[ ]θ - fmipa unmul

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
ISSN 2085-7829
Aproksimasi Interval Konfidensi Bootstrap
Approximate Confidence Interval Bootstrap
Haeruddin
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
Abstract
We consider the problem of constructing approximate confidence intervals for a single parameter
based on bootstrap computation percentile of a statistics. The standard approximate based on maximum
likelihood
ˆ  ˆ z
can be quite misleading and inaccurate. In practice, tricks based on transformation are
often used to improve their accuracy.
 α 
1α 
The confidence intervals [θ̂ , θ̂
] constructed by using this approach arc also based on
existence monoton transformation and have transformation-respecting property that is not possessed by
standard normal approximate.
The advantage of this approach, at least in practicing, is that it is automatically in corporate the
transformation without requiring the statistician to think them through for each new application. It is
handled by bootstrap computation.
It is shown that the percentile interval is exact whenever the transformation known and it is consistent

 α 
1α 

also by mean of confidence set i.e P θ  [θ̂ , θ̂
]  (1   ) convergen to 0.
In practice we must use some finite number B reptication, so that in setting these intervals we use
 α 
1α 
Monte Carlo simulation that produce [θ̂ , θ̂
] as an approximate to the ideal bootstrap interval. All of
the process are done by a computer program in S-PLUS.
Keywords : Bootstrap, confidence interval, bootstrap percentile, Monte Carlo, transformation.
PENDAHULUAN
Dalam banyak masalah inferensi statistik
seorang peneliti tertarik untuk mengkontruksi
suatu keluarga himpunan yang memuat nilai
parameter yang benar dengan probabilitas yang
tinggi. Dalam hal ini yang dikerjakan adalah suatu
penaksiran selang (estimasi interval), yakni
bagaimana
membentuk
interval
random
  x   
 
atau disingkat
 , yang
mempunyai peluang tinggi memuat . Misalkan
gL(x) dan gu(x) adalah statistik sedemikian hingga
berlaku :
Pg L x   θ  g U x   1  2α
Interval random [gL(x); gu(x)] dinamakan interval
konfidensi 1 – 2α untuk parameter  dengan
koefisien konfidensi (1 – 2α).
Dalam tulisan ini dipertimbangkan masalah
membangun
aproksimasi
interval-interval
konfidensi
bootstrap untuk suatu parameter
tunggal .
Interval-interval konfidensi exact dapat
dikonstruksi hanya dalam kasus parametrik dan
dalam sedikit situasi-situasi khusus sehingga
umumnya yang dibangun adalah aproksimasi dari
interval tersebut. Fokus utama dalam teori
asimtotik interval konfidensi adalah apakah
cakupan probabilitas suatu interval konvergen ke
level nominal interval tersebut.
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
Dalam banyak kasus, himpunan kepercayaan
dikonstruksi dengan mempertimbangkan suatu
kuantitas
pivotal
n  n X1 ,..., X n , F
berdistribusi Gn. Jika kita dapat menurunkan

θθθ
dari

pertidaksamaan
PL   n  U  1  2α ,
maka
 , 
merupakan interval konfidensi dengan level 1 2α. Untuk kasus dimana  parameter lokasi, maka
 n biasanya berbentuk
θ̂ n  θ
, dimana θ̂ n
σ̂ n
2
estimator  dan σ̂ n estimator varians untuk θ̂ n
maka interval konfidensi exact 1 - 2α untuk 
adalah:
[θ̂ n  σ̂ n G n 1 (1  α), θ̂ n  σ̂ n G n 1 ( )]
Untuk mencari kuantitas pivotal seperti di atas
dalam suatu masalah yang diberikan biasanya
tidak mudah, dengan kata lain tidak mudah
mencari  n dengan Gn distribusi yang diketahui.
Jika Gn tidak diketahui maka interval (1,1) tidak
dapat digunakan sebagai interval konfidensi dan
untuk itu digunakan aproksimasi dari Gn. Dalam
pendekatan asimptotik tradisional Gn diganti
dengan limitnya. Jika limit Gn adalah G
(independen dari F) maka Gn diganti dengan G.
1
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
Aproksimasi yang paling banyak dipakai
adalah interval aproksimasi normal standar
dengan menggunakan Teorema Limit Pusat
yakni:
θ̂  σ̂ z α
Suatu
pendekatan
interval
konfidensi
berdasarkan komputasi bootstrap ditulis oleh
Efron.
R.Helmers (1995) memberikan perbandingan
antara interval konfidensi standar dengan interval
konfidensi
bootstrap
untuk
parameter
θ  μ   x dF(x) dengan F tidak diketahui.
Beberapa teori asimptotik untuk bootstrap
dibahas oleh Bickel dan Freedman (1981) tentang
keakuratan ditulis oleh Singh (1981).
Hall (1986) memberikan cacah simulasi
bootstrap yang dibutuhkan untuk membangun
suatu interval konfidensi khusus interval
konfidensi persentil-t berdasarkan n sampel
distribusi kontinu. Sebagai pedoman Efron dan
Tibshirani menyarankan untuk mengambil B
antara 50 sampai dengan 200 yang cukup

memberikan estimasi yang baik dari se F θ̂
untuk interval konfidensi bootstrap dibutuhkan B
yang lebih besar lagi.
Dalam
tesis
ini
dibahas
tentang
pengkonstruksian interval konfidensi berdasarkan
persentil bootstrap yakni interval persentil BP dan
BC. Kedua interval ini dibangun didasarkan
kepada asumsi adanya transformasi monoton ,
namun untuk interval BC asumsi yang dipakai
lebih umum dari interval BP yaitu adanya suku
koreksi bias z0.
Dalam penelitian ini akan dilihat tingkat akurasi
kedua
interval
persentil
tersebut
dan
perbandingannya dengan interval aproksimasi
normal standar. Sebagai penunjang diberikan
simulasi perbandingan interval-interval persentil
dengan interval berdasarkan aproksimasi normal
standar dan dengan aproksimasi normal
berdasarkan transformasi.
PENGERTIAN DASAR BOOTSTRAP
Prinsip Dasar Bootstrap
Definisi
Jika X = (X1, X2, …, Xn) sampel random dari


F maka X  X1 , X 2 ,..., X n adalah sampel
random bootstrap yaitu sampel yang diperoleh
dari X secara random dengan pengembalian
*
*
*
*
X1* , X *2 ,..., X *n
independen
dan
identik
berdistribusi bersyarat terhadap X.
Prosedur bootstrap dapat diterapkan untuk
kasus non parametrik maupun parametrik. Dalam
kedua kasus tersebut, inferensi didasarkan pada
suatu sampel X dan n random iid observasi dari
populasi.
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
ISSN 2085-7829
Dalam kasus non-parametrik, distribusi
sampel Fn diambil dari distribusi populasi F yang
tidak diketahui, Fn disebut distribusi empirik dari
X, yakni fungsi distribusi yang mempunyai massa
1/n untuk setiap titik pada X, sedangkan untuk
(1.2)
kasus parametrik F diketahui. Dalam kedua kasus
tersebut sampel X* diambil dengan resampling
dari suatu distribusi yang ditentukan sampel asli
X.
Prinsip dasar dalam pembentukan sampel
dengan metode bootstrap non-parametrik adalah
sebagai berikut:
1. Konstruksi distribusi probabilitas dari
sampel, yaitu Fn dengan massa 1/n pada
setiap titik x1, x2, …, xn.
2. Dengan Fn tetap, ambil sampel random
dengan ukuran n dari Fn sebut
X*i dengan:
X *i  x *i , X *i ~ ind Fn , i = 1, 2, 3, …, n.
Selanjutnya
bootstrap,
3.
sampel

ini
disebut
X  X , X ,..., X
*
*
1
*
2
*
n

sampel
 n X, Fn 
*
*
dengan distribusi bootstrap  X , Fn 
Aproksimasi distribusi sampling
*
n
Dalam kasus parametrik, F diketahui kecuali
parameter  yang tidak diketahui. Jadi pada kasus
parametrik F diganti dengan F(), suatu anggota
dari klas {F(),   }. Misalkan λ̂ estimator
dari  dihitung dari X ditulis (X). maka

Fn  F λ̂
fungsi distribusi yang diperoleh
dengan mengganti nilai parameter denan estimasi
sampelnya.

