Pembuktian dengan Induksi Matematik

Pembuktian dengan Induksi Matematik
Contoh Soal
Toni Bakhtiar
Departemen Matematika IPB
September 2012
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
1 / 24
Example
Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n
berlaku
(1
22 + 3
2) + 2
23 +
+ (n
2n ) = (n
1) 2n +1 + 2.
Jawab
De…nisikan semesta dan predikat berikut: S = N,
P (n ) : (1
2) + 2
22 +
+ (n
2n ) = ( n
1) 2n +1 + 2.
Basis induksi: untuk n = 1 berlaku
P (1) : 1
21 = (1
P (1) benar.
Hipotesis induksi: untuk k
(1
2) + 2
22 + 3
Toni Bakhtiar (m@thipb)
1)21 +1 + 2 , P (1) : 2 = 2.
1, anggap P (k ) benar, yaitu berlaku
23 +
+ k
PIM
2k
= (k
1) 2k +1 + 2.
September 2012
2 / 24
Langkah induksi: Akan dibuktikan P (k + 1) benar, yaitu berlaku
(1
2) + 2
22 +
+ (k + 1)
2k +1
= ((k + 1) 1) 2(k +1 )+1 + 2
= k 2k +2 + 2.
Bukti
Ruas kiri = (1
= (k
=
=
=
=
2) + 2
22 +
+ k
1) 2k +1 + 2 + (k + 1)
2k +1 [(k
2k + (k + 1)
2k +1
2k +1
1) + (k + 1)] + 2
k +1
(2k ) + 2
k 2 2k +1 + 2
k 2k +2 + 2 = ruas kanan.
2
Terbukti.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
3 / 24
Example
Buktikan n3
n habis dibagi 3 untuk setiap n bilangan asli.
Misalkan P (n ) : n3
n habis dibagi 3. Akan dibuktikan bahwa:
(8n 2 N)P (n).
Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh 13 1 = 0 habis dibagi 3. P (1)
benar.
Hipotesis induksi: untuk n = k dan k 1 andaikan P (k ) benar, yaitu
berlaku
k 3 k habis dibagi 3 , k 3 k = 3m, m 2 Z.
Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P (k + 1) benar, yaitu
(k + 1)3
(k + 1) habis dibagi 3 , (k + 1)3
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
(k + 1) = 3r , r 2 Z.
September 2012
4 / 24
Bukti
(k + 1)3
(k + 1) =
=
=
=
=
k 3 + 3k 2 + 3k + 1
3
(k + 1)
2
(k
k ) + 3k + 3k
3m + 3(k 2 + k )
3(m + k 2 + k )
3r , r := m + k 2 + k.
Karena m 2 Z maka r := m + k 2 + k 2 Z, sehingga terbukti.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
5 / 24
Example
Misalkan x
1. Gunakan induksi matematik untuk membuktikan bahwa
(1 + x )n
1 + nx,
untuk setiap bilangan asli n.
Jawab
De…nisikan semesta dan predikat berikut: S = N,
P (n ) : (1 + x )n
1 + nx, x
1.
Basis induksi: untuk n = 1 berlaku
Ruas kiri: 1 + x
Benar bahwa 1 + x 1 + x
Ruas kanan: 1 + x
Dengan demikian P (1) benar.
Hipotesis induksi: untuk k 1, anggap P (k ) benar, yaitu berlaku
(1 + x )k
Toni Bakhtiar (m@thipb)
1 + kx.
PIM
September 2012
6 / 24
Langkah induksi: akan dibuktikan P (k + 1) benar, yaitu berlaku
(1 + x )k +1
1 + (k + 1)x.
Bukti Dari hipotesis induksi dan karena x
(1 + x )k
1 + kx
1 maka
, (1 + x )k (1 + x )
k
, (1 + x ) (1 + x )
Karena k bilangan asli, maka kx 2
(1 + kx ) (1 + x )
1 + x + kx + kx 2 .
0, sehingga
1 + x + kx + kx 2
1 + x + kx.
Ini berarti
(1 + x )k (1 + x )
1 + x + kx , (1 + x )k +1
1 + (k + 1) x.
Terbukti.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
7 / 24
Example
Diberikan barisan bilangan real x1 , x2 , x3 , . . . yang dide…nisikan oleh
x1 = 2,
1
,
xn
xn +1 = 2
n = 1, 2, 3, . . . .
