Applications of the Laplace Transform

1




Analisis persamaan sirkuit: persamaan
integrodifferential.
Konvert ke phasor sirkuit untuk AC
steady state.
Konvert ke s-domain menggunakan
Laplace transform.
KVL, KCL, Thevenin,etc.
2
 Jika
nilai KVL dalam domain waktu:
v1 (t )  v2 (t )  v3 (t )  v4 (t )    0
 Ditambahkan
transformasi laplace:
V1 (s)  V2 (s)  V3 (s)  V4 ( s)    0
3
 Jika
KCL dalam domain waktu:
i1 (t )  i2 (t )  i3 (t )  i4 (t )    0
 Ditambahkan
transformasi laplace:
I1 (t )  I 2 (t )  I 3 (t )  I 4 (t )    0
4
 Jika
hukum Ohm
dalam domain
waktu
 Ditambahkan
transformasi
laplace
vR (t )  iR (t ) R
VR (s)  I R (s) R
5
 Tegangan
induktor
• Dalam domain waktu:
di
vL (t )  L
dt
• Dalam s-domain:

VL (s)  L[sI L (s)  iL (0 )]
6
 Arus
pada induktor
• Mengatur ulang persamaan VL(s):

VL ( s) i (0 )
I L ( s) 

sL
s
7
 Arus
pada kapasitor
• Dalam domain waktu:
dv
ic (t )  C
dt
• Dalam s-domain:

I c(s)  C[ sVc ( s )  vc (0 )]
8
 Tegangan
kapasitor
• Mengatur kembali persamaan IC(s) :
 sC 
Vc(s)  1
 s v ( 0
I c(s)  1
c

)
9
 Tegangan
elemen RLC di s-domain adalah
jumlah dari istilah sebanding dengan saat
ini I(s) dan istilah yang tergantung pada
kondisi awal.

VL (s)  L[sI L (s)  iL (0 )]
 sC 
Vc(s)  1
 s v ( 0
I c(s)  1
c

)
10
11
 Jika
diset semua kondisi sama dengan nol,
Impedansi didefinisikan:
V
(
s
)
Z ( s) 
I ( s)
[kondisi semua inisial=0]
12
 Impedansi
dalam sdomain adalah
Z R (s)  R
Z L ( s )  sL
1
Z C (s) 
sC
 Admitansi
didefinisikan:
1
YR ( s ) 
R
1
YL ( s ) 
sL
YC ( s )  sC
13
 Cari
vc(t), t>0
 vc (t ) 
0.5 F

v L (t )

1H

v R (t )
3
u (t )

14
 Semua
ICs adalah zero sejak disana tidak
ada sumber untuk t<0
Vc (s) 
2

VL (s )

s
s

VR (s )
I (s)

3
1
s
15
Vc (s) 
2

VL (s )

s
s
I (s)
VR (s) 
3


3
s
16
2
3


Dengan KVL :  s   3  I ( s )   0
s
s


3
 I ( s)  2
s  3s  2
17
 Tegangan
pada kapasitor:
2
6
Vc ( s)   I ( s) 
2
s
s( s  3s  2)
 Ditulis
lagi :
6
6
Vc ( s) 

2
s( s  3s  2) s( s  1)( s  2)
18
 Pecah Vc(s)
menggunakan PFE:
K3
6
K1 K 2
Vc ( s) 



s( s  1)( s  2) s s  1 s  2
 Penyelesaian
untuk K1, K2, dan K3:
6
3
6
3
Vc ( s) 



s( s  1)( s  2)
s s 1 s  2
19
6
3
6
3
Vc ( s) 



s( s  1)( s  2)
s s 1 s  2
 Dengan
menggunakan tabel Transformasi
Laplace:

vc (t )   3  6e
t
 3e
2 t
 u (t )
20
 Cari
Thevenin dan Norton equivalent
sirkuit pada terminal induktornya.
0.5 F
1H
3
u(t)
21
2/s
s
3
1/s
22
2/s
3
ZTH  3 
2
s
23
2/s
+
VTH
-
3
1/s
1 3
VTH  3  
s s
24
 menggunakan
2/s
ZTH dan VTH:
3
+
-
3/s
25
 Arus
norton adalah:
3
VTH
3
s
IN 