Misalkan X* sampai random dari Fn  F λ̂
  menyatakan versi
dan misalkan λ̂  λ X
*

 
λ̂
yang dihitung dari X*. Maka F  F λ̂ .
Bagian yang sulit dari prosedur bootstrap ini
adalah perhitungan yang sebenarnya dari
bootstrap. Tiga metode perhitungan yang
mungkin, yaitu:
1. Metode 1. Perhitungan secara langsung.
2. Metode 2. Metode perluasan deret Taylor
dapat
digunakan
untuk
memperoleh
perkiraan mean dan varians dari distribusi
bootstrap R*.
3. Metode 3. Dengan simulasi Monte Carlo
untuk
distribusi
bootstrap.
Dengan
merealisasikan X* yang dibangun dengan
mengambil sampel random berukuran n dan
Fo sebut x*1, x*2, …, x*α, dan histogram yang
bersesuaian
dengan
nilai
*

 

*

 x *1 , Fn ,  x *2 , Fn , ...,  x *n , Fn

diambil sebagai perkiraan untuk distribusi
bootstrap yang sebenarnya.
Prosedur bootstrap untuk estimasi adalah sebagai
berikut:
2
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
1.
Estimasi
F
2.
Diberikan
dengan
θ̂ n  θFn  .
*
1
X1,
*
2
X , X ,..., X
X 2,
Fn
dan
…,
hitung
Xn,
misalkan
*
n
adalah suatu sampel iid
dengan distribusi Fn.
Misalkan
3.
 


*n  b n θ̂ n X1* , X *2 ,..., X *n  θ̂ n adalah
versi bootstrap dari  n .
Distribusi n di bawah F, yaitu F(n)
4.
 
Fn  , distribusi dari
*
n
diestimasi dengan
 di bawah Fn.
*
n
Untuk menjelaskan metode bootstrap secara
umum dipandang n = n(X1, X2, …, Xn) yaitu
besaran yang tergantung dari sampel X = (Xt, X2,
…, Xn) dan fungsi distribusi F. Untuk kasus
khusus
dapat


 n  n θ̂ n  θ ,
diambil
dimana θ̂ adalah statistik untuk . Selanjutnya
akan dicari distribusi dari n sebagai berikut.
 
 
G n x   P  n X1 , X 2 ,..., X n F  x ,
  x  
Jelas Gn yaitu fungsi distribusi dari n ini tidak
diketahui, karena F tidak diketahui. Dalam hal ini
Gn akan diestimasi dengan bootstrap yaitu :
 
 
G *n x   P*  n X1* , X*2 ,..., X*n X dimana:


X *  X1* , X *2 ,..., X *n adalah sampel bootstrap
dan P* adalah probabilitas yang bersesuaian
dengan F̂n . Karena X1 = x1, X2 = x2, …, Xn = xn
diketahui maka X* dan F̂n diketahui, sehingga
pada prinsipnya
G *n dapat dihitung.
Syarat Bootstrap Bekerja
Diperhatikan kasus khusus yaitu jika  = (F)
ISSN 2085-7829
Teorema 2.13
Andaikan X1, …, Xn p-vektor random iid
dengan
distribusi
dan
F  2,p
 n  n X n  μ  dimana X  n 1ΣX i dan
EX1   μ HBOOT versi bootstrap dari Hn maka
HBOOT konsisten.
Dua teorema di atas menunjukkan bahwa
bootstrap dengan sampel iid bekerja dengan baik
untuk kasus θ̂  X n .
Simulasi Monte Carlo
Diberikan sampel random X1, X2, …, Xn dari
distribusi F. Estimasi bootstrap memerlukan
*
merupakan


n θ̂ n  θ dan didapat:
 
 P  n X
 
G x   P  n X , X ,..., X n  x

*
n

1


2
*
n
 
 Xn  x
X *n merupakan sampel bootstrap dari distribusi


 n  n θ̂ n  θ , dengan
X n
*
n
1
X
*
i
Teorema 2.1.2 (Singh, Teorema A)
Jika X1, …, Xn sampel iid dengan ukuran n
dari suatu populasi berdistribusi F dan EX2 < ∞,
maka
P  n X  μ   x  P *  n X *  X   x    0 a.s.
n
n
n
*
distribusi

bersyarat

*n   n X1* , X *2 ,..., X *n ,
jika
diberikan
sampel (X1, X2, …, Xn). Pada prinsipnya
distribusi ini diketahui. Untuk sampel X1, X2, …,
Xn dari n bilangan yang berbeda, ada (2n – 1)!/(n
– 1)!n! sampel bootstrap yang berbeda, jadi
distribusi  n dapat diperoleh kembali dengan
enumerasi lengkap. Untuk n = 10 biasanya
mendekati 100.000 sampel bootstrap yang dapat
dienumerasi. Jadi metode ini sulit bahkan tidak
mungkin untuk dikerjakan, untuk itu kita gunakan
suatu metode yang sangat populer saat ini yaitu
metode Monte Carlo.
Proses kerja simulasi Monte Carlo adalah
sebagai berikut:
1. Dengan bantuan komputer, bangun suatu
*

2.
*
*
*

sampel iid X1 , X 2 ,..., X n dengan ukuran
n, menurut distribusi Fn.
Karena Fn diketahui, juga Fn diketahui dan
dapat dihitung

= mean populasi dari F dan θ̂ n  X n = sampel
mean maka  n 
*
sampel bootstrap X1 , X 2 ,..., X n dari distribusi
Fn. Untuk distribusi dari kuantitas statistik
 n   n X1 , X 2 ,..., X n  , estimator bootstrap
*n   n X1* , X *2 ,..., X *n F̂
3.
4.

Ulangi bagian (1) dan (2) sebanyak B kali,
sehingga diperoleh
*n,1 , *n, 2 ,..., *n ,B .
Kumpulkan nilai
*n,1 , *n, 2 ,..., *n ,B dan
hitung
distribusi

empiris

1 B
Fn,B x    I *n,i  x .
B i
Misalkan distribusi bootstrap dai H adalah:
 
 
H BOOT x   P* n1/2 θ̂*n  θ n  x
Maka pendekatan Monte Carlonya adalah:
H (B)
BOOT x  
 
