Selang Kepercayaan untuk mean

Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Selang Kepercayaan untuk mean
bagian kedua: Penaksiran titik
Andi Kresna Jaya
[email protected]
Jurusan Matematika
August 2, 2014
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Outline
1
Review 1
2
Selang kepercayaan 1
3
Selang kepercayaan 2
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Outline
1
Review 1
2
Selang kepercayaan 1
3
Selang kepercayaan 2
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Outline
1
Review 1
2
Selang kepercayaan 1
3
Selang kepercayaan 2
Back
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Sasaran dan Kompetensi
Sasaran pembelajaran: Mampu memahami selang
kepercayaan untuk mean
1
2
Kemampuan memahami konsep penaksiran parameter dan
selang kepercayaan untuk parameter
Ketepatan dalam menentukan selang kepercayaan untuk mean
Metode: Kuliah dan Diskusi
Text book: Hogg dan Craig, Introduction to
Mathematical Statistics; Casella dan Berger,
Statistical Inference
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Opening
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
normal standar
Pada materi yang lalu, telah dipelajari penaksir titik dan
penaksiran titik.
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata bobot tubuh anak
laki-laki yang berusia 10 tahun di kota Makassar. Karena
pertimbangan waktu, dana, dan tenaga, rasanya mustahil
untuk mendapatkan bobot semua anak laki-laki di kota
Makassar, maka diambil sampel 16 anak secara acak dan
diperoleh misalnya bobot rata-rata sampel adalah 30 kg.
Mean sampel yang 30 kg ini yang disebut penaksiran titik
untuk mean populasi.
Penaksiran titik ini sendiri penggunaannya terbatas karena
tidak dapat mengungkapkan ketidakpastian terhadap
penaksirannya. Misalnya, sejauh mana kita yakin/percaya
bahwa mean populasi berbeda 5 kg dari mean sampel yang 30
kg. Tentu saja tidak ada kepastian mengenai hal tersebut.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
normal standar
Pada materi yang lalu, telah dipelajari penaksir titik dan
penaksiran titik.
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata bobot tubuh anak
laki-laki yang berusia 10 tahun di kota Makassar. Karena
pertimbangan waktu, dana, dan tenaga, rasanya mustahil
untuk mendapatkan bobot semua anak laki-laki di kota
Makassar, maka diambil sampel 16 anak secara acak dan
diperoleh misalnya bobot rata-rata sampel adalah 30 kg.
Mean sampel yang 30 kg ini yang disebut penaksiran titik
untuk mean populasi.
Penaksiran titik ini sendiri penggunaannya terbatas karena
tidak dapat mengungkapkan ketidakpastian terhadap
penaksirannya. Misalnya, sejauh mana kita yakin/percaya
bahwa mean populasi berbeda 5 kg dari mean sampel yang 30
kg. Tentu saja tidak ada kepastian mengenai hal tersebut.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
normal standar
Pada materi yang lalu, telah dipelajari penaksir titik dan
penaksiran titik.
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata bobot tubuh anak
laki-laki yang berusia 10 tahun di kota Makassar. Karena
pertimbangan waktu, dana, dan tenaga, rasanya mustahil
untuk mendapatkan bobot semua anak laki-laki di kota
Makassar, maka diambil sampel 16 anak secara acak dan
diperoleh misalnya bobot rata-rata sampel adalah 30 kg.
Mean sampel yang 30 kg ini yang disebut penaksiran titik
untuk mean populasi.
Penaksiran titik ini sendiri penggunaannya terbatas karena
tidak dapat mengungkapkan ketidakpastian terhadap
penaksirannya. Misalnya, sejauh mana kita yakin/percaya
bahwa mean populasi berbeda 5 kg dari mean sampel yang 30
kg. Tentu saja tidak ada kepastian mengenai hal tersebut.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
normal standar
Pada materi yang lalu, telah dipelajari penaksir titik dan
penaksiran titik.
Misalkan kita ingin mengetahui rata-rata bobot tubuh anak
laki-laki yang berusia 10 tahun di kota Makassar. Karena
pertimbangan waktu, dana, dan tenaga, rasanya mustahil
untuk mendapatkan bobot semua anak laki-laki di kota
Makassar, maka diambil sampel 16 anak secara acak dan
diperoleh misalnya bobot rata-rata sampel adalah 30 kg.
