BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR 1. Fungsi Komposisi

BEBERAPA MACAM FUNGSI DALAM ALJABAR
1. Fungsi Komposisi
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan
menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o"
(komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...
Jawab:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x - 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8
A.Syarat Fungsi Komposisi
Contoh Soal 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a. f o g
b. g o f
c. (f o g) (4)
d. (f o g) (2)
e. (g o f) (1)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1
Edited by Agustina
Page 1
B.
Sifat-sifat Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x)
(f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Cara Menentukan fungsi bila fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat
menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.
Contoh Soal 3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
(f o g) (x)
= -4x + 4
f (g (x))
= -4x + 4
2 (g (x)) + 2
= -4x + 4
2 g (x)
= -4x + 2
g (x)
= -4x + 2
2
g (x)
= -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1
Edited by Agustina
Page 2
2. Fungsi Linear
3. Fungsi Kuadrat
Bentuk Umum dari fungsi kuadrat adalah
f(x) = ax2 + bx + c atau
y = ax2 + bx + c
Selain penulisan fungsi kuadrat seperti di atas, ada penulisan lain dalam bentuk

Bentuk Pemetaan F : R –> R
x –> ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R ,a ≠ 0

b. Bentuk Himpunanf {(x,y)I y = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ real a ≠ 0
Edited by Agustina
Page 3
Grafik Fungsi Kuadrat
A.
1. Hubungan dengan sumbu y (jika x=0)
Jika dari persamaan y = ax2 + bx + c kita masukkan x = 0 maka akan ketemu y = c. Jadi titik
potong parabola dengan sumbu y adalah titik dengan koordinat (0,c).
2. Hubungan dengan sumbu x (y=0)
Dari bentuk ax2 + bx + c jika y = 0 maka akan menghasilkan persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0,
dari persamaan ini di dapat nilai D (diskriminan) D =
1. Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
2. Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan
parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)
3. Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di bawah
sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu
positif (melayang di atas sumbu x)

dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai selalu
negatif (melayang di bawah sumbu x)
B.
Harga Ekstrem dan Titik Puncak
Rumus menentukan harga ekstrem
(xp,yp) = (
)
untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari nilai a. Jika a>0
maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.
Titik puncak dari fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalah titik yang diperoleh dengan
mengambil koordinat dari pasangan nilai ekstrem dengan absisnya. Koordinat puncak dari fungsi
kuadrat adalah titik P (
) . Titik P dinamakan maksimum jika a > 0 dan dinamakan titik
minimum jika a < 0.
C.
Sumbu Simetri
Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan
sumbu y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.
Persamaan untuk sumbu simetris adalah x =
Edited by Agustina
Page 4
D.
Contoh Soal Fungsi Kuadrat dan Pembahasannya
1. Jika fungsi y = ax2 + 6x + (a+1) mempunyai sumbu simetri x = 3. Tentukan nilai
ekstrimnya !
jawab :
2. Jika parabola f(x) = x2-bx+7 puncaknya mempunyai absis 4, maka tentukan ordinatnya
adalah?
3. Contoh soal menggambar grafik fungsi kuadrat. Jika a, b dan c bilangan real positif
sembarang, maka lukislah f (x) = -ax2-bx+c
Edited by Agustina
Page 5
4. Fungsi Invers
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan
sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A.
dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun
sebaliknya.
Cara menentukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)
Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Contoh Soal:
5. Fungsi Rasional (Fungsi Pecah)
A. Suku Banyak
Sebelum membicarakan fungsi rasional ada baiknya kita ketahui terlebih dahulu
mengenai apa yang disebut dengan suku banyak. Suku banyak disebut pula polinomial. Pada
paket ini hanya dibicarakan suku banyak dalam satu peubah.
Edited by Agustina
Page 6
Bentuk umum dari suku banyak adalah sebagai berikut:
a n x n  a n1 x n 1  a n2 x n 2  ...  a1 x  a0 dengan an  0
Bilangan n disebut derajat suku banyak. Bilangan-bilangan an , an1 , an2 ,..., a1 , ao
disebut koefisien suku banyak. Jika koefisien-koefisien suku banyak merupakan bilanganbilangan nyata, maka suku banyaknya disebut suku banyak nyata (real polynomials). Jika
koefisien-koefisien suku banyak merupakan bilangan-bilangan rasional, maka suku banyaknya
disebut suku banyak rasional (rational polynomials). Dalam paket ini yang dibicarakan adalah
suku banyak rasional. Mirip dengan fungsi, suku banyak sering dinyatakan dengan P(x), Q(x),
dan sebagainya.
B. Definisi Fungsi Rasional
Fungsi adalah relasi yang menghubungkan elemen himpunan pertama (domain) secara
tunggal pada elemen himpunan yang lain (kodomain). Artinya fungsi tidak akan pernah
memiliki dua pasangan yang terdiri dari elemen pertama yang sama. Penulisan fungsi
dilambangkan dengan
dibaca “ f adalah fungsi dari x ke y”. Anggota y yang menjadi pasangan x oleh f disebut
bayangan x dan ditulis
( )
dibaca “ f dari x”.sedangkan ekspresi rasional adalah ekspresi yang dapat dinyatakan dalam
bentuk pecahan
a
,b  0.
b
Sehingga dapat disimpulkan bahwa fungsi rasional kadang-kadang juga disebut sebagai
fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh f ( x) 
P( x)
, P( x), Q( x) merupakan
Q( x)
polinomial dalam x dan Q ( x )  0 pada domainnya.
Contoh-contoh fungsi pecah adalah sebagai berikut
5
2x  3
x 2  4x  3
x 2  4x  3
f ( x)  , f ( x) 
, f ( x) 
, f ( x)  2
x
x2
x5
x  3x  5
C. Mengevaluasi Fungsi Rasional
Konsep fungsi dalam matematika umumnya diartikan sebagai pemetaan yang
menghubungkan dua himpunan yang terpisah, yaitu daerah asal (domain) dan daerah hasil
(range). Persamaan atau kesamaan akan terjadi apabila jumlah anggota himpunan yang
berhubungan adalah sama, sehingga satu anggota daerah asal berhubungan hanya dengan satu
anggota daerah hasil.
Edited by Agustina
Page 7
Mengevaluasi fungsi rasional dapat dilakukan dengan cara subtitusi suatu nilai x atau
suatu nilai y yang diinginkan untuk mendapatkan hubungan, dimana x merupakan domain dan
y adalah range.
Contoh 1 :
x 2  2 x  24
, untuk x = -5
Evaluasi fungsi rasional r ( x)  2
x  7 x  12
Untuk menjawab soal seperti ini, cukup dengan mengganti atau subtitusi nilai 5 untuk setiap x
pada fungsi lalu disederhanakan.
r (5) 
(5) 2  2(5)  24 25  10  24  9
1