 
1 B
I n θ̂ *n  θ n  x

B i
Babu dan Singh (dalam Shao (1995))
menunjukkan bahwa aproksimasi monte carlo
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
3
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
H (B)
BOOT adalah second order accurate sebagai
estimator
dari
distribusi
X n  EX1
σ̂ n
n 
yang
n,
diringkas
dengan
dalam
teorema berikut:
Definisi 2.1.4
Jika X1, …, Xn sampel random iid dan


 n  X n  μ /σ̂ n dan B adalah suatu fungsi
dari n yang memenuhi B/(log log n) → ∞ maka
untuk n → ∞,
n sup H (B)
BOOT X   H BOOT X   0 a.s
x
Interval Konfidensi
Himpunan kepercayaan
Definisi 2.2.1
Misalkan X1, …, Xn sampel random iid dari
suatu distribusi F yang tidak diketahui dan  =
T(F) parameter yang akan dicari interval
konfidensinya.
Jika Cn = Cn(X1, …, Xn) subset dari  yang
hanya tergantung pada X1, …, Xn dan
Pθ  C n   1  
Definisi 2.2.2
Jika P θ  C n  1   maka Cn disebut
sebagai himpunan kepercayaan dengan koefisien
kepercayaan 1 – α atau himpunan kepercayaan 1
– α.
Definisi 2.2.3
Level yang diinginkan dalam suatu himpunan
kepercayaan disebut level nominal (nominal
coverage) yang biasanya diberikan. Biasanya
digunakan 1 – α dan 1 – 2α masing-masing
sebagai level nominal dari interval konfidensi 1
dan 2 sisi.
Definisi 2.2.4






Misal I interval 1 sisi  , θ atau θ, 
sedemikian hingga
P θ  I  1  α , maka:
(i) 1 – α disebut cakupan nominal dari I
(ii) P θ  I disebut coverage sesungguhnya
(iii) Coverage
error
dari
I
adalah




Pθ  I  1  α 
Definisi 2.2.5
Jika {an} dan {bn} masing-masing barisan
bilangan real, {Xn} dan {Yn} adalah barisan
variabel random, maka:
a. an = O(bn) jika |an/bn| ≤ untuk semua n dan
suaru konstanta c.
b. an = o(bn) jika an/bn → 0 untuk n → ∞
c. Xn = Op(Yn) jika ε  0  M ,  N

sehingga

P X n /Yn  M   ε  n  N
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
ISSN 2085-7829
d.
Xn
ε  0
=
Op(Yn)
jika
Limn  X n /Yn     0 .
Dalam
pembicaraan
dipertimbangkan suatu titik ujung
sisi yang mengcover 1 – α.
θ
selanjutnya
interval satu
Pθ     1  α,  
Definisi 2.2.6
Suatu himpunan konfidensi Cn dikatakan
akurat asimptotik berorder k jika:
 
Pθ  C n   1  α   O n -1/2
Akibat 2.2.7
Titik konfidensi aproksimasi θ disebut akurat
asimptotik tingkat 1 (first order accurate) jika
 
Pθ  θ  1  α  O n -1/2
Titik konfidensi aproksimasi θ disebut akurat
asimptotik tingkat 2 (second order accurate) jika
 
Pθ  θ  1  α  O n -1
Definisi 2.2.8
Suatu fungsi distribusi (x) dikatakan
simetris jika dan hanya Ψ x  1  Ψ  x .
(2.2.1)
Contoh Φ(x), fungsi distribusi normal.
 
 
Ekspansi Edgeworth
Dalam pembahasan tentang tingkat akurasi
suatu titik konfidensi atau probabilitas cakupan
dari daerah kepercayaan, ekspansi Edgeworth dan
Cornish Fisher sangat besar kontribusinya. Untuk
itu dalam pasal ini diberikan secara ringkas
tentang ekspansi-ekspansi tersebut, khususnya
untuk statistik yang akan dibahas dalam bab III.
Misalkan X1, X2, …, Xn variabel random iid
dengan  = μ dan varians σ2 < ∞. Estimasi dari 
adalah
θ̂ n  n 1  X i dengan varians n-1σ2.
Berdasarkan
Teorema

Limit

Pusat,
S n  n θ̂ n  θ /σ ~ AN(0,1). Hall (1992)
memberikan ekspansi dari distribusi Sn sebagai
deret pangkat dalam n-1/2 yakni:
P
n
 n θ̂
 j/2
n


 θ /σ  x  Φx   n 1/2 p1 x   ... 
p j x   ...
dimana
 x   2π 
1/2

eks  x 2 /2

adalah
densitas normal standar dan Φx  
fungsi

 φu  du

fungsi distribusi normal standar
Formula (2.3.1) dikenal sebagai ekspansi
Edgeworth. Fungsi pj adalah polinomial dengan
koefisien tergantung pada kumulan dari θ̂ n  θ .
Untuk mencari polinom-polinom dibuktikan dulu
beberapa lemma berikut:
4
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
Sn
Lemma 2.3.1
Jika X1, X2, …, Xn adalah sampel iid dari
distribusi dengan mean μ dan variansi
σ 2  , Y  X  θ /σ


memenuhi
Definisi 2.3.2
Untuk suatu variabel random umum Y dengan
fungsi karakteristik χY, kumulan ke j, κj, dari Y
1
it j
j!
Ekspansi Cornish-Fisher
Misalkan

Misal
G n x   PS n  x
 EY  EY 
   
 
 12 E Y E Y   6 E Y   E Y  EY 
χ Sn it   e
t 2
dengan:

  1 n
1/2
2
2
4
Y
seperti
 Φx    n 1/2 q i x  x   O n -(k 1)/2
4
~
Maka kuantil dari H x  dan Gn dapat diekspansi
sebagai deret dalam n-j/2 berikut:



(2.3.3)
r1 it   n r2 it   ...  n
1
dR j x   rj x e
 j/2

r j it 
t 2
2
dimana Rj(x) adalah

fungsi yang memiliki transformasi FourierStieltjes sama dengan

i 1
Lemma 2.3.5
Diberikan lemma 2.3.2 dan didefinisikan
itx

k
~
H -n1    x   z   n1/2 p i z   O n -(k 1)/2
didefinisikan
r1 u   1/3! κ 3 u 3 ; r2 u   1/24κ 4 u 4  1/72κ 32 u 6
e

i 1
dimana:
rj polinomial dengan koefisien real dengan
derajat 3j, tergantung pada κ3, κ4, …, κj+2 dan
tidak tergantung pada n yaitu:


k
2

dan
3
Lemma 2.3.4
Untuk Sn dan
sebelumnya maka:

k
  n 1/2 p i x  x   O n -(k 1)/2
i 1
3
κ 4  E Y 4  4E Y 3 E Y   3E Y 2
dan
~
H n x   PS n  x  Φx  
 
 EY   3EY EY   2EY 
2

Sn  n θ̂ n  θ /σ
(2.3.2)
dapat diekspansi dalam Ekspansi Edgeworth
κ 2  E Y  EY   VarY 
κ3



Tn  n θ̂ n  θ /σ̂ n merupakan statistik yang
κ 1  EY 
2


Lemma 2.3.3
Untuk variabel random Y seperti dalam
definisi diatas berlaku:
3

Sn  Tn  O p n  j/2 untuk setiap j ≥
PSn  x   PTn  x   O p n  j/2


1
1
2
j
 Y t   expκ1it  κ 2 it   ...  κ j it   ...
2
j!


