DIFERENSIAL (fungsi sederhana)

Diferensial
fungsi
sederhana
Kaidah-kaidah diferensiasi
1.
2.
Diferensiasi konstanta
Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka dy/dx = 0
contoh : y = 5  dy/dx = 0
Diferensiasi fungsi pangkat
Jika y = xn, dimana n adalah konstanta,
maka dy/dx = nxn-1
contoh : y=x3dy/dx=3x3-1=3x2
3. Diferensiasi perkalian konstanta
dengan fungsi
Jika y = kv, dimana v = h(x),
 dy/dx = k dv/dx
contoh : y = 5x3  dy/dx = 5(3x2) = 15x2
4. Diferensiasi pembagian konstanta
dengan fungsi
jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :
dy
kdv / dx

dx
v2
5 dy
5(3x 2 )
15 x 2
contoh : y  3 ,   3 2   6
x dx
(x )
x
5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan)
fungsi
jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka dy/dx = du/dx + dv/dx
contoh : y = 4x2 + x3  u = 4x2 du/dx = 8x
 v = x3 dv/dx = 3x2
dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2
6. Diferensiasi perkalian fungsi
Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
dy
dv
du
maka 
u v
dx
dx
dx
contoh : y  (4 x 2 )( x 3 )
dy
dv
du
u v
 (4 x 2 )(3x 2 )  ( x 3 )(8 x)  12 x 4  8 x 4  20 x 4
dx
dx
dx
7. Diferensiasi pembagian fungsi
Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)
du
dv
v
u
dy
maka 
 dx 2 dx
dx
v
2
4x
contoh : y  3
x
du
dv
v
u
3
2
2
dy
(
x
)(
8
x
)

(
4
x
)(
3
x
)
dx
dx


2
3 2
dx
v
(x )
8 x 4  12 x 4  4
2



4
x
6
2
x
x
8. Diferensiasi Fungsi komposit
Jika y=f(u) sedangkan u=g(x),dengan
bentuk lain y=f{g(x)}, maka :
dy dy du


dx du dx
contoh : y  (4 x 3  5) 2  misal : u  4 x 3  5  y  u 2
du
2 dy
 12 x ,
 2u
dx
du
dy dy du


 2u (12 x 2 )  2(4 x 3  5)(12 x 2 )  96 x 5  120 x 2
dx du dx
9. Diferensiasi fungsi berpangkat
Jika y=un, dimana u=g(x) dan n adalah konstanta, maka dy/dx
=nun-1 .(du/dx)
Contoh :
du
y  (4 x  5) ,  misal : u  4 x  5 
 12 x 2
dx
dy
du
n 1
 nu 
 2(4 x 3  5)(12 x 2 )  96 x 5  120 x 2
dx
dx
3
2
3
10. Diferensiasi fungsi logaritmik
Jika y = alogx, maka
dy
1

dx x ln a
dy
1
1
contoh : y  log 2, 


dx x ln a 2 ln 5
5
11. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmik
Jika y=alogu, dimana u=g(x),
maka :
a
log e du

dx
u
dx
 x 3
contoh : y  log 

 x2
( x  3)
du ( x  2)  ( x  3)
5
misalkan : u 



( x  2)
dx
( x  2) 2
( x  2) 2
dy

a
log e du

dx
u
dx
log e
5
5 log e
5 log e




 x  3  ( x  2) 2 ( x  3)( x  2) ( x 2  x  6)


x

2


dy

12. Diferensiasi fungsi komposit-logaritmikberpangkat
Jika y = (alogu)n, dimana u = g(x) dan n adalah
konstanta, maka :
dy dy a log e du



dx du
u
dx
contoh : y  (log 5 x 2 ) 3
du
2
misalkan u  5 x 
 10 x
dx
dy
2 2  log e 
 3(log 5 x )  2 (10 x)
dx
 5x 
30 x(log 5 x 2 ) 2 log e 6
2 2


(log
5
x
) log e
2
5x
x
Jika y =fungsi
ln x, maka
dy/dx = 1/x
13. Diferensiasi
logaritmik-Napier
Contoh : y = ln 5, dy/dx = 1/x = 1/5
14. Diferensiasi fungsi Komposit-Logaritmik-Napier
Jika y = ln u, dimana u = g(x), maka :
dy 1 du
 
dx u dx
 x 3
contoh : y  ln 

 x2
( x  3)
du
5
misalkan : u 


( x  2)
dx ( x  2) 2
dy 1 du ( x  2)
5
5
 


 2
2
dx u dx ( x  3) ( x  2)
( x  x  6)
15. Diferensiasi fungsi KompositLogaritmik-Napier-berpangkat
Jika y = (ln u)n, dimana u = g(x) dan n : konstanta
Maka :
dy dy 1 du

