Metode Interpolasi Pemetaan Langsung

Metode Interpolasi
Lagrange
Metode Numerik
Ir. Kutut Suryopratomo, MT, MSc
Teknik Fisika, Universitas Gadjah Mada
1
Interpolasi & Regresi
 Keduanya sama-sama metode
penaksiran suatu nilai berdasarkan
sehimpunan data yang dimiliki.
 Keduanya berbeda dalam hal
bagaimana fungsi penaksir disusun
berdasarkan himpunan data yang
dimiliki.
2
Fungsi Penaksir Interpolasi
 Fungsi penaksir disusun agar tepat
memenuhi semua nilai himpunan
data yang diberikan.
 Interpolasi baik dilakukan jika
data yang dimiliki presisi atau
sebarannya nihil.
3
Fungsi Penaksir Regresi
 Fungsi penaksir disusun agar paling
pas/baik memodelkan kecenderungan
perubahan yang diperlihatkan oleh
himpunan data yang diberikan.
 Regresi dilakukan jika
data yang dimiliki kurang presisi atau
sebarannya signifikan.
4
Ide dasar Interpolasi
 Jika diberikan sehimpunan n+1 data:
(xi, yi) dengan i=0..n
 Dari data disusun fungsi penaksir
y=f(x) yang memenuhi ketentuan
nilai f(xi) = yi di semua nilai
himpunan data.
5
Ide dasar Interpolasi
7
6
5
y
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
x
6
Fungsi2 Penaksir
 Fungsi penaksir yang paling sering dipilih
adalah polinom, karena mudah:
 Dievaluasi,
 Diturunkan, dan
 Diintegralkan.
x
 Polinom penaksir bisa berupa:
 1 fungsi untuk seluruh himpunan data, atau
 1 fungsi per pasang data.
7
Fungsi2 Penaksir
 Polinom penaksir bisa dibentuk dalam
berbagai ungkapan:
 Langsung
f x   a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...
 Tak Langsung
x
 Lagrange
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  ...  Ln x yn
 Selisih-terbagi Newton
f x   a0  a1 x  x0   a2 x  x0 x  x1   ...
 Spline – 1 polinom per pasang data
8
Fungsi Penaksir
Metode Lagrange
9
Fungsi Penaksir
Metode Langsung
 Dari (n+1) data: (xi, yi) dg i=0..n bisa
disusun polinom orde n.
 Polinom penaksir dipilih berbentuk:
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  ...  Ln x yn
 Koefisien Lagrange Li(x) ditentukan dengan
mensyaratkan: f(xi) = yi.
10
Koefisien Fungsi Penaksir
 Syarat interpolasi:
f  x0   L0  x  y0  L1  x  y1  L2  x  y2  ...  Ln  x  yn  y0






1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
f  x1   L0  x  y0  L1  x  y1  L2  x  y2  ...  Ln  x  yn  y1







f  x2   L0  x  y0  L1  x  y1  L2  x  y2  ...  Ln  x  yn  y2







...
f  xn   L0  x  y0  L1  x  y1  L2  x  y2  ...  Ln  x  yn  yn







0
0
0
1
11
Koefisien Fungsi Penaksir
 Koefisien Lagrange, L0(x):
L0  x1   0  x  x1 
L0  x2   0   x  x2 
...
L0  xn   0   x  xn 
1
2
L0 x  x0   0 x  x1 x  x2  x  x3 ...x  xn 
?
L0 x0   x0  x1  x0  x2 x0  x3 ...x0  xn   1
 L0 x  
1  x  x1 x  x2 x  x3 ...x  xn 
2 x0  x1 x0  x2 x0  x3 ...x0  xn 
12
Koefisien Fungsi Penaksir
 Koefisien Lagrange, L1(x):
L1  x0   0   x  x0 
L1  x2   0   x  x2 
...
L1  xn   0   x  xn 
1 L1 x  x1   0 x  x0 x  x2 x  x3 ...x  xn 
2 L1 x1   x1  x0 x1  x2 x1  x3 ...x1  xn   1
1  x  x0 x  x2 x  x3 ...x  xn 
 L1  x  
2 x1  x0 x1  x2 x1  x3 ...x1  xn 
?
13
Koefisien Fungsi Penaksir
 Koefisien Lagrange, L2(x):
L2  x0   0   x  x0 
L2  x1   0  x  x1 
...
L2  xn   0  x  xn 
1
2
L2  x  x2   0 x  x0  x  x1 x  x3 ...x  xn 
?
L2  x2    x2  x0 x2  x1 x2  x3 ... x2  xn   1


x  x0  x  x1 x  x3 ...x  xn 
1
 L2  x  

2 x2  x0 x2  x1 x2  x3 ...x2  xn 
14
Koefisien Fungsi Penaksir
 Koefisien Lagrange, Ln(x):
Ln x0   0   x  x0 
Ln x1   0   x  x1 
...
Ln xn 1   0   x  xn 1 
1
2
Ln  x  xn   0  x  x0  x  x1  x  x3 ... x  xn 1 
?
Ln  x2   xn  x0  xn  x1 xn  x3 ... xn  xn 1   1


x  x0 x  x1 x  x3 ... x  xn 1 
1

 Ln  x  
2 xn  x0 xn  x1 xn  x3 ...xn  xn1 
15
Koefisien Fungsi Penaksir
 Koefisien Lagrange, Li(x):
1
Li  x  xi    x  x j 
2
Li  x  xi    xi  x j   1
n
j 0
j i
n
j 0
j i
 x  x j 
n

