Templat tugas akhir S1

PELUANG PARTIKEL PLASMA BERADA PADA DIMENSI DEBYE
AKIBAT GANGGUAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER
SISKA CLARA SARI
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Peluang Partikel
Plasma berada pada Dimensi Debye akibat Gangguan Gelombang
Elektromagnetik dengan menggunakan Persamaan Schrödinger adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2014
Siska Clara Sari
NIM G74100024
ABSTRAK
SISKA CLARA SARI. Peluang Partikel Plasma berada pada Dimensi Debye
akibat Gangguan Gelombang Elektromagnetik dengan menggunakan Persamaan
Schrödinger. Dibimbing oleh ABDUL DJAMIL HUSIN.
Penyelesaian persamaan Schrödinger dengan potensial Coulomb plasma
dalam koordinat bola menghasilkan solusi persamaan gelombang dan energi
partikel plasma. Rapat peluang elektron dan ion pada daerah Debye dengan
pengaruh termal adalah sama, yang menandakan plasma dalam keadaan netral.
Gangguan gelombang elektromagnetik berupa medan listrik pada plasma
diberikan untuk memperoleh fungsi gelombang sistem terganggu. Rapat peluang
partikel plasma akibat gangguan gelombang elektromagnetik tertinggi diperoleh
ketika frekuensi gelombang elektromagnetik 1.41 kali frekuensi plasma.
Kata kunci: gelombang elektromagnetik, plasma, Schrodinger
ABSTRACT
SISKA CLARA SARI. Probability Particle Plasma in Debye Length due to
Electromagnetic Waves with Schrödinger Equations. Supervised by ABDUL
DJAMIL HUSIN.
The solution of Schrodinger equations with plasma Coulomb potential in
spherical coordinat results solution wave function and energy plasma particle.
Electron probability density at Debye length with thermal effect same as ion,
which indicates plasma in neutral state. Electromagnetic waves perturbation of an
electric field given to result wave function perturbation system. The probability
density of plasma particle due to electromagnetic waves perturbation is the largest
when an electromagnetic waves frequency 1.41 times the plasma frequency .
Keywords: electromagnetic wave, plasma, Schrödinger
PELUANG PARTIKEL PLASMA BERADA PADA DIMENSI DEBYE
AKIBAT GANGGUAN GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN SCHRÖDINGER
SISKA CLARA SARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Peluang Partikel Plasma Berada Pada Dimensi Debye Akibat
Gangguan Gelombang Elektromagnetik dengan Menggunakan
Persamaan Schrödinger
Nama
: Siska Clara Sari
NIM
: G74100024
Disetujui oleh
Abdul Djamil Husin, M.Si
Pembimbing
Diketahui oleh
Dr Akhiruddin Maddu
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2013 ini ialah
Fisika Plasma dalam Bidang Energi Termonuklir, dengan judul Peluang Partikel
Plasma berada pada Dimensi Debye akibat Gangguan Gelombang
Elektromagnetik dengan menggunakan Persamaan Schrödinger.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Kedua orang tua tercinta Bapak Yulianto dan Ibu Yulina Sari, serta adik
penulis Yoanda Dwi Praditya yang tidak henti memberikan doa dan
dukungannya.
2. Bapak Abdul Djamil Husin, M.Si selaku dosen pembimbing yang telah
memberikan saran serta arahan selama penelitian dan penulisan karya
ilmiah ini.
3. Bapak Dr. Akhiruddin Maddu dan Ibu Dr. Siti Nikmatin selaku dosen
penguji atas saran dan masukkannya dalam karya ilmiah ini.
4. Bapak Sidikrubadi Pramudito, M.Si selaku dosen pembimbing akademik
selama perkuliahan, Bapak Dr. Husin Alatas selaku kepala bagian Fisika
Teori, seluruh dosen dan staf departemen Fisika IPB, serta staf
Perpustakaan FMIPA dan IPB yang telah banyak membantu penulis
dalam menyelesaikan perkuliahan di departemen Fisika.
