MA2081 Statistika Dasar - FMIPA Personal Blogs

Catatan Kuliah
MA2081 Statistika Dasar
“Orang Cerdas Belajar Statistika”
Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan Statistika - FMIPA
Institut Teknologi Bandung
2015
1
Tentang MAK6281 Topik Statistika IV
Jadwal kuliah: Senin, 13-; Rabu, 9Silabus:
- Statistika deskriptif
- Peluang
- Peubah acak dan fungsi peluang/distribusi
- Distribusi diskrit dan kontinu
- Distribusi sampel
- Statistika inferensi: selang kepercayaan
- Statistika inferensi: uji hipotesis
- Analisis variansi
- Analisis regresi dan korelasi
Buku teks:
Ronald Walpole, Raymond Myers, Sharon Myers, Keying Ye, 2007, Probability and
Statistics for Engineers and Scienctists.
Penilaian:
- Ujian 2 kali (75%); UTS - 9 Maret 2015, Pukul 13.00
- Kehadiran/PR/Tugas (15%)
- Praktikum (10%)
2
Bab 1 - Statistika Deskriptif
Silabus: Jenis data, ukuran pusat/lokasi, ukuran penyebaran, koefisien variasi, observasi luar, data kelompok, distribusi frekuensi, grafik
Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi, melakukan
inferensi dan menafsirkan data. Secara singkat, statistika adalah ilmu/pekerjaan untuk meyimpulkan tentang suatu fenomena pada populasi menggunakan sampel.
Kajian awal dan utama dalam analisis data adalah statistika deskriptif. Kita dapat menghitung berbagai statistik dan membuat grafik serta memberikan interpretasi. Kesimpulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif; walau
demikian, kesimpulan yang salah akan terlihat.
Tujuan yang ingin dicapai dalam memahami statistika deskriptif, secara detil, adalah
1. membedakan jenis data dan memahami data
2. menghitung dan memaknai ukuran lokasi/pusat
3. membedakan variansi dan koefisien variasi
4. mengamati observasi luar
5. memahami data kelompok
6. menentukan distribusi frekuensi
7. membuat dan menafsirkan grafik
Data, Jenis Data, Memahami Data
Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung (observasi/survey, praktikum) ataupun tidak langsung (buku, koran, internet). Data
merupakan sumber utama analisis data. Pengumpulan, pengorganisasian dan pengolahan data merupakan pekerjaan statistika yang menuntut kerapian dan detil.
3
Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkan dapat dikelompokkan menjadi data
kategorik atau data numerik. Hal ini merujuk pada sifat data yang memiliki label
(kategorik) atau memiliki nilai (numerik). Data dapat pula dibedakan menjadi jenis
data berikut:
• nominal (jenis kelamin, golongan darah)
• ordinal (tingkat kecemasan, tingkat nyeri)
• rasio/interval (denyut nadi, tekanan darah, nilai ujian)
Latihan:
Perhatikan kalimat-kalimat berikut. Tentukan jenis datanya (nominal, ordinal, rasio/interval).
(a) “dr. KS, SpD. mengatakan bahwa penyakit Noor sudah kronis, bukan akut”
(b) Wanda dan Windi berdebat tentang harga mobil yang kiranya layak untuk mobil yang hendak mereka beli
(c) “Apakah anda lahir pada bulan September?”
Diskusi: Perhatikan data jarak tempuh (dalam meter) ke sekolah dari beberapa
siswa di suatu daerah.
Table 1: Data jarak tempuh ke sekolah dari beberapa siswa.
Siswa1
2
3
4
5
Jarak
3265
3260
3245
3484
4146
Siswa6
7
8
9
10
Jarak
3323
3649
3200
3031
2069
Siswa11
12
13
14
15
Jarak
2581
2841
3609
2838
3541
Siswa16
17
18
19
20
Jarak
2759
3248
3314
3101
2834
Apakah analisis data rasio/interval akan lebih “kaya” dibandingkan dengan data
nominal/ordinal? Apa yang bisa kita katakan tentang data tersebut? Dapatkah
data numerik diubah menjadi data kategorik?
4
Diskusi: Data peserta ujian di beberapa sekolah di suatu kecamatan tercatat dalam
diagram batang dan daun sebagai berikut. Untuk membaca data, kita perhatikan
kolom disebelah kiri garis yang menyatakan “angka puluhan” dan angka-angka disebelah kanan garis yang menyatakan “angka satuan”. Sebagai contoh, “3—5” berarti
jumlah peserta ujian di sekolahg tertentu adalah 35 orang.
0
1
2
3
357889
02
5
Apakah data dalam bentuk diagram batang dan daun cukup informatif? Dapatkah
data numerik tersebut diubah menjadi data kategorik?
Ukuran Pusat/Lokasi dan Penyebaran
Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsiran
sederhana melalui ukuran atau statistik. Beberapa ukuran yang dikenal antara lain
mean dan variansi/deviasi standar yang menyatakan nilai tengah dan simpangan
data.