2
8
(5)  7(5)  12 25  35  12 72
D. Operasi Pada Fungsi Rasional
Mengoperasikan fungsi rasional tidak jauh berbeda dengan cara mengoperasikan
pecahan, yang membedakan fungsi ini menggunakan polinomial pada pembilang dan
penyebutnya, sehingga dibutuhkan banyak ketelitian.
Untuk mempermudah pengoperasiannya, akan lebih baik jika polinomialnya di
sederhanakan terlebih dahulu dengan menggunakan faktor (jika bisa), namun ketika
polinomialnya tidak bisa difaktorkan denga cara yang biasa, maka tak perlu memaksakan
untuk menggunakan metode lain karena akan terlihat lebih rumit, cukup mengerjakan tanpa
mengubahnya.
Bentuk umum beberapa pengoperasian fungsi rasional, jika diketahui g ( x) 
h( x ) 
P( x)
dan
Q( x)
R( x)
S ( x)
1. (h  g )( x) 
2. (h  g )( x) 
3. (h  g )( x) 
R( x) P( x) R( x)Q( x)  P( x) S ( x)


S ( x) Q( x)
S ( x)Q( x)
R( x) P( x) R( x)  P( x)


S ( x) Q( x) S ( x)  Q( x)
R ( x) P ( x) R ( x ) Q( x) R( x)  Q( x)




S ( x) Q( x) S ( x) P( x) S ( x)  P( x)
Edited by Agustina
Page 8
E. Nilai Nol Fungsi Rasional
Jika diketahui fungsi f ( x) 
P( x)
, maka nilai (nilai-nilai) x yang menyebabkan f(x) = 0
Q( x)
disebut nilai nol dari fungsi f(x). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat
dibuktikan bahwa jika f(x) = 0, maka juga P(x) = 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi
f ( x) 
P( x)
, cukup dengan mencari nilai (nilai-nilai) yang menyebabkan P(x) = 0.
Q( x)
Namun perlu diingat bahwa nilai x yang menyebabkan P(x) = 0 belum tentu merupakan
nilai nol fungsi f(x). Ini terjadi kalau nilai x tersebut ternyata juga membuat Q(x) = 0. Untuk x
yang bersama-sama membuat P(x) dan Q(x) bernilai nol menyebabkan f(x) mempunyai nilai
tak tentu. Misalnya, pada f ( x) 
x2  x  2
, nilai x = 1 bukan nilai nol (pembuat nol) dari
x 2  2x  3
2
fungsi f(x) sekalipun untuk P( x)  x  x  2 berlaku P(1) = 0. Ini karena juga berlaku Q(1) =
0, sehingga f(1) bernilai tak tentu. Tidak setiap fungsi pecah mempunyai nilai nol. Ini terjadi
kalau P(x) tidak mungkin bernilai nol.
Edited by Agustina
Page 9