Pertemuan Ke-1 BAB I PROBABILITAS 1.1 Arti dan Pentingnya

Pertemuan Ke-1
BAB I
PROBABILITAS
1.1 Arti dan Pentingnya Probabilitas
Probabilitas merupakan suatu nilai untuk
mengukur besarnya tingkat kemungkinan
terjadinya suatu kejadian yang acak.
Kejadian Acak atau random event ialah suatu
kejadian yang tak dapat ditentukan dengan pasti
sebelumnya.
Probabilitas merupakan suatu frekuensi relatif
dari suatu sukses yang diperoleh jika suatu
percobaan dilakukan berulang-ulang sampai tak
terbatas didalam situasi dan kondisi yang sama.
Bila kejadian A terjadi dalam m cara pada ruang sampel S yang
terjadi dalam n cara, maka probabilitas kejadian A adalah :
P (A) = n(A)/n(S) = m/n
Perumusan ini harus memenuhi ketentuan :
Probabilitas A harus merupakan bilangan non-negatif atau
bukan bernilai negatif, yaitu : P (A) ≥ 0 .
Nilai probabilitas suatu peristiwa berkisar antara :
0 ≤ P (A) ≤ 1
Jumlah probabilitas A ditambah A (bukan A) harus sama
dengan 1.
Atau : P (A) + P (A) = 1 → P (A) = 1 – P (A)
Contoh :
Sebuah dadu yang seimbang memiliki enam sisi.
Lima dari keenam sisi tersebut dicat biru
sedangkan satu sisi selebihnya dicat hijau.bila
dadu tersebut dilempar sebanyak satu kali,
berapa :
a. probabilitas timbulnya sisi yang bercat biru
b. probabilitas timbulnya sisi yang bercat hijau
Jawab : a. P (Biru) = 5/6
b. P (Hijau) = 1/6
1.2 Peristiwa (event) dan Notasi Himpunan
Ruang sampel adalah kumpulan (himpunan) dari
semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada
suatu percobaan.
Keseluruhan dari titik sampel dinamakan
Ruang
sampel dan dilambangkan dengan S.
Contoh : S = { 1,2,3,4,5,6}
ruang vektor
Kejadian yang dapat terjadi di dalam suatu eksperimen
(percobaan) dan biasanya dilakukan berulang kali
dinamakan Titik Sampel. A = { 2 }
titik sampel
dimana A ⊆ S
Peristiwa/kejadian (event)
Kumpulan (himpunan) dari hasil yang muncul atau
terjadi pada suatu percobaan statistik.
Peristiwa A atau B dinotasikan dengan A ∪ B
Peristiwa A dan B dinotasikan dengan A ∩ B
Peristiwa A dan B merupakan peristiwa yang saling lepas,
A ∩ B =0
1.3 Probabilitas Suatu Peristiwa
Peristiwa yang saling lepas (Mutually Exclusive)
Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku
A ∩ B =Ø, maka A dan B dikatakan dua kejadian saling
lepas atau saling terpisah.
Secara matematis dua himpunan A dan B dikatakan saling
lepas atau terpisah (disjoint) jika dan hanya jika mereka
tidak memiliki unsur yang sama dan A ∩ B = 0 ( himpunan
kosong ).
Gambar peristiwa saling lepas
Kejadian A,B dan C tidak mungkin terjadi secara bersamaan
A
C
B
Bila A dan B saling lepas dan merupakan peristiwa dalam
sebuah ruang sampel yang terbatas , maka :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Dimana : A ∩ B = 0 dan P (A ∩ B) = 0.
Contoh : Bila sebuah dadu dilempar sekali , berapakah
probabilitas timbulnya mata dadu 1 atau 3 ?
Jawab : Jika A = peristiwa timbulnya mata dadu 1
B = peristiwa timbulnya mata dadu 3
P(A) = 1/6 dan P(B) = 1/6
A dan B merupakan dua peristiwa yang saling lepas.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
• Dua peristiwa dikatakan tidak saling lepas bila kedua
peristiwa tersebut tidak usah terpisah.
Kejadian Majemuk
Bila A dan B peristiwa sembarang pada ruang
sampel S, maka gabungan kejadian A dan B ditulis
A ∪ B adalah kumpulan semua titik sampel yang
ada pada A atau B atau pada kedua-duanya.
Kejadian A ∪ B disebut kejadian majemuk, dan
A ∩ B yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada
A dan B disebut kejadian majemuk.
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Gambar peristiwa tidak saling lepas
A
•Peristiwa yang saling bebas (independen)
Dua peristiwa dikatakan independen jika dan
hanya jika terjadi atau tidak terjadinya peristiwa
pertama tidak mempengaruhi peristiwa kedua.
B
Dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S
dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak
mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya
kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A. Jika
A dan B merupakan dua kejadian saling bebas,
maka berlaku rumus :
P (A ∩ B ) = P (A) . P (B)
Contoh Soal
1. Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge
yang lengkap. Bila A = kejadian terpilihnya kartu as dan
B = kejadian terpilihnya kartu wajik, Hitung peluang
P( A Υ B) !