Ukuran atau statistik yang melekat pada data dapat dibagi menjadi
• Ukuran pusat/lokasi: mean (aritmetik), median, modus
• Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi/deviasi standar, kuartil
Misalkan data sampel adalah
x 1 , x2 , . . . , x n ,
dimana xi menyatakan titik sampel ke-i. Mean (aritmetik) didefinisikan sebagai
n
∑
x̄ =
i=1
n
xi
.
5
Sifat-sifat mean
(a) Untuk suatu konstanta k,
n
∑
k xi = · · ·
i=1
(b) Jika yi = xi + k maka ȳ = x̄ + k. Buktikan!
(c) Jika yi = k xi maka ȳ = · · · .
Median atau median sampel seringkali dikatakan sebagai nilai tengah. Dengan
demikian, menghitung median haruslah dilakukan pada data yang sudah diurutkan.
Definisi median adalah
(a) Observasi ke-((n + 1)/2), (n ganjil), atau
(b) Nilai tengah dari observasi ke-(n/2) dan ke-((n/2) + 1), (n genap)
Diskusi: Bagaimana (perbandingan) nilai mean dan median untuk data yang (i)
simetrik, (ii) menceng ke kanan, (iii) menceng ke kiri?
Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang paling
sering muncul. Menentukan modus dapat dilakukan pada data tanpa diurutkan
(meskipun lebih mudah apabila diurutkan lebih dahulu).
Latihan:
1. Tentukan ukuran lokasi/pusat dari contoh data diatas
2. Diketahui suatu data tentang jumlah saudara (kandung, angkat, tiri) dari 20
orang siswa sekolah menengah. Apabila setiap titik data ditambah tiga maka nilai
mean dan jangkauan menjadi...
Ukuran penyebaran menyatakan seberapa jauh data menyebar dari mean. Misalkan
kita memiliki dua data sampel. Kedua sampel memiliki mean yang sama, namun
mungkin saja memiliki penyebaran data yang berbeda. Beberapa ukuran penyebaran yang dikenal antara lain:
6
1. Jangkauan (Range):
R = xmaks − xmin
2. Variansi atau variansi sampel:
n
∑
2
s =
(xi − x̄)2
i=1
n−1
Catatan:
Deviasi standar atau simpangan baku adalah akar kuadrat dari variansi.
3. Kuartil:
Umumnya kita kenal kuartil pertama dan ketiga, dinotasikan dengan K1 dan
K3 . Apa yang dapat kita katakan tentang kuartil kedua atau K2 ?
4. Kuantil atau persentil:...
Sifat-sifat variansi:
Diketahui data sampel x1 , . . . , xn memiliki variansi s2x . Jika data sampel
(a) yi = xi + k,
(b) yi = k xi ,
untuk suatu konstanta k, maka
s2y = . . .
Variansi versus Koefisien Variasi: Kita dapat menghitung suatu ukuran yang mengaitkan ukuran penyebaran (deviasi standar) dengan ukuran lokasi (mean), yaitu
koefisien variasi (coefficient of variation atau CV):
CV = 100% × (s/x̄)
7
yang tidak dipengaruhi unit ukuran yang dipakai. CV bermanfaat untuk membandingkan variabilitas beberapa sampel yang berbeda relatif terhadap nilai mean-nya.
Dapat pula kita membanding CV dari beberapa variabel.
Latihan:
Data pada tabel berikut menyatakan berbagai faktor yang mempengaruhi masalah
pada sistem jantung dan peredaran darah anak. Tentukan CV dan berikan interpretasinya.
Table 2: Faktor risiko kardiovaskular pada anak.
Tinggi (cm)
Berat (kg)
Tekanan darah (mm Hg)
Kolesterol (mg/dL)
n
364
365
337
395
mean
142.6
39.5
104
160.4
s
0.31
0.77
4.97
3.44
CV(%)
Mengamati Observasi Luar
Observasi luar atau pencilan atau outlier adalah nilai/observasi yang “menyimpang”
dari nilai-nilai/observasi yang lain. Observasi luar dapat ditentukan/dihitung dengan melihat apakah ada nilai/observasi yang LEBIH BESAR dari
K3 + 1.5 (K3 − K1 )
atau LEBIH KECIL dari
K1 − 1.5 (K3 − K1 ),
dengan K1 dan K3 adalah kuartil pertama dan ketiga seperti telah dijelaskan sebelumnya.
Dalam praktiknya, observasi luar dapat menyatakan sesuatu yang baik/jelek. Misalnya, seseorang dengan tingkat kecerdasan (IQ) yang sangat tinggi (jauh diatas
rata-rata alias observasi luar) adalah baik. Seringkali observasi luar diabaikan dalam
8
analisis data meskipun sesungguhnya cara ini tidaklah tepat. Mendeteksi observasi
luar adalah sesuatu yang sangat menantang dalam statistika.
Diskusi: Sekelompok observasi x1 , . . . , xn memiliki observasi luar xj untuk suatu j.
Dapatkah kita membandingkan mean dengan dan tanpa observasi luar? Mungkinkah
terdapat lebih dari satu observasi luar?
