Kuliah keempat

Kuliah keempat
Ilmu Gaya :
1.Resultante gaya
2.Uraian gaya
Superposisi gaya dapat dilakukan
pada beberapa gaya yang
1. Garis kerjanya sama / berimpit
(colinear / segaris))
2. Garis kerjanya tidak sama tetapi
mempunyai titik tangkap sama
(concurent / konkuren)
3. Garis kerjanya tidak sama dan titik
tangkap gayanya tidak sama
(coplanar / koplanar / sebidang)
4. Garis kerjanya sejajar.
1. Superposisi beberapa gaya dengan garis
kerja berimpit (colinear)
Cara Grafis.
Cara Grafis.
Garis kerja dua gaya P1 dan
P2 membentuk sudut
kemiringan 50.2o.
P1 = 16.8 kN
P2 = 24.2 kN
Penjumlahan secara grafis :
Arah vektor (+) ke atas
Arah vektor (-) ke bawah
R = P1 + P2 = 8.4 cm + (–
12.1 cm) = - 3.7 cm
Skala 1cm = 2 kN
R = -7.4 kN (tanda negatif
menunjukkan arah R ke
bawah)
Penjumlahan secara analitis :
R = P1 + P2 = 16.8 kN + (–
24.2 kN) = - 7.4 kN
Cara Grafis.
R = 38/40 * 8 kN = 7.6 kN
Cara Analitis :
P1 diuarikan menjadi dua gaya
P1X dan P2Y
P1X = P1 cos 50.2o = 10.7538 kN
P1Y = P1 sin 50.2o = 12.9072 kN
P2 diuarikan menjadi dua gaya
P2X dan P2Y
P2X = P2 cos 50.2o = 15.4907 kN
P2Y = P2 sin 50.2o = 18.5925 kN
Semua gaya-gaya pada sumbu X
disuperposisikan menjadi RX
RX = P1X + P2X = 10.7538 kN +
(- 15.4907 kN) = -4.7369 kN (ke
kiri) ()
Semua gaya-gaya pada sumbu Y
disuperposisikan menjadi RY
RY= P1Y + P2Y = 12.9072 kN + (18.5925 kN) = -5.6853 kN (ke
bawah) ()
Cara Analitis :
Semua gaya-gaya pada sumbu X
disuperposisikan menjadi RX
RX = P1X + P2X = 10.7538 kN +
(- 15.4907 kN) = -4.7369 kN (ke
kiri) ()
Semua gaya-gaya pada sumbu Y
disuperposisikan menjadi RY
RY= P1Y + P2Y = 12.9072 kN + (18.5925 kN) = -5.6853 kN (ke
bawah) ()
R  4.73692  5.68532  7.4 kN
5.6853
α  arctan
 50.2o
4.7369
2. Superposisi beberapa gaya dengan garis
kerja tidak berimpit tetapi mempunyai titik
tangkap gaya yang sama (Gaya-gaya
concurent)
Pada bagian awal dari kuliah
ketiga telah dibahas
perhitungan superposisi dua
gaya yang arahnya saling
tegak lurus. Bagian lain juga
diperlihatkan superposisi
dari dua gaya yang tidak
saling tegaklurus
Contoh lain :
Cara
Grafis
Cara Analitis
SV = S1 + S2 cos 31o = 2 + 2 cos 31o = 3.7143 kN
SH = S2 sin 31o = 2 sin 31o = 1.0301 kN
S3  3.71432  1.03012  3.855 kN
1.0301
α  arctan
 15.5o
3.7143
S3 = 155 / 40 x 1 kN = 3.875 kN
Sebagai contoh akan
dicari superposisi
dari 5 gaya P1, P2,
P3, P4 dan P5
drengan data-data
seperti terlihat pada
gambar di samping.
Sudut kemiringan
setiap beban
ditentukan dari arah
sumbu X positif
Cara Grafis : dengan membuat poligon gaya.
Poligon gaya
Cara Grafis : dengan membuat uraian gaya ke arah sumbu2 yang saling tegak lurus.