5. Teman-teman Fisika IPB 47, senior, dan junior, sepupu tersayang
(Septina Maulida, S.Si), teman sebimbingan (Fahmi Rahmatia), Crazy
People, New Seals, Genk Tjantik, Kost Putri Chika, dan Keluarga
Mahasiswa Lampung atas segala doa, dukungan, dan bantuannya.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juni 2014
Siska Clara Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Reaksi Fusi dan Plasma
2
Debye Sheilding
2
Gelombang Pada Plasma dengan Pemodelan Fluida
3
Persamaan Schrödinger
4
Teori Gangguan Bergantung Waktu
5
METODE
6
Waktu dan Tempat Penelitian
6
Metode Penelitian
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
SIMPULAN DAN SARAN
7
17
Simpulan
17
Saran
17
DAFTAR PUSTAKA
18
RIWAYAT HIDUP
19
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
19
DAFTAR TABEL
1
Rapat peluang untuk lima keadaan kuantum
12
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
Rapat peluang elektron tanpa gangguan medan listrik 13
Rapat peluang ion tanpa gangguan medan listrik
(a) Rapat peluang elektron akibat gangguan medan listrik terhadap
daerah Debye (r) (b) terhadap waktu (t)
(a) Rapat peluang ion akibat gangguan medan listrik terhadap daerah
Debye (r) (b) terhadap waktu (t)
13
16
16
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Reaksi fusi merupakan reaksi penggabungan dua inti atom ringan menjadi
inti atom yang lebih berat sambil melepaskan energi. Reaksi fusi dapat terjadi
pada fasa plasma, yaitu bentuk ke-empat dari materi yang dicirikan dengan bentuk
gas yang mengalami ionisasi.1 Untuk mencapai fasa plasma dibutuhkan
temperatur yang sangat tinggi yang setara dengan energi ionisasi atom. Interaksi
elektomagnetik antar partikel bermuatan dalam plasma dapat terjadi pada daerah
Debye yang memiliki orde sekitar milimeter. Selain pada daerah Debye partikel
bermuatan dalam plasma dianggap sama seperti fluida. Inersia ion positif yang
lebih besar membuat pergerakan ion positif lebih lambat dibandingkan elektron
sehingga membuat peluang untuk terjadinya tumbukan antar ion-ion positif lebih
kecil dibandingkan ion.
Persamaan gelombang pada plasma dengan mengaggap plasma berperilaku
seperti fluida telah diselesaikan dengan mencari solusi dari persamaan kontinuitas
dan transfer momentum fluida plasma yang merupakan bentuk persamaan
kerapatan partikel pada plasma, yaitu elektron dan ion yang mengindikasikan
bahwa dengan adanya gangguan gelombang elektromagnetik maka kerapatan
elektron dan ion pada daerah Debye meningkat. Penelitian ini dilakukan dengan
meninjau plasma terdiri atas partikel bermuatan yaitu elektron dan ion yang
bergerak bebas dalam ruang tiga dimensi sehingga peluang keberadaan partikel
plasma pada daerah Debye dapat diketahui dengan menyelesaikan persamaan
Schrödinger untuk masing-masing keadaan yaitu tanpa gangguan dan dengan
gangguan gelombang elektromagnetik.
Perumusan Masalah
Menghitung peluang keberadaan suatu partikel dalam plasma yang
merupakan keadaan gas yang terionisasi dapat diketahui dengan terlebih dahulu
mencari persamaan gelombang untuk masing-masing keadaan yaitu sebelum
diberi gangguan dan setelah diberi gangguan berupa gelombang elektromagnetik.
Persamaan fungsi gelombang ini dapat dihasilkan dengan menyelesaikan
persamaan Schrödinger tiga dimensi dalam koordinat bola menggunakan metode
pemisahan variabel sehingga diperoleh tiga persamaan utama yaitu waktu, angular
dan radial. Penyelesaian persamaan-persamaan tersebut menggunakan fungsi
diferensial Legendre untuk persamaan angular dan fungsi diferensial Lageurre
untuk persamaan radial. Plasma dengan gangguan gelombang elektromagnetik
diselesaikan dengan mencari fungsi eigen sistem terganggu.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui peluang keberadaan ion
dan elektron pada dimensi Debye plasma sebelum diberi gangguan dan setelah
diberi gangguan gelombang elektromagnetik dengan persamaan Schrödinger
untuk menghasilkan reaksi fusi terkontrol.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Reaksi Fusi dan Plasma
Energi dari matahari dan bintang merupakan hasil reaksi termonuklir. Di
bumi reaksi termonuklir atau disebut sebagai reaksi fusi terkontrol merupakan
penggabungan dua inti atom ringan menjadi inti atom lebih berat sambil
melepaskan energi. Agar reaksi fusi dapat terjadi maka inti-inti harus bergabung
dengan melawan gaya tolakan Coulomb. Salah satu cara untuk melawan gaya
tolakan Coulomb adalah dengan memanasi ion-ion tersebut dengan suhu yang
sangat tinggi, sehingga ion-ion dapat bergerak secara acak mengakibatkan ion-ion
bertumbukan dan bergabung, yaitu dengan melawan gaya tolakan Coulomb.
Plasma merupakan bentuk ke-empat dari materi yang berbeda dengan zat
padat dan fluida (zat cair dan gas).1 Ketika zat padat dipanaskan maka akan ada
perubahan fasa menjadi zat cair dan gas, jika pemanasan dilakukan terus-menerus
hal ini dapat merusak energi ikat yang dimiliki oleh elektron dengan inti atom,
akibatnya elektron akan keluar dari orbitalnya maka elektron dikatakan
mengalami ionisasi. Keadaan dimana gas mengalami ionisasi inilah yang disebut
sebagai plasma. Plasma terdiri dari partikel-partikel bermuatan listrik yang saling
terikat oleh gaya Coulomb sehingga memberikan sifat kolektif pada plasma. Sifat
listrik yang dimiliki plasma inilah yang membedakannya dengan fluida lain
karena muatan-muatan pada plasma saling berkumpul membangkitkan konsentrasi
muatan positif atau muatan negatif sehingga menghasilkan medan listrik. Selain
itu gerak dari muatan ini juga membangkitkan arus listrik dan medan magnet.
