bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang Masalah
Pada aljabar matriks, terdapat macam-macam masalah pengawetan suatu karakter dari matriks, di antaranya adalah pemetaan yang mengawetkan rank (Omladic dan Semrl, 1993) dan pemetaan yang mengawetkan determinan matriks (Dolinar dan Semrl, 2002). Volume matriks merupakan salah satu karakter matriks
yang berkaitan dengan rank dan determinan. Pada penelitian ini akan diselidiki
pemetaan-pemetaan yang mengawetkan volume matriks.
Gagasan tentang penggunaan volume matriks telah lebih dulu diperkenalkan
dalam penghitungan integrasi permukaan (Ben-Israel, 1992). Pada Kalkulus Multivariabel I, diberikan rumus menghitung luas permukaan sebagai berikut
Z
Z
f (v)dv = (f ◦ ∅)(u). |det(J∅ (u))| du
v
v
dengan U ,V himpunan di dalam Rn , ∅ merupakan fungsi dari U ke V , dan f dapat
diintegralkan pada V (Stewart, 2010). Masalah muncul apabila U dan V berada
dalam dimensi yang berbeda. Misal U ∈ Rn dan V ∈ Rm dengan n > m, maka
rumus di atas tidak dapat digunakan sebab Matriks Jacobian J∅ (u) tidak berbentuk
persegi. Akan tetapi permasalahan dapat diatasi dengan mensubstitusi det(J∅ (u))
dengan volume matriks Jacobian J∅ (u) asalkan J∅ (u) merupakan matriks rank penuh melalui U .
Dalam perkembangan selanjutnya, penelitian ini akan menyelidiki aplikasiaplikasi lain dari pemetaan yang mengawetkan volume matriks, yaitu yang berkaitan dengan matriks ortogonal dan konsistensi sistem linear.
Topik pengawetan di aljabar matriks selanjutnya adalah pemetaan yang mengawetkan solvabilitas di aljabar Lie. Secara umum, aljabar Lie g adalah suatu ruang
1
2
vektor V atas lapangan F yang dilengkapi dengan pemetaan bilinear yaitu bracket
Lie (belum tentu komutatif), dan memenuhi sifat alternativitas serta identitas Jacobi. Turunan aljabar Lie g adalah ideal Lie [g, g] yang merupakan span dari semua
[x, y] untuk x, y ∈ g. Untuk setiap aljabar Lie, dapat diasosiasikan deret turunan
g ⊃ D1 g ⊃ D2 g ⊃ · · · . Aljabar Lie dikatakan solvabel jika terdapat bilangan bulat
positif r sedemikian hingga Dr g = 0. (Radjavi dan Semrl, 2004)
Misalkan φ : g → g adalah pemetaan bijektif dengan ketentuan bahwa φ
dan φ−1 memetakan setiap subaljabar Lie solvabel ke suatu subaljabar Lie solvabel
lainnya. Pemetaan bijektif φ : g → g disebut mengawetkan solvabilitas di dua arah
jika untuk sebarang subaljabar Lie solvabel h ⊂ g, terdapat subalajabar Lie solvabel
g1 , g2 ⊂ g sedemikian hingga φ(h) ⊂ g1 dan φ−1 (h) ⊂ g2 .
Misal diberikan F = C dan Mn (C) adalah himpunan sebarang matriks kompleks ukuran n × n. Mn (C) dipandang sebagai ruang linear atau ring atau aljabar
dengan operasi linear yang bekerja di Cn . Jika Mn (C) dilengkapi dengan hasil kali Lie [−, −], yaitu [A, B] = AB − BA untuk A, B ∈ Mn , maka Mn (C) dapat
dikatakan sebagai aljabar Lie general linear, dinotasikan dengan gl(n, C). Adapun
aljabar Lie spesial linear, dinotasikan dengan sl(n, C) dengan sl(n, C) ⊂ gl(n, C)
yang terdiri dari semua matriks trace nol. Timbul pertanyaan mengenai bentuk pemetaan yang mengawetkan solvabilitas Lie dua arah di aljabar matriks tersebut.
Dengan demikian, penelitian ini akan menyelidiki bentuk-bentuk pemetaan
yang mengawetkan volume matriks, juga bentuk pemetaan di Mn (C) yang mengawetkan solvabilitas Lie dua arah.
1.2. Perumusan Masalah
Dari hal-hal yang melatarbelakangai penyelidikan di atas, diperoleh rumusan masalah sebagai berikut:
1. Bagaimana membentuk pemetaan yang mengawetkan volume matriks? Apa saja
aplikasi dari pemetaan-pemetaan yang mengawetkan volume matriks?
2. Jika dibentuk suatu pemetaan bijektif di Mn (C), apa saja syarat agar pemetaan
3
tersebut mengawetkan solvabilitas Lie dua arah?
1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan disusunnya penelitian ini antara lain ialah untuk memahami dua masalah pengawetan di aljabar matriks, yaitu pemetaan yang mengawetkan volume
matriks dan pemetaan yang mengawetkan solvabilitas.
Manfaat dari penelitian ini adalah berupa pembelajaran tentang volume matriks dan solvabilitas. Dengan mempelajari volume matriks, diperoleh aplikasiaplikasi dari pemetaan yang mengawetkan volume matriks antara lain sebagai kriteria matriks ortogonal dan karakterisasi sistem linear. Selanjutnya, dengan mempelajari solvabilitas Lie, diperoleh pemahaman mengenai karakterisasi pemetanpemetaan bijektif di Mn (C) yang mengawetkan triangularisabilitas pasangan matriks, serta kaitannya dengan solvabilitas Lie.
