Diapositiva 1

Analisa Numerik
Jurusan Teknik Mesin
STT Dr. KHEZ Muttaqien
Eliminasi Gauss
Muchammad Chusnan Aprianto
Pendahuluan
• Terdapat suatu set persamaan linier dengan n
persamaan dan n bilangan.
a11x1 + a12x2 + ...... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ...... + a2nxn = b2
…
…
an1x1 + an2x2 + ...... + annxn = bn
• a dan b adalah konstanta sedangkan X variabel
yang dicari
• Bentuk persamaan di atas dapat dibuat dalam
bentuk matriks A x = b
Pendahuluan (Cont’d)
• Penyelesaian set
persamaan linier ini
melalui beberapa cara:
– Eliminasi Gaus
– Eliminasi Gaus-Jordan
– Metode Iterasi seperti
Iterasi Gaus-Jacobi
Eliminasi Gaus
• Dilakukan dengan:
– Eliminasi sistim persamaan kedalam bentuk segitiga sehingga
salah satu persamaannya hanya mengandung satu bilangan tak
diketahui
Contoh, diketahui set persamaan:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b3
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
(4.1.a)
(4.1.b)
(4.1.c)
Penyelesaian:
Persamaan pertama dibagi koefisien pertama dari
persamaan kesatu a11 dan dikalikan dengan koefisien
pertama dari persamaan kedua a21
Eliminasi Gaus (Cont’d)
(4.2)
Persamaan (4.1.b) dikurangi
persamaan (4.2):
Persamaan (4.1.c) dikurangi persamaan
(4.4):
atau
atau
(4.3)
Dengan cara yg sama pada awal
(pers. Pertama) lakukan pada
persamaan ketiga:
(4.5)
Eliminasi persamaan (4.3) dan (4.5) yaitu
membagi persamaan (4.3) dengan
koefisien a’22 dan dikalikan dengan
koefisien pertama dari persamaan (4.5)
hasilnya:
(4.6)
Persamaan (4.5) dikurangi persamaan
(4.6):
(4.4)
Eliminasi Gaus (Cont’d)
atau
(4.6)
Akhirnya diperoleh bentuk matriks
persamaan:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
(4.1.a)
a’22 x2 + a’23 x3 = b’2
(4.3)
a”33 x3 = b”3
(4.6)
Hasil di atas, ad hasil proses triangulasi
Hasilnya dapat diselesaikan dengan
menyelesaikan persamaan (4.7) didapat
nilai x3 kemudian dengan memasukan
nilai x3 ke persamaan (4.3) didapat x2 dan
selanjutnya dengan memasukan nilai x2
dan x3 pada persamaan (4.1.a) didapatkan
nilai x1. dengan demikian sistim persamaan dapat diselesaikan.
Disebut Substitusi Mundur
Latihan!
Selesaikan set persamaan berikut
menggunakan eliminasi Gaus
3x + y - z = 5
4x + 7y - 3z = 20
2x - 2y + 5z = 10
Proses Pivot
• Elemen-elemen Pivot
– Elemen-elemen yang menempati diagonal suatu
matriks, yaitu a00, a11, …, ann atau disingkat aii.
• Jika aii = 0, maka baris dimana elemen berada
harus ditukar posisinya dengan baris yang ada di
bawahnya.
• Proses untuk mengecek elemen-elemen pivot dan
menukar baris (dimana aii = 0) disebut sebagai
proses pivoting.
Poin Diskusi
• Baca dan diskusikan mengenai perintah
– If … then ….
– For …. Then ….
• Apa peran perintah ini dalam analisa numerik
Contoh Kasus
Tentukan penyelesaian dari set persamaan linier berikut:
x1 + x2 + 3x4 = 4
2x1 + x2 - x3 + x4 = 1
3x1 - x2 - x3 + 2x4 = -3
-x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4
Jawab
Bentuk matriks untuk set persamaan
di atas adalah
Scritp Matlab:
>> A=[1 1 0 3 4; 2 1 -1 1 1; 3 -1 -1 2 -3; -1 2 3 -1 4];
>> disp('Matriks A:')
>> A
>> disp('Jumlah Persamaan:')
>> n=4
>> pause
>> for j=1:(n-1)
Proses tiangulasi
if(A(j,j)==0)
for p=1:n+1
u=A(j,p);
v=A(j+1,p);
Proses pivot
A(j+1,p)=u;
A(j,p)=v;
end
end
Akhir proses pivot
Cont’d
jj=j+1;
for i=jj:n
m=A(i,j)/A(j,j);
for k=1:(n+1)
A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
end
end
Akhir triangulasi
end
>> disp('Matriks A hasil proses triangulasi:')
>> A
>> pause
>> x(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
>> for i=n-1:-1:1
Subtitusi Mundur
s=0;
for j=n:-1:i+1
s=s+A(i,j)*x(j,1);
end
x(i,1)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
end
>> x
Hasil Output Matlab
• A=
1 1 0 3 4
2 1 -1 1 1
3 -1 -1 2 -3
-1 2 3 -1 4
• Matriks A hasil proses triangulasi:
A=
1 1 0 3 4
0 -1 -1 -5 -7
0 0 3 13 13
0 0 0 -13 -13
• Nilai x
x=
-1
2
0
1
Contoh 2
Diketahui suatu rangkaian listrik sbb:
Jawab
Berdasarkan hukum Kirchhoff:
I1 + I2 – I3 = 0
6I1 + 2I3 = 10
6I1 – 4I2 =24
Bentuk di atas dapat dinyatakan
dalam bentuk matriks:
Carilah nilai I1, I2, dan I3 menggunakan eliminasi gaus!
Cont’d
Scritp Matlab:
>> A=[1 1 -1 0; 6 -4 0 24; 6 0 2 10];
>> disp('Matriks A:')
>> A
>> disp('Jumlah Persamaan:')
>> n=3
>> pause
>> for j=1:(n-1)
if(A(j,j)==0)
for p=1:n+1
u=A(j,p);
v=A(j+1,p);
A(j+1,p)=u;
A(j,p)=v;
end
end
jj=j+1;
for i=jj:n
m=A(i,j)/A(j,j);
for k=1:(n+1)
A(i,k)=A(i,k)-(m*A(j,k));
end
end
end
>> disp('Matriks A hasil proses triangulasi:')
>> A
>> pause
>> I(n,1)=A(n,n+1)/A(n,n);
>> for i=n-1:-1:1
s=0;
for j=n:-1:i+1
s=s+A(i,j)*I(j,1);
end
I(i,1)=(A(i,n+1)-s)/A(i,i);
end
>> I
Cont’d
Hasil Matlab
Matriks A:
>> A
A=
1 1 -1 0
6 -4 0 24
6 0 2 10
Matriks A hasil proses triangulasi:
>> A
A=
1.0000 1.0000 -1.0000
0
0
-10.0000 6.0000 24.0000
0
0
4.4000 -4.4000
>> I
I=
2.0000
-3.0000
-1.0000
Kesimpulan:
I1 = 2 A; I2 = -3 A; I3 = -1 A
SEKIAN