C
N
W= Tcosθ
N
B
θ
N
Wcosθ
W
W
A
T=√
Fs = Tsinθ
L cosθ
g
Kecepatan maksimum agar tali tidak putus:
Vmaks = √g.r. tan θ
W
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
N ± Wcosθ = Fs
Kecepatan minimum pada C agar benda
tidak meninggalkan lintasan:
Vmin = √g.r
W
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
W
D N
r = Lsinθ
Gerak melingkar horizontal dengan tali
Fs = T
r
Gaya sentripetal pada gerak ini berupa
tegangan tali yang menahan benda agar
tetap berada pada lintasannya.
KINEMATIKA GERAK (II)
4
FIS 2
materi78.co.nr
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
Fs = T
T=
mv2
r
Kecepatan maksimum agar tali tidak putus:
Vmaks = √
Tmaks .r
m
Gerak melingkar horizontal tanpa tali
Fs = f s
r
Gaya sentripetal pada gerak ini berupa
gaya gesek statis yang menahan benda agar
tidak tergelincir sewaktu berputar.
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
mv2
Fs = fs
r
= μs.N
Kecepatan maksimum agar benda tidak
meninggalkan lintasan:
Vmaks = √μs .g.r
Gerak melingkar pada bidang miring atau
velodrom
Ncosθ
N
Fs = Nsinθ
θ
W
Persamaan umum yang dapat dibentuk:
N=
mg
cos θ
Fs = mg tanθ
Kecepatan maksimum agar benda tidak
meninggalkan lintasan dapat dirumuskan:
Vmaks = √g.r. tan θ
Vmaks = √μs .g.r
KINEMATIKA GERAK (II)
5