pengembangan algoritma iteratif untuk minimisasi fungsi nonlinear

PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK
MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
TESIS
Oleh
FADHILAH JULI YANTI HARAHAP
127021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK
MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
FADHILAH JULI YANTI HARAHAP
127021019/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2014
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
: PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK
MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
Nama Mahasiswa : Fadhilah Juli Yanti Harahap
Nomor Pokok
: 127021019
Program Studi
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 3 Juni 2014
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 3 Juni 2014
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
:
Prof. Dr. Herman Mawengkang
Anggota
:
1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Dr. Sutarman, M.Sc
3. Dr. Syahril Efendi, S.Si. M.IT
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK
MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan
dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 3 Juni 2014
Penulis,
Fadhilah Juli Yanti Harahap
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan linier maupun sistem persamaan
nonlinier yaitu secara analitik dan numerik namun terdapat persamaan ataupun
sistem persamaan nonlinier tertentu yang sulit diselesaikan dengan penghitungan
analitik sehingga penghitungan numerik dapat menjadi solusi. Salah satu kajian
metode numerik pada tesis ini adalah mengembangkan algoritma iteratif untuk meminimalkan fungsi nonlinier dengan teknik dekomposisi. Pengembangan algoritma
dilandasi dari metode newton, lalu di kembangkan dengan teknik dekomposisi.
Hasil analisis dan eksperimen memperlihatkan bahwa kekonvergenan metode NR
bersifat kuadratik (derajad kekonvergenannya 2) ke akar sederhana. Untuk akar
ganda, metode NR mempunyai derajat kekonvergenan linear, dan dapat ditingkatkan menjadi kuadratik dengan menggunakan modifikasi rumus iterasinya.
Kata kunci: Akar persamaan, Algoritma iterative, Tekhnik dekomposisi,
Algoritma newton.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
There are two ways to resolve the linear equations and non-linear equations that
sisitem analytically and numerically, but there are similarities or certain nonlinear
systems of equations that are difficult to be solved by analytic calculation of numerical calculation can be a solution. One study in numerical methods in this thesis is
to develop an iterative algorithm for minimizing non-linear functions with decomposition techniques. The development of an algorithm based on Newton’s method,
and developed the technique of decomposition. Results of analysis and experiments
show that the convergence is quadratic NR method (degree kekonvergenannya 2) to
the simple roots. For double roots, NR method has a linear convergence degree, and
can be increased to quadratic formula using a modified iteration.
Keyword: Root equation, Iterative algorithms, Decomposition techniques,
Algorithms newton.
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji dan Syukur penulis ucapkan ke Hadirat Allah SWT Tuhan Yang Maha
Kuasa yang telah memberikan petunjuk yang sangat berharga sehingga tesis yang
berjudul ”PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI
FUNGSI NONLINEAR” dapat diselesaikan sesuai dengan waktunya.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara
Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA) Universitas Sumatera Utara.
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA USU dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis
ini.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan bantuan dalam penulisan
tesis ini.
Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah
banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Kak Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika
FMIPA USU yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis
selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU
tahun 2014 yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis
dalam penulisan tesis ini.
iv
Universitas Sumatera Utara
Tak lupa penulis ucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan
setinggi-tingginya kepada orangtua dan suami tercinta yang mencurahkan kasih
sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendampingi dan
membantu penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu
penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis
ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya.
Terimakasih.
Medan, 3 Juni 2014
Penulis,
Fadhilah Juli Yanti Harahap
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama Fadhilah Juli Yanti Harahap dilahirkan di Medan tanggal 23
juli 1978 anak ke-enam dari delapan orang bersaudara. Nama bapak Drs. Syamsuddin Harahap dan Ibu Rosliana. Tamat dari Sekolah Dasar Negeri 060858 tahun
1991, melanjut ke Sekolah Menengah Pertama Negeri 12 Medan dan tamat tahun
1994, kemudian melanjutkan ke SMA Negeri 14 Medan dan tamat tahun 1997.
Pada tahun 1997 kuliah di Universitas Muhammadiyah Sumatera Utara Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan jurusan matematika tamat tahun 2002. Tahun
2000-2002 penulis mengajar di SD Muhammadiyah 09 Medan, Tahun 2002-2003
mengajar di SD Pertiwi Kota Medan dan Tahun 2005-2010 mengajar di MAN
Binjai, kemudian tahun 2011 mengajar di MAN 2 Model Medan sampai dengan
sekarang.Selain Sebagai seorang ibu rumah tangga penulis tinggal bersama suami
dan anak-anak di Dalu X-B jalan Swadana gang Impres.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
x
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
1.5 Metode Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Optimasi Non-Linier
5
2.2 Metode Newton-Raphson
6
2.2.1 Gagasan awal metode newton-Raphson
6
2.2.2 Metode pengali Lagrange
9
2.2.3 Vektor gradien dan matriks Hessian
9
2.3 Kondisi Karush-Kuhn Tucker
10
2.4 Metode Biseksi
12
vii
Universitas Sumatera Utara
2.5 Metode Scant
12
BAB 3 MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PERSAMAAN NONLINEAR
13
3.1 Sistem Persamaan Nonlinier
13
3.2 Metode Numerik
14
3.3 Kesalahan
15
3.4 Modifikasi Metode Newton-Raphson
16
3.4.1 Kriteria berhenti
18
3.4.2 Penentuan titik awal (Z0 )
18
3.5 Beberapa Modifikasi Metode Newton Raphson
3.5.1 Tahap dua dan tahap tiga algoritma iteratif
18
19
3.6 Analisa Konvergen
24
3.7 Metode-metode Lainnya
25
3.7.1 Penerapan optimasi Chaos
25
3.7.2 Metode Jacobian
27
BAB 4 PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIVE UNTUK MEMINIMALKAN
FUNGSI NONLINIER
30
4.1 Ilustrasi Numerik
30
BAB 5 KESIMPULAN
33
5.1 Kesimpulan
33
5.2 Saran
33
DAFTAR PUSTAKA
34
viii
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Kondisi Karush-Kuhn Tucker
10
4.1
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 1
30
4.2
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 2
30
4.3
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 3
30
4.4
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 1
31
4.5
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 2
31
4.6
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 3
32
4.7
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 1
32
4.8
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 2
32
4.9
Algoritma baru dengan nilai awal x0 = 3
32
ix
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
2.1
Metode newton-Raphson
6
2.2
Pendekatan pada titik puncak
8
2.3
Pendekatan pada 2 titik puncak
8
x
Universitas Sumatera Utara