Gaya yang dirasakan oleh masing-masing partikel pada keadaan dimana tidak ada
gangguan.3
(1)
Persamaan (1) menyatakan bahwa setiap muatan q akan mendapatkan
pengaruh medan listrik E akibat kumpulan muatan disekitarnya dan medan
magnet B akibat pergerakan muatan-muatan disekitarnya.
Debye Shielding
Karakteristik fundamental pada sifat kolektif plasma yaitu kemampuannya
dalam melindungi diri dari potensial listrik yang diberikan. Hal ini disebabkan
oleh konduktivitas listrik yang tinggi yang dimiliki plasma, sehingga arus listrik
yang masuk seolah akan dihubung pendek dalam ruang.3Panjang Debye dituliskan
dalam persamaan:
(2)
dengan
dan T merupakan kerapatan elektron dalam plasma dan
temperatur elektron dalam plasma. Panjang Debye didefinisikan menggunakan
kerapatan dan temperatur elektron karena elektron lebih lebih mudah bergerak
dibandingkan ion. Adanya panjang Debye ini dapat diketahui rata-rata jumlah
partikel dalam bola Debye yang berkaitan dengan parameter plasma.
3
(3)
Telah diketahui bahwa panjang Debye sangat kecil dibandingkan dengan
plasma yang menyebabkan adanya sifat kolektif plasma.
Gelombang Pada Plasma dengan Pemodelan Fluida
Osilasi gelombang pada plasma merupakan fluktuasi kerapatan partikelpartikel dalam plasma.3 Plasma dapat dimodelkan dengan menggunakan dua
model fluida yaitu fluida elektron dan fluida ion. Persamaan kontinuitas dan
persamaan trasnfer momentum diperoleh dari persamaan Vlasov,
(4)
(5)
dengan n,u,q,E,p, dan m berturut-turut menyatakan kerapatan partikel,
kecepatan partikel, muatan, medan listrik, dan tekanan partikel, serta j
menyatakan jenis partikel. Persamaan diatas dapat diselesaikan menggunakan
persamaan Maxwell (sistem satuan cgs dalam esu).4
(6)
(7)
(8)
-
(9)
E = medan listrik, B = medan magnet, J = rapat arus, c = kecepatan cahaya.
Bentuk persamaan osilasi kerapatan elektron dan ion dengan mengganggap tidak
ada faktor medan eksternal yang mempengaruhi plasma dapat dituliskan dalam
bentuk linieritas berikut.3
(10)
Persamaan osilasi elektron akibat pengaruh termal dituliskan sebagai berikut,
(11)
dengan
merupakan kecepatan elektron karena pengaruh termal dan
merupakan frekuensi sudut plasma elektron karena pengaruh internal yang
memiliki harga
(12)
Persamaan osilasi ion akibat pengaruh termal dituliskan sebagai berikut,
(13)
dengan Z adalah nomor atom atau jumlah proton, M adalah massa ion, energi
termal yang diterima elektron dan adalah energi termal yang diterima ion.
Persamaan osilasi kerapatan ion dan elektron didalam plasma dengan
adanya gangguan gelombang elektromagnetik didapatkan dengan menyelesaikan
persamaan kontinuitas dan transfer momentum dari persamaan Vlasov dengan
meninjau bahwa
,
dengan
adalah osilasi
kerapatan partikel j karena pengaruh termal dan
adalah osilasi
4
kerapatan partikel j karena pengaruh gelombang elektromagnetik. Bentuk osilasi
kerapatan elektron dan ion karena pengaruh medan elektromagnetik dapat
dituliskan dalam persamaan berikut.3
(14)
(15)
Bentuk
merupakan bentuk osilasi medan internal karena pengaruh
medan elektrostatik luar dengan
adalah amplitudo medan elektrostatik dari luar
dan adalah eksitasi medan internal.
Persamaan Schrödinger
Fungsi gelombang merupakan kuantitas variabel yang memberikan
karakteristik dari gelombang de Broglie dengan lambang Ψ. Harga fungsi
gelombang yang berkaitan dengan sebuah benda bergerak pada suatu titik tertentu
x, y, z dalam ruang pada saat t bertautan dengan peluang untuk mendapatkan
benda tersebut ditempat pada saat t.2
Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variabel
y dalam gerak gelombang pada umumnya namun dapat berupa kuantitas yang
kompleks karena Ψ bukanlah kuantitas yang dapat diukur. Fungsi gelombang Ψ
untuk partikel bebas dituliskan sebagai berikut.2
(15)
Selanjutnya dengan menurunkan dua kali persamaan (16) terhadap x, sekali
terhadap t, dan dengan mengambil syarat
maka diperoleh bentuk
persamaan Schrödinger yang bergantung waktu dalam tiga dimensi koordinat
kartesian yaitu
(16)
dengan memasukkan energi potensial plasma yaitu
(17)
ND, q, D, r berturut-turut adalah banyaknya partikel pada panjang Debye,
muatan partikel, panjang Debye, dan jari-jari bidang. Persamaan Schrödinger
yang bergantung waktu dalam tiga dimensi koordinat kartesian yaitu
(18)
Persamaan Schrodinger dalam koordinat kartesian kadang rumit untuk
diselesaikan sehingga penggunaan koordinat bola menjadi hal yang penting untuk
diperhatikan. Dalam koordinat bola persamaan Schrödinger memiliki bentuk
(19)
Persamaan Schrödinger ini merupakan suatu postulat yang dianggap benar
dan dapat diselesaikan dengan syarat batas sesuai dengan partikel yang ditinjau.