Data Kelompok
Pandang data sampel dengan 275 observasi. Ukuran sampel tersebut terlalu besar
sehingga menampilkan data apa adanya menjadi tidak efisien. Dengan demikian,
data sampel dapat dikelompokkan. Pengelompokan ini dapat pula terjadi (harus dilakukan) karena tingkat keakuratan data yang diambil tidak dapat diperoleh dengan
baik.
Pengelompokan data memberikan masalah: Berapa banyak kelompok atau interval
kelas (class intervals) yang ingin kita buat? Berapa lebar interval (interval width)?
Salah satu formula yang bisa kita pakai adalah Formula Sturges, dimana banyaknya
interval kelas adalah
k = 1 + (3.322 × log10 n),
dimana n adalah besar sampel. Lebar intervalnya:
w = R/k,
dengan R adalah jangkauan.
Untuk contoh data sampel dengan 275 observasi, kita peroleh:
k ≈ 8,
w = (63 − 18)/8 = 5.625
Dengan demikian, lebar kelas interval adalah 5 atau 10. Diketahui obervasi terkecil
dan terbesar, berturut-turut, adalah 18 dan 63. Jadi, kelas interval yang bisa dibuat
9
adalah:
10-19
20-29
30-39
40-49
50-59
60-69
Memahami Grafik
Tampilan visual (baca: grafik) dari data merupakan salah satu cara untuk memahami dan menginterpretasi data. Grafik bersifat menarik, memudahkan dalam membentuk pola, dan prediktif. Beberapa tampilan visualn untuk data adalah diagram
pencar (scatter diagram), diagram bar/batang (bar chart), diagram batang dan daun
(stem-and-leaf plot), histogram, box-plot.
Diagram pencar merupakan bentuk grafik yang sederhana namun cukup informatif.
Diagram ini berupa titik-titik yang menggambarkan nilai observasi. Pola atau kecenderungan data dapat dilihat dengan melihat grafik ini.
Diagram batang dan daun memiliki ke-khas-an berupa tampilan nilai utama/pertama
(batang) dan nilai satuan/kedua (daun). Diagram ini membantu kita untuk menghitung kuantil/persentil data dengan mudah.
10
Bab 2 - Peluang
Silabus: Ruang sampel dan kejadian, konsep peluang, peluang bersyarat, Teorema
Bayes.
Setelah kita mempelajari analisis data secara deskriptif, maka kajian berikutnya
adalah melakukan perhitungan secara probabilistik. Hal ini berkaitan dengan konsep distribusi frekuensi relatif yang telah dibahas sebelumnya. Analisis data secara probabilistik memerlukan pemahaman tentang hal-hal yang belum terjadi atau
yang bersifat percobaan. Secara khusus, kita akan membangun ruang sampel dan
mendefinisikan kejadian.
Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peluang adalah:
1. Mendefinisikan ruang sampel dan kejadian
2. Menghitung peluang suatu kejadian
3. Mengkaji konsep dan menghitung peluang bersyarat
4. Memanfaatkan Teorema Bayes untuk menghitung peluang bersyarat suatu kejadian
Ilustrasi
Sebagai pengantar, perhatikan ilustrasi-ilustrasi berikut. Pemahaman peluang memerlukan pengetahuan tentang cara menyusun atau kombinasi/permutasi. Secara khusus,
kita dituntut untuk dapat membangun pertanyaan peluang.
Ilustrasi-1. Tanti baru saja mengikuti tes mata. Ia masih teringat beberapa huruf
yang muncul: A-E-M-R-S. Kini, Tanti mencoba menyusun kata-kata yang mungkin
dari huruf-huruf tersebut.
Ilustrasi-2. Hanin bermaksud menyumbangkan darahnya di suatu tempat donor.
Hanin terlebih dahulu harus dicek golongan darahnya.
11
• Golongan darah yang mungkin untuk Hanin adalah...
• Rupanya Hanin tidak sendirian. Ada Hana dan Hanan disana yang memiliki
maksud yang sama dengan Hanin. Jika seorang diantara mereka dipilih secara
acak menjadi pendonor, berapa peluang orang yang terpilih adalah Hana?
• Jika, diantara mereka bertiga, Hanan terpilih menjadi pendonor, berapa peluang golongan darah Hanan adalah B?
Ilustrasi-3. B dan G pergi berburu dengan cara menembak. Pada waktu yang
disepakati, B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari
tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4.
• Berapa peluang sebuah tembakan mengenai sasaran?
• Berapa peluang sasaran tertembak?
Ilustrasi-4. “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi.
Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang
anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi
dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula
dengan ayah tiriku”
Konsep Peluang
Ruang sampel, S, adalah himpunan semua hasil mungkin dari suatu percobaan.
Kejadian, E, adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Peluang suatu kejadian,
P (E), adalah rasio dari banyaknya titik kejadian dan ruang sampel, atau
P (E) =
n(E)
,
n(S)
dimana n(E) dan n(S), berturut-turut, adalah banyaknya titik kejadian dan ruang
sampel.