2
R 1 x   ... 
1 maka Ekspansi Edgeworth distribusi Sn dan Tn
hanya berbeda dalam suku-suku berorder n-j/2 atau
lebih kecil, yakni:
dalam ekspansi dari deret pangkat log χY(t)
dimana
2
sebagai:
Teorema 2.3.6 (Metode Delta untuk Ekspansi
Edgeworth)
Jika Sn dan Tn dua statistik yang masingmasing berdistribusi Normal Asimptotik yang
n
didefinisikan sebagai koefisien dari
ditulis
1/2
n  j/2 R j x   ...
maka
 Sn t    Y t / n1/ 2  .
dapat
PS n  x   Φx   n
dan
S n  n θ̂ n  θ /σ
ISSN 2085-7829
rj x e
t2
2
maka distribusi
k
G -n1    y  z   n 1/2 q i z   O n -(k 1)/2
i 1
Dengan zα, xα, yα didefinisikan sebagai:
  Φz α   PSn  x α   PTn  y α  dan
pj1 dan qj1 polinom ganjil(genap) dengan derajar
j+1 jika j genap(ganjil) dan dapat dinyatakan
dalam pj dan qj.
Ekspansi (2.4.1) dan (2.4.2) disebut sebagai
ekspansi (invers) Cornish-Fisher.
Teorema 2.4.1
~
Diberikan Ekspansi Edgeworth dari H n x 
~ 1
dan Cornish-Fisher H n x 
definisi dimuka, maka:
p11 x  p1 x , dan
seperti
dalam
 
 
2
p 21  p1 x p1' x   1/2xp1 x   p 2 x 
(2.4.3)
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
5
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
INTERVAL KONFIDENSI BOOTSTRAP
Motivasi Interval Bootstrap

urutan B replikasi dari θ̂ . Jika B.α tidak bulat
maka quantile empirik α dan 1 – α didefinisikan
masing-masing sebagai nilai terbesar ke k dan ke
 
 θ , θ  merupakan interval dari () maka
invers dari masing-masing titik ujung interval
tersebut merupakan interval dari . Dengan kata
lain  bersifat transformasi repecting. Interval
yang dihasilkan oleh pendekatan di atas
didasarkan asumsi adanya tansformasi 
sedemikian
hingga
P ˆ θ    x ~ AN 0,1 .
Kesulitan dalam pendekatan metode standar
berdasarkan transformasi adalah bahwa kita harus
mengetahui transformasi yang berbeda untuk
setiap parameter  yang akan diestimasi.
Diinginkan membangun interval konfidensi
dengan sifat transformasi respecting namun tanpa
perlu mencari/mengetahui transformasi tersebut.
Dengan kata lain metode ini dapat dipandang
sebagai metode yang selalu “tahu” transformasi
yang diperlukan. Metode ini dikerjakan dengan
perhitungan bootstrap, tanpa perlu mengetahui .


 
Interval Persentil BP
θ̂ n estimator dari  dari suatu
Misalkan
*
distribusi F dan θ̂ n estimator bootstrap dari 
X1* , X*2 , ..., X*n sehingga fungsi
berdasarkan
*
distribusi kumulatif dari θ̂ n adalah:



 
K BOOT x   P θ̂  x   f θ̂ θ̂ * dθ̂*
*
*
n

Maka interval persentil bootstrap didefinisikan
sebagai:
dengan
1
α , K BOOT
1  α   θ̂*n(αα, θ̂*n(1α) 
1
K BOOT
α  θ̂*(n ) adalah persentil ke
100.α dari distribusi bootstrap. Ekspresi (3.2.2)
merujuk kepada situasi dimana replikasi bootstrap
tak hingga (bootstrap ideal). Dalam praktek kita
harus menggunakan cacah replikasi B yang
berhingga, sehingga didapat interval aproksimasi
persentil bootstrap:

BP
adalah persentil ke 100.α dari
nilai-nilai θ̂ b  yakni nilai ke B.α dalam daftar
bahwa  I    θ ,  θ merupakan interval
konfidensi untuk (). Sebaliknya jika
1
BOOT
*(  )
dimana θ̂ n
 
Jika I  θ, θ interval konfidensi untuk
kuantitas  dan  fungsi monoton naik yang
diketahui maka sangat ideal bila kita berharap
K
ISSN 2085-7829
 

1
1
α , K BOOT
1  α 
, BP  K BOOT

*(1 α)
 θ̂ *(α(
n , θ̂ n

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
*
*
(B+1-k) dari θ̂ b  dengan k = [(B+1).α],
bilangan bulat terbesar ≤ (B+1).α.
Karena sifat similaritas diantara batas-batas
interval untuk pembicaraan selanjutnya hanya
dibahas batas bawah interval saja.
Teorema 3.2.1
Jika ada transformasi naik (x) sedemikian
*
hingga untuk semua F (dan F̂ ) yang mungkin
berlaku:
Pˆ   θ   x  ψx 
dimana ˆ   θ  dan (x) adalah fungsi
distribusi kontinu, naik dan simetris maka:
Jika  dan  diketahui maka batas bawah exact
untuk  adalah:
θ EX   1 ˆ  z α  , dengan z α  ψ 1 α 
Teorema 3.2.2
Jika asumsi seperti pada teorema 3.2.1
dipenuhi untuk F̂ maka:
θ BP  θ EX . Dimana θ BP batas interval persentil
bootstrap.
Teorema 3.2.2 menunjukkan bahwa batas bawah
interval persentil bootstrap adalah exact untuk
semua n jika asumsi pada teorema 3.2.1 tepat
dipenuhi (dipenuhi secara exact). Umumnya
asumsi tersebut dipenuhi secara asimptotik untuk
n besar maka batas bawah persentil tersebut
adalah valid secara asimptotik dan penampilannya
tergantung pada bagaimana baiknya aproksimasi
(3.2.1)
tersebut. Namun, biasanya  tidak
linier dan bias
ˆ   θ tidak menuju nol secara cepat untuk
n → ∞. Akibatnya asumsi pada  dipenuhi secara
aproksimasi, aproksimasi ini baik hanya untuk n
cukup besar. Aproksimasi yang
biasa dipakai
(3.2.2)
adalah aproksimasi normal.

Interval Persentil BC
Interval Persentil BC (Bias Corrected)
diturunkan dengan asumsi yang lebih umum dari
teorema 3.3.1 dengan memasukkan suku koreksi
bias dalam asumsi tersebut.
Teorema 3.3.1
Andai ada transformasi naik  sedemikian
hingga untuk semua F (dan F̂ ) yang mungkin
memenuhi. Pˆ   θ   z 0  x  ψx 
dengan z0 konstanta yang mungkin tergantung
pada F dan n. Jika  dan z0 serta  diketahui
6
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
maka: θ EX   ˆ  z 0  z α 
(3.3.1)
Teorema 3.3.2
Misalkan ada  seperti pada teorema 3.3.1,
maka konstanta bias z0 adalah:
1

 
z 0  ψ 1 K BOOT θ̂ n
θ EX
dimana Σ = var(Xi) dan
ˆ  n -1X1 - X n X1 - X n '
~ (3.2.2)
H n masing-masing
distribusi pivotal studentized ˆn   / ˆ n dan
variabel standardized ˆn   /  n . Misalkan
~
x α  H n1 α  ,
dan
y α  G 1 α 
Misalkan
θ EX dapat dinyatakan
1
Φz α  2z 0 
 K BOOT
sebagai:
Untuk membuktikan teorema di atas dibuktikan
dulu lemma berikut:
Lemma 3.3.4
Untuk setiap x, 0 < x < 1 berlaku:

1
x    1 ˆ  ψ 1 x   z 0
K BOOT

(3.3.4)
Teorema 3.3.5
Batas bawah interval Persentil BC untuk 
adalah:

σ n2  n -1gμ ' gμ  dan
σ̂ n2  n -1g X n ' ˆ g X n 
Lemma 3.5.1
Teorema 3.3.3
Dengan θ EX seperti yang didapat di atas
maka
ISSN 2085-7829

 
1
θ BC  K BOOT
ψ z α  2ψ -1 K BOOT θ̂ n
Konsistensi
Berdasarkan konsistensi dari distribusi
bootstrap maka dapat ditunjukkan konsistensi
himpunan kepercayaan bootstrap.
Teorema 3.4.1
 
