makalah-kalkulus-fungsi-eksponen-dan-logartima_6

MAKALAH
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EXPONENSIAL dan FUNGSI LOGARITMA
Makalah ini disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Kalkulus1
Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal,M.Pd.
Disusun Oleh :
Nurhidayah
(23070160100)
Anisa Nurjanah
(23070160102)
Loeby Lukman Hakim
(23070160015)
TADRIS MATEMATIKA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SALATIGA
2016
BAB 2
A. Definisi logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang
merupakan kebalikan (atau invers) dari eksponen atau pemangkatan.
Rumuslogaritma :
A²=b ↔ ᵅ log b = c
Dimana a disebut bilangan pokok (a˃0 dan a≠0)
Dimana b disebut numerus (b˃0)
Dimana c disebut hasil logaritma
Dari definisi logaritma diatas dapat disimpulkan bahwa :
a. a log a = 1 (artinya a pangkat berapa = a )
contoh :
5
log 5 = 1
b. alog1=0
contoh
3
log 1 = 0 (artinya 3 pangkat berapa = 1)
a
c. log ac=c
contoh 2log23=3
B. pembuktian Logaritma
Sebagai tambahan pengetahuan gambar di atas merupakan salah satu grafik fungsi
logaritma (y = log x). Logaritma memiliki beberapa sifat yang berlaku seperti halnya
eksponen. Berikut ini akan kita bahas sifat-sifat dari logaritma dan buktinya.
1.
Contoh: 2 log 32 = 2 log (4.8) = 2 log 4 + 2 log 8
Bukti:
Misalkan a log b = x dan a log c = y artinya a x = b dan a y = c.
Sehingga (b.c) = a x . a y = a x + y (Sifat perkalian eksponen)
Jadi diperoleh bahwa: (b.c) = a x + y dengan demikian maka a log (b.c) = x + y
Oleh karena itu,
a
log b + a log c = x + y = a log (b.c)
Terbukti.
C. Fungsi Logaritma
Fungsi logaritma adalah invers atau kebalikan dari fungsi pangkat. Grafik fungsi logaritma
merupakan pencerminan terhadap garis y ₌ x dari fungsi pangkat. Jadi, daerah asal fungsi logaritma
adalah R⁺ dan daerah hasilnya ialah R.( Nababan,1988:66).
Notasi :
Fungsi logaritma yang ditulis dengan notasi : y₌f(x)₌ᵅ log x ;x˃0,ɑ˃0 dan ɑ≠0, dinamakan
bilangan pokok.
D. Sifat- sifat logaritma
1. ᵅ log x
=x
2. ᵅ log xy
= ᵅ log x + ᵅ log y
3. ᵅ log x/y
= ᵅ log x ᵅ ⎯ ᵅ log y
4. ᵅ log x ⁿ = nᵅ log x
5. ᵅ log ɑ
=1
6. ᵅ log x =
log x
, untuk suatu b ˃ 0 dan b ≠ 1
log 
1
log ɑ
n
8. ɑᵐ log bⁿ= ɑ log b. ( Nababan,1988:66).
m
7. ᵅ log x =
contoh ;
a, jika 3 log 2 = p, maka 8 log 81 adalah….
Jawab:
=8 log 81= 2³ log 3⁴
=
1
4
x
3 3log 2
=
4
3p
b. nilai dari 5 log 25 + 5 log 3 ⎯ 5 log 15=….
Jawab : 5 log 25 + 5 log 3 ⎯ 5 log 15=
=5 log (
25x 3
)
15
=5 log 5
=1

Fungsi Eksponensial
A. Definisi fungsi eksponen
Fungsi yang variabel bebas x sebagai pangkat (Nurhadiyono)
Contoh:
𝑦 = 22𝑥+3
𝑦 = 8𝑥+1
B. Sifat-sifat fungsi eksponen
1. Bentuk a f ( x )  1
(Muklis, 2014)
Jika a f ( x )  1 dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = 0
Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponenberbrntuk a
Ya,perlu kalian ketahui bahwa:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaikan dari:
Jawab :
35x-10 = 1
35x-10 = 30
= 1?
a f ( x ) = 1, dengan > 0 dan a  0, maka f (x) = 0. Perhatikan contoh
berikut ini!
3 5 x 10 = 1
f ( x)
5x-10 = 0
5x
= 10
X
= 2
2. Bentuk a f ( x )  a p
Jika a f ( x )  a p dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari:
5 2 x 1  625
Jawab :
5 2 x 1  625
5 2 x 1  5 3
2x-1 = 3
2X = 4
X =2
3. Bentuk af(x) = ag(x) (Muklis, 2014)
Jika af(x) = ag(x) dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)
Contoh :
9x
2
x
 27 x
2
1
Jawab:
9x
2
x
32( x
2
 27 x
 x)
2
1
 33( x
2
1)
2(x2+x) = 3(x2-1)
2x2+2x = 3x2-3
X2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
X=3
x = -1
Jadi HP= { -1, 3 }
4. Bentuk a f ( x )  b f ( x ) (Muklis, 2014)
Jika a f ( x )  b f ( x ) dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) =0
Contoh :
6 x 3  9 x 3
Jawab :
6 x 3  9 x 3
x-3 = 0
x
=3
Jadi HP = { 3 }
5. Bentuk A(a f ( x ) ) 2  B(a F ( x ) )  C  0 (Muklis, 2014)
Dengan memisalkan af(x) = p, maka bentuk persamaan di atas dapat
diubah menjadi persamaan kuadrat : Ap2 + Bp + C =0
Contoh :
a. 22x - 2x+3 +16 = 0
Jawab :
22x - 2x+3 +16 = 0
22x – 2 x.23 +16 = 0
Dengan memisalkan 2x = p, maka persamaan menjadi
P2 – 8p + 16 = 0
(p – 4)(p – 4) = 0
P=4
Untuk p = 4  2x = 4
2x = 22
X =2
Jadi HP = { 2 }
C. Latian Soal
a. 22 x
b. 2
2
 3 x 5
2 x 7
1
1