Mean sampel yang 30 kg ini yang disebut penaksiran titik
untuk mean populasi.
Penaksiran titik ini sendiri penggunaannya terbatas karena
tidak dapat mengungkapkan ketidakpastian terhadap
penaksirannya. Misalnya, sejauh mana kita yakin/percaya
bahwa mean populasi berbeda 5 kg dari mean sampel yang 30
kg. Tentu saja tidak ada kepastian mengenai hal tersebut.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Untuk memberikan informasi yang lebih meyakinkan, maka
diberikanlah selang kepercayaan (confidence interval). Selang
kepercayaan untuk mean adalah selang yang dikonstruksi
menggunakan prosedur tertentu sehingga kita meyakini bahwa
mean populasi berada dalam selang tersebut untuk waktu
pengambilan sampel yang dilakukan.
Misalkan selang kepercayaan 95% adalah 25, 3 < µ < 35, 7,
berarti kita mempunyai alasan yang bagus untuk mempercayai
mean populasi terletak diantara 25,3 dan 35,7.
Untuk me-konstruksi selang kepercayaan, pertama adalah
melihat terlebih dahulu asumsi karakteristik dari populasi,
mengambil sampel dan menunjukkan bagaimana data sampel
dapat membentuk selang kepercayaan.
Misalkan populasi diasumsikan berdistribusi Normal dengan
mean θ dan variansi σ 2 diketahui. Ambil sampel acak
X1 , X2 , · · · , Xn
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Untuk memberikan informasi yang lebih meyakinkan, maka
diberikanlah selang kepercayaan (confidence interval). Selang
kepercayaan untuk mean adalah selang yang dikonstruksi
menggunakan prosedur tertentu sehingga kita meyakini bahwa
mean populasi berada dalam selang tersebut untuk waktu
pengambilan sampel yang dilakukan.
Misalkan selang kepercayaan 95% adalah 25, 3 < µ < 35, 7,
berarti kita mempunyai alasan yang bagus untuk mempercayai
mean populasi terletak diantara 25,3 dan 35,7.
Untuk me-konstruksi selang kepercayaan, pertama adalah
melihat terlebih dahulu asumsi karakteristik dari populasi,
mengambil sampel dan menunjukkan bagaimana data sampel
dapat membentuk selang kepercayaan.
Misalkan populasi diasumsikan berdistribusi Normal dengan
mean θ dan variansi σ 2 diketahui. Ambil sampel acak
X1 , X2 , · · · , Xn
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Untuk memberikan informasi yang lebih meyakinkan, maka
diberikanlah selang kepercayaan (confidence interval). Selang
kepercayaan untuk mean adalah selang yang dikonstruksi
menggunakan prosedur tertentu sehingga kita meyakini bahwa
mean populasi berada dalam selang tersebut untuk waktu
pengambilan sampel yang dilakukan.
Misalkan selang kepercayaan 95% adalah 25, 3 < µ < 35, 7,
berarti kita mempunyai alasan yang bagus untuk mempercayai
mean populasi terletak diantara 25,3 dan 35,7.
Untuk me-konstruksi selang kepercayaan, pertama adalah
melihat terlebih dahulu asumsi karakteristik dari populasi,
mengambil sampel dan menunjukkan bagaimana data sampel
dapat membentuk selang kepercayaan.
Misalkan populasi diasumsikan berdistribusi Normal dengan
mean θ dan variansi σ 2 diketahui. Ambil sampel acak
X1 , X2 , · · · , Xn
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Untuk memberikan informasi yang lebih meyakinkan, maka
diberikanlah selang kepercayaan (confidence interval). Selang
kepercayaan untuk mean adalah selang yang dikonstruksi
menggunakan prosedur tertentu sehingga kita meyakini bahwa
mean populasi berada dalam selang tersebut untuk waktu
pengambilan sampel yang dilakukan.
Misalkan selang kepercayaan 95% adalah 25, 3 < µ < 35, 7,
berarti kita mempunyai alasan yang bagus untuk mempercayai
mean populasi terletak diantara 25,3 dan 35,7.