 
dx du u dx
contoh : y  (ln 5 x 2 )3
du
misalkan u  5 x 
 10 x
dx
dy
6
2 2 1 
 3(ln 5 x )  2 (10 x)  (ln 5 x 2 ) 2
dx
x
 5x 
2
16. Diferensiasi fungsi eksponensial
Jika y = ax, dimana a : konstanta, maka :dy/dx = ax ln a
Contoh : y = 5x,
dy
x
x
 a ln a  5 ln 5
dx
dy
x
Dalam hal y  e , maka
 e juga,
dx
sebab ln e  1
x
Jika y = au dimana u = g(x), maka :
17. Diferensasi fungsi komposit eksponensial
dy
du
 a u ln a
dx
dx
Contoh : y  9
3 x2 4
du
misalkan u  3x  4 
 6x
dx
2
dy
du
u
3 x2 4
3 x2 4
 a ln a
9
(ln 9)(6 x)  (6 x)9
ln 9
dx
dx
dy
du
Kasus Khusus : dalam hal y  e u , maka
 eu
dx
dx
18. Diferensiasi fungsi kompleks
Jika y = uv, dimana u =g(x) dan v =h(x)
Maka :
dy
du
dv
v 1
v
 vu 
 u  ln u 
dx
dx
dx
contoh : y  4 x , misalkan : u  4 x  du / dx  4
x3
v  x 3  dv / dx  3x 2
dy
du
dv
v 1
v
 vu 
 u  ln u 
dx
dx
dx
 ( x )4 x
3
 16 x
 4x
x 3 1
x3  2
x 32
(4)  4 x ln 4 x(3x 2 )
 12 x
x3
x3  2
ln 4 x
(4  3 ln 4 x)
19. Diferensiasi fungsi balikan
Jika y = f(x) dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang saling
berbalikan (inverse functions)
Maka :
dy
1

dx dy / dx
contoh :
x  5 y  0,5 y
dy
dy
1
1
3
 5 2y 


3
dx
dx dy / dx (5  2 y )
4
20. Diferensiasi Implisit
Jika f (x, y)=0 merupakan fungsi implisit sejati (tidak
mungkin dieksplisitkan), dy/dx dapat diperoleh
dengan mendiferensiasikan suku demi suku, dengan
menganggap y sebagai fungsi dari x
contoh :
4 xy 2  x 2  2 y  0, tentukan
dy
dy
2
8 xy  4 y  2 x  2  0
dx
dx
dy
8 xy  2  2 x  4 y 2
dx
dy 2 x  4 y 2 x  2 y 2


dx 8 xy  2
4 xy  1
dy
dx
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi Trigonometri
Sama halnya turunan fungsi aljabar, turunan
fungsi trigonometri dapat ditentukan dengan
mudah dengan menggunakan definisi dan rumus
turunan fungsi. Berikut adalah beberapa definisi
dan rumus turunan fungsi trigonometri:
1. Jika f ( x)  sin x, maka f ' ( x)  cos x
2. Jika f ( x)  cos x, maka f ' ( x)   sin x
3. Jika f ( x)  tan x, maka f ' ( x)  sec2 x
4. Jika f ( x)  cot x, maka f ' ( x)   csc2 x
5. Jika f ( x)  sec x, maka f ' ( x)  sec x. tan x
6. Jika f ( x)  csc x, maka f ' ( x)   csc x. cot x
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi Trigonometri
Contoh 1: Buktikan bahwa turunan dari fungsi f(x)=sin x
adalah f’(x)=cos x !
Jawab: f ( x)  sin x
f ( x  h)  sin( x  h)
f ( x  h)  f ( x)
h0
h
sin( x  h)  sin x
f ' ( x)  lim
h0
h
1
2 cos x. sin( h)
2
f ' ( x)  lim
h 0
h
 f ' ( x)  lim
f ' ( x )  2 cos x. lim
1
h)
2
h
sin(
h 0
1
f ' ( x)  2 cos x.  cos x
2
(terbukti)
Turunan Fungsi
Turunan Fungsi Trigonometri
Contoh 2: Tentukan turunan dari fungsi f ( x)  x 2 . sin x !
Jawab: Misal : u  x 2  u'  2 x
v  sin x  v'  cos x
 f ' ( x)  u ' v  uv'
f ' ( x)  2 x. sin x  x 2 . cos x
Catatan: f ( x)  sin n (ax  b)

f ' ( x)  an. sin n1 (ax  b). cos(ax  b)
Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan
dari Komposisi Fungsi
Jika u = f(x), v = f(u), y = f(v), dimana u, v, dan y
terdiferensialkan, maka berlaku:
dy dy dv du



dx dv du dx
Contoh:
a
dy
, jika y  (2 x 2  3) 4
dx
du
Misal : u  2 x 2  3 
 4x
dx
dy
y  u4 
 4u 3  4(2 x 2  3)3
du
dy dy du

 .
dx du dx
dy
 4(2 x 2  3)3 .4 x  16 x.(2 x 2  3)3
dx
Tentukan
Aturan Rantai Untuk Mencari Turunan
dari Komposisi Fungsi
b
dy
, jika y  sin 3 ( x 2   )
dx
du
Misal : u  x 2   
 2x
dx
dv
v  sin u 
 cosu
du
dy
y  v3 
 3v 2
du
dy dy dv du

 . .
dx dv du dx
dy
 3v 2 . cosu.2 x
dx
dy
 6 x. sin 2 u. cosu
dx
dy
 6 x. sin 2 ( x 2   ). cos(x 2   )
dx
Tentukan