BAB 8 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT A. Peluang Peluang atau

BAB 8
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT
A. Peluang
Peluang atau yang sering disebut sebagai probabilitas dapat dipandang sebagai cara
untuk mengungkapkan ukuran ketidakpastian/ ketidakyakinan/ kemungkinan suatu
peristiwa terjadi atau tidak terjadi.
Untuk menyatakan suatu ketidakpastian atau
kepastian diperlukan permodelan matematis yang secara teoritis dinyatakan dengan
sebaran atau distribusi. Nilai probabilitas suatu kejadian dalam suatu percobaan tersebar
di antara 0 dan 1 atau antara 0% dan 100%. Jika probabilitas/peluang suatu kejadian A
terjadi dilambangkan dengan notasi P(A) maka, probabilitas [bukan A] atau komplemen
A, atau probabilitas suatu kejadian A tidak akan terjadi, adalah 1-P(A). Secara sederhana
peluang suatu kejadian terjadi atau tidak dapat direpresentasikan pada tabel 10.1 berikut.
Tabel 10.1 peluang suatu kejadian terjadi atau tidak
Tipe representasi
Peristiwa terjadi
Peristiwa tidak terjadi
Persentase
100%
0%
1
0
P[A]
1–P[A]
Bilangan bulat
Notasi peluang
Pada aplikasi di kehidupan sehari-hari, peluang distribusi sangat berguna untuk
menganalisis terjadinya suatu peristiwa atau kejadian, jika kejadian bersifat berhingga
maka objek sebarannya berbeda dengan kejadian yang tak berhingga. Objek dari sebaran
peluang adalah variabel acak dimana objek ini merupakan suatu fungsi yang mengaitkan
suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Jenis-jenis sebaran perlu
dipahami sebagai dasar penentuan uji kebolehjadian. Dan dalam hubungannya dengan
pengujian objek percobaan, pemilihan sebaran akan mempermudah penghitungan
peluang. Ditinjau dari objek kajian peluang distribusi akan dikenal istilah peubah acak
yang diklasifikasikan dalam kelompok besar yaitu peubah acak diskrit dan kontinyu,
dimana masing-masing peubah memiliki beberapa jenis distribusi.
Pada sebarang jenis percobaan yang kita lakukan maka setiap proses yang melalui
proses pengukuran akan mendapatkan suatu kemungkinan-kemungkinan. Kemungkinan
Distribusi Peluang Diskrit
Page 1
pada percobaan akan menghasilkan suatu hasil numerik. Bilangan tersebut dapat
dipandang sebagai nilai yang diperoleh suatu peubah acak.
B. Pengertian Distribusi Peluang Diskrit
Jika suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya atau sederetan
angka yang banyaknya sebanyak bilangan bulat, maka ruang sampel itu disebut ruang
sampel diskrit sedangkan peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel tersebut
adalah variabel acak diskrit. Variabel acak diskrit X menentukan distribusi pe luang
apabila untuk nilai-nilai
𝑋 = 𝑥1 , 𝑥2, … , 𝑥𝑛 terdapat peluang p (𝑥𝑖 ) sehingga:
𝑛
∑ 𝑝(𝑥𝑖 ) = 1,
𝑖−1
p(x) disebut fungsi peluang untuk variabel acak X pada harga X = x
Suatu nilai yang diharapkan akan menjadi kejadian dapat dipandang sebagai nilai
harapan atau dinyatakan dengan (X) dibaca “ekspektasi”. Dimana nilai harapan suatu
peubah acak dapat diperoleh dengan mengalikan tiap nilai peubah acak tersebut dengan
peluangnya dan menjumlahkan hasilnya .
∈ (𝑋) = ∑ 𝑥𝑖. 𝑝(𝑥𝑖)
Jenis distribusi peluang diskrit antara lain Distribusi Seragam (Uniform), Distribusi
Binominal, Distribusi Multinominal, Distribusi Hypergeometrik, Distribusi Poisson.
1. Distribusi Seragam (Uniform) Diskrit
Edhy Sutanta (2005:74) menyatakan setiap kejadian mempunyai probabilitas
atau peluang yang sama/ seragam (uniform). Sedangkan menurut Budiyono (2009: 97)
Distribusi uniform diskret merupakan distribusi variabel random diskret yang
mengasumsikan bahwa semua nilai mempunyai kemungkinan yang sama untuk
muncul.