Untuk me-konstruksi selang kepercayaan, pertama adalah
melihat terlebih dahulu asumsi karakteristik dari populasi,
mengambil sampel dan menunjukkan bagaimana data sampel
dapat membentuk selang kepercayaan.
Misalkan populasi diasumsikan berdistribusi Normal dengan
mean θ dan variansi σ 2 diketahui. Ambil sampel acak
X1 , X2 , · · · , Xn
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
√
X berdistribusi N(µ, σ 2 /n) dan (X − µ)/(σ/ n) berdistribusi
N(0, 1).
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari distribusi Normal
yang parameter meannya µ tidak diketahui dan variansinya σ 2
diketahui, selang kepercayaan untuk meannya didasarkan pada
distribusi normal baku untuk statistik
√
n(X − µ)
Z=
.
σ
Untuk 0 < α < 1, terdapat nilai zα/2 dari distribusi N(0, 1)
sebagai batas selang kepercayaan 1 − α.
1 − α = P −zα/2 < Z < zα/2
√
n(X − µ)
= P −zα/2 <
< zα/2
σ
σ
σ
= P X − zα/2 √ < µ < X + zα/2 √
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
√
X berdistribusi N(µ, σ 2 /n) dan (X − µ)/(σ/ n) berdistribusi
N(0, 1).
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari distribusi Normal
yang parameter meannya µ tidak diketahui dan variansinya σ 2
diketahui, selang kepercayaan untuk meannya didasarkan pada
distribusi normal baku untuk statistik
√
n(X − µ)
Z=
.
σ
Untuk 0 < α < 1, terdapat nilai zα/2 dari distribusi N(0, 1)
sebagai batas selang kepercayaan 1 − α.
1 − α = P −zα/2 < Z < zα/2
√
n(X − µ)
= P −zα/2 <
< zα/2
σ
σ
σ
= P X − zα/2 √ < µ < X + zα/2 √
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
√
X berdistribusi N(µ, σ 2 /n) dan (X − µ)/(σ/ n) berdistribusi
N(0, 1).
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari distribusi Normal
yang parameter meannya µ tidak diketahui dan variansinya σ 2
diketahui, selang kepercayaan untuk meannya didasarkan pada
distribusi normal baku untuk statistik
√
n(X − µ)
Z=
.
σ
Untuk 0 < α < 1, terdapat nilai zα/2 dari distribusi N(0, 1)
sebagai batas selang kepercayaan 1 − α.
1 − α = P −zα/2 < Z < zα/2
√
n(X − µ)
= P −zα/2 <
< zα/2
σ
σ
σ
= P X − zα/2 √ < µ < X + zα/2 √
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 1
Selang kepercayaan untuk parameter µ dapat didasarkan pada
distribusi Normal baku. Misalkan, diinginkan selang
kepercayaan sebesar 80% untuk µ, maka
X −µ
√ <2
0, 80 = P −2 <
σ/ n
2σ
−2σ
= P √ <X −µ< √
n
n
2σ
2σ
.
= P X−√ <µ<X+√
n
n
Selang kepercayaan 80% untuk µ adalah
2σ
2σ
X−√ <µ<X+√
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 1
Selang kepercayaan untuk parameter µ dapat didasarkan pada
distribusi Normal baku. Misalkan, diinginkan selang
kepercayaan sebesar 80% untuk µ, maka
X −µ
√ <2
0, 80 = P −2 <
σ/ n
2σ
−2σ
= P √ <X −µ< √
n
n
2σ
2σ
.
= P X−√ <µ<X+√
n
n
Selang kepercayaan 80% untuk µ adalah
2σ
2σ
X−√ <µ<X+√
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 2
Jika sampel acak berukuran n = 40 dari distribusi normal
dengan µ tak diketahui, σ 2 = 10 dan mean sampel adalah
x = 7, 164. Tentukan selang kepercayaan 80% untuk mean
distribusi.
0, 80
=
Φ(z) − Φ(−z)
=
2Φ(z) − 1
⇒ Φ(z) = 0.90
Dari distribusi N(0,1) diperoleh z = 1, 282, maka selang
kepercayaan
√
√ !