Z TH 3  2
3s  2
s
2/s
3/(3s+2)
3
26
 Cari
v0(t) untuk t>0.
27
Transforma
si Laplace
untuk
semua
elemen
u (t ) 
1
s
1H  sL  s
1
3
F
1
sC

3
s
28
29
Loop 1
Loop 2
1  3
3
 1   I1  I 2
s  5
s
3
3

0   I1   s  5   I 2
s
s

1 2
 I1  s  5 s  3 I 2
3


30


1  31 2
 3
 1   s  5 s  3 I 2    I 2
s  53
s


3  s  8s  18s I 2
3
2
3
 I2  3
2
s  8s  18s
31
V0 ( s )  sI 2
3
 2
s  8s  18
3
2

2
2
2 ( s  4)  ( 2 )
32
3
2
Vo ( s) 
2
2
2 ( s  4)  ( 2 )
v0 (t ) 
3  4t
e sin 2t
2
33
 Masukan, is(t)
untuk sirkuit dibawah ini
Fig.(b). Cari i0(t)
is(t)
io (t )
is (t )
1H
(a)
1
1
2
0
(b)
t(s)
34
I o (s)
I s (s)
s
1
35
Menggunakan
arus divider:
 s 
I o (s)  
 I ( s)  (1)
 s 1
36
is1(t)
is(t)
t
1
0

is2(t)
0
2
t(sec)
t
0
2
37
 Tampilan
untuk is(t):
is (t )  u(t )  u(t  2)
 Transformasi
Laplace untuk is(t):

1 2 s 1 1
2 s
I s ( s)   e
 1 e
s
s s

 (2)
38
 Ganti
persamaan (2) into (1):
2 s
s(1  e )
I 0 ( s) 
s( s  1)
2 s
1
e


s 1 s 1
39
t
io (t )  e u(t )  e
 ( t  2)
u(t  2)
40
41
s
menggantikan t di arus dan tegangan
yang tidak diketahui.
 fungsi sumber independen digantikan
oleh mereka pasangan s-domain
transform.
 Kondisi awal berfungsi sebagai elemen
kedua, kondisi pembangkit awal.
42
 VR ( s )  RI R ( s )

 VL ( s )  sLI L ( s )  LiL (0 )
1
1

 VC ( s) 
I C (s) 
vC (0 )
sC
sC
43
 I R (s) 
 I L ( s) 
VR ( s )
VL ( s )
R


iL (0 )
sL
s

 I C ( s )  sCV ( s )  CvC (0 )
44
 Dalam
Domain
Waktu:
i(t)
+ v(t)R
v(t)=i(t)R
 Dalam
SDomain:
I(s)
+ V(s)R
V(s)=I(s)R
45
 Dalam
domain Waktu:
46
 Tegangan
induktor:
 Arus
Induktor:
47
 Dalam
domain waktu:
48
 Tegangan
Kapasitor:
 Arus
Kapasitor:
49
 Cari
v0(t) jika tegangan inisial tegangan
yang diberikan v0(0-)=5 V
50
51
V0  10 ( s 1) Vo Vo
 
 2  0.5
10
10 10 s
V0
Vo sVo
1
 
 
 2.5
10 s  1 10 10
1
1
 Vo ( s  2) 
 2.5
10
s 1
52
10
 25
s 1
25s  35
V0 
( s  1)( s  2)
Vo ( s  2) 
53
 Tulis
kembali V0(s) menggunakan PFE:
25s  35
K1
K2
Vo 


( s  1)( s  2) s  1 s  2
 Pemecahan
masalah K1 dan K2:
K1  10; K2  15
54
 Hitung V0(s):
10
15
Vo ( s ) 

s 1 s  2
 Dapat V0(t)
Menggunakan Tabel:
t
vo (t )  (10e  15e
2 t
)u (t )
55