12
Peluang suatu kejadian haruslah memenuhi aksioma dan sifat-sifat berikut:
1. 0 ≤ P (E) ≤ 1
2. P ({}) = 0
3. P (S) = 1
4. Untuk kejadian A dan B,
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
5. Jika kejadian A dan B saling asing maka P (A ∩ B) = 0
6. Kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika
P (A ∩ B) = P (A) P (B)
Definisi peluang yang lain merujuk pada frekuensi relatif. Misalkan suatu percobaan
dengan ruang sampel S diulang-ulang. Misalkan n(E) banyaknya kejadian E yang
terjadi selama n pengulangan. Peluang kejadian E adalah
P (E) = lim
n→∞
n(E)
n
Latihan:
1. Dalam suatu rapat yang terdiri dari 20 orang, setiap orang berjabatan tangan
dengan orang lain diakhir rapat. Ada berapa banyak jumlah ’salaman’ yang
terjadi?
2. Sebuah lift bergerak dari lantai dasar berisi 8 orang (tidak termasuk operator
lift) dan orang-orang tersebut akan keluar hingga lift mencapai lantai paling
tinggi yaitu lantai 6. Dalam berapa cara sang operator dapat mengenali orangorang yang keluar dari lift jika semuanya nampak mirip bagi sang operator?
13
Bagaimana jika 8 orang tersebut terdiri atas 5 pria dan 3 wanita dan sang
operator membedakan pria dan wanita?
3. Lima orang siswa meletakkan tasnya masing-masing ketika memasuki perpustakaan. Kemudian, ketika mereka keluar dari perpustakaan mereka mengambil tasnya secara acak tanpa memperhatikan apakah tas yang diambil adalah
benar-benar miliknya. Apakah ruang sampel “percobaan” diatas?
4. Setiap pagi Swarna meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swarna pergi
lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan
rumah Swarna memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu
tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Swarna akan
masuk lewat pintu atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan pelung
sama. Jika dia memiliki 4 pasang sepatu olah raga, akan dihitung berapa peluang Swarna akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki. Pertanyaan
awal, tentukan ruang sampelnya!
5. Bapak Kepala Sekolah mengundang guru-guru yang memiliki setidaknya satu
anak laki-laki (L) ke acara syukuran. Seorang guru yang bernama Pak Jaim
memiliki dua anak. Kita akan menghitung peluang bahwa kedua anak Pak
Jaim adalah laki-laki, diberikan bahwa Pak Jaim diundang ke acara syukuran
tersebut. Pertanyaan awal adalah apa ruang sampel “percobaan” diatas?
Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes
Ilustrasi-1. Pandang Ilustrasi-3 diatas.
• Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan
G?
• Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai
sasaran?
• Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran?
14
Ilustrasi-2. Seorang praktikan, Ega, tahu bahwa sebuah lembar kerja praktikum
akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat lab yang ada. Misalkan pi
adalah peluang bahwa Ega akan menemukan lembar kerja praktikum setelah mengecek kotak surat lab i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat
lab i, i = 1, 2, 3.
• Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang
hal itu akan terjadi?
• Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa
peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1?
Peluang kejadian A, apabila kejadian B telah terjadi, adalah peluang bersyarat
P (A|B) yaitu:
P (A|B) =
P (A ∩ B
,
P (B)
asalkan P (B) > 0. Jelas bahwa jika kejadian A dan B saling bebas maka P (A|B) =
P (A).
Perhatikan bahwa konsep peluang bersyarat dapat digunakan untuk menghitung
peluang total:
P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac )P (Ac )
Latihan:
1. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin “baik” (memiliki sisi M dan B) dan
satu koin “tidak baik” (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak,
kemudian dilantunkan. Berapa peluang muncul M?
2. Laila memiliki 2 buah koin; satu koin “baik” (memiliki sisi M dan B) dan satu
koin “tidak baik” (memiliki dua sisi M). Sebuah koin dipilih secara acak, kemudian dilantunkan. Muncul M. Berapa peluang bahwa koin yang dilantunkan
adalah koin “baik”?
15
TEOREMA BAYES:
Misalkan {B1 , B2 , . . . , Bn } adalah partisi dari ruang sampel dan misalkan A adalah
kejadian yang terobservasi. Peluang kejadian Bj diberikan A adalah
P (A Bj )
P (A)
P (A|Bj ) P (Bj )
= ∑n
i=1 P (A|Bi ) P (Bi )
P (Bj |A) =
Latihan:
Tes darah di suatu laboratorium akan 95% efektif dalam mendeteksi suatu penyakit
tertentu jika penyakit itu ada. Namun demikian, tes tersebut juga memberikan
’hasil positif yang salah’ pada 1% orang sehat yang dites. Jika 0.5% dari populasi
mengidap penyakit tertentu tersebut, tentukan peluang bahwa seseorang menderita
penyakit itu jika hasil tes positif?
16
Bab 3 - Peubah Acak dan Fungsi Peluang
Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang, fungsi distribusi, peluang pada nilai
peubah acak.
Ilustrasi. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket
tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak
ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50
orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket
yang datang?
Apa yang dapat anda katakan tentang soal peluang pada ilustrasi diatas? Mungkinkah
kita mendefinisikan suatu kejadian? ruang sampel? Perlukah cara lain untuk memahami peluang suatu kejadian?
Peubah acak
Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak?
• Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah”
• Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R
Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan
{ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga
(
)
}
)
∪{
∑ (
P
X = ai
=
P X = ai = 1
i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit.
Jika diberikan himpunan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {pi , i =
∑
1, 2, . . . } sedemikian hingga i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah
pX (x) = pi = P (X = ai ), dengan x = ai .
17
FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i =
1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang
bersesuaian sedemikian hingga
∑
pi = 1 dan FX (x) =
∑
pi .
ai ≤x
i
Fungsi distribusi (kumulatif), F (x) = P (X ≤ x), memiliki sifat-sifat:
(a) F fungsi tidak turun
(b) lim F (x) = 1
x→∞
(c) lim F (x) = 0
x→−∞
(d) F fungsi kontinu kanan
Catatan:
• P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a)
• P (X ≤ b) ̸= P (X < b)
• P (X < b) = P
(
lim
n→∞
})
(
)
(
)
{
X ≤ b − n1 = lim P X ≤ b − n1 = lim F b − n1
n→∞
n→∞
Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi
peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi,
d
fX (x) =
FX (x) atau dengan kata lain FX (x) =
dx
∫
x
−∞
fX (t) dt.
Peubah acak dengan sifat diatas dikatakan sebagai peubah acak kontinu.
Catatan:
• 1 = FX (∞) =
∫∞
−∞
fX (t) dt
• P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) =
• P (X = a) =
∫a
a
∫b
a
fX (t) dt = 0
18
fX (t) dt
Latihan:
1. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut:



p,
x = −1.9








0.1, x = −0.1






0.3, x = 20p
f (x) =



p,







4p,






0,
x=3
x=4
x yang lain
Hitung P (−1.9 ≤ |X| ≤ 3), F (2), F (F (3.1))
2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut:




0,






3/5,
F (x) =



7/10,






1,
x < −3.1
−3.1 ≤ x < 0
0≤x<1
1≤x
3. Diketahui fungsi peluang dari peubah acak kontinu:
f (x) = c e−2x , x > 0,
Hitung (i) c, (ii) P (X > 2)
4. Suatu peubah acak X memiliki fungsi peluang
f (x) = k (1 − x2 ),
untuk −1 < x < 1. Tentukan FX (x).
19
Ekspektasi
Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah
acak diskrit/kontinu X adalah
E(X) =
∑
x pX (x)
x
dan
∫
∞
E(X) =
−∞
x fX (x) dx
dimana pX dan fX adalah fungsi peluang dari X.
Catatan:
1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin
dari X
2. Ekspektasi = mean = momen pertama
3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value)
dari percobaan bebas yang berulang
3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!)
Contoh:
1. Rombongan mahasiswa sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jogja dengan
menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan
44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih
secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana
seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). (Solusi: 40.2667)
2. Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin −1, 0, 1 dan peluang:
p(−1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3
Hitung E(X 2 ). (Solusi: 0.5)
20
Sifat-sifat ekspektasi:
1. E(g(X)) =
∫∞
−∞
g(x) fX (x) dx
2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y )
3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas.
4. E(X) =
∫∞
5. E(X r ) =
0
P (X > x) dx, untuk X > 0 (*)
∫∞
−∞
xr fX (x) dx (momen ke-r)
6. E((X − µX )r ) =
∫∞
−∞ (x
− µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r)
7. E((X − µX )2 ) = V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2
Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X.
21
Bab 4 - Distribusi Diskrit dan Kontinu
Silabus: Distribusi peubah acak, distribusi diskrit, distribusi kontinu.
Peubah acak merupakan alat yang dapat digunakan untuk mempelajari konsep pada
tingkat lanjut. Salah satu karakteristik utama peubah acak adalah memiliki distribusi.
Distribusi diskrit adalah fenomena yang digambarkan oleh peubah acak diskrit
melalui fungsi peluang/distribusi. Beberapa distribusi diskrit yang dikenal adalah
binomial, Poisson dan geometrik.
Distribusi uniform, eksponensial dan normal
adalah contoh-contoh distribusi kontinu.
Distribusi Binomial
Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’ atau
’gagal’ dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan
pX (1) = P (X = 1) = θ; pX (0) = P (X = 0) = 1 − θ,
dimana 0 ≤ θ ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. Peubah acak X dikatakan
peubah acak Bernoulli dengan parameter θ.
Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses
yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter
(n, θ), dinotasikan X ∼ B(n, θ). Fungsi peluangnya adalah
f (x) = pX (x) = Cxn θx (1 − θ)n−x
Latihan:
1. Misalkan X ∼ B(5, 0.2). Hitung: (i) P (0 < X ≤ 1) (ii) P (X ≥ 1)
2. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak
akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu
22
untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk
50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan
tiket yang datang?
3. Misalkan X peubah acak Binomial yang menyatakan banyak orang yang datang
ke toko dan membeli barang. Diketahui nilai parameter “sukses” adalah 0.6.