1, 282 10
1, 282 10
√
√
(a < µ < b) =
7, 164 −
< µ < 7, 164 +
40
40
1, 282
1, 282
=
7, 164 −
< µ < 7, 164 +
2
2
= (6, 523 < µ < 7, 805).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 2
Jika sampel acak berukuran n = 40 dari distribusi normal
dengan µ tak diketahui, σ 2 = 10 dan mean sampel adalah
x = 7, 164. Tentukan selang kepercayaan 80% untuk mean
distribusi.
0, 80
=
Φ(z) − Φ(−z)
=
2Φ(z) − 1
⇒ Φ(z) = 0.90
Dari distribusi N(0,1) diperoleh z = 1, 282, maka selang
kepercayaan
√
√ !
1, 282 10
1, 282 10
√
√
(a < µ < b) =
7, 164 −
< µ < 7, 164 +
40
40
1, 282
1, 282
=
7, 164 −
< µ < 7, 164 +
2
2
= (6, 523 < µ < 7, 805).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 3
Misalkan sampel acak berukuran 25 dari distribusi dengan
variansinya σ 2 = 100. Jika hasil observasi diperoleh mean
sampel x = 67, 53.
√
Misalkan µ adalah mean distribusi, maka (X − µ)/(σ/ n)
akan berdistribusi hampir Normal baku (akan dipelajari pada
pertemuan berikutnya). Sehingga untuk selang kepercayaan
95% untuk parameter µ diperoleh dari
X −µ
√ < 1, 96 = 0.95
P −1, 96 <
σ/ n
atau
√
√ P X − 1, 96σ/ n < µ < X + 1, 96σ/ n
Selang kepercayaan yang menghampiri 95% adalah
(63, 61; 71, 45).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 3
Misalkan sampel acak berukuran 25 dari distribusi dengan
variansinya σ 2 = 100. Jika hasil observasi diperoleh mean
sampel x = 67, 53.
√
Misalkan µ adalah mean distribusi, maka (X − µ)/(σ/ n)
akan berdistribusi hampir Normal baku (akan dipelajari pada
pertemuan berikutnya). Sehingga untuk selang kepercayaan
95% untuk parameter µ diperoleh dari
X −µ
√ < 1, 96 = 0.95
P −1, 96 <
σ/ n
atau
√
√ P X − 1, 96σ/ n < µ < X + 1, 96σ/ n
Selang kepercayaan yang menghampiri 95% adalah
(63, 61; 71, 45).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 3
Misalkan sampel acak berukuran 25 dari distribusi dengan
variansinya σ 2 = 100. Jika hasil observasi diperoleh mean
sampel x = 67, 53.
√
Misalkan µ adalah mean distribusi, maka (X − µ)/(σ/ n)
akan berdistribusi hampir Normal baku (akan dipelajari pada
pertemuan berikutnya). Sehingga untuk selang kepercayaan
95% untuk parameter µ diperoleh dari
X −µ
√ < 1, 96 = 0.95
P −1, 96 <
σ/ n
atau
√
√ P X − 1, 96σ/ n < µ < X + 1, 96σ/ n
Selang kepercayaan yang menghampiri 95% adalah
(63, 61; 71, 45).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
distribusi t derajat kebebasan n-1
Jika distribusi dari data adalah normal tapi parameter µ dan
σ 2 tidak diketahui maka penentuan selang kepercayaan tidak
lagi didasarkan pada distribusi normal standar melainkan pada
distribusi t.
Ketika ukuran sampelnya besar, distribusi t mendekati bentuk
distribusi normal baku. Jika ukuran sampel kecil, distribusi t
yang diperoleh adalah leptokurtic atau memiliki ekor yang
lebih panjang dari distribusi normal standar.
Ukuran untuk melihat seberapa gemuk atau kurus ekor dari
distribusi dibandingkan dengan distribusi normal standar
adalah kurtosis yang dinyatakan
E (X − µ)4
.
σ4
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
distribusi t derajat kebebasan n-1
Jika distribusi dari data adalah normal tapi parameter µ dan
σ 2 tidak diketahui maka penentuan selang kepercayaan tidak
lagi didasarkan pada distribusi normal standar melainkan pada
distribusi t.