1.4. Tinjauan Pustaka
Bahasan utama penelitian aljabar matriks ini adalah pemetaan yang mengawetkan volume matriks di aljabar linear dan pemetaan yang mengawetkan solvabilitas Lie di aljabar abstrak.
Dalam aljabar linear, aplikasi-aplikasi yang diperoleh dari pemetaan yang
mengawetkan volume matriks antara lain adalah sebagai kriteria matriks ortogonal dan karakterisasi sistem persamaan linear (Chen dkk, 2014). Volume dari sebarang matriks dapat diselidiki dengan menghitung nilai rank dan determinan dari submatriks-submatriks invertibel maksimalnya (Ben-Israel, 1992). Karena determinan dari matriks ortogonal sama dengan determinan matriks identitas (Axler,
1997), diperoleh volume dari matriks ortogonal juga sama dengan volume matriks
identitas (Kuttler, 2013). Dengan menyelidiki determinan matriks yang bersesuaian dengan sistem persamaan linear, kita dapat mengetahui konsistensinya (Kuttler,
2012). Konsistensi sistem dapat pula diselidiki dengan menghitung volume sebarang matriks yang berkorespondensi dengan sistem tersebut.
4
Adapun dalam aljabar abstrak, yang disebut dengan aljabar matriks adalah
ruang linear yang terdiri dari matriks-matriks atas suatu lapangan dan dilengkapi
dengan pemetaan bilinear, yaitu operasi pergandaan anggota-anggota di dalamnya
(Milne, 2011). Aljabar Lie solvabel adalah aljabar yang deret turunan subaljabarnya
sampai pada subaljabar nol (Kirillov, 2008). Aljabar matriks dapat dipandang sebagai aljabar Lie dengan mendefinisikan bracket Lie sebagai selisih perkalian matriks, contohnya adalah aljabar Lie general linear gl(n, C) dan aljabar Lie spesial
linear sl(n, C). Masalah pemetaan yang mengawetkan solvabilitas di gl(n, C) dan
sl(n, C) ini dapat disederhanakan menjadi pemetaan yang mengawetkan triangularisabilitas di ruang vektor matriks Mn (C) (Radjavi dan Semrl, 2003).
Triangularisabel di dalam ruang vektor adalah transformasi linear yang matriks representasinya terhadap basis di ruang vektor tersebut merupakan matriks segitiga atas (Herstein, 1975). Teorema Lie menyatakan bahwa setiap subaljabar Lie
solvabel di gl(n, C) akan ekuivalen dengan suatu segitiga-satu (Samelson, 1989).
Dengan kata lain, suatu subaljabar Lie g ⊂ gl(n, C) akan solvabel jika dan hanya jika terdapat suatu rantai triangularisabilitas dari subruang invarian untuk g.
Penggunaan teorema ini akan menjadi alat pembuktian utama untuk menyelidiki
persyaratan agar pemetaan bijektif pada aljabar Lie general linear dan aljabar Lie
spesial linear tersebut dapat mengawetkan solvabilitas di dua arah.
1.5. Metodologi Penelitian
Metode penelitian yang digunakan pada pembahasan skripsi ini adalah studi literatur mengenai volume matriks dan aljabar Lie solvabel. Untuk materi yang
berkaitan dengan volume matriks dan aplikasinya, terlebih dahulu dilakukan studi
literatur untuk memahami konsep-konsep aljabar linear seperti determinan, faktorisasi rank penuh, matriks ortogonal, dan sistem linear. Sedangkan untuk materi yang
berhubungan dengan aljabar Lie solvabel, terlebih dahulu dilakukan studi literatur
mengenai triangularisabilitas dan konsep-konsep aljabar Lie beserta sifat-sifatnya.
5
1.6. Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah
sebagai berikut:
BAB I PENDAHULUAN
Bab I membahas mengenai latar belakang penelitian, rumusan masalah, tujuan dan
manfaat penelitian, tinjauan pustaka, serta sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada Bab II akan diberikan pengenalan mengenai sistem linear, determinan dan rank
matriks, ruang vektor, transformasi linear, triangularisabilitas, similaritas, matriks
ortogonal, hasil kali dalam, serta pemetaan bilinear.
BAB III PEMETAAN YANG MENGAWETKAN VOLUME MATRIKS
Bab III akan membahas mengenai volume matriks, faktorisasi rank penuh, dan Teorema Cauchy Binet. Dari sini, pembahasan akan dikembangkan untuk menyelidiki
pemetaan yang mengawetkan volume matriks, juga aplikasinya untuk menyelidiki
matriks ortogonal dan karakterisasi konsistensi sistem linear.
BAB IV PEMETAAN YANG MENGAWETKAN SOLVABILITAS
Bab IV akan membahas tentang hubungan antara matriks kompleks dengan aljabar
Lie, berikut sifat-sifat aljabar Lie, solvabilitas, dan triangularisabilitas di aljabar
Lie. Selanjutnya, dengan Teorema Lie akan diselidiki pemetaan yang mengawetkan
solvabilitas beserta contohnya.
BAB V KESIMPULAN
Bab V akan memaparkan tentang kesimpulan dan saran dari keseluruhan penelitian.