Jika 10 orang masuk toko, berapa peluang terjadinya maksimal sebuah “sukses”?
4. Tentukan mean dan variansi peubah acak Binomial dengan parameter (n, θ)
5. Suatu hasil produksi (misalkan sebuah TV) akan rusak dengan peluang 0.1.
Hasil produksi saling bebas. Jika terdapat 3 hasil produksi (3 buah TV),
berapa peluang bahwa paling banyak 1 TV rusak?
6. Empat buah koin dilantunkan. Asumsikan bahwa hasil lantunan saling bebas.
Hitung peluang akan muncul 2 Muka dan 2 Belakang?
Distribusi Poisson
Distribusi diskrit lain yang cukup dikenal adalah distribusi Poisson. Umumnya distribusi ini terlihat pada fenomena banyaknya telfon yang masuk pada suatu hari,
banyaknya kendaraan yang lewat di jalanan pada periode waktu tertentu dsb. Perhatian kita adalah pada banyaknya “sukses” pada periode tertentu.
Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang
f (i) = pX (i) = e−λ
λi
,
i!
untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. Peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan
parameter λ.
Latihan
1. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson
dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?
23
2. Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa
P (X = i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk
i semakin besar.
Apa yang anda ketahui tentang pendekatan Poisson untuk Binomial?
Misalkan X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, θ),
P (X = x) = Cxn θx (1 − θ)n−x
and misalkan λ = nθ. Maka,
n!
θx (1 − θ)n−x
x! (n − x)!
( )x (
)
λ
λ n−x
n!
1−
=
x! (n − x)! n
n
n(n − 1) · · · (n − i + 1) λx (1 − λ/n)n
=
nx
x! (1 − λ/n)x
P (X = x) =
= ...
≈ e−λ
λx
x!
Petunjuk:
Untuk n besar dan λ moderat (karena θ cukup kecil),
(
)
λ n
1−
≈ ···
n
n(n − 1) · · · (n − i + 1)
≈ ···
nx
(
)
λ x
1−
≈ ···
n
Latihan:
1. Misalkan peluang sebuah produk susu akan tercemar melamin adalah 0.1. Tentukan peluang bahwa paling banyak 1 produk susu yang tercemar dari sampel
sebanyak 10 produk susu! (0.7361, 0.7368)
24
2. Misalkan X ∼ B(n, θ) dan Y ∼ P OI(λ). Cari hubungan antara f (k + 1) dan
f (k) untuk kedua peubah acak.
Distribusi Geometrik
Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama.
Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses α. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter
α. Fungsi peluangnya adalah
fX (n) = p(n) = P (X = n) = (1 − α)n−1 α,
untuk n = 1, 2, . . . dan α > 0.
Misalkan Y peubah acak yang menyatakan kegagalan yang sudah dialami sebelum
mendapatkan sukses yang pertama; diketahui peluang mendapatkan sukses adalah
α. Fungsi peluang untuk Y adalah
fY (k) = (1 − α)k α, k = 0, 1, 2, . . .
Diskusi:
• Apa yang dapat anda katakan tentang mean dan variansi untuk kedua peubah
acak X dan Y tersebut?
• Apakah nilai mean lebih besar daripada variansi?
Latihan:
1. Hitung momen pertama dan kedua untuk peubah acak Geometrik dengan
parameter α
25
2. Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan
membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar
makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin
yang harus dilakukan, tentukan: (i) P (X = 3) (ii) P (X > 4)
26
Bab 5 - Distribusi Sampel
Silabus: Definisi populasi dan sampel, distribusi X̄ dan S 2 .
Ketika kita “bekerja” dengan statistika, maka pemahaman tentang populasi dan
sampel menjadi penting. Seperti kita ketahui, pekerjaan statistika adalah melakukan
inferensi tentang populasi dengan menggunakan sampel.
Populasi adalah...
Sampel adalah...
Sampel acak adalah...
Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak berukuran n. Mean dan variansi sampel,
berturut-turut, adalah
1∑
Xi
n
n
X̄ =
i=1
dan
1 ∑
(Xi − X̄)2 .
n−1
n
S2 =
i=1
Misalkan sampel acak tersebut diambil dari X yang berdistribusi normal dengan
parameter (µ, σ 2 ) maka X̄ ∼ · · · dan S 2 ∼ · · · .
Teorema Limit Pusat
Jika X̄ mean dari sampel acak berukuran n dari populasi dengan mean µ dan variansi
σ 2 , maka
Z=
X̄ − µ
√ → N (0, 1).
σ/ n
Contoh-1. Sebuah perusahaan produsen lampu memberikan klaim bahwa lampulampu yang diproduksi memiliki masa hidup berdistribusi normal dengan mean 800
27
(jam) dan deviasi standar 40 (jam). Misalkan diambil sampel berukuran 16. Hitung
peluang bahwa sampel acak lampu-lampu tersebut memiliki masa hidup (average
life) kurang dari 775 (jam).
Contoh-2. Perjalanan 2 kampus Ganes dan Jtnanger dengan bis ditempuh selama
28 menit dengan deviasi standar 5 menit. Pada suatu waktu, dilakukan perjalanan
selama 40 kali. Berapa peluang waktu perjalanannya lebih dari 30 menit?