Ketika ukuran sampelnya besar, distribusi t mendekati bentuk
distribusi normal baku. Jika ukuran sampel kecil, distribusi t
yang diperoleh adalah leptokurtic atau memiliki ekor yang
lebih panjang dari distribusi normal standar.
Ukuran untuk melihat seberapa gemuk atau kurus ekor dari
distribusi dibandingkan dengan distribusi normal standar
adalah kurtosis yang dinyatakan
E (X − µ)4
.
σ4
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
distribusi t derajat kebebasan n-1
Jika distribusi dari data adalah normal tapi parameter µ dan
σ 2 tidak diketahui maka penentuan selang kepercayaan tidak
lagi didasarkan pada distribusi normal standar melainkan pada
distribusi t.
Ketika ukuran sampelnya besar, distribusi t mendekati bentuk
distribusi normal baku. Jika ukuran sampel kecil, distribusi t
yang diperoleh adalah leptokurtic atau memiliki ekor yang
lebih panjang dari distribusi normal standar.
Ukuran untuk melihat seberapa gemuk atau kurus ekor dari
distribusi dibandingkan dengan distribusi normal standar
adalah kurtosis yang dinyatakan
E (X − µ)4
.
σ4
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Sebagaimana diketahui, jika X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari
distribusi normal dengan mean µ dan σ 2 tak diketahui, maka
2
∼ χ2 (n − 1). Keduanya saling
X ∼ N(µ, σ 2 /n) dan (n−1)S
σ2
bebas.
√
misalkan W = (X − µ)/(σ/ n), maka W ∼ N(0, 1).
2
Misalkan pula V = rS
, dengan r = n − 1 maka W dan V
σ2
saling bebas.
Transformasi variabel,
W
T =p
dan U = V
V /r
Fkp bersama W dan V adalah
2
v r /2−1 e −(v +w )/2
f (w , v ) = √
,
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < w < ∞ dan 0 < v < ∞.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Sebagaimana diketahui, jika X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari
distribusi normal dengan mean µ dan σ 2 tak diketahui, maka
2
∼ χ2 (n − 1). Keduanya saling
X ∼ N(µ, σ 2 /n) dan (n−1)S
σ2
bebas.
√
misalkan W = (X − µ)/(σ/ n), maka W ∼ N(0, 1).
2
Misalkan pula V = rS
, dengan r = n − 1 maka W dan V
σ2
saling bebas.
Transformasi variabel,
W
T =p
dan U = V
V /r
Fkp bersama W dan V adalah
2
v r /2−1 e −(v +w )/2
f (w , v ) = √
,
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < w < ∞ dan 0 < v < ∞.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Sebagaimana diketahui, jika X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari
distribusi normal dengan mean µ dan σ 2 tak diketahui, maka
2
∼ χ2 (n − 1). Keduanya saling
X ∼ N(µ, σ 2 /n) dan (n−1)S
σ2
bebas.
√
misalkan W = (X − µ)/(σ/ n), maka W ∼ N(0, 1).
2
Misalkan pula V = rS
, dengan r = n − 1 maka W dan V
σ2
saling bebas.
Transformasi variabel,
W
T =p
dan U = V
V /r
Fkp bersama W dan V adalah
2
v r /2−1 e −(v +w )/2
f (w , v ) = √
,
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < w < ∞ dan 0 < v < ∞.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Sebagaimana diketahui, jika X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari
distribusi normal dengan mean µ dan σ 2 tak diketahui, maka
2
∼ χ2 (n − 1). Keduanya saling
X ∼ N(µ, σ 2 /n) dan (n−1)S
σ2
bebas.
√
misalkan W = (X − µ)/(σ/ n), maka W ∼ N(0, 1).
2
Misalkan pula V = rS
, dengan r = n − 1 maka W dan V
σ2
saling bebas.
Transformasi variabel,
W
T =p
dan U = V
V /r
Fkp bersama W dan V adalah
2
v r /2−1 e −(v +w )/2
f (w , v ) = √
,
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < w < ∞ dan 0 < v < ∞.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Transformasi variabel dari (W , V ) ke (T , U) merupakan
transformasi satu-satu dari ruang
A = {(w , v ); ∞ < w < ∞, 0 < v < ∞} pada
B = {(t, u); ∞ < t < ∞, 0 < u < ∞}
Bentuk jacobi untuk transformasi variabel tersebut adalah
√ √
|J| = u/ r .