Cara Analitis
P1X = P1 cos 15.6o = 5.779 kN
P1Y = P1 sin 15.6o = 1.613 kN
P2X = P2 cos 71.6o = 1.957 kN
P2Y = P2 sin 71.6o = 5.883 kN
P3X = P3 cos 135o = -3.394 kN
P3Y = P3 sin 135o = 3.394 kN
P4X = P4 cos 202.9o = -3.961 kN
P4Y = P4 sin 202.9o = -1.673 kN
P5X = P5 cos 321.8o = 1.729 kN
P5Y = P5 sin 321.8o = -1.360 kN
Cara Analitis
P1X = P1 cos 15.6o = 5.779 kN
P1Y = P1 sin 15.6o = 1.613 kN
P2X = P2 cos 71.6o = 1.957 kN
P2Y = P2 sin 71.6o = 5.883 kN
P3X = P3 cos 135o = -3.394 kN
P3Y = P3 sin 135o = 3.394 kN
P4X = P4 cos 202.9o = -3.961 kN
P4Y = P4 sin 202.9o = -1.673 kN
RX = P1X + P2X + P3X +
P4X + P5X = 5.779 + 1.957
+ (-3.394) + (-3.961) +
1.729 = 2.11 kN ()
RY = P1Y + P2Y + P3Y +
P4Y + P5Y = 1.613 + 5.883
+ 3.394 + (-1.673) + (-1.36)
= 7.857 kN ()
P5X = P5 cos 321.8o = 1.729 kN
P5Y = P5 sin 321.8o = -1.360 kN
R  2.112  7.8572  8.135 kN
7.857
α  arctan
 74.97o
2.11
3. Superposisi beberapa gaya dengan garis
kerja tidak berimpit dan titik tangkap gaya
tidak berimpit (coplanar).
Cara Grafis : dengan membuat poligon gaya.
Cara Grafis : dengan membuat uraian gaya.
Cara Analitis : dengan membuat uraian gaya.
P1X = P1 cos 0o = 2 kN
P1Y = P1 sin 0o = 0 kN
P2X = P2 cos 90o = 0 kN
P2Y = P2 sin 90o = 3 kN
P3X = P3 cos 45o = 1.481 kN
P3Y = P3 sin 45o = 1.481 kN
P4X = P42 cos 90o = 0 kN
P4Y = P4 sin 90o = 1.5 kN
RX = P1X + P2X + P3X +
P4X = - 2 + 0 + 1.481 + 0=
0.519 kN ()
RY = P1Y + P2Y + P3Y +
P4Y = 0 - 3 + 1.481 + (-1.5)
= -3.019 kN ()
Cara Analitis : dengan membuat uraian gaya.
RX = P1X + P2X + P3X +
P4X = - 2 + 0 + 1.481 + 0=
0.519 kN ()
RY = P1Y + P2Y + P3Y +
P4Y = 0 - 3 + 1.481 + (-1.5)
= -3.019 kN ()
R  0.5192  3.0192  3.0635kN
3.019
α  arctan
 80.24o
0.519
Pada perhitungan resultante /
superposisi beberapa gaya
yang bekerja secara coplanar
hanya mencari berapa
besarnya resultante dan arah
resultante gaya tersebut.
Dimanakah letak garis
kerja resultante gayagaya coplanar tersebut ?
Mencari resultante gaya-gaya
coplanar dan arah garis kerja
resultante gaya secara grafis
(dengan segitiga gaya)
Gambar garis kerja setiap gaya yang
bekerja pada benda
Tarik garis kerja gaya P1 sehingga berpotongan dengan garis
kerja gaya P2. Titik T12 merupakan titik potong garis kerja gaya
P1 dan gaya P2
Melalui titik T12 gambarkan resultante dari gaya P1 dan P2.
R12 merupakan gaya resultante dari gaya P1 dan P2.
Tarik garis kerja gaya R12 sehingga berpotongan dengan garis
kerja gaya P4. Titik T124 merupakan titik potong garis kerja gaya
R12 dan gaya P4
Melalui titik T124 gambarkan resultante dari gaya R12 dan
P4. R124 merupakan gaya resultante dari gaya R12 dan P4.
Tarik garis kerja gaya R124 sehingga berpotongan dengan garis
kerja gaya P3. Titik T1243 merupakan titik potong garis kerja
gaya R124 dan gaya P3
Melalui titik T1243 gambarkan resultante dari gaya R124 dan
P3. R1243 merupakan gaya resultante dari gaya R124 dan P3.
Panjang Gaya R1243 = 60.79 mm
Besar gaya R1243 = 3.0395 kN
Sudut kemiringan garis kerja gaya R1243= 80.9o
Titik tangkap R1243 (-54.44,-54.44)
Panjang Gaya R1243 = 60.79 mm
Besar gaya R1243 = 3.0395 kN
Sudut kemiringan garis kerja gaya R1243= 80.9o
Titik tangkap R1243 (-54.44,-54.44)
Kesimpulan :
Akibat gaya P1, P2, P3 dan P4 maka
benda akan didorong dengan gaya
R1243 dengan garis kerja
membentuk sudut 80.9o dan garis
kerja gaya R1243 melalui titik T1243
dengan koordinat (-54.44, -54.44)
Garis kerja gaya R1243 melalui
titik (-40,40)
Jika hasil perhitungan resultante gaya-gaya P1, P2, P3
dan P4 ditempetkan pada posisi benda semula, maka
tampak titik tangkap gaya R2341 hampir berimpit
dengan titik tangkap gaya P2.
