Eliminasi Gauss

Aljabar Linier & Matriks
Tatap Muka 3
1
Eliminasi Gauss-Jordan
 Sistem persamaan linier dengan n variabel dan m persamaan
secara umum dinyatakan sbg:
 Sistem persamaan linier tsb dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks sbb:
AxX=b
dengan A adalah matriks koefisien disebelah kiri tanda samadengan, X adalah vektor variabel x, dan b adalah matriks
koefisien disebelah kiri tanda sama-dengan.
2
Maka:
3
 a11
a
 21
 ...

am1
a12
a22
...
am 2
... a1n   x1   b1 
... a2 n   x2   b2 


... ...   ...   ... 
    
... amn   xn  bm 
A
X
b
Selanjutnya dapat dibentuk matriks augmentasi sbb (seperti
pada materi pertemuan 1) :
 a11 a12 ... a1n b1 


 a21 a22 ... a2 n b2 
 ...
... ... ... ... 


am1 am 2 ... amn bm 
 Dengan eliminasi Gauss, maka matriks augmentasi dibawa
menjadi matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah
(tidak termasuk kolom terakhir)
 a11

 a21
 ...

am1
4
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
...
am 2 ... amn
b1 

b2 
... 

bm 
1

0
...

 0
d1 

d
1 ... c3
2
... ... ... ... 

0 ... 1 d m 
c1 ... c2
 1 0 ...

 e1 1 ...
 ... ... ...

e2 e3 ...
f1 

0 f2 
... ... 

1 f m 
0
 Dengan metode eliminasi Gauss-Jordan, sistem persamaan linier
di atas dapat diselesaikan menggunakan operasi baris elementer
sehingga diperoleh matriks yang ekivalen dengan matriks
augmentasi yang berbentuk sbb:
 a11

 a21
 ...

am1
a12
... a1n
a22
... a2 n
...
...
...
am 2 ... amn
b1 

b2 
... 

bm 
1

0
...

 0
h1 

1 ... 0 h2 
... ... ... ... 

0 ... 1 hm 
0 ... 0
Perhatikan bahwa matriks yang terdiri atas koefisien variabel
berubah menjadi matriks identitas dimana komponen pada
diagonal utama nilainya 1 dan komponen lainnya nilainya nol (tidak
termasuk kolom terakhir). Kolom terakhir menunjukkan nilai
variabel yang dicari (sesuai dengan posisinya)
5
Contoh
Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini menggunakan
eliminasi Gauss dan lanjutkan dengan eliminasi Gauss-Jordan.
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
3x  6 y  5 z  0
Penyelesaian:
Matriks augmentasi dari sistem persamaan linier adalah sbb:
6
Penyelesaian dengan eliminasi Gauss
 Jumlahkan baris ke-2 (R2) dgn (-2) kali baris pertama (R1)
atau (R2) - 2(R1) sehingga diperoleh matriks baru sbb:
 Berdasarkan matriks yang baru, jumlahkan baris ke-3 (R3)
dengan (-3) kali baris pertama (R1) atau (R3) - 3(R1) sehingga
diperoleh matriks baru sbb:
7
 Kalikan baris kedua dengan -1/2 atau –(1/2)R2 sehingga
diperoleh matriks baru sbb:
 Berdasarkan matriks yang baru, jumlahkan baris ke-3 (R3)
dengan (-3) kali baris pertama (R2) atau (R3) - 3(R2) sehingga
diperoleh matriks baru sbb:
8
 Kalikan baris ke-3 dengan –2 atau (–2)R3 sehingga diperoleh
matriks baru sbb:
 Maka terlihat bahwa matriks augmentasi telah berbentuk
matriks segitiga atas (contoh ini telah dibahas pada
pertemuan sebelumnya).
 Penyelesaian persamaan linier dapat diperoleh menggunakan
matriks ini. (Cobalah kerjakan dengan membawa matriks
augmentasi menjadi matriks segitiga bawah)
9
Penyelesaian dengan eliminasi Gauss-Jordan
 Matriks terakhir yang diperoleh pada pengerjaan
menggunakan eliminasi Gauss dapat dilanjutkan sehingga
matriks segitiga atas (bawah) dapat diubah menjadi matriks
identitas.
Langkah penyelesaian
 Jumlahkan baris ke-2 dengan 7/2 kali baris ke-3 atau
R2+(7/2)R3
 Kurangi baris ke-1 dengan 2 kali baris ke-3 atau R1 - 2R3
 Kurangi baris ke-1 dengan baris ke-2 atau R1 – R2
 Selesaikan
10
 Jumlahkan baris ke-2 dengan 7/2 kali baris ke-3 atau
R2+(7/2)R3 sehingga diperoleh matriks baru sbb:
1 1 2 9
0 1 0 2 


0 0 1 3
 Kurangi baris ke-1 dengan 2 kali baris ke-3 atau R1 - 2R3
sehingga diperoleh matriks baru sbb:
1 1 0 3
0 1 0 2 


0 0 1 3
11
 Kurangi baris ke-1 dengan baris ke-2 atau R1 – R2 sehingga
diperoleh matriks baru sbb:
1 0 0 1
0 1 0 2 


0 0 1 3
 Maka terlihat bahwa matriks terakhir yang kita peroleh telah
berbentuk matriks identitas (tanpa melihat kolom yang terakhir
atau kolom paling kanan).
 Langkah selanjutnya adalah membawa kembali matriks yang
diperoleh menjadi dalam bentuk persamaan linier, yaitu
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
12
Soal Latihan
Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini menggunakan
elminasi Gauss-Jordan.
x + y + 4z = 8
– x + 2y – 4z = – 2
2x – y – 3z = – 1
Penyelesaian:
Matriks augmentasi
13
4
8
1 1
  1 2  4  2


 2  1  3  1
1 1 4 8 
 1 2  4  2 R
2  R2  R1



 2  1  3  1
1 1 4 8 
0 3 0 6 


2  1  3  1
4
8 
8 
1 1
1 1 4
3  R3  2 R1
3  R3  R2
R
 0 3
0
6  R
 10 3 0
6 
0  3  11  17
0 0  11  11
1 1 4 8
2 / 3 dan  R3 / 11
1  R1  4 R3
R
   0 1 0 2 R

0 0 1 1
14
1 1 0 4
0 1 0 2 


0 0 1 1
1 0 0 2
1  R1  R2
R
 0 1 0 2
0 0 1 1
Maka diperoleh penyelesaian untuk sistem persamaan
linier di atas sbb:
x=2
y=2
z=1
15
Quiz (45 minutes)
 Selesaikan sistem persamaan linier berikut ini menggunakan
elminasi Gauss-Jordan.
2x1 + 2x3
=0
3x1 – x2 + 4x3 = – 1
6x1 + x2 – x3 = – 5
16
Referensi
 Aljabar Linier Elementer, Howard Anton alih bahasa Pantur
Silaban dkk, Penerbit Erlangga, 1984.
 Elementary Linear Algebra with Applications 9th Edition,
Howard Anton, John Wiley & Sons, 2005.
 AljabarLinier,Yuliant Sibaroni,2002
17