Maka fkp bersama t dan u adalah
g (t, u) = h(w (t, u), v (t, u)|J|
=
√
2
u r /2−1 e −(u+ut /r )/2 u
√
√ ,
r
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < t < ∞ dan 0 < u < ∞.
Fkp marginal untuk peubah T yang diperoleh dikenal sebagai
fkp untuk distribusi t dengan derajat kebebasan r (dalam hal
ini r = n − 1).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Transformasi variabel dari (W , V ) ke (T , U) merupakan
transformasi satu-satu dari ruang
A = {(w , v ); ∞ < w < ∞, 0 < v < ∞} pada
B = {(t, u); ∞ < t < ∞, 0 < u < ∞}
Bentuk jacobi untuk transformasi variabel tersebut adalah
√ √
|J| = u/ r .
Maka fkp bersama t dan u adalah
g (t, u) = h(w (t, u), v (t, u)|J|
=
√
2
u r /2−1 e −(u+ut /r )/2 u
√
√ ,
r
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < t < ∞ dan 0 < u < ∞.
Fkp marginal untuk peubah T yang diperoleh dikenal sebagai
fkp untuk distribusi t dengan derajat kebebasan r (dalam hal
ini r = n − 1).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Transformasi variabel dari (W , V ) ke (T , U) merupakan
transformasi satu-satu dari ruang
A = {(w , v ); ∞ < w < ∞, 0 < v < ∞} pada
B = {(t, u); ∞ < t < ∞, 0 < u < ∞}
Bentuk jacobi untuk transformasi variabel tersebut adalah
√ √
|J| = u/ r .
Maka fkp bersama t dan u adalah
g (t, u) = h(w (t, u), v (t, u)|J|
=
√
2
u r /2−1 e −(u+ut /r )/2 u
√
√ ,
r
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < t < ∞ dan 0 < u < ∞.
Fkp marginal untuk peubah T yang diperoleh dikenal sebagai
fkp untuk distribusi t dengan derajat kebebasan r (dalam hal
ini r = n − 1).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Transformasi variabel dari (W , V ) ke (T , U) merupakan
transformasi satu-satu dari ruang
A = {(w , v ); ∞ < w < ∞, 0 < v < ∞} pada
B = {(t, u); ∞ < t < ∞, 0 < u < ∞}
Bentuk jacobi untuk transformasi variabel tersebut adalah
√ √
|J| = u/ r .
Maka fkp bersama t dan u adalah
g (t, u) = h(w (t, u), v (t, u)|J|
=
√
2
u r /2−1 e −(u+ut /r )/2 u
√
√ ,
r
2πΓ(r /2)2r /2
untuk −∞ < t < ∞ dan 0 < u < ∞.
Fkp marginal untuk peubah T yang diperoleh dikenal sebagai
fkp untuk distribusi t dengan derajat kebebasan r (dalam hal
ini r = n − 1).
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
perbandingan distribusi N(0, 1) dan distribusi t
Fkp dan fungsi kumulatif peluang untuk distribusi normal
standar
1
z −µ
√ exp(−
), −∞ < z < ∞,
2σ 2
2π
Z z
Φ(z) =
f (z)dz − ∞ < z < ∞.
f (z) =
−∞
Fkp dan fungsi kumulatif peluang untuk distribusi t dengan
derajat kebebasan r
Γ r +1
1
2 h(t) = √
(r +1)/2 , −∞ < t < ∞,
r πr Γ 2
t2
1+ 2
Z t
H(t) =
h(t)dt − ∞ < t < ∞.
−∞
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
perbandingan distribusi N(0, 1) dan distribusi t
Fkp dan fungsi kumulatif peluang untuk distribusi normal
standar
1
z −µ
√ exp(−
), −∞ < z < ∞,
2σ 2
2π
Z z
Φ(z) =
f (z)dz − ∞ < z < ∞.
f (z) =
−∞
Fkp dan fungsi kumulatif peluang untuk distribusi t dengan
derajat kebebasan r
Γ r +1
1
2 h(t) = √
(r +1)/2 , −∞ < t < ∞,
r πr Γ 2
t2
1+ 2
Z t
H(t) =
h(t)dt − ∞ < t < ∞.