Contoh-3. Dua eksperimen yang saling bebas dilakukan pada pengecatan sebuah
produk; 18 spesimen masing-masing dicat dengan cat jenis A dan B, lalu lama
waktu pengeringan dicatat. Diketahui deviasi standar populasi adalah 1. Asumsikan
bahwa mean waktu pengeringan kedua tipe cat adalah sama. Tentukan peluang
P (X̄A − X̄B > 1).
Latihan: hal. 241-243
Catatan: Pendekatan normal untuk distribusi binomial
Teorema:
Misalkan S 2 variansi sampel dari sampel acak berukuran n berdistribusi normal
dengan mean µ dan variansi σ 2 , maka
(n − 1)S 2
∼ χ2n−1 ,
σ2
dengan χ2n−1 adalah distribusi chi-kuadrat dengan derajat kebebasan ν = n − 1.
Contoh. Batere merk Energiver diklaim memiliki masa hidup 3 tahun dengan deviasi
standar 1 tahun. Pada sampel berukuran 5, diperoleh data masa hidup sebagai
berikut: 1.9, 2.4, 3.0, 3.5, 4.2. Apakah data ini meyakinkan perusahaan batere
tersebut bahwa deviasi standar masa hidup batere 1 tahun? Asumsikan masa hidup
bateri berdistribusi normal.
28
Bab 6 - Inferensi Statistik: Penaksiran Titik dan Selang
Silabus: Distribusi t, selang kepercayaan untuk mean dan variansi.
Penaksiran titik dan Selang kepercayaan
Penaksiran titik (point estimate) merupakan langkah awal dalam inferensi statistik
untuk suatu parameter. Pada sampel acak berdistribusi normal dengan parameter
µ dan σ 2 , maka penaksiran titik untuk kedua parameter tersebut, berturut-turut,
adalah X̄ dan S 2 . Penaksir X̄ dan penaksir S 2 bersifat tak bias (unbiased).
Penaksiran titik seringkali tidak memberikan keleluasaan untuk menafsirkan nilai
parameter. Untuk itu, diberikan penaksiran selang untuk parameter pada tingkat
kepercayaan tertentu. Perhatikan sampel acak normal berukuran n. Kita ketahui
bahwa mean sampel X̄ berdistribusi normal dengan mean µX̄ = µ dan deviasi
√
standar σX̄ = σ/ n. Kita ingin menentukan selang kepercayaan untuk µ, jika σ
diketahui. Misalkan zα adalah nilai-z sehingga P (Z < zα ). Jadi,
(
)
X̄ − µ
√ < zα/2 = 1 − α.
P −zα/2 < Z =
σ/ n
Dengan manipulasi aljabar, kita peroleh 100(1 − α)%-selang kepercayaan untuk µ, :
σ
σ
x̄ − zα/2 √ < µ < x̄ + zα/2 √ .
n
n
Contoh. Konsentrasi suatu besi (zinc) di 36 lokasi pada sungai K adalah 2.6 gr/ml.
Tentukan selang kepercayaan untuk mean konsentrasi besi pada tingkat α = 1%, 5%.
Asumsikan bahwa deviasi standar populasi adalah 0.3 gr/ml.
Catatan:
• Dapatkah kita menentukan ukuran sampel n agar selang kepercayaan yang kita
buat tidak akan melampaui suatu galat e tertentu?
• Apabila asumsi σ diketahui tidak dapat dipenuhi, bagaimana kita dapat menentukan selang kepercayaan?
29
Distribusi t
Misalkan kita punyai sampel acak berukuran n berdistribusi normal. Asumsikan σ
diketahui tidak dapat dipenuhi. Pandang peubah acak
T =
X̄ − µ
√
S/ n
atau T = Z/
√
V /ν, dengan Z peubah acak normal standar dan V peubah acak chi-
kuadrat dengan derajat kebebasan ν. Peubah acak T berdistribusi t atau Student-t,
dengan derajat kebebasan ν = n − 1, dan memiliki fungsi peluang
f (t) =
Γ((ν + 1)/2)
√
Γ(ν/2) πν
(
)−(ν+1)/2
t2
1+
, −∞ < t∞.
ν
Latihan:
1. Hitung P (−t0.025 < T < t0.05 )
2. Tentukan k sehingga P (k < T < −1.761) = 0.045; diketahui n = 15
Selang Kepercayaan Untuk σ Tidak Diketahui
Misalkan T berdistribusi Student-t dengan derajat kebebasan n − 1. Analog dengan
Z, kita punyai
(
)
P −tα/2 < T < tα/2 = 1 − α.
Karena T =
X̄−µ
√ ,
S/ n
kita dapat menentukan 100(1 − α)%-selang kepercayaan untuk
µ, jika σ tidak diketahui:
s
s
x̄ − tα/2 √ < µ < x̄ + tα/2 √ .
n
n
Contoh. Isi dari tujuh kontainer barang (yang sejenis) adalah 9.8, 10.2, 10.4, 9.8,
10.0, 10.2, 9.6. Tentukan 95%-selang kepercayaan unutk mean isi kontainer. Asumsikan data berdistribusi normal namun σ tidak diketahui.