Definisi 1:
Bila peubah acak X mendapat harga x 1, x2, ..., xn, dengan peluang yang sama,
maka distribusi seragam diskrit diberikan oleh :
𝑃(𝑥) =
1
𝑛
Keterangan :
Distribusi Peluang Diskrit
Page 2
𝑃(𝑥): Peluang terjadinya x
𝑥: harga variabel
𝑛 ∶banyaknya data pengamatan / ukuran sampel
Teorema 1
Rataan distribusi seragam diskrit 𝑓(𝑥, 𝑘) adalah
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑𝑛𝑖=1 𝑥. 𝑃(𝑥), dimana E(x)= Ekspektasi x
Varians distribusi seragam diskrit adalah
𝑘
2
𝑑𝑎𝑛 𝜎 = ∑(𝑥 − 𝜇)2. 𝑃(𝑥)
𝑖=1
Contoh :
Untuk merencanakan persediaan suatu barang x, suatu toko serba ada (Toserba) perlu
memperkirakan jumlah permintaan harian terhadap barang x. Menurut catatan
penjualan, diketahui bahwa permintaan harian terhadap barang x adalah berkisar di
antara 0-5 unit. Permintaan ini memiliki fluktuasi secara acak, sehingga tidak bisa
ditentukan peluang permintaannya. Dalam hal ini, maka permintaan terhadap barang x
dapat dimodelkan mengikuti distribusi uniform.
Untuk empermudah penyelesaian contoh diatas, akan digunakan bantuan
perhitungan seperti ditampilkan pada Tabel 10.2.
Distribusi Peluang Diskrit
Page 3
Tabel 10.2 Perhitungan untuk distribusi uniform
𝑥𝑃(𝑥)
(𝑥 − 𝜇)2
(𝑥 − 𝜇)2 𝑃(𝑥)
1
6
1
6
0
6,25
1,04166
1
6
2,25
0,37500
2
1
6
2
6
0,25
0,04166
3
1
6
1
6
3
6
4
6
0,25
0,04166
2,25
0,37500
1
6
5
6
6,25
1,04166
15
6
17,5
2,9166
∑ 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑡𝑎𝑎𝑛 𝑥
Probabilitas
Permintaan
𝑃(𝑥)
0
1
4
5
Jumlah
Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel 10.2 maka ekspektasi rata-rata
permintaan per hari terhadap barang x, adalah sebagai berikut :
𝑛
𝜇 = 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑥. 𝑃(𝑥) =
𝑖=1
15
= 2,5 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑝𝑒𝑟ℎ𝑎𝑟𝑖
6
Sedangkan dengan pendekatan distribusi uniform, maka rata-rata permintaan
per hari terhadap barang x adalah sebgai berikut :
𝑘
𝜎2
= ∑(𝑥 − 𝜇)2. 𝑃(𝑥)
𝑖=1
𝜎 = √∑𝑘𝑖=1(𝑥 − 𝜇)2. 𝑃(𝑥) = √2,9166 = 1,7078 𝑢𝑛𝑖𝑡.
2. Distribusi Binomial
Distribusi binomial menggambarkan distribusi probabilitas variabel acak
diskrit yang hanya mempunyai dua nilai yang mengkin, misalnya berhasil atau gagal.
(Sutanta: 2005, 76). Budiyono (2009 : 98) juga mengatakan bahwa Distribusi peluang
binomial adalah distribusi peluang yang dihasilkan dari sebuah eksperimen yang
Distribusi Peluang Diskrit
Page 4
sering dilakukan berulang-ulang, yang setiap kali hasil ulangan mempunyai dua
kemungkinan hasil yang dapat disebut sukses dan gagal. Sudjana (2005 : 130) juga
berpendapat sama yaitu “ distribusi binom adalah distribusi yang dihasilkan dari
eksperimen yang hanya menghasilkan peristiwa A dan bukan A.
Ciri-ciri atau karakteristik distribusi binomial :
a. Percobaan diulang sebanyak n kali
b. Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan dalam 2 kelas. Misal : “berhasil” atau
“gagal”, “ya” atau “tidak”, “success” atau “failed”
c. Peluang berhasil atau sukses disimbolkan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai
p tetap, dimana p = 1 – q sedangkan peluang gagal dinyatakan dengan q dimana q
=1–p
d. Banyaknya keberhasilan dalam peubah acak disimbolkan dengan X
e. Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan lainnya.
f. Semakin banyak N maka peluang terjadinya suatu kejadian tertentu semakin kecil.
Perlu diingat bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan ataupun ditanyakan dari
suatu permasalahan bisa dikategorikan sebagai kejadian “sukses atau berhasil”.