32
c. 25X+2= (0,2)1-X
d. 7 x
2
5 x  6
 8x
2
5 x  6
A. Fungsi Trigonometri
sin  
tinggi
miring
cos  
alas
miring
tan  
tinggi
alas
(Varberg, 2015)
Definisi ini tidak berlaku untuk sudut tumpul dan negatif, sehingga
untuk sudut umum  dalam posisi baku, dimisalkan p  x, y  adalah
Sifat Dasar Sinus dan Cosinus
sembarang titik pada sisi akhir dari  dan r adalah jarak OP .
sin t  1
cos t  1
(Heri, 2005)
Terdapat sifat dasar yang perlu diketaui yang beberapa kenyataan jelas kelihatan dari
definisi yang baru saja diberikan. Pertama x dan y bervariasi antara -1 dan 1.
(Varberg, 2015)
Sehingga,
sin t  1
cos t  1
sin  t  2   sin t
cos  t  2   cos t
sin   x    sin x
cos   x   cos x


sin   t   cos t
2 


cos   t   sin t
2 
(Varberg, 2015)
(Varberg, 2015)
Akhirnya kita sebutkan sebuah kesamaan yang menghubungkan fungsi-fungsi sinus
dan cosinus
Sehingga
sin 2 t  cos 2 t  1 (Varberg, 2015)
Kesamaan ini muncul dari kenyataan bahwa y 2  x 2  1
Contoh :
Berapakah nulai dari sin  60  2   sin 60 ?
Lihat pada dasar yang diatas bahwa sin  t  2   sin t
Maka sin  60  2   sin 60
Apabila ditafsirkan melalui grafik akan ditemukan empat hal sebagai berikut :
1. sin x dan cost keduanya berkisar dari -1 sampai 1
2. Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan panjang
2
3. Grafik y  sin t simetris terhadap titik asal dan y  cos t terhadap sumber y
4. Grafik y  sin t sama seperti y  cos t , tetapi bergeser 2 satuan ke kanan
(Varberg, 2015)
Identitas Trigonometri :
KesamaanHasilKali :
KesamaanPhytagoras :
sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec2 
1  cot 2   csc2 
1
cos  x  y   cos  x  y 
2
1
cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y 
2
1
sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y 
2
sin x sin y  
KesamaanSudut  Ganda :
KesamaanJumlah :
 x y
 x y
sin x  sin y  2sin 
 cos 

 2 
 2 
 x y
 x y
cos x  cos y  2 cos 
 cos 

 2 
 2 
sin 2 x  2sin x cos x
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x
 2 cos 2 x  1
 1  2sin 2
penambahan :
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
tan x  tan y
1  tan x tan y
tan x  tan y
tan  x  y  
1  tan x tan y
tan  x  y  
Soal Latihan :
1. Hitunglah dengan kalkulator dengan teliti pada 51,80 ke radian.
Pembahasan :
 
51,8    0,904radian
 20 
cos  sin 51,8  cos  0,904  0,6184
2. Hitunglah 6cos 4x cos x !
Pembahasan :
 3  2cos 4 x cos x 
 3  2cos  4 x  x  cos  4 x  x  
 3  cos 5 x  cos 3 x 
3. Buktikan sin 2 6  sin 2 42  sin 2 66  sin 2 72 
Pembahasan :
9
4
(ruaskiri )
sin 2 6  sin 2 42  sin 2 66  sin 2 72 
9
4
1 1
1 1
1 1
1 1
 cos12   cos84   cos132   cos156
2 2
2 2
2 2
2 2
1
2   cos12  cos84  cos132  cos156 
2
1
1

1

1

1
 
2   2 cos   96   cos   72   2 cos   288   cos   24  
2 
2

2

2

2
 
1
2   2 cos 48  cos 36  2 cos144  cos12   ingat !cos   x   cos x
2

2  cos 48  cos 36  cos 180  36   cos12
2   cos 48  cos 36  cos 36  cos12
2  cos 36  cos 48  cos12



1
1


2  cos 36  2sin  48  12   sin  48  12  
2
2


2  cos 36  2sin18  sin 30

1 cos18
2  cos 36  sin18  2  
2 cos18
 1 cos 36  sin 36 
2 

cos18
2

1 1 sin 72
2  
2 2 cos18
1 sin 72
1 9
2 
 2   terbukti 
4 sin 72
4 4
Daftar Pustaka
Muklis, M. (2014). Matematika Peminatan Matematika dan Ilmu-Ilmu Alam. Klaten: Intan
Pariwana.
Nurhadiyono, B. Grafik Fungsi. Universitas Dian Nuswantoro Semarang (UDINUS):
Semarang.
Heri, R. (2005). Buku Ajar Kalkulus 1. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan UNDIP:
Semarang.
Varberg, E. J. (2015). Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga.
Nababan, M (1988) Pengantar Matematika.: Erlangga.