5
Teori Gangguan Bergantung Waktu
Persamaan Schrödinger bergantung waktu sebelum gangguan
(20)
Pemisahan variabel
(21)
dimana
merupakan persamaan Schrödinger bebas waktu yang memiliki
bentuk Hamiltonian,
(22)
Misalkan terdapat dua level energi a dan b maka bentuk Hamiltonian di atas
dapat dituliskan.
(23)
(24)
yang memiliki sifat orthogonalitas
(25)
dalam ekspersi kombinasi linier persamaan Schrödinger bebas waktu memiliki
bentuk
(26)
5
jika bergantung waktu menjadi:
(27)
dengan hasil normalisasi yaitu
(28)
Suatu sistem yang mengalami gangguan harus ditentukan terlebih dahulu
bentuk gangguan yang akan diberikan, dengan menganggap gangguan yang
diberikan sangat kecil dan bergantung waktu, sistem Hamiltonian dengan ada
gangguan
H=H0+H’(t)
(29)
H0 adalah sistem Hamiltonian tanpa gangguan dan H’(t) adalah bentuk
gangguan bergantung waktu, maka persamaan Schrödinger memiliki bentuk
(31)
berdasarkan sifat orthogonalitas bentuk persamaan diatas dapat dipecahkan dan
diperoleh 5
(32)
(33)
Persamaan diatas memperlihatkan bahwa Ca dan Cb merupakan fungsi yang
bergantung terhadap waktu. Untuk kasus khusus elemen diagonal matrik akan
saling menghilangkan, dimana
(34)
(35)
Dapat ditentukan Ca dan Cb untuk orde ke-n dimana n=0,1,2,..., sehingga
peluang keberadaan atau transisi suatu partikel dapat diketahui, yaitu
6
(36)
Orde ke-nol
(37)
Orde ke-1
(38)
(39)
METODE
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada bulan November 2013 sampai bulan Maret
2014.Tempat penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi
Departemen Fisika Institut Pertanian Bogor.
Metode Penelitian
Dengan menggunakan persamaan Schrödinger yang bergantung waktu akan
dicoba untuk mencari peluang keberadaan partikel plasma sebelum dan setelah
diberi gangguan gelombang elektromagnetik. Penyelesain persamaan Schrodinger
sebelum diberi gangguan dengan teknik pemisahan variabel, sedangkan
penyelesaian persamaan Schrödinger setelah diberi gangguan gelombang
elektromagnetik dengan teknik penyelesaian teori gangguan. Teknik pemisahan
variabel pada persamaan Schrödinger tanpa gangguan menghasilkan tiga
persamaan, yaitu :
1. Persamaan fungsi waktu
(40)
2. Persamaan angular
(41)
3. Persamaan radial
(42)
Selanjutnya dengan memberikan gangguan gelombang elektromagnetik
berupa medan listrik pada sumbu z, yaitu :
(43)
diperoleh energi partikel plasma pada daerah Debye akibat adanya medan listrik
yang besarnya :
(44)
Sehingga gangguan sistem dapat dituliskan :
(45)
(46)
7
dengan
merupakan bentuk gangguan bebas waktu dengan z
merupakan operator qr dalam arah z saja.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Plasma didefinisikan sebagai gas yang terdiri dari partikel-partikel
bermuatan listrik yang bergerak bebas yaitu elektron dan ion. Plasma terbentuk
pada temperatur tinggi ketika elektron-elektron terpisah dari atom netral atau
disebut elektron mengalami ionisasi. Plasma sebagai gas bermuatan listrik
sehingga penyelesaian permasalahan mengenai plasma dapat dianalogikan dengan
persamaan-persamaan pada fluida. Gerak partikel plasma yang dianalogikan
seperti gerak fluida mengakibatkan hilangnya hubungan korelasi yaitu tidak
adanya energi Coulomb pada plasma. Jika partikel-partikel bermuatan listrik pada
plasma terdistribusi seragam maka jumlah elektron akan sama dengan jumlah ion
sehingga plasma tidak memiliki energi Coulomb dikatakan plasma dalam keadaan
netral. Tidak adanya energi Coulomb artinya ketika muatan uji diberikan pada
plasma maka tidak ada energi yang diperlukan untuk menghilangkan partikel
plasma dari posisi netral hingga posisi tertentu. Namun dalam kenyataannya
meskipun plasma dalam keadaan netral pergerakan elektron akan lebih cepat
dibandingkan ion karena elektron memiliki massa yang lebih ringan dibanding ion.