30
Diskusi:
Misalkan ukuran sampel dari suatu sampel acak cukup besar, asumsi normalitas
tidak dapat dipenuhi dan σ tidak diketahui. Dapatkan kita menentukan selang
kepercayaan untuk µ?
Hasil tes TPA 500 calon mahasiswa menunjukkan mean dan deviasi standar, berturutturut, 501 dan 112. Tentukan 99%-selang kepercayaan untuk mean TPA.
Selang Kepercayaan, Selang Prediksi dan Batas Toleransi
Contoh 9.1. Sebuah mesin memproduksi potongan baja berbentuk silinder. Sampel
potongan-potongan baja diambil dan diameternya (cm) diukur. Diperoleh data
sebagai berikut:
1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 1.01, 1.03
Asumsikan distribusi normal, x̄ = 1.0056 dan s = 0.0246, hitung tiga jenis 99%selang/interval (baca: selang kepercayaan, selang prediksi, selang/batas toleransi).
Petunjuk:
s
x̄ ± t0.005 √
n
s √
x̄ ± t0.005 √
n+1
n
x̄ + k s
31
Selang Kepercayaan Untuk µ1 − µ2
Pada dua populasi yang ingin kita bandingkan, kita dapat melakukannya dengan
mengambil sampel dari keduanya. Seperti sebelumnya, ukuran yang kita bandingkan
adalah mean; khususnya selisih dua mean, yaitu µ1 − µ2 .
Perhatikan bahwa peubah acak
Z=
(X̄1 − X̄2 ) − (µ1 − µ2 )
√ 2
σ1
σ22
n1 + n2
berdistribusi normal standar. Dengan kata lain, peluang nilai Z ∈ (−zα/2 , zα/2 )
adalah 1 − α.
Selang kepercayaan untuk selisih dua mean µ1 − µ2 adalah
√
(X̄1 − X̄2 ) ± zα/2
σ12 σ22
+
n1 n2
Contoh. Kemampuan produksi zat dari dua mesin A dan B dibandingkan; 50 percobaan dengan mesin A dan 75 dengan mesin B. Data menunjukkan mean sampel
A dan B: 36 dan 42. Asumsikan bahwa deviasi standar diketahui yaitu 6 (untuk
mesin A) dan 8 (untuk mesin B). Tentukan 90%-selang kepercayaan untuk selisih
dua mean mesin A dan B.
Diskusi:
Bagaimana kita dapat menentukan selang kepercayaan selisih dua mean pada
• Kasus A: kedua variansi populasi tidak diketahui,
- (i) namun σ12 = σ22 ,
- (ii) dan σ12 ̸= σ22
• Kasus B: observasi berpasangan
32
Selang Kepercayaan Untuk Proporsi
Ukuran atau statistik lain yang dapat kita hitung pada data adalah proporsi p.
Penaksir proporsi adalah p̂ = X/n, dengan X menyatakan banyaknya sukses pada
n percobaan. Untuk n besar, p̂ berdistribusi normal dengan mean dan variansi,
berturut-turut, adalah µp̂ = p dan σp̂2 =
(
P
−zα/2 < Z = √
p̂ − p
p(1 − p)/n
p(1−p)
n .
Dengan demikian, kita peroleh
)
< zα/2
= 1 − α.
Selang kepercayaan untuk proporsi p dapat diformulasikan dengan manipulasi peluang diatas. Kita dapatkan,
√
p̂ − zα/2
p̂(1 − p̂)
< p < p̂ + zα/2
n
√
p̂(1 − p̂)
.
n
Perhatikan bahwa deviasi standar untuk p̂ adalah fungsi dari p yang harus ditaksir oleh p̂ (maksudnya, ini berbeda dengan deviasi standar untuk x̄ yaitu σ yang
“seakan-akan” tidak melibatkan x̄).
Diskusi:
• Ukuran sampel n pada penentuan selang kepercayaan untuk p dapat diatur sehingga diperoleh galat tertentu; n = · · ·
• Selang kepercayaan untuk selisih dua proporsi p1 − p2 adalah...
Contoh-1. Pada sampel acak berukuran 500 (keluarga) diperoleh informasi bahwa
sejumlah 340 keluarga memiliki TV layar datar. Tentukan selang kepercayaan pada
α = 0.05 untuk proporsi keluarga yang memiliki TV layar datar.
Contoh-2. Dilakukan investigasi menyeluruh terjadi proses produksi, baik pada pada
metode lama dan dengan metode baru. Hasil yang diharapkan adalah perbaikan
kualitas produksi. Data yang ada adalah sebagai berikut: 75 dari 1500 produk
dengan metode lama tidak berkualitas baik; dengan metode baru, 80 dari 2000
produk yang tidak berkualitas baik. Tentukan 90%-selang kepercayaan untuk selisih
perbedaan proporsi produk yang tidak berkualitas baik.
33
Bab 7 - Inferensi Statistik: Uji Hipotesis
Silabus: Uji 2 mean, uji 2 proporsi.
34