reguleritas pada matriks atas semiring

REGULERITAS PADA MATRIKS ATAS SEMIRING
Ariya Wendy Pradana
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Brawijaya Malang, Indonesia
Email: [email protected]
Abstrak. Suatu ring R disebut ring (von Neumann) reguler jika untuk setiap x ∈ R , x = xyx untuk suatu y ∈ R. untuk setiap
ring R dan setiap n bilangan bulat positif, matriks atas ring Mn(R) regular jika dan hanya jika R adalah ring reguler.
Makalah ini membahas sifat tersebut pada setiap S semiring komutatif dengan elemen identitas. Ditunjukkan bahwa untuk
suatu bilangan bulat positif n, jika Mn(S) adalah semiring reguler , maka S adalah semiring reguler namun sebaliknya tidak
berlaku untuk n = 2. Dan untuk n ≥ 3,
(S) adalah semiring regular jika dan hanya jika S adalah suatu ring reguler.
Kata kunci : Matriks atas ring; Matriks atas semiring; Ring reguler ; Semiring reguler .
1. PENDAHULUAN
Suatu himpunan disebut semiring jika (
dan (
adalah semigrup dan (
berlaku
sifat distributif. Suatu elemen 0 ∈ disebut elemen identitas dari semiring jika
dan
untuk semua ∈ .. Suatu semiring
disebut komutatif jika
untuk semua
∈ .
Untuk bilangan bulat positif dan semiring komutatif dengan elemen identitas, diberikan
suatu himpunan semua matriks berukuran
atas . Maka terhadap penambahan dan
perkalian matriks,
juga merupakan semiring komutatif dengan elemen identitas dan matriks
nol
atas S adalah elemen identitas pada matriks semiring
. Untuk A ∈
dan
∈
diberikan
menjadi entri matriks dengan baris dan kolom.
Misalkan Z, Q dan R masing-masing adalah himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan
rasional dan himpunan bilangan real. Didefinisikan Z+ =
∈ |
, Q+
∈ |
dan
+
R = ∈ |
.
Contoh 1. a. Bilangan Z+,Q+,dan R+ terhadap penjumlahan dan penggandaan, adalah semiring
komutatif dengan elemen identitas 0 yang bukan merupakan ring. Jika adalah bilangan bulat positif
lebih besar daripada 1, maka
Z+),
Q+),dan
R+) adalah semiring komutatif dengan elemen
identitas terhadap penjumlahan tapi tidak semiring komutatif terhadap penggandaan, sehingga bukan
merupakan ring.
b. Diberikan S suatu himpunan tak kosong subset dari R sehingga min S ada. Didefinisikan
dan
untuk semua
∈
Jika S = {0,1} dengan
,
dan
, maka (S, +, ) adalah semiring komutatif dengan elemen identitas 0 tetapi bukan
merupakan ring. Maka (S,
) adalah suatu semiring komutatif dengan min S sebagai elemen
identitas.
Suatu ring R disebut ring reguler (von Neumann) jika untuk setiap ∈ , berlaku
untuk suatu ∈ . Ring reguler pada awalnya diperkenalkan oleh von Neumann dalam rangka
memperjelas aspek-aspek tertentu dari operasi aljabar. Dari beberapa kajian menarik tentang
reguleritas ring. Terdapat teorema yang menarik dari relasi kereguleran ring dengan matriks atas ring.
Hal ini dapat dilihat dari teorema berikut.
Teorema 1. Untuk suatu ring dan bilangan bulat positif, matriks atas ring
reguler jika
dan hanya jika adalah ring regular.
Secara analog, semiring regular didefinisikan seperti pada ring regular. Semiring dikatakan
regular jika untuk setiap ∈ , berlaku
untuk suatu ∈ . Dapat dilihat bahwa semiring
+
+
+
Q ,dan R regular, tetapi Z tidak regular. Tujuan dari penulisan jurnal ini adalah untuk mengkaji
secara analog teorema 1 untuk semiring komutatif dengan elemen identitas.
