8-medan-skalar-dan-vektor

Medan Skalar
Tujuan:
1. Mengetahui perbedaan antara medan skalar dan medan
vektor.
2. Memahami turunan parsial, arti fisis dan geometri turunan
parsial, metode kuadrat terkecil (Kalkulus II, baca sendiri)
3. Memahami dan mahir menghitung vektor gradient dan
aturan rantai.
4. Memahami dan mahir menghitung turunan berarah, arti fisis
dan geometri turunan berarah
Misal P(x,y,z) suatu titik di ruang
Fungsi skalar: f=f(P) di R
Fungsi vektor: v = v(P) = (v1 ( P ), v 2 ( P ), v3 ( P )) di R 3
Fungsi skalar mendefinisikan Medan Skalar pada daerah
definisinya, contohnya: medan temperatur tubuh, medan tekanan
udara di atmosfir.
Fungsi vektor mendefinisikan Medan Vektor pada daerah
definisinya, contohnya: medan vektor tangen, medan gravitasi.
Gradient dari medan skalar:
Grad f dari fungsi skalar f(x,y,z) adalah fungsi vektor:
gradf 
f ˆ f ˆ f ˆ
i
j k
x
y
z
Biasa dinyatakan dalam bentuk operator:

 ˆ  ˆ  ˆ
i
j k
x
y
z
dimana  dibaca nabla atau del.
Grad f adalah vektor
Aturan Rantai:
Jika w = f(x,y,z) dimana x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v), maka
turunan pertama terhadap u dan v adalah
w f x f y f z



u x u y u z u
w f x f y f z



v x v y v z v
Jika w = f(x,y,z) dimana x=x(u), y=y(u), z=z(u), maka turunan
pertama terhadap u adalah
dw f dx f dy f dz



du x du y du z du
Turunan Berarah:

Turunan berarah f terhadap vektor b , atau Db f  df / ds , adalah

laju perubahan f pada suatu titik P dalam arah vektor b .
df
f (Q )  f ( P )
Db f 
 lim
ds s0
s

Q suatu titik dimana vektor C= QP searah dengan b , dan s jarak
antara Q dan S.
Misal b vektor unit. Jika C dinyatakan dalam vektor


r ( s )  x( s )iˆ  y ( s ) ˆj  z ( s ) kˆ  p0  sb

dimana p0 adalah vektor posisi dari P.
df f dx f dy f dz f
f
f




x'
y ' z '
y
ds x ds y ds z ds x
z

tapi diketahui r '  x' iˆ  y ' ˆj  z ' kˆ  b maka

df

Db f 
 b  gradf
ds
Db f 
2
2
2
Contoh: cari turunan berarah dari f ( x, y, z )  x  3 y  z pada

titik P(2,1,3) dalam arah vektor a  iˆ  2kˆ
Misal f(P)=f(x,y,z) fungsi skalar memiliki turunan parsial pertama.
Jika gradient f di titik P tidak nol, maka gradien tersebut
merupakan arah peningkatan maksimum nilai f di titik P.
Contoh-contoh:
Medan Vektor
HURICANE :
Bidang XOY
Bidang YOZ
Tiga Dimensi
Gravity:
Bidang XOY
Bidang XOZ
Tiga Dimensi
Pada kuadran pertama bidang YOZ
MEDAN GRADIEN
Untuk x dan y bertanda sama: arah thd x selalu ke kanan
Untuk x dan y berbeda tanda: arah thd x selalu ke kiri
Apabila turunan parsial thd y >0 maka arah ke atas
Apabila turunan parsial thd y < 0 maka arah ke bawah
Bidang XOZ
Latihan:
1. Tuliskan persamaan parameter untuk garis lurus melalui titik (2,0,4) dan (‐3,0,9). 2. Diberikan curva r(t) dan titik P: Carilah vektor singgung r’(t) di titik P, sketsa gambarnya di bidang XOY dan dimensi 3. 3. Tentukan kurva isoterm (kurva yang memiliki suhu konstan T) dari fungsi berikut: a. T = xy b. 4. Gambarkan medan vektor dari . . Tentukan 5. Diberikan turunan berarah f terhadap vektor a di titik P.