Definisi 2
Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah
acak binomial.
Untuk mencari peluang dengan distribusi binomial digunakan rumus :
𝑁
𝑃(𝑋) = ( ) 𝑝 𝑋 𝑞𝑁−𝑋
𝑋
Sedangkan koefisien binom dicari dengan rumus:
𝑁
𝑁!
( )=
𝑛
𝑛! (𝑁 − 𝑛)!
Sehingga didapatkan rumus :
𝑃(𝑋) =
Dengan
𝑁!
𝑝 𝑋 𝑞𝑁−𝑋
𝑛! (𝑁 − 𝑛)!
𝑋 = 0,1,2, … , 𝑁 ; 𝑁! = 𝑁(𝑁 − 1)(𝑁 − 2) … .1; dan 0! = 1 berdasarkan
definisi, dalam distribusi binom dikenal parameter rata-rata (𝜇) dan simpangan baku
(𝜎)
𝑀𝑒𝑎𝑛 ∶ 𝜇 = 𝑁𝑝
𝑆𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑠𝑖 ∶ 𝜎 = √𝑁𝑝𝑞
Distribusi Peluang Diskrit
Page 5
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 ∶ 𝜎 2 = 𝑁𝑝𝑞
Contoh :
Dalam pelambungan sebuah mata uang tiga kali, didefinisikan X= banyaknya Angka
yang muncul. Berapa peluangnya muncul 2 buah Angka ?
Jawab :
𝑝 = Peluang muncul angka pada satu pelambungan =
1
2
𝑁 = 3 (Banyaknya pelambungan, banyaknya pengulangan)
𝑋 = 2 (Banyaknya Angka yang diharapkan muncul)
𝑁
𝑃(𝑋) = ( ) 𝑝 𝑋 𝑞𝑁−𝑋
𝑋
3 1 2
1 3−2
1 1
3
𝑃(𝑋 = 2) = ( ) ( ) (1 − )
= (3) ( ) ( ) =
2 2
2
4 2
8
3
Jadi peluang munculnya 2 buah Angka adalah .
8
3. Distribusi Multinomial
Distribusi multinomial merupakan distribusi variabel acak diskrit dimana suatu
percobaan dapat menghasilkan beberapa kejadian. Distribusi multinomial adalah
perluasan dari distribusi binomial (Sudjana, 2005 :132). Budiyono (2009 : 101)
menyatakan bahwa eksperimen binomial akan menjadi eksperimen multinomial jika
setiap percobaan menghasilkan lebih dari dua kemungkinan hasil. Dalam
pelambungan sebuah dadu misalnya, akan terjadi 6 kemungkinan, yaitu muncul mata
1,2,3,4,5, atau 6 (Spiegel, Murray R., 2004 : 35).
Misalkan sebuah percobaan menghasilkan kejadian E1, E2, ……… , Ek dengan
peluang 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝐾 dan dilakukan percobaan sebanyak N kali maka peluang
terjadinya x1 peristiwa E1,
x2 peristiwa E2, …… xk peristiwa Ek diantara N,
ditentukan oleh :
𝑃(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝐾 ) =
𝑁!
𝑝 𝑋1 𝑝2 𝑋2 … . . 𝑝𝐾 𝑋𝐾
𝑋1 ! 𝑋2! … , 𝑋𝐾 ! 1
Dimana 𝑋1 + 𝑋2 + ⋯ + 𝑋𝐾 = 𝑁
Distribusi ini merupakan perluasan distribusi binomial. Karena rumus diatas adalah
suku umum dalam ekspansi multinomial (𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝐾 )𝑁 .
Distribusi Peluang Diskrit
Page 6
Contoh :
Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah, 4 bola biru, dan 5 bola putih. Sebuah bola
diambil dari kotak tersebut, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi kedalam
kotak. Diambil sebuah bola lagi, dilihat warnanya, kemudian dikembalikan lagi
kedalam kotak. Hal demikian dilakukan sampai 6 kali. Dalam 6 kali pengambilan
tersebut, berapa peluangnya terdapat 1 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola putih ?
Jawab :
3
4
5
; 𝑝2 =
; 𝑝3 =
12
12
12
𝑃(1 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑟𝑎ℎ, 2 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑟𝑢, 𝑑𝑎𝑛 3 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑡𝑖ℎ)
𝑥1 = 1; 𝑥2 = 2; 𝑥3 = 3; 𝑛 = 6 ; 𝑝1 =
6!