Jika memperhatikan gerakan elektron ini maka akan ada energi Coulomb pada
plasma yang besarnya negatif karena elektron akan cenderung menarik ion
dibandingkan menolak elektron sesamanya. Jika diberikan muatan uji
pada
maka potensial listrik yang dialami disekitar muatan ini adalah:6
(47)
Sehingga energi Coulomb yang dibutuhkan untuk menghilangkan partikel
plasma disekitar medan potensial ini yaitu:
(48)
Muatan uji diberikan berupa muatan positif yang cenderung menarik
elektron sehingga energi Coulomb akibat medan potensial dengan menanggap
terdapat NDpartikel plasma di dalam dimensi Debye yaitu:
(49)
Energi Coulomb ini menyatakan besarnya usaha yang dibutuhkan untuk
menghilangkan partikel plasma disekitar medan potensial akibat muatan uji.
Selanjutnya plasma dapat ditinjau sebagai gas bermuatan listrik yang difokuskan
bahwa partikel-partikel plasma bergerak bebas dalam ruang tiga dimensi sehingga
dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger dapat diketahui energi eigen,
fungsi eigen, dan rapat peluang keberadaan partikel-partikel plasma dalam
dimensi Debye.
Plasma tanpa Gangguan Medan Listrik
Penyelesaian dari persamaan (19) adalah
8
dengan teknik pemisahan variabel
maka
dihasilkan tiga buah persamaan dalam fungsi waktu, angular, dan radial yang
masing-masing berbentuk :
Persamaan fungsi waktu
(50)
Persamaan angular
(51)
Persamaan radial
(52)
Penyelesaian untuk masing-masing persamaan di atas adalah :
Penyelesaian persamaan fungsi waktu :
, sehingga penyelesaian fungsi waktu adalah
(53)
Penyelesaian persamaan angular berupa :
(54)
Persamaan ini didapatkan dengan menggunakan bantuan persamaan Legendre
terasosiasi yang tidak ditampilkan dalam pembahasan ini karena hasil
normalisasinya berupa konstanta yang tidak bergantung pada semua
sehingga tidak digunakan untuk penyelesaian rapat peluang.
Penyelesaian persamaan radial dapat dilakukan dengan menyelesaikan
persamaan pada ruas kiri terlebih dahulu sehingga diperoleh :
(55)
Misalkan
(56)
(57)
(58)
(59)
bentuk ini dibatasi pada keadaan energi terikat yaitu keadaan dengan energi
negatif
. Subtitusikan permisalan di atas pada persamaan radial
sehingga diperoleh
(60)
9
Pada daerah tak terhingga
maka persamaan (58) menjadi:
(61)
sehingga diperoleh penyelesaian fungsi R yaitu
(62)
yang memiliki penyelesaian lengkap
(63)
Selanjutnya untuk membuktikan penyelesain ini dapat digunakan maka
lakukan diferensial terhadap penyelesaian tersebut.
Jika dimasukkan ke persamaan (60) maka didapatkan bentuk
(64)
Bentuk persamaan (62) divergen atau menjadi tak terhingga pada saat
sehingga solusinya dapat diungkapkan dalam bentuk deret metode Frobenius,
yaitu:
Masukkan kembali bentuk deret diatas ke dalam persamaan (60), diperoleh:
(65)
Selanjutnya selesaikan persamaan pada ruas kiri untuk s=0.
Karena
maka akar-akar bagi v diperoleh:
Solusi yang sesuai diperoleh pada saat
menjadi divergen untuk
Persamaan (63) menjadi:
, karena pada
solusi
Sehingga diperoleh hubungan rekursi
(66)
untuk
10
bentuk ini mengambil bentuk umum yang sederhana dengan
maka
mengakibatkan
bentuk ini setara dengan bentuk asimtotik bagi
penyelesaian lengkap fungsi R menjadi:
sehingga
(67)
Hasil penyelesaian ini jelas ditolak kecuali bentuk ini terbentuk dalam
dengan
polinomial, sehingga harus dilakukan uji kembali untuk
mengasumsikan
.
Bentuk diferensialnya:
Masukkan bentuk diferensial ini ke persamaan (62) dan diperoleh:
(68)
pisahkan
dan
.
persamaan (66) dapat disederhanakan menjadi:
(69)
Persamaan (69) merupakan persamaan Lagueree terasosiasi yang memiliki bentuk
umum:7
(70)
sedemikian sehingga:
merupakan permisalan diawal persamaan yang mencakup energi dengan
memisalkan
untuk
maka pada persamaan (66) diperoleh:
Jika
11
(71)
merupakan energi eigen sistem.
Selanjutnya,
Penyelesaian persamaan Lagueree terasosiasi menjadi:
dengan
lengkapnya:
dan
bentuk penyelesaian
(72)
merupakan konstanta normalisasi
(73)
dengan
(74)
(75)
menyatakan jari-jari antar partikel-partikel dalam plasma, m massapartikel
(elektron atau ion), ND banyaknya partikel, tetapan Planck, q muatan partikel
(elektron atau ion), k tetapan dieletrik, dan
panjang dimensi Debye. Sehingga
diperoleh fungsi gelombang pada plasma dengan adanya energi Coulomb, yaitu :
dengan
Energi didapatkan dari persamaan (71).