Dengan pembuktian induksi matematik, buktikan bahwa
xn =
n+1
,
n
n
2.
Jawab
Dide…nisikan predikat:
n+1
.
n
Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa
P (n ) : xn =
(8n
Toni Bakhtiar (m@thipb)
2)P (n ).
PIM
September 2012
8 / 24
Basis induksi: untuk n = 2, dari de…nisi diperoleh
x2 = 2
1
=2
x1
1
3
= .
2
2
Di lain pihak, dari rumus analitik diperoleh
x2 =
3
2+1
=
2
2
(benar).
Hipotesis induksi: untuk n = k andaikan benar bahwa
xk =
k +1
.
k
Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan bahwa
xk +1 =
Toni Bakhtiar (m@thipb)
(k + 1) + 1
k +2
=
.
k +1
k +1
PIM
September 2012
9 / 24
Bukti
xk + 1 = 2
= 2
1
(dari de…nisi)
xk
1
(dari hipotesis)
k +1
k
k
k +1
k +2
.
k +1
= 2
=
Terbukti.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
10 / 24
Example
Gobang adalah mata uang resmi Negeri Artamaya dengan
pecahan-pecahan yang berlaku adalah suku (= 2 gobang), benggol (= 5
gobang), ketip (= 7 gobang), dan kawung (= 10 gobang). Di suatu
kejadian aneh, seorang penjual barang kelontong yang hanya memiliki
sejumlah pecahan benggol sebagai uang kembalian kedatangan seorang
pembeli yang hanya memiliki sejumlah pecahan ketip. Buktikan bahwa
setiap transaksi atas barang kelontong seharga n gobang, dengan n 25
dan n bilangan asli, selalu dapat dilakukan dengan hanya menggunakan
pecahan-pecahan benggol dan ketip tanpa menimbulkan utang-piutang
antara penjual dan pembeli. Ilustrasi: Jika harga barang 50 gobang maka
pembeli membayar dengan 10 keping uang ketip dan mendapat kembalian
4 keping uang benggol.
Petunjuk: Buktikan dengan induksi matematik bahwa setiap bilangan asli
n, dengan n 25, selalu dapat dituliskan sebagai n = 7x 5y ,dengan x
dan y adalah suatu bilangan bulat positif.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
11 / 24
Jawab
Masalah di atas ekuivalen dengan masalah berikut: dengan induksi
matematik, buktikan bahwa setiap bilangan asli n, dengan n 25, selalu
dapat dituliskan sebagai
n = 7x
harga
bayar
5y
,
kembalian
dengan x dan y adalah bilangan-bilangan bulat positif.
Basis induksi: untuk n = 25 diperoleh
25 = 7 5
5 2
sehingga diperoleh x = 5 dan y = 2 (Benar).
Hipotesis induksi: untuk n = k anggap benar bahwa
k = 7a
5b
dengan a dan b suatu bilangan bulat positif.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
12 / 24
Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan bahwa
k + 1 = 7p
5q
dengan p dan q suatu bilangan bulat positif.
Bukti
k + 1 = (7a
5b ) + 1
(dari hipotesis induksi)
= 7a 5b + (7 3 5 4)
= 7(a + 3) 5(b + 4)
= 7p 5q,
dengan p := a + 3 dan q := b + 4.
Karena a dan b bilangan bulat positif maka p := a + 3 dan q := b + 4
bilangan bulat positif. Terbukti.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
13 / 24
Example
Buktikan untuk setiap bilangan asli n berlaku
12 + 22 +
+ (n
1)2 <
n3
.
3
Jawab
Dide…nisikan predikat:
P (n ) : 12 + 22 +
+ (n
1)2 <
n3
.
3
Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa
(8n 2 N)P (n).
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
14 / 24
3
Basis induksi: untuk n = 1 diperoleh P (1) : (1 1)2 < 13 , 0 < 13 .
P (1) benar.
Hipotesis induksi: untuk n = k dan k 1 andaikan P (k ) benar, yaitu
berlaku
k3
12 + 22 +
+ (k 1)2 < .