 
Gn
dan




z   1   [analog untuk indeks 1 – α],
~
~
H BOOT versi bootstrap dari Hn maka batas
bawah θ NOR ,
masing adalah:
(i)
θ EX , θ BP dan θ BC masing-
θ NOR  θ̂ n  σ̂ n z1α  θ̂ n  σ̂ n Φ 1 1  α 
θ EX  θ̂ n  σ̂ n y1α  θ̂ n  σ̂ n G 1 1  α 
~1
(iii) θ BP  θ̂ n  σ̂ n x̂ α  θ̂ n  σ̂ n H BOOT α 
~1
(iv) θ BC  θ̂ n  σ̂ n x̂  BC   θ̂ n  σ̂ n H BOOT α BC 
(ii)
dengan
α BC  Φz α  2ẑ 0  ,
ẑ 0  Φ 1 K BOOT θ n 
Jika H n  P n θ̂ n  θ  x , HBOOT(x)
bootstrap dari Hn, dan andaikan bahwa HBOOT
konsisten serta lim ρ  H n , H  untuk suatu
Ekspansi Edgeworth dan Ekspansi Cornish
Fisher
fungsi distribusi kontinu, stricly increasing dan
simetri H maka:
θ BP , θ BC adalah konsisten.
G n x   Φx   n 1/2 q1 x  x   n 1q 2 x  x  
n 
Perbandingan Teoritis Interval Konfidensi
Dalam pasal ini akan dilihat tingkat akurasi
dari interval-interval konfidensi yang diterangkan
di muka dan yang dihasilkan dengan pendekatan
normal. Untuk membandingkan sifat-sifat
tersebut maka distribusi dari statistik dan titik
kritisnya terlebih dahulu dinyatakan dalam
ekspansi Edgeworth dan ekspansi Cornish Fisher.
Titik kritis interval konfidensi
Dalam penjelasan ini diperhatikan kasus
dimana X1 iid dan  = μ = EX1,
θn  X n dan
X n  n 1  X i . Andaikan g terdifferensial dan
p
kontinu pada  dan

gμ   0 maka varians
asimptotik dari
n θ̂ n  θ
masing-masing adalah:

dan estimatornya
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
~
Gn(x) dan H n x  dapat diekspansi Ekspansi
Edgeworth sebagai:

 O n 3/2

(3.5.5)
~
H n x   Φx   n 1/2 p1 x  x   n 1 p 2 x  x  

 O n 3/2

(3.5.6)
dengan ekspansi (invers) Cornish Fisher dari
~
y α  G n 1 α  dan x α  H n1 x  adalah:
y   G -1n  

 z   n 1/2 q 11 x  x   n 1q 21 x  x   O n 3/2

(3.5.7)
~
x   H -1n  

 z   n 1/2 p11 x  x   n 1 p 21 x  x   O n 3/2
(3.5.8)
Versi bootstrap dari ekspansi di atas adalah:
7

Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
ISSN 2085-7829
G BOOT x   Φx   n 1/2 q̂ 1 x  x   n 1q̂ 2 x  x  pertama.

O n 3/2
Ketiga interval tersebut
dibandingkan dengan melihat error
probabilitas cakupannya.
Untuk titik kritis Bootstrap Persentil:

(3.5.9)
~
H BOOT x   Φx   n 1/2 p̂1 x  x  

 n 1 p̂ 2 x  x   O n 3/2
(3.5.10)
ŷ  G
-1
BOOT
   z 
n
1/2

q̂ 11 x  x  

n 1q̂ 21 x  x   O n 3/2
(3.5.11)
~
x̂   H -1BOOT    z   n 1/2 p̂11 x  x  

n p̂ 21 x  x   O n
1
 3/2
(ii)
(iii)
θ NOR  θ̂ n  σ̂ n Φ 1 1  α   θ n  σ̂ n z1α
θ EX  θ̂ n  σ̂ n G 1 1  α 

~
θ BP  θ̂ n  σ̂ n H -1BOOT α 

 
 θ̂ n  σ̂ n z 1-α  n 1/2 p̂11 z1-α   O p n 1
θ BC
(iv)
 
 θ̂ n  σ̂ n z1-α  n 1/2 q 11 z 1-α   O p n 1
 z 1-α  n 1/2 2p̂1 z1-α  
 θ̂ n  σ̂ n  1/2
 n p̂ z   O n 1
11 1-α
p





 
Tingkat Akurasi Interval Konfidensi
Bootstrap
Dalam pasal ini akan ditunjukkan bahwa
interval konfidensi Persentil BP dan BC
mempunyai tingkat akurasi pertama (first order
accurate). Disamping itu juga ditunjukkan bahwa
Interval bootstrap BC lebih baik dari aproksimasi
normal ditinjau dari coverage error dari interval
tersebut.
Teorema 3.5.3
Jika θ BP , θ BC adalah interval-interval
bootstrap seperti pada lemma 3.5.1 maka:


Pθ  θ BP ,    1  α  O n 1/2
Pθ  θ BC ,    1  α  O n 1/2


1 
dan
Coverage Error Interval Konfidensi
Interval-interval satu sisi yang dihasilkan oleh
metoda bootstrap persentil BP, BC dan
Aproksimasi Normal adalah dari tingkat akurasi
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
 
 z α2  2 z α 
 On 1  (2)
6 n
Untuk titik kritis dengan pendekatan normal:
 θ̂  θ

Pθ NOR  θ  P 
 z α 
 σ̂ n

2
 2z α  1  z α 
 1 
 O n 1
6 n


 
(3)
Misalkan
e   P     1
error
dalam probabilitas cakupan untuk batas bawah
kepercayaan  . Maka dari (1), (2) dan (3)
didapat:
 

 

 
eθ   eθ   Α z   On 
γ z  1φz 
dengan Α z  
eθ BP   eθ NOR   Α n z α   O n 1
dan
1
NOR
~
 θ̂ n  σ̂ n H -1BOOT α BC 

Untuk titik kritis Bootstrap BC:
Pθ BP  θ  P z α  n 1/2 p 1 z α   2p 1 0   O n 1 

(3.5.12)
Lemma 3.5.2
Dari hasil ekspansi-ekspansi di atas maka
titik-titik kritis θ NOR , θ EX , θ BP dan θ BC dapat
dinyatakan dalam ekspansi-ekspansi berikut:
(i)
 θ̂  θ

~ 1
Pθ BP  θ  P 
  H BOOT
α 
 σ̂ n

2
3 z α  1  z α 
1 
 O n 1
(1)
6 n


dapat
dalam
BC
n
α
2
α
n
α
α
6 n
Dengan asumsi γ ≠ 0, Bila
z2  1 maka
 n  z   0 sehingga bootstrap BC lebih baik
dari aproksimasi normal yang lebih baik dari
bootstrap persentil BP ditinjau dari harga mutlak
dari error probabilitas cakupan.
APLIKASI DAN SIMULASI
Teori Asimptotik Koefisien Korelasi
Dalam bab ini diberikan contoh penggunaan
dari metode penkonstruksian masin-masing
interval yang diterangkan pada Bab III untuk
koefisien korelasi ρ dari (X,Y). Misalkan (Xi,Yi),
…, (Xn,Yn) adalah n sampel random iid
berdistribusi bivariat dari suatu populasi dengan
fungsi distribusi tidak diketahui F pada
 2 dengan EX1 = μx = dan EY1 = μY, var(X1) =
ρ = ρ(F)
 x2 , cov(X,Y) = σXY. Misalkan
koefisien korelasi dari (X,Y) parameter yang akan
diestimasi yang didefinisikan sebagai:
8
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
ISSN 2085-7829
σ XY
EX  EX Y  EY 