12
Hasil pada fungsi gelombang dan energi dipengaruhi oleh tiga bilangan
kuantum yaitu bilangan kuantum utama (n), bilangan kuantum orbital (l), dan
bilangan kuantum magnetik (m) yang besarnya yaitu:
Rapat Peluang
Kerapatan peluang partikel pada titik
pada waktu t berbanding lurus
dengan
d3r yang artinya peluang untuk mendapatkan partikel tersebut pada
saat t dalam volume
.
(76)
Kerapatan peluang untuk mendapatkan partikel plasma hanya dipengaruhi
oleh fungsi radial saja karena kerapatan peluang pada fungsi waktu dan fungsi
angular merupakan konstanta yang tidak bergantung dari semua
.
Kerapatan peluang radial tidak hanya dipengaruhi oleh r, namun juga berubah
terhadap kombinasi bilangan kuantum utama dan bilangan kuantum orbital.
Berdasarkan kombinasi bilangan kuantum rapat peluang radial diperlihatkan pada
tabel di bawah ini.
Tabel 1 Rapat peluang untuk lima keadaan kuantum
n
l
1
0
2
0
2
1
3
0
3
1
P(r)
Hasil plot grafik rapat peluang radial elektron dan ion terhadap r dalam
satuan meter ditunjukkan pada gambar 1 dan gambar 2.
13
0.35
n=1,l=0
n=2,l=0
n=2,l=1
n=3,l=0
n=3,l=1
0.3
0.25
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
r(m)
-11
x 10
Gambar 1 Rapat peluang elektron tanpa gangguan medan listrik
0.35
n=1,l=0
n=2,l=0
n=2,l=1
n=3,l=0
n=3,l=1
0.3
0.25
P
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
0.2
0.4
0.6
r(m)
0.8
1
1.2
-14
x 10
Gambar 2 Rapat peluang ion tanpa gangguan medan listrik
Hasil grafik di atas memperlihatkan besar rapat peluang elektron dan ion
akibat pengaruh termal yang dipengaruh oleh bilangan kuantum utama dan
bilangan kuantum orbital. Besar rapat peluang elektron dan ion menunjukkan nilai
yang sama untuk masing-masing bilangan kuantum yaitu pada data1(n=1,l=0)
0.3871, data2 (n=2,l=0) 0.1365, data3 (n=2,l=1) 0.1397, data4 (n=3,l=0) 0.0363,
dan data5 (n=3,l=1) 0.0728. Pada keadaan dasar yaitu ketika n=1 dan l=0
diperoleh rapat peluang elektron dan ion tertinggi, hal ini karena sifat partikel
yang akan selalu mengisi pada tingkat energi dasar terlebih dahulu kemudian
mengisi tingkat energi selanjutnya. Pada gambar 1 elektron telah berada pada
posisi 10-11 meter daerah Debye, sedangkan pada gambar 2 ion berada pada posisi
10-14 meter daerah Debye, artinya elektron lebih cepat menuju daerah Debye
dibandingkan ion. Hal ini dikarenakan inersia ion yang lebih besar sehingga
bergerak lebih lambat dibandingkan elektron. Hasil rapat peluang elektron dan ion
ini menunjukkan bahwa pergerakan elektron dan ion merupakan fungsi
eksponensial negatif yang besar rapat peluangnya berubah-ubah terhadap bilangan
kuantum utama dan bilangan kuantum orbital, selain itu untuk mencapai daerah
14
Debye pergerakan ion masih sangat lambat dibandingkan elektron, sehingga perlu
adanya energi tambahan agar elektron dan ion dapat bergerak lebih cepat menuju
daerah Debye yang membuat peluang terjadinya tumbukan antar ion-ion semakin
besar, sehingga peluang reaksi fusi semakin besar.
Plasma dengan Gangguan Medan Listrik
Medan listrik luar diberikan pada sumbu z saja :
(77)
Energi untuk partikel bermuatan akibat adanya medan listrik diberikan oleh :
(78)
(79)
Besar energi ini yang merupakan gangguan yang akan diberikan pada plasma,
sehingga dapat dituliskan :
Bentuk
karena
merupakan diagonal matriks operator
qr pada komponen z. Bentuk gangguan bergantung waktu pada dua level keadaan
yaitu 1 dan 2.
(80)
Berdasarkan teori gangguan bergantung waktu dengan meninjau pada dua level
keadaan 1 dan 2, diperoleh persamaan :
(81)
(82)
dengan
(83)
dimana dan
merupakan peluang keberadaan partikel pada fungsi
dan
yang
bergantung
waktu.