3
Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P (k + 1) benar, yaitu
12 + 22 +
Toni Bakhtiar (m@thipb)
+ (k
1)2 + k 2 <
PIM
(k + 1)3
.
3
September 2012
15 / 24
Bukti:
12 + 22 +
+ (k
1)2 + k 2 <
=
<
=
=
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
k3
+ k2
3
k3
3k 2
+
3
3
k3
3k 2
3k
1
+
+
+
3
3
3
3
k 3 + 3k 2 + 3k + 1
3
(k + 1)3
.
3
September 2012
16 / 24
Example
Buktikan untuk setiap bilangan asli n
10 berlaku
2n > n3 .
Jawab
Dide…nisikan predikat:
P ( n ) : 2n > n 3 .
Akan dibuktikan dengan induksi matematik bahwa
(8n
Toni Bakhtiar (m@thipb)
10)P (n ).
PIM
September 2012
17 / 24
Basis induksi: untuk n = 10 diperoleh
P (10) : 210 > 103 , 1024 > 1000. P (10) benar.
Hipotesis induksi: untuk n = k dan k 10 andaikan P (k ) benar, yaitu
berlaku
2k > k 3 .
Langkah induksi: untuk n = k + 1 akan dibuktikan P (k + 1) benar, yaitu
2k +1 > (k + 1)3 .
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
18 / 24
Bukti:
2k +1 = 2 2k
> 2 k3
= k3 + k3
k 3 + 10k 2 (k 10 , k 3 10k 2 )
= k 3 + 3k 2 + 7k 2
k 3 + 3k 2 + 70k (k 10 , k 2 10k , 7k 2
> k 3 + 3k 2 + 3k + 1
= (k + 1)3 .
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
70k )
September 2012
19 / 24
Problem
Dide…nisikan barisan bilangan a1 , a2 , a3 , . . . dengan
a1 = 1,
a2 = 1 + 12 ,
a3 = 1 +
..
.
an
1
2
+ 13 ,
= 1 + 12 +
+ n1 , untuk semua bilangan asli n.
Buktikan untuk semua bilangan asli n berlaku
a 1 + a2 +
Toni Bakhtiar (m@thipb)
+ an = ( n + 1 ) an
PIM
n.
September 2012
20 / 24
Problem
Diketahui barisan bilangan y1 , y2 , y3 , . . . dengan
y1 = 1,
yn +1 =
1
4
(2yn + 3) , untuk n = 1, 2, . . . .
Dengan menggunakan induksi matematik, tunjukkan bahwa yn
setiap bilangan asli n.
2 untuk
Problem
Diketahui barisan bilangan x1 , x2 , x3 , . . . dengan
x1 = 1
p p
xn +1 =
2 xn , untuk n = 1, 2, 3, . . . .
Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa xn
untuk setiap bilangan asli n.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
xn +1
September 2012
21 / 24
Problem
Diketahui barisan bilangan bulat x1 , x2 , x3 , . . . yang dide…nisikan oleh
x1 = 2,
xn
= xn
1
+ 2n,
(untuk n
2).
Tunjukkan dengan induksi matematik bahwa untuk semua bilangan asli n,
berlaku:
xn = n (n + 1).
Problem
Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan bahwa
13 + 23 + 33 +
+ n3 >
n4
.
4
adalah benar untuk setiap bilangan asli n. (Diketahui:
(a + b )4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .)
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
22 / 24
Problem
Dengan induksi matematik, buktikan bahwa untuk bilangan asli n berlaku
42n +1 + 3n +2 habis dibagi 13.
Problem
Dengan menggunakan induksi matematik buktikan bahwa untuk setiap
bilangan asli n berlaku:
3 + 11 +
+ (8n
5) = 4n2
n.
Problem
Misalkan a bilangan real dan a 6= 1. Dengan induksi matematik, tunjukkan
bahwa
1 an
1 + a + a2 +
+ an 1 =
1 a
untuk setiap bilangan asli n.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
23 / 24
Problem
Perhatikan deret berikut:
n
Sn =
i
∑ (i + 1) ! .
i =1
1
Hitung S1 , S2 , dan S3 . Dengan memerhatikan pola yang terbentuk,
tebaklah bentuk dari Sn .
2
Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan tebakan Anda.
Toni Bakhtiar (m@thipb)
PIM
September 2012
24 / 24