3 1 4 2 5 3
=
( ) ( ) ( ) = 0,121
1! 2! 3! 12
12
12
4. Distribusi Hipergeometrik
Definisi 3
Banyaknya sukses X dalam percobaan hipergeometrik disebut peubah acak
hipergeometrik.
Budiyono (2009 : 102), menyatakan bahwa distribusi hipergeometrik adalah
distribusi dari eksperimen sampling tanpa pengambilan. Jika sebuah variabel acak x
menyatakan jumlah sukses dalam n percobaan / sampel dan total jumlah sukses (Edhy
Sutanta, 2005 :79). D diambil dari sebuah populasi berukuran N, maka x dikatakan
mengikuti distribusi hipergeometrik dengan fungsi peluang dirumuskan sebagai
berikut :
𝑝(𝑥) =
(𝐷𝑥 )(𝑁−𝐷
)
𝑛−𝑥
(𝑁
)
𝑛
Keterangan :
P(x)
: peluang x
D
: pengambilan
N
: populasi
n
: banyaknya data pengambilan / sampel (Sutanta:2005,79)
Distribusi Peluang Diskrit
Page 7
Dengan 𝑥 = 0,1,2, … , 𝑛 dan faktor –faktor diruas kanan ditentukan oleh rumus :
𝑁
𝑁!
( )=
𝑛
𝑛! (𝑁 − 𝑛)!
Apabila populasi besar dan sampel relatif kecil, pengambilan secara sampling
dilakukan tanpa pengembalian menimbulkan efek terhadap probabilitas sukses dalam
setiap percobaan kecil, untuk mendekati nilai probabilitas hipergeometrik dapat
digunakan konsep distribusi binomial, dengan syarat n≤ 0,05 N.
Suatu percobaan hipergeometrik memiliki sifat berikut:
1. Sampel acak ukuran n diambil dari N benda.
2. Sebanyak k benda dapat diberi nama sukses sedangkan sisanya, N – k diberi nama
gagal.
Rataan dan variansi distribusi hipergeometrik ℎ(𝑥; 𝑁, 𝑛, 𝑘) adalah
Teorema 4
𝜇=
𝑛𝑘
𝑁−𝑛 𝑘
𝑘
𝑑𝑎𝑛 𝜎 2 =
𝑛. (1 − )
𝑁
𝑁−1 𝑁
𝑁
Contoh :
Suatu kotak memuat 100 bola dan 5 diantaranya merah. Jika 10 bola diambil tanpa
pengembalian, berapakah probabilitas mendapat paling sedikit 4 merah ?
Jawab :
𝑝(𝑥) =
( 𝐷𝑥)(𝑁−𝐷
)
𝑛−𝑥
(𝑁
𝑛)
𝑝(𝑥 ≥ 4) + 𝑝(𝑥 = 5) =
(54)(100−5
)
10−4
(100
10 )
+
(55)(100−5
)
10−5
(100
10 )
= 0,00025
5. Distribusi Poisson
Distribusi poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaitu Siemon D.
Poisson. Percobaan Poisson apabila menghasilkan peubah acak X yang menyatakan
banyaknya hasil selama selang waktu, periode atau daerah tertentu. Misalnya jumlah
barang yang cacat setiap kali pengiriman, banyaknya hubungan telepon yang diterima
kantor per jam.
Distribusi Peluang Diskrit
Page 8
Beberapa karakteristik distribusi Poisson adalah sebagai berikut:
a.
Banyaknya hasil yang terjadi dalam suatu interval tertentu tidak terpengaruh oleh
apa yang terjadi pada interval lain yang terpisah (tidak berpotongan dan
independent) dalam kaitan ini, proses Poisson dikatakan tidak punya ingatan).
b. Peluang terjadi suatu hasil (tunggal) dalam selang tertentu yang amat pendek
sebanding dengan panjang selang dan tidak tergantung pada banyaknya hasil
yang terjadi dluar selang
c.
Peluang terjadinya lebih dari satu hasil dalam selang waktu yang pendek (sempit)
dapat diabaikan. Distribusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel
diskrit acak yang mempunyai nilai 0, 1, 2, 3 dan seterusnya. Suatu bentuk dari
distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang poisson untuk peluang binomial
yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas binomial dalam situasi
tertentu.Rumus poisson dapat digunakan untuk menghitung probabilitas dari
jumlah kedatangan , misalnya: probabilitas jumlah kedatangan nasabah pada
suatu bank pada jam kantor.
Budiyono, (2009 : 103) menyatakan jika pada distribusi binomial b(x; n; 𝜃),
parameter n cukup besar (secara teoritis 𝑛 → ~) maka akan diperoleh distribusi
poisson dangan parameter  = nθ.