Gangguan
dianggap
sangat
kecil
sehingga
dianggap sebagai pengganggu bagi
, sehingga Hamiltonian
dengan gangguan menjadi :
(84)
dimana
karena meninjau pada dua level keadaan yaitu 1 dan 2 maka :
(85)
sehingga untuk memperoleh fungsi eigen
terlebih dahulu perlu mendapatkan
dan
. Karena gangguan sangat kecil jika partikel dianggap bergerak
dari keadaan 1 ke keadaan 2 pada keadaan “lower state” maka :
dan
(86)
yang menandakan apabila partikel-partikel ini tidak mendapatkan gangguan maka
partikel-partikel ini akan berada pada keadaan ini untuk selamanya. Selanjutnya
dengan adanya gangguan kita dapat mengetahui
dan
dengan
melakukan uji – uji orde.
15
Orde ke - 0
disebut sebagai boundary state.
Orde ke -1
;
(87)
(88)
(89)
asumsi
, maka :
(90)
Sehingga fungsi gelombang untuk dua level keadaan diperoleh :
(91)
Maka peluang keberadaan partikel yang bergerak dari keadaan “boundary state”
(92)
(93)
dengan
,
merupakan frekuensi plasma yang didapatkan pada dua
level energi eigen atau merupakan frekuensi plasma akibat adanya pengaruh
termal saja, merupakan frekuensi gelombang elektromagnetik yang diberikan.
Besarnya frekuensi gelombang elektromagnetik yang dapat diberikan pada plasma
didasarkan pada hubungan potensial vektor dengan medan magnet dan medan
listrik dalam plasma sehingga diperoleh persamaan:
(94)
dengan
, adalah kelipatan bilangan bulat.
16
Persamaan (94) merupakan syarat batas bagi frekuensi gelombang
elektromagnetik untuk bisa menembus plasma, artinya tidak semua frekuensi
gelombang elektromagnetik boleh masuk ke dalam plasma. Ketika syarat ini telah
terpenuhi maka akan ada perubahan osilasi partikel-partikel plasma. Perubahan
osilasi yang diharapkan adalah menambah peluang keberadaan ion-ion didalam
dimensi Debye sehingga peluang tumbukan antar ion-ion semakin besar dan
peluang reaksi fusi semakin besar. Selanjutnya dengan mengambil tiga variasi
frekuensi gelombang elektromagnetik sebesar 1.41
diperoleh grafik hubungan r dan rapat peluang, serta t dan rapat peluang akibat
gangguan gelombang elektromagnetik yang ditunjukkan pada gambar di bawah
ini.
0.7
0.7
0.6
=1,41
=1,73
=2,24
0.5
=1,41
=1,73
=2,24
0.6
0
0
0.5
0
0.4
0
0
0
0.4
P
P
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0.5
1
1.5
r(m)
2
2.5
0
3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
t(s)
-10
x 10
1.8
-4
x 10
(a)
(b)
Gambar 3 (a) Rapat peluang elektron akibat gangguan medan listrik terhadap
daerah Debye (r) (b) terhadap waktu (t)
-4
3.5
-4
x 10
3.5
=1,41
w=2w0 0
w=3w0
=1,73
0
w=5w0
=2,24 0
3
2.5
x 10
=1,41
=1,73
=2,24
3
2.5
2
0
0
0
2
P
P
1.5
1.5
1
1
0.5
0
0.5
0
0.2
0.4
0.6
r(m)
0.8
1
1.2
-13
x 10
0
0
1
2
3
4
t(s)
5
6
7
8
-3
x 10
(a)
(b)
Gambar 4 (a) Rapat peluang ion akibat gangguan medan listrik terhadap daerah
Debye (r) (b) terhadap waktu (t)
Gambar 3 dan 4 menunjukkan hubungan rapat peluang dan r (daerah
Debye) serta rapat peluang dan t (waktu) untuk elektron dan ion dengan frekuensi
gelombang elektromagnetik sebesar
dan
yang
memperlihatkan bahwa partikel-partikel plasma berosilasi secara sinusoidal.
Rapat peluang elektron akibat gangguan meningkat dibandingkan sebelum adanya
gangguan dan pergerakan elektron semakin cepat, ditunjukkan oleh rapat peluang
tertinggi yang berada pada posisi 10-10 meter. Berbeda dengan elektron, rapat
17
peluang ion menurun dibandingkan sebelum adanya gangguan namun pergerakan
ion semakin cepat, ditunjukkan oleh rapat peluang tertinggi yang berada pada
posisi 10-13 meter, menurunnya rapat peluang ion ini dikarenakan inersia ion yang
lebih besar dibandingkan elektron.
Semakin besar frekuensi gelombang elektromagnetik yang diberikan
peluang keberadaan elektron dan ion pada daerah Debye menurun, peluang
terbesar diperoleh ketika frekuensi gelombang elektromagnetik
Untuk
memperoleh rapat peluang tertinggi maka frekuensi gelombang elektromagnetik
yang dapat diberikan yaitu mendekati besarnya frekuensi plasma, namun karena
adanya syarat minimal untuk frekeunsi yang dapat masuk ke dalam plasma, maka
merupakan frekuensi yang dipilih dalam penelitian ini.