−∞
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari distribusi Normal
yang parameter meannya µ dan variansinya σ 2 tidak
diketahui, selang kepercayaan untuk meannya didasarkan pada
distribusi t dengan derajat kebebasan n − 1, yaitu distribusi
untuk statistik
√
n(X − µ)/σ
X −µ
√ .
T =p
=
2
2
S/ n
(n − 1)S /σ (n − 1)
Untuk 0 < α < 1, terdapat nilai tα/2 dari distribusi t yang
derajat bebasnya n − 1 sebagai batas selang kepercayaan
1 − α.
1 − α = P −tα/2 < T < tα/2
X −µ
√ < tα/2
= P −tα/2 <
S/ n
S
S
= P X − tα/2 √ < µ < X + tα/2 √
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Misalkan X1 , X2 , · · · , Xn sampel acak dari distribusi Normal
yang parameter meannya µ dan variansinya σ 2 tidak
diketahui, selang kepercayaan untuk meannya didasarkan pada
distribusi t dengan derajat kebebasan n − 1, yaitu distribusi
untuk statistik
√
n(X − µ)/σ
X −µ
√ .
T =p
=
2
2
S/ n
(n − 1)S /σ (n − 1)
Untuk 0 < α < 1, terdapat nilai tα/2 dari distribusi t yang
derajat bebasnya n − 1 sebagai batas selang kepercayaan
1 − α.
1 − α = P −tα/2 < T < tα/2
X −µ
√ < tα/2
= P −tα/2 <
S/ n
S
S
= P X − tα/2 √ < µ < X + tα/2 √
.
n
n
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 4
Jika diambil sampel acak berukuran n = 9 dari distribusi
normal dengan mean dan variansi yang tak diketahui,
diperoleh x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang
kepercayaan 95% untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa, kita dapat saja memaksakan menggunakan
√
statistik n(X − µ)/S yang dikaitkan dengan distribusi
Normal baku. Namun para ahli statistika lebih menyarankan
menggunakan statistik itu dalam konteks distribusi t dengan
derajat bebas n − 1.
Kita akan memperlihatkan dua hal tersebut.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 8, nilai tα/2 = 2, 306.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 4
Jika diambil sampel acak berukuran n = 9 dari distribusi
normal dengan mean dan variansi yang tak diketahui,
diperoleh x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang
kepercayaan 95% untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa, kita dapat saja memaksakan menggunakan
√
statistik n(X − µ)/S yang dikaitkan dengan distribusi
Normal baku. Namun para ahli statistika lebih menyarankan
menggunakan statistik itu dalam konteks distribusi t dengan
derajat bebas n − 1.
Kita akan memperlihatkan dua hal tersebut.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 8, nilai tα/2 = 2, 306.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 4
Jika diambil sampel acak berukuran n = 9 dari distribusi
normal dengan mean dan variansi yang tak diketahui,
diperoleh x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang
kepercayaan 95% untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa, kita dapat saja memaksakan menggunakan
√
statistik n(X − µ)/S yang dikaitkan dengan distribusi
Normal baku. Namun para ahli statistika lebih menyarankan
menggunakan statistik itu dalam konteks distribusi t dengan
derajat bebas n − 1.
Kita akan memperlihatkan dua hal tersebut.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 8, nilai tα/2 = 2, 306.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 4
Jika diambil sampel acak berukuran n = 9 dari distribusi
normal dengan mean dan variansi yang tak diketahui,
diperoleh x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang
kepercayaan 95% untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa, kita dapat saja memaksakan menggunakan
√
statistik n(X − µ)/S yang dikaitkan dengan distribusi
Normal baku. Namun para ahli statistika lebih menyarankan
menggunakan statistik itu dalam konteks distribusi t dengan
derajat bebas n − 1.