Sutanta (2005:80) menyatakan jika suatu variabel random x menyatakan ratarata kedatangan pada suatu rentang waktu yang kecil, maka x dikatakan mengikuti
distribusi poisson, dengan formula :
𝑒 −  𝑥
𝑝(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑥!
Dimana : e= 2.71828
= sebuah bilangan tetap untuk 𝑒−𝜆 dapat dilihat dalam tabel daftar D
x = 1,2, 3, …..
p(x) = probabilitas kelas sukses
Teorema 5
Rataan dan variansi distribusi poisson p(x; µ) keduanya sama dengan µ.
Distribusi Poisson dapat diposisikan sebagai bentuk limit distribusi
binomial bila n → ∞, p → 0, dan np tetap tidak berubah. Jadi bila n besar
dan p dekat dengan nol, distribusi Poisson dapat digunakan dengan µ = np ,
untuk menghampiri peluang bimomial.
Distribusi Peluang Diskrit
Page 9
Contoh :
Jika peluang seseorang terkena penyakit demam adalah 0,005, berapa peluang bahwa
terdapat 18 orang yang terkena penyakit demam dari 3000 orang ?
Jawab :
Jika X= banyaknya orang yang terkena penyakit demam, maka X berdistribusi
Poisson dengan parameter =𝑛𝜃=(3000)(0,005)=15. Oleh karena itu peluang yang
ditanyakan ialah :
P(X=18) = p(18;15) =
𝑒 −151518
18!
= 0,0706
Jadi dari 3000 orang, peluang 18 orang diantaranya terkena penyakit demam adalah
0,0706.
Distribusi Peluang Diskrit
Page 10
DAFTAR PUSTAKA
Akbar, Purnomo Setiady dan Husaini Usman. 2006. Pengantar Statistika Edisi Kedua.
Jakarta : PT Bumi Aksara
Akdon dan Riduwan .2013. Rumus dan Data dalam Analisis Statistika. Bandung : Alfabeta.
Dajan, Anto, 1986. “Pengantar Metode Statistik Jilid II”. Jakarta : LP3ES .
Furqon. 1999. Statistika Terapan Untuk Penelitian. AFABETA:Bandung
Gaspersz, Vincent. 1989. Statistika. Armico:Bandung
Hamid, H.M. Akib dan Nar Herrhyanto. 2008. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas
Terbuka.
Harinaldi, 2005. “Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains”. Jakarta : Erlangga.
Hasan, M. Iqbal. 2011. Pokok – Pokok Materi Statistika 1 ( Statistik Deskriptif ). Jakarta :
PT Bumi Aksara
Herrhyanto, Nar. 2008. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka.
Mangkuatmodjo, Soegyarto. 2004. Statistika Lanjutan. Jakarta: PT Rineka Cipta.
Pasaribu, Amudi. 1975. Pengantar Statistik. Gahlia Indonesia : Jakarta
Rachman,Maman dan Muchsin . 1996. Konsep dan Analisis Statistik. Semarang : CV.
IKIP Semarang Press
Riduwan . 2010. Dasar-dasar Statistika. Bandung : Alfabeta.
Saleh,Samsubar. 1998. STATISTIK DESKRIPTIP. Yogyakarta : UPP AMP YKPN.
Siregar,Syofian. 2010. Statistika Deskriptif untuk Penelitian Dilengkapi Perhitungan Manual
dan Aplikasi SPSS Versi 17. Jakarta : Rajawali Pers.
Somantri, Ating dan Sambas Ali Muhidin. 2006. Aplikasi statistika dalam Penelitian. pustaka
ceria : Bandung
Subana,dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Pustaka Setia:Bandung
Sudijono, Anas. 2008. Pengantar Statistik Pendidikan. Raja Grafindo Persada.Jakarta
Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada.
Sudijono, Anas. 1987. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada.
Sudjana, M.A., M.SC.2005. METODE STATISTIKA. Bandung: Tarsito
Sugiyono. 2014. Statistika untuk Penelitian. Bandung : Alfabeta.
Supranto, 1994. “Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2”. Jakarta : Erlangga.
Usman, Husaini & Setiady Akbar, Purnomo.2006. PENGANTAR STATISTIKA. Yogyakarta:
BUMI AKSARA.
Walpole, Ronald E, 1995. “Pengantar Statistik Edisi Ke-4”. Jakarta : PT Gramedia.
Distribusi Peluang Diskrit
Page 11