2
2 1/2
σXσY
EX  EX  , EE  EY 
Dengan ρ̂ n estimator dari ρ yakni koefisien
ρ

1
 X n  μ X Yn  μ Y  (4.1)
n
1
1
1
  XY  Yn  X  X n  Y 
n
n
n
a.s
X n Yn 
σ XY

korelasi sampel:
ˆ n 
1
 X  X n Y  Yn 
n
(5)
(4.2) Lemma
Dari (1) sampai (5) dan dengan
Slutsky maka didapatkan bahwa:
1/2
2
1
2
  X  X n  ,  Y  Yn  
n

a.s
ρ̂ n 
σ
Yang dapat dihitung bila nilai observasi
diberikan.
Teorema 4.1
Koefisien korelasi sampel ρ̂ n merupakan
estimator konsisten konsisten dari ρ yakni jika
 
 
0  E X 2  , 0  E Y 2   ,
a.s
ρ̂ n 
σ, n   .
maka
n ρ̂ n  ρ  kuantitas statistik
maka fungsi distribusi Exact dari  n adalah
Misalkan  n 

∞. Karena F tidak diketahui maka Gn tidak
diketahui, sehingga perlu diestimasi.
Teorema 4.2
X n  μ X  X  μ
a.s
2
n
2
X
(1)
a.s
a.s
X n  μ X 
0  X n  μ X  
0
Telah diketahui bahwa:


1
1
2
2
 X n  μ X   X  2μ X  X 
n
n
n
2 a.s
μX
 σ 2X
Dengan
S
2
nX
Lemma
Slutsky
1
a.s
  X 2  X n2 
σ 2X
n
dan
dengan mengambil g(x) = x1/2 didapat:
SnX  σ X
a.s
(ii) Analog
dengan
(i)
(2)
didapat
a.s
SnY 
σY
a.s
X n Yn 
μ Xμ Y
Slutsky)

1
(Dengan

 X n  μ X Yn  μ Y
n

1
n
 XY  μ Y
1
n
Lemma

Maka
dengan
Lemma
1
a.s
XY 
σ XY  μ X μ Y

n
(4)
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
 d
n   Zi  μ  
 N 0,  
n

Dengan Σ matriks varians-covarians simetrik:


 


 VarY  CovY, Y 
 CovY, Y  VarY 
 CovY, XY  CovY , XY
 VarX 
Cov X, X 2

2
Var X 2
 Cov X, X

  CovX, Y 
Cov X 2 , Y

 Cov X, Y 2
Cov X 2 , Y 2

2
 CovX, XY  Cov X , XY







 
CovX, Y 
Cov X 2 , Y


Cov X, Y 2
Cov X 2 , Y 2
2
2
2
2
Cov X, XY  

Cov X 2 , XY 

Cov Y, XY  
Cov Y 2 , XY 

VarXY  




Dengan elemen dari Σ adalah:
Var X   EX1  EX1   σ 2X
2
3
3
3
3
2
2) Cov X, X  E X1  EX1  E X1  μ X  μ X X
 M 30  μ X X2

 
  
 
 
Var X 2  E X12  EX12  E X13 - μ 3X - μ X σ 2X
 M 40  4μ X M 30  4μ 2X σ 2X  σ 4X
CovX, Y   EX1  μ X Y1  μ Y   ρσ X σ Y

 



Cov X 2 , Y  E X12  σ 2X  μ 2X Y1  μ Y 
 M 21  2ρX σ X σ Y
6) VarY   EY1  μ Y   σ Y
2
7) Cov X, Y  M 21  2ρ X σ X σ Y
5)
Slutsky:

Dengan Teorema Limit Pusat Lindeberg-Levy
untuk kasus multivariat, maka untuk {Zi}, I = 1,
2, …, n iid berdistribusi bersama F dan EZ1 = μ,
Var(Z1) = Σ, maka:
4)
μ X  Y  μ X μ Y a.s
 σ XY
maka
X , X , Y , Y , X Y  adalah iid
dan μ= EX , EX , EY , EY , EX Y 
Misalkan Z1=
3)
X 
EY14  
Bukti:
1)
(3)
(iii)

d
n ρ̂ n  ρ  

N 0, τ 2
Akibatnya:
1
EX 14   ,
Jika
Bukti:
(i) Karena E(X2) < ∞ maka dengan SLLN
a.s

G n x   P n1/2 ρ̂ n  ρ   x untuk -∞ < x <
(Analog dengan 5)
9


Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011

 

2 2
2
2
2
2
Cov X , Y  E X1  σ X  μ X Y1  μ Y   Y
8)

ISSN 2085-7829
dimana Rn, suku sisa dengan order lebih kecil dari
(qi – μi) i = 1, 2, 3, 4, 5.
Misalkan r μ  q  μ  sebagai perkalian
vektor dari suku kedua dari persamaan di sebelah
kanan (4.5), kemudian persamaan itu dikalikan
T
 M 22  2μ Y M 21  2μ X M 12  4μ X μ Y σ X σ Y 
 σ 2X σ 2Y

n dan ditulis:
T
n ρ̂ n  ρ   r μ  q  μ   n R n
dengan

Cov Y, Y 2  M 03  μ Y Y2
9)
(Analog dengan (2))
  M
10) Var Y
2
04
 4μ Y M 03  4μ 2Y σ 2Y  σ 4Y
(Analog dengan (3))
CovX, XY  EX1  μ X X1Y1  EX1Y1 
 M 21  μ Y σ 2X  ρμ X σ X Y
11)

 
2
2
2 2

12) Cov X , XY  E X 1   x μ x X 1 Y1  EX 1Y1

 M 31  μ Y M 30  3μ X M 21  ρσ σ Y 
2
X
2μ X μ Y σ  2ρρ σ X σ Y
2
X
13)
2
X
CovY, XY   M12  μ X σ 2Y  ρμ X σ X Y
(Analog dengan 11)
14)


Cov Y , XY  M 13  μ X M 03  3μ Y M 12 
2
ρσ X σ 3X  2μ X μ Y σ 2Y  2ρρ 2Y σ X σ Y
(Analog dengan 12)
15)
 EX1 Y1  ρσ X σ Y  μ X μ Y 
2 2
2 2
 M 22  μ Y σ X  μ X σ Y  2μ X M12  2μ Y M 21
2ρ X μ Y σ X σ Y  ρ 2σ X2 σ Y2
M ab  EX  μ X  Y  μ Y 
a
b
q T  q1,q 2 , q 3 , q 4 , q 5 
Misalkan
1
1
 1

  X,  X i2 , Y,  Yi2 ,  X i Yi 
n
2
 n

Maka
(4.3)
dapat
n q    
 N 0,  
ditulis
d
sebagai:
(4.4)
Definisikan
fungsi
r  :  
 
sedemikian hingga koefisien korelasi dapat
dibentuk sebagai suatu fungsi rata-rata observasi,
yakni:
2
ρ̂ n  r q  
q 3  q1q 2
q
 
1/2
2
q 4  q 32
2  q1
dapat ditulis sebagai ρ  r μ  .