Rapat peluang elektron lebih besar dibandingkan rapat peluang ion dan
waktu yang dibutuhkan elektron untuk mencapai daerah Debye lebih singkat
dibandingkan ion. Hal ini karena inersia ion yang lebih besar sehingga osilasi ion
lebih lambat.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Persamaan gelombang partikel pada plasma telah diselesaikan dengan
menggunakan persamaan Schrödinger bergantung waktu. Rapat peluang partikel
plasma dengan gangguan medan listrik menghasilkan fungsi sinusoidal, berbeda
dengan rapat peluang partikel plasma tanpa gangguan yang merupakan fungsi
eksponensial negatif. Sebelum diberi gangguan medan listrik pergerakan elektron
menuju daerah Debye lebih cepat 103 kali dibandingkan pergerakan ion dengan
besar rapat peluang yang sama. Rapat peluang sebelum adanya gangguan ini
mengindikasikan plasma dalam keadaan netral. Selanjutnya dengan adanya
gangguan medan listrik rapat peluang elektron meningkat lebih besar
dibandingkan ion dan membutuhkan waktu yang lebih singkat untuk mencapai
daerah Debye. Hal ini megindikasikan ketika ion mencapai daerah Debye maka
elektron telah meninggalkan daerah Debye, akibatnya peluang tumbukan antar ion
pada daerah Debye semakin besar sehingga reaksi fusi dapat berlangsung.
Gelombang elektromagnetik mendorong elektron keluar daerah Debye dan
mendorong ion memasuki daerah Debye. Frekuensi gelombang elektromagnetik
mempengaruhi besarnya rapat peluang, rapat peluang tertinggi diperoleh ketika
frekuensi gelombang elektromagnetik 1.41 kali frekuensi plasma.
Saran
Penelitian selanjutnya sebaiknya memperhatikan transformasi koordinat
dalam menyelesaikan persamaan Schrödinger yang disesuaikan dengan
kungkungan plasma yang sebenarnya seperti tokamak, sehingga koordinat yang
digunakan merupakan koordinat pada tokamak. Dalam penelitian ini gerakan
partikel plasma yang bersifat heliks tidak dimasukkan dalam analisa hasil,
sebaiknya penelitian selanjutnya memperhatikan faktor ini.
18
DAFTAR PUSTAKA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Howard, John. Introduction to Plasma Physics C17 LectrureNotes. Plasma
Research Laboratory. Australian National University. Australia. 2002.
Beiser, Arthur. Konsep Fisika Modern Edisi Keempat. Erlangga: Jakarta.
1992.
Kruer, Willian L. The Physics of Laser Plasma Interaction. AddisonWesley Publishing Company, Inc. United States of America. 1988.
Griffiths, D.J. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall International,
Inc. New Jersey. 1989.
Griffiths, D.J. Introduction to Quantum Mechanics. Prentice-Hall
International, Inc. New Jersey. 1994.
Krall, Nicholas A. Principles of Plasma Physics. McGraw-Hill, Inc.
Tokyo Japan. 1973.
Hassani, Sadri. Mathematical Methods. Springer-Verlag, Inc. New York.
2000.
Rosario, Brilyan. [Skripsi]. Uraian Rinci Solusi Persamaan Schrodinger
untuk Potensial Coulomb Simetri Bola. Program Studi Fisika. FMIPA.
Universitas Hasanuddin. 2013
Ruswandi, Erus. [Skripsi]. Interaksi Gelombang Elektromagnetik dengan
Plasma. Program Studi Fisika. FMIPA. IPB. 2006.
Zettili, Nouredine. Quantum Mechanics : Concept and Aplpication. John
Wiley & Sons, Ltd. England. 2001.
Fletcher, Glenn. Introduction Mathematical Methods in Physics. Wm. C.
Brown Communication, Inc. United State of America. 1994.
19
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Metro provinsi Lampung pada tanggal 31 Juli
1992 sebagai anak pertama dari dua bersaudara pasangan Bapak Yulianto dan Ibu
Yulina Sari. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 1
Perumnas Way Kandis pada tahun 2004, melanjutkan pendidikan menengah
pertama di SMP Negeri 12 Bandar Lampung lulus tahun 2007, dan melanjutkan
pendidikan menengah atas di SMA Negeri 3 Bandar Lampung lulus tahun 2010.
Pada tahun 2010 penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) sebagai mahasiswi Departemen Fisika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada tahun 2011 penulis
menerima beasiswa melalui seleksi berkas dan wawancara oleh Eka Tjipa
Foundation melalui program beasiswa Tjipta Sarjana Bangun Desa, dan dana
beasiswa diberikan selama 4 tahun perkuliahan. Selama perkuliahan penulis aktif
sebagai pengurus Himpunan Mahasiswa Fisika di departemen PSDM pada tahun
2011-2012. Penulis juga aktif sebagai asisten praktikum fisika umum dan fisika
dasar bagi mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB pada tahun 20122014. Selain itu penulis juga merupakan mahasiswa penerima dana hibah dikti
pada Program Kreativitas Mahasiswa bidang penelitian tahun 2014.