1 jj 0i
 Li  x  
 n
2  x
j 0
j i
i
 xj 
16
Contoh: Data
 Diberikan data berikut:
i
0
1
2
3
4
xi
1
2
3
4
5
yi
9,78
12,51
17,18
23,77
32,28
17
Contoh: Grafik Sebaran Data
35
30
25
y
20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
x
18
Koefisien Fungsi Penaksir
 Fungsi Interpolasi Lagrange:
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  L3 x y3  L4 x y4
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Koefisien Lagrange, L0(x):

x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 
L0 x  
x0  x1 x0  x2 x0  x3 x0  x4 

x  2x  3x  4x  5
1  21  31  41  5
19
Koefisien Fungsi Penaksir
 Fungsi Interpolasi Lagrange:
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  L3 x y3  L4 x y4
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Koefisien Lagrange, L1(x):

x  x0 x  x2 x  x3 x  x4 
L1 x  
x1  x0 x1  x2 x1  x3 x1  x4 

x  1x  3x  4x  5
2  12  32  42  5
20
Koefisien Fungsi Penaksir
 Fungsi Interpolasi Lagrange:
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  L3 x y3  L4 x y4
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Koefisien Lagrange, L2(x):

x  x0 x  x1 x  x3 x  x4 
L2 x  
x2  x0 x2  x1 x2  x3 x2  x4 

x  1x  2x  4x  5

3  13  23  43  5
21
Koefisien Fungsi Penaksir
 Fungsi Interpolasi Lagrange:
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  L3 x y3  L4 x y4
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Koefisien Lagrange, L3(x):

x  x0 x  x1 x  x2 x  x4 
L3 x  
x3  x0 x3  x1 x3  x2 x3  x4 

x  1x  2x  3x  5

4  14  24  34  5
22
Koefisien Fungsi Penaksir
 Fungsi Interpolasi Lagrange:
f x   L0 x y0  L1 x y1  L2 x y2  L3 x y3  L4 x y4
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Koefisien Lagrange, L4(x):

x  x0 x  x1 x  x2 x  x3 
L4 x  
x4  x0 x4  x1 x4  x2 x4  x3 

x  1x  2x  3x  4

5  15  25  35  4
23
Koefisien Fungsi Penaksir
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Fungsi Interpolasi Lagrange:

x  x1 x  x2 x  x3 x  x4 
f x  
y0
x0  x1 x0  x2 x0  x3 x0  x4 
x  x0 x  x2 x  x3 x  x4  y  x  x0 x  x1 x  x3 x  x4  y

x1  x0 x1  x2 x1  x3 x1  x4  1 x2  x0 x2  x1 x2  x3 x2  x4  2
x  x0 x  x1 x  x2 x  x4  y  x  x0 x  x1 x  x2 x  x3  y

x3  x0 x3  x1 x3  x2 x3  x4  3 x4  x0 x4  x1 x4  x2 x4  x3  4
24
Koefisien Fungsi Penaksir
 Diketahui x0=1, x1=2, x2=3, x3=4 & x4=5.
 Fungsi Interpolasi Lagrange:

x  2  x  3 x  4 x  5
f x  
y0
1  21  31  41  5
x  1x  3x  4x  5 y  x  1x  2x  4x  5 y

2  12  32  42  5 1 3  13  23  43  5 2


x  1x  2  x  3 x  5
x  1 x  2 x  3 x  4

y3 
y4
4  14  24  34  5
5  15  25  35  4
25
Eksak vs. Prediksi
 Himpunan 5 pasangan data dalam
contoh ini sebenarnya dihitung dari
fungsi:
f ( x)  10  x 2  exp  15 x 
 Dengan demikian, nilai prediksi
dengan fungsi interpolasi bisa
dibandingkan dengan nilai eksaknya.
26
Contoh: Prediksi vs. Eksak
Eksak
Prediksi
22
20
18
y
16
14
12
10
8
0
1
2
3
4
x
27
Error Prediksi
x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
y
exact
8,99
9,00
9,03
9,08
9,14
9,23
9,34
9,47
9,61
9,78
y
predicted
8,99
9,00
9,03
9,08
9,14
9,23
9,34
9,47
9,61
9,78
error abs %
0,0047
0,0036
0,0028
0,0020
0,0015
0,0010
0,0006
0,0003
0,0001
0,0000
28
Hasil Interpolasi
Metode Lagrange vs. Newton
 Perbandingan memperlihatkan bahwa
prediksi dengan Metode Lagrange sama
baik dengan Metode Newton.
 Hanya saja, ungkapan fungsi penaksir
Metode Newton lebih sederhana daripada
Metode Lagrange.
29