Untuk mencari resultante gaya dapat
dilakukan dengan urutan gaya yang berbeda
contoh dengan cara grafis (dengan poligon
gaya)
Untuk mencari resultante gaya dapat
dilakukan dengan urutan gaya yang berbeda
contoh dengan cara grafis (dengan segitiga
gaya)
Tarik garis kerja gaya P2 sehingga berpotongan dengan garis
kerja gaya P3. Titik T23 merupakan titik potong garis kerja gaya
P2 dan gaya P3
Melalui titik T23 gambarkan resultante dari gaya P2 dan P3.
R23 merupakan gaya resultante dari gaya P2 dan P3.
Tarik garis kerja gaya R23 sehingga berpotongan dengan
garis kerja gaya P4. Titik T234 merupakan titik potong garis
kerja gaya R23 dan gaya P4
Melalui titik T234 gambarkan resultante gaya R23 dan
gaya P4. Gaya R234 merupakan resultante gaya R23
dan gaya P4.
Tarik garis kerja gaya R234 sehingga berpotongan
dengan garis kerja gaya P1. Titik T2341 merupakan
titik potong garis kerja gara R234 dan gaya P1.
Melalui titik T2341 gambarkan resultante gaya
R234 dan gaya P1. Gaya R2341 merupakan
resultante gaya R234 dan gaya P1.
Vektor gaya R2341 merupakan resultante dari 4
gaya P1, P2, P3 dan P4.
Vektor gaya R2341 mempunyai panjang
mempunyai panjang 60.30 mm. Besar gaya R2341
= 60.30/40 * 2 kN = 3.015 kN.
Arah gaya R2341 membentuk sudut 80.1o terhadap
garis horizontal atau 9.9o terhadap garis vertikal
Jika hasil perhitungan resultante gaya-gaya P1, P2, P3
dan P4 ditempetkan pada posisi benda semula, maka
tampak titik tangkap gaya R2341 hampir berimpit
dengan titik tangkap gaya P2.
Contoh lain jika gaya-gaya P1, P2, P3
dan P4 besarnya sama dengan arah
seperti pada gambar.
Dengan cara grafis (poligon gaya)
ternyata resultante gaya = 0
Dengan cara grafis (segitiga gaya)
ternyata resultante gaya = 0
Contoh jika gaya-gaya mempunyai resultante = 0 tetapi tidak ditemukan
garis kerjanya
Sebagaimana telah diuraikan pada
bagian kedua dari kuliah Statika, maka
akibat beban P1 akan muncul momen
putar M1 = 3 kN * 80 cm = 2.4 kN m.
A
Akibat P4 akan muncul M4 = 2 kN * 80
cm = 1.6 kN M
Karena garis kerja P2 dan P3
berpotongan di A , maka tidak ada
momen akibat P2 dan P3.
M1 > M4, sehingga benda tidak
seimbang akibat momen.
Resultante dari M1 dan M2 :
MR = M1 – M2 = 0.8 kN m
Contoh jika gaya-gaya mempunyai resultante = 0 tetapi tidak ditemukan
garis kerjanya
Dengan cara grafis dan membuat poligon gaya
Berdasarkan perhitungan
resultante dengan menggambar
poligon keepat gaya P1- P4 – P3
dan P2, maka terlihat Resultante
keempat gaya tersebut = 0.
R143 merupakan resultante dari tiga gaya P1, P4
dan P3. Gaya R143 mempunyai arah vertikal
dengan panjang gaya 39.99 cm. Besar gaya R143
= 1.9995 kN ≈ 2 kN.
Karena garis kerja gaya R143 dan garis kerja gaya
P2 sejajar, maka susah bagi kita menemukan
dimana letak titik potong dari kedua gaya tersebut.
Pada benda seolaholah bekerja dua gaya
P2 dan R143. Kedua
gaya mempunyai arah
sama dan besar gaya
juga sama.
Kondisi ini
memberikan gambaran
adanya ketidak
seimbangan benda.
Jika jarak kedua gaya
= x, maka momen