1/2

d
n r μ  q  μ  

N 0, τ 2
T

dan
 dapat dicari dengan metode delta:
T
τ  r μ   r μ 
2
varians
2
(4.7)
Karena
n q  μ  asimptotik normal dan Rn
berorder lebih kecil dari (q – μ) maka
d
n Rn 

0 , sehingga dengan menggunakan
lemma Slutsky pada (4.6) maka:

d
n ρ̂ n  ρ  

N 0, τ 2

Dari (4.7), dengan menghitung turunan parsial
dari r(q) untuk q = μ didapat:
 ρμ
μ
ρ
ρμ Y  ρ
1 
T

r μ    2X  Y , 2 
, 2 ,
σ
σ
σ
2σ
σ
σ
2σ
σ
σ
 X
X Y
Y
X Y
Y
X Y 
VarXY  EX1 Y1  EX1 Y1 
Dengan
Dari (4.4)
n q    ~ AN0,   , maka
dengan “Cramer Wold device” (Teorema 2.5.5)
dapat disimpulkan:
d
dan (4.1)
Karena r(.) kontinu dan terdifferensial, dengan
menggunakan ekspansi Taylor multivariat maka
didapat bentuk berikut: Efron & Tibshirani, 1993)
r q 
r q   r μ    q i  μ i 
qi  μi  R n
q i
i1
5
r μ    τ1 , τ 2 , τ 3 , τ 4 , τ 5  dengan:
ρ
ρ
1
τ1   2 M 30  2 M12 
M 21
2σ X
2σ Y
σXσY
ρμ
ρ
ρ
τ 2   2 M 40  2X M 30  2 M 22 
2σ X
σX
2σ Y
ρμ X
2μ X
1
M 12 
M 31 
M 21
2
σXσY
σXσY
σX
ρ
ρ
1
τ 3   2 M 21  2 M 03 
M12
2σ X
2σ Y
σXσY
ρμ
ρ
ρ
τ 4   2 M 22  2Y M 21  2 M 04 
2σ X
σX
2σ Y
ρμ Y
2μ Y
1
M 03 
M 13 
M 12
2
σXσY
σXσY
σX
T
τ5  
ρ X
2
2σ Y
ρμ X
ρ
ρ
M 31 
M 03 
M 21 
2
2
2
2σ X
2σ Y
2σ X
M 12 
ρμ Y
2
σY
M 30 
ρμ X
2
σX
M 03
(4.5)
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
10
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011

1
μ
μ
M 22  X M12  Y M 21
σXσY
σXσY
σXσY
Maka varians asimptotik dari
adalah:
τ
 
2
 r 
T
 
r  
ρ
2
4
4σ X
M 40 
ρ
n ρ̂ n  ρ 
2
Mengingat teorema tentang konvergensi dari
4
4σ X
M 04 
 M 40 M 04 2M 22
 4  4  2 2 
σX
σXσY
ρ2  σX


4M 31 4M 13
4M 22
4



2
3
 σ σ 
σ
σ
σ X σ 3Y
X
Y
X Y








dengan mean
 σ2
   X
 ρσ X σ Y
dimana Mab adalah momen sampel.
Misalkan ρ̂ n koefisien korelasi sampel dan

n ρ̂ n  ρ  estimator plug in dari  ,
maka estimator varians dari ρ̂ n adalah estimator
2.
σ̂ 2 ρ̂ n  estimator plug ini dari
varians koefisien korelasi, jika EX1   ,
EY1   ,  X2  0 , dan  Y2  0 maka
a.s
nσ̂ 2 ρ̂ n  
τ 2 untuk n → ∞
Misalkan
teorema

(4.2)

d
nσ̂ 2 ρ̂ n  ρ  

N 0, τ 2
Misalkan
nσ̂ 2 ρ̂ n  estimator
nσ̂ 2 ρ̂ n   τ̂ 2 , maka:
plug
in
 M̂ 40 M̂ 04 2M̂ 22

4M̂ 22

 4  2 2 

4
2
σ̂ X
σ̂ X σ̂ Y ˆσ̂ X σ̂ Y  
ρ̂ 2  σ̂ X
ˆ 2  

4  4M 31 4M̂ 13

 σ̂ 3 σ̂  σ̂ σ̂ 3

 X Y
X Y

a.s
ρ̂ n 
 , dan dengan
a.s
a.s
2
2
2
2
SLLN σ̂ X  σ X dan σ̂ Y  σ Y , dan
Dari teorema (4.1)
dengan mengambil g(x) = x1/2 serta g(x) = x3/2
akan
memberikan
σ̂  σ
a.s
σ̂ 
σ
3
X
3
Y
a.s
3
X,
3
Y.
Varians
 X2  0 dan  Y2  0
σ̂ X  σ X ,
a.s
σ̂ Y 
σY ,
a.s
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
μX 
μ    dan covarian matrik
μY 
(4.8)
ρσ X σ Y 

σ 2Y 
 2 adalah 1 ρ 2  .
2
Bukti:
2
koefisien secara kuat untuk
Teorema 4.3
Bukti:
Dari
jumlah dan hasil kali, jika
didapat:
Untuk kasus parametrik maka diasumsikan
populasi berdistribusi normal bivariat.
Teorema 4.4
Jika F adalah ΦμX,Μy,σX,σY,ρ distribusi Gaussian
ρ
ρ
M 31 
M13
σ σY
σ X σ 3Y

M̂ ab 
a.s
nσ̂ 2 ρ̂ n  ρ  
τ 2 untuk n → ∞.
3
X
σ̂
Juga dengan SLLN
1
a.s
X i  X n a Yi  Yn b 
M ab

n
a
b
 E X  μ X  Y  μ Y 
2
ρ
1
M 22 
M 22 
2 2
2 2
σXσY
σXσY
2
ISSN 2085-7829
Misalkan
 X  μX

~
 X   σX
 
~ 
Y
   Y  μY
 σ

Y
~
X
 0 1 ρ 
  ~ N  , 

~
  0   ρ 1  
Y

  
 


,



maka
Jika (4.7) dipenuhi maka ada matrik P2x2 yang
1 ρ T
P  I 2 sedemikan hingga:
P
ρ
1


~
 0 1 ρ
 Z1  X 
  ~ ~ N  , 
 
 Z 2  Y 
 0 ρ 1
memenuhi
Dengan menggunakan operasi matrik pada akar
dan vektor karakteristik, maka didapat P yakni,
 1

1  1 ρ
P
2  1

 1 ρ
1 

1 ρ 
1 

1 ρ 
Karena Z1 dan Z2 iid Normal maka:
EZ14  EZ 42  3, EZ1Z32  EZ13 Z 2  0, EZ13 Z32  1
akibatnya: M13  3ρ X σ Y ; M 31  3ρ X σ Y
3
3
M 22  1  2ρ  X2 σ 2Y
(4.12)
~
~
Karena X dan Y normal standar maka:
M 40  3 X4 ; dan M 04  3 Y4
dan
11
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
Dengan mensubstitusikan (4.12) dan (4.13) ke
(4.8) didapat   1 2ρ  (Ausri, dkk:1995)
Untuk dapat membandingkan dengan
interval Persentil perlu dicari  sedemikian
hingga asumsi pada interval persentil dipenuhi.
ISSN 2085-7829
b.
Teorema 4.5
Jika F adalah ΦμX,Μy,σX,σY,ρ pada teorema (4.3),
Dengan Transformasi Normal Standar
1 1 ρ 

  log
dengan
2  1  ρ 
n ˆ n    ~ N0,1 didapat interval untuk 
2
2
Pilih
yaitu:
ˆ
n
 n1/2 z α , ˆ n  n1/2 z1α

maka ada fungsi  dan estimasinya ̂ yang
terdifferensial dan kontinu sedemikian hingga
Interval untuk ρ diperoleh dengan menginverskan
interval (4.13) dengan menggunakan tangen
hiperbolik.
Bukti:
c.
n ρ̂ n  ρ  ~ N 0,1 .