Kita akan memperlihatkan dua hal tersebut.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 8, nilai tα/2 = 2, 306.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Jika didasarkan dari distribusi N(0, 1), maka selang
kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − zα/2 s/3; x + zα/2 s/3
⇒ (3, 22 − 1, 96 × 1, 17/3; 3, 22 + 1, 96 × 1, 17/3)
⇒ (2, 4556; 3, 9844)
Jika didasarkan dari distribusi t dengan derajat bebas r = 8,
maka selang kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − tα/2 s/3; x + tα/2 s/3
⇒ (3, 22 − 2, 306 × 1, 17/3; 3, 22 + 2, 306 × 1, 17/3)
⇒ (2, 32066; 4, 11934)
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Jika didasarkan dari distribusi N(0, 1), maka selang
kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − zα/2 s/3; x + zα/2 s/3
⇒ (3, 22 − 1, 96 × 1, 17/3; 3, 22 + 1, 96 × 1, 17/3)
⇒ (2, 4556; 3, 9844)
Jika didasarkan dari distribusi t dengan derajat bebas r = 8,
maka selang kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − tα/2 s/3; x + tα/2 s/3
⇒ (3, 22 − 2, 306 × 1, 17/3; 3, 22 + 2, 306 × 1, 17/3)
⇒ (2, 32066; 4, 11934)
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 5
Jika diambil sampel acak berukuran n = 100, diperoleh
x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang kepercayaan 95%
untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa distribusinya tidak ditekankan berdistribusi
√
normal, dengan menggunakan statistik n(X − µ)/S yang
dikaitkan dengan distribusi Normal baku dan menggunakan
statistik itu dalam konteks distribusi t dengan derajat bebas
n − 1.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 99, nilai tα/2 = 1, 984.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 5
Jika diambil sampel acak berukuran n = 100, diperoleh
x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang kepercayaan 95%
untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa distribusinya tidak ditekankan berdistribusi
√
normal, dengan menggunakan statistik n(X − µ)/S yang
dikaitkan dengan distribusi Normal baku dan menggunakan
statistik itu dalam konteks distribusi t dengan derajat bebas
n − 1.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 99, nilai tα/2 = 1, 984.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Contoh 5
Jika diambil sampel acak berukuran n = 100, diperoleh
x = 3, 22 dan s = 1, 17. Tentukan selang kepercayaan 95%
untuk parameter µ.
Perhatikan bahwa distribusinya tidak ditekankan berdistribusi
√
normal, dengan menggunakan statistik n(X − µ)/S yang
dikaitkan dengan distribusi Normal baku dan menggunakan
statistik itu dalam konteks distribusi t dengan derajat bebas
n − 1.
Dari distribusi N(0, 1), nilai zα/2 = 1, 96, sedangkan dari
distribusi t dengan r = 99, nilai tα/2 = 1, 984.
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Jika didasarkan dari distribusi N(0, 1), maka selang
kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − zα/2 s/10; x + zα/2 s/10
⇒ (3, 22 − 1, 96 × 1, 17/10; 3, 22 + 1, 96 × 1, 17/10)
⇒ (2, 99068; 3, 44932)
Jika didasarkan dari distribusi t dengan derajat bebas r = 99,
maka selang kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − tα/2 s/10; x + tα/2 s/10
⇒ (3, 22 − 1, 984 × 1, 17/10; 3, 22 + 1, 984 × 1, 17/10)
⇒ (2, 987872; 3, 452128)
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Jika didasarkan dari distribusi N(0, 1), maka selang
kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − zα/2 s/10; x + zα/2 s/10
⇒ (3, 22 − 1, 96 × 1, 17/10; 3, 22 + 1, 96 × 1, 17/10)
⇒ (2, 99068; 3, 44932)
Jika didasarkan dari distribusi t dengan derajat bebas r = 99,
maka selang kepercayaan untuk µ, mean populasi adalah
x − tα/2 s/10; x + tα/2 s/10
⇒ (3, 22 − 1, 984 × 1, 17/10; 3, 22 + 1, 984 × 1, 17/10)
⇒ (2, 987872; 3, 452128)
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean
Review 1 Selang kepercayaan 1 Selang kepercayaan 2
Closing
Andi Kresna Jaya [email protected]
Selang Kepercayaan untuk mean