P( A Ι B) = 1 / 52
jawab:
P(A) = 4 /52; P(B) = 13/52;
maka
P(AΥB) = P(A) + P(B) − P(AΙ B) = 4/ 52+13/ 52−1/ 52=16/ 52= 4/13
2. Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan
P(A)= 0,3 dan P(B)= 0,4 maka berlaku:
P ( A Ι B ) = P ( A).P ( B ) = (0,3)( 0,4) = 0,12
3. Sebuah kotak berisi 3 bola merah, 4 bola putih dan 3 bola
biru. Jika diambil 1 bola secara acak dengan syarat:
a. Setelah diambil bola dikembalikan lagi, tentukanlah
probabilitas terpilihnya: bola merah, bola putih, bola biru,
tidak merah, merah atau putih.
jawab: banyaknya bola dalam kotak n = 3+4+3 = 10
- P(bola merah) = 3/10
- P(bola putih) = 4/10
- P(bola biru) = 3/10
- P(tidak merah)= 1- P(bola merah)=1-3/10 = 6/10 = 3/5
- P(merah atau putih) = 3/10 + 4/10 = 7/10
b.
Setelah diambil bola tidak dikembalikan, tentukan
probabilitas terpilih: merah, putih, biru, merah atau putih,
merah dan biru.
jawab: P(merah) = 3/10
P(putih) = 4/9
P(biru) = 3/8
P( merah atau putih) = 3/10 + 4/9 = 67/90
P(merah dan biru) = 3/10 . 3/8 = 9/80
Latihan soal:
1. Pada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah:
a. ruang sampel S
b. Bila A menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan
muka sama, hitung P(A)!
c. Bila B menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua
dadu kurang dari 5, hitunglah P(B)!
Latihan soal:
2. Peluang seorang mahasiswa lulus kalkulus adalah 2/3
dan peluang ia lulus bahasa Inggris adalah 4/9. Bila
peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di
atas adalah 4/5, berapa peluang ia lulus kedua mata
kuliah itu?
3. Pada pelemparan dua buah mata dadu, tentukanlah
probabilitas munculnya muka dua dadu dengan jumlah 5
atau 11!
4. Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian
munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas
munculnya muka dua dadu yang tidak sama!
5. Pada pelemparan dua dadu, apakah kejadian munculnya
muka X ≤ 3 dadu I dan kejadian munculnya muka Y ≥ 5
dadu II saling bebas ?
SOAL – SOAL LATIHAN
01. Dari pernyataan berikut di bawah ini yang benar,
kecuali :
a. P(A) ≥ 0
c. 0 ≤ P(A) ≤ 1
b. -1 ≤ P(A) ≤ 1
d. P(A) + P(A’) = 1
02. Keseluruhan dari titik sampel pada sebuah percobaan
disebut :
a. ruang sampel
c. probabilitas
b. sampel
d. event
02. Keseluruhan dari titik sampel pada sebuah percobaan
disebut :
a. ruang sampel
c. probabilitas
b. sampel
d. event
03. Sebuah dadu dilempar sebanyak satu kali maka
probabilitas dadu menunjukkan angka 5 atau lebih :
a. 4/6
c. 2/6
b. 3/6
d. 1/6
03. Sebuah dadu dilempar sebanyak satu kali maka
probabilitas dadu menunjukkan angka 5 atau lebih :
a. 4/6
c. 2/6
b. 3/6
d. 1/6
04. Tentukan peluang sisi “Gambar” atau “Angka” jika
sebuah uang logam dilempar sebanyak satu kali :
a. 1
c. ¼
b. ½
d. 0
04. Tentukan peluang sisi “Gambar” atau “Angka” jika
sebuah uang logam dilempar sebanyak satu kali :
a. 1
c. ¼
b. ½
d. 0
05. Sebuah kaleng berisi 20 kelereng terdiri dari 5 warna
merah, 8 warna hijau, dan sisanya bewarna biru. Jika
A adalah kejadian munculnya kelerang merah
B adalah kejadian munculnya kelerang hijau, dan C
adalah kejadian munculnya kelereng biru. Tentukan
P(A U C) =….
a.13/20
c. 12/20
b.15/20
d. 7/20
05. Sebuah kaleng berisi 20 kelereng terdiri dari 5 warna
merah, 8 warna hijau, dan sisanya bewarna biru. Jika A
adalah kejadian munculnya kelerang merah
B adalah kejadian munculnya kelerang hijau, Dan C adalah
kejadian munculnya kelereng biru. Tentukan P(A U C) =….
a.13/20
c. 12/20
b.15/20
d. 7/20
01. Dari pernyataan berikut di bawah ini yang benar, kecuali :
a. P(A) ≥ 0
c. 0 ≤ P(A) ≤ 1
b. -1 ≤ P(A) ≤ 1
d. P(A) + P(A’) = 1