Karena
n ρ̂ n  ρ  
 N 0, ρ̂ n  ρ 
maka dengan metode delta:
d
2

2
2
d
n ˆ    

N 0, ρ̂ n  ρ   '
(4.12)
Varians dari distribusi
ρ̂ n  ρ 2  '2
diatas

=
*
1
jika
dan
1 1 ρ 
  C , C konstan.
  log
2  1  ρ 
Bootstrap Koefisien Korelasi
X , Y , i = 1, 2, …, n sampel

1
Misalkan

1
bootstrap iid dari distribusi empirik F̂n yang
diambil dengan pengembalian dari sampel ukuran
n. Maka versi bootstrap untuk sampel korelasi
adalah:
ˆ 

n


1
X*i  X *n Yi*  Yn*

n




1/2

1
*
* 2
*
* 2
  X i  X n ,  Yi  Yn 
n

Interval Konfidensi Koefisien Korelasi
a. Pendekatan Normal Standar
 n ρ̂ n  ρ  
  x , dengan


τ̂


Jika G ρ x   P
menggunakan

pendekatan
G ρ x   Φx   O n
1/2

normal
didapat
interval
konfidensi 1 - 2α aproksimasi normal standar:
τ̂
τ̂ 

, ρ̂ n  z
 ρ̂ n  z1

n
n

ρ̂ *n . Untuk B = 100 maka batas interval 95%
untuk ρ adalah nilai ke 25 dan 975 masing-masing
1
'
1  ρ2
sehingga

Interval Aproksimasi Bootstrap Persentil
Interval Persentil didapat dengan menghitung
persentil α dan 1 – α dari replikasi bootstrap dari
dengan
ˆ
estimator dari  .
untuk batas bawah dan atas dari replikasi ρ̂ n
yang telah diurutkan.
d. Interval Bootstrap Persentil BC
Interval Persentil BC diperoleh dengan cara
yang sama seperti pada Interval Bootstrap
Persentil kecuali α pada Interval Persentil diganti
dengan αBC dengan α BC  Φ2ẑ 0  z α  dan
1 - α BC  Φ2ẑ 0  z1-α  serta



ẑ 0  Φ 1 Probρ̂ n ρ̂*n  ρ̂ n atau

 # ρ̂* b   ρ̂ n
ẑ 0  Φ 1 
B




Program Simulasi
Simulasi untuk interval bootstrap BP dan BC
menggunakan S-Plus dengan bantuan komputer.
Untuk simulasi dibangun sampel random dengan
ukuran n. Beberapa input yang diperlukan antara
lain: n (ukuran sampel, R1 dan R2 (2 sampel
random independen dari distribusi normal dengan
mean μ dan varians σ2), B (cacah replikasi), rh
(koefisien
korelasi
populasi).
Untuk
mengkontruksi sampel random normal bivariat
dengan mean μ = (μX, μY) dan varians
 σ2
   X
 σ XY
σ XY 

σ 2Y 
digunakan
transformasi
(Efron & Tibshirani, 1993):
X = μX + σX R1
Y  μY 
C
σY
1  c2
R 1  CR 2 
dengan
1
1
ρ2
Dalam simulasi ini diambil μX = μY = 0 dan
 X2   Y2  1 .
Langkah-langkah proses simulasi:
1. Definisikan semua statistik yang diperlukan.
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
12
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
2.
3.
4.
Bangun dua sampel random normal
independen R1 dan R2 dengan ukuran n.
Gunakan transformasi (4.2.1) dan (4.2.2)
untuk membangun distribusi normal bivariat.
Hitung ̂ n dan ̂ .
5.
Kontribusi interval konfidensi untuk ρ
dengan aproksimasi normal standar dan
dengan transformasi.
6. Kontruksi interval konfidensi untuk ρ dengan
metoda bootstrap persentil dan persentil BC
menggunakan cacah replikasi B.
7. Buat histogram dari semua interval
konfidensi.
Selain simulasi interval konfidensi untuk
koefisien korelasi diberikan juga simulasi
sederhana interval konfidensi untuk parameter  =
eμ, dengan μ mean populasi dan sampel diambil
dari distribusi normal standar X1, …, X10. Sebagai
pembanding tetap dihitung interval konfidensi
dengan pendekatan normal standar dan
transformasi normal , yakni  = log x. Langkahlangkah simulasi analog seperti pada koefisien
korelasi tetapi lebih sederhana dan pembahasan
secara teoritis tidak diberikan.
KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan pembahasan yang telah
diuraikan sebelumnya, maka dapat disimpulkan
bahwa interval konfidensi berdasarkan Persentil
Bootstrap bersifat transformation-respecting yang
tidak dimiliki oleh interval normal standar.
Disamping itu dalam membangun interval
tersebut kita tidak perlu tahu transformasi yang
digunakan karena dikerjakan langsung dari
perhitungan bootstrap. Semua interval yang
dibahas dimuka termasuk interval Normal Standar
mempunyai tingkat akurasi pertama namun dalam
hal coverage error, interval Persentil BC
mempunyai error yang lebih kecil dibandingkan
dengan interval normal dan interval Persentil BP.
Metode Persentil kelihatan lebih praktis dalam
penerapannya dan tidak menyimpang dari
pendekatan tradisional.
Berdasarkan hasil penelitian Efron (1987) interval
Persentil dapat ditingkatkan akurasinya dengan
asumsi yang lebih umum. Masalah ini tidak
dibahas mengingat waktu dan kemampuan
penulis yang terbatas, sehingga disarankan untuk
melakukan penelitian tentang hal itu.
ISSN 2085-7829
Dudewicz, E.J. and Mishra, S.N., 1988, Modern
Mathematical Statistics John Wiley & Sons.
New York.
Efron, B., 1979, Bootstrap Method: Another look
at the jacknife. Annals of Statistics, 7, 1 – 26.
--------, 1987, Better Bootstrap Confidence
Intervals (with discussion). Journal fo the
American Statistical Association. Vol.82,
No.397, 171-200.
Efron, B. and Tibshirani, R., 1993, An
Introduction to the Bootstrap. Chapman &
Hall. New York.
Hall, P., 1988, Theoretical Comparison of
Bootstrap
Confidence
Intervals
(with
discussion). Annals of Statistics, 16, 927-953.
--------, 1992, The Bootstrap and Edgeworth
Expansion. Springer-Verlag New York.
Helmers, R., 1995, Bootstrap Aproximation:
Theory and Application. Unpublished Paper,
Amsterdam.
Serfling, R. J., 1980, Approximation Theorems of
Mathematical Statistics. Wiley, New York.
Shao, J. and Tu, D., 1995, The Jacknife and
Bootstrap. Springer Verlag New York.
Singh, K., 1981, On the Asymptotic Accuracy of
Efron’s Bootstrap. Annals of Statistics, Vol.9,
No. 6, 1187-1195.
Statistical Sciences,Inc., 1993, S-PLUS for
Windows’s User’s Manuals, Version 3.1,
Seatle: Statistical Sciences, Inc.
Zulaela, at al., 1995, Bootstrapping Linear
Regression Models, Research Workshop in
Statistic. Unpublishing manuscript. Bandung.
DAFTAR PUSTAKA
Bickel, P.J. and Freedman, D.A, 1981, Some
Asymptotic Theory For The Bootstrap. Annals
of Statistics. Vol. 9, No. 6, 1196-1217.
Diciccio, T. and Tibshirani, R, 1987, Bootstrap
Confidence
Intervals
and
Bootstrap
Approximations. Journal of the American
Statistical Association, vol.82, No.397, 163170.
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
13
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
ISSN 2085-7829
14