352
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Jika S adalah sebuah semiring komutatif dengan elemen identitas 0,
positif dan ∈
sedemikian rupa sehingga
= 0 untuk semua
∈{
(1,1), maka untuk ∈
,
dinyatakan,
∑
(∑
adalah bilangan bulat
} dengan ( )
)
Dari uraian diatas, maka diperoleh proposisi sebagai berikut:
Proposisi 1 Diberikan semiring komutatif dengan elemen identitas
Jika
adalah semiring reguler, maka juga semiring reguler.
dan
bilangan bulat positif.
Bukti: Diketahui
reguler. Akan dibuktikan semiring reguler. Ambil
Andaikan tidak
reguler. Berarti terdapat elemen ∈ sedemikian sehingga
.
Diketahui
reguler, ambil
∈
Karena
reguler maka terdapat
∈
sedemikian sehingga
[
Ambil
],
[
] maka
[
][
][
[
]
]
[
[
]
]
Karena tidak reguler maka
sehingga
terjadi kontradiksi, maka haruslah semiring
reguler.
□
Kebalikan dari proposisi diatas tidak selalu benar untuk
, Akan ditunjukkan dengan contoh
berikut:
Contoh 2. Diberikan
, didefinisikan
maks
dan
.
Untuk semua
∈ maka
merupakan semiring komutatif dengan min sebagai elemen
identitas.
Karena
. Untuk semua
∈ maka
reguler. Andaikan
adalah semiring reguler, misal diberikan
kemudian dari definisi
[
][
]
dan
] ∈
[
untuk suatu
∈
diperoleh,
[
] Maka dari itu
[
]
[
Karena
. maka
]
, sehingga diperoleh
(1)
(2)
Dari (1),
. Karena ( 2
. Akan tetapi
, jadi 3 = 2
)
1
, dari (2) kita dapatkan 2
2. terjadi kontradiksi.
Hal ini menunjukkan bahwa
tidak reguler, seperti yang diinginkan.
Teorema 2. Diberikan adalah semiring komutatif dengan elemen identitas dan suatu bilangan
bulat positif dengan
3. Maka
adalah semiring reguler jika dan hanya jika adalah
sebuah ring reguler.
353
Bukti( ) : Asumsikan bahwa
adalah semiring reguler. Dengan Proposisi 3.3.1, adalah
semiring reguler. Untuk menunjukkan bahwa
adalah ring. Tinggal ditunjukkan bahwa untuk
sebarang ∈ mempunyai invers . Di definisikan ∈
dengan
∈
{
Dengan definisi diatas, maka diperoleh matriks
sebagai berikut.
(3)
[
Karena
didapatkan
]
reguler, maka berlaku
untuk suatu
∈
. Kemudian dari (3),
∑
(∑
∑
)
∑
(∑
∑
)
(4)
∑
(∑
∑
)
(5)
354
∑
(∑
∑
)
(6)
Kemudian (4) + (5) + (6) menghasilkan
Dengan memisalkan
maka dapat ditunjukkan
bahwa untuk setiap ∈ ,
untuk suatu ∈ . Hal ini menunjukkan bahwa adalah ring,
seperti yang diinginkan.
Bukti ( ) : diketahui adalah ring regular, maka menurut teorema 1 diperoleh matriks atas ring
reguler.
□
3. KESIMPULAN
1. Jika
adalah semiring reguler, maka juga semiring reguler. Akan tetapi kebalikannya tidak
berlaku untuk
.
2. Diberikan
adalah semiring additive komutatif dengan elemen identitas dan suatu bilangan
bulat positif dengan
3. Maka
adalah semiring reguler jika dan hanya jika adalah
sebuah ring reguler.
DAFTAR PUSTAKA
Goodearl, K. R., (1979), Von Neumann Regular Rings. Pitman. London.
Kaplansky, I., (1969), Fields and Rings. The University of Chicago Press. Chicago.
Chaopraknoi , S., Savettaseranee, K., dan Lertwichitsilp, P., (2009), On Regular Matrix Semirings.
Thai Journal of Mathematics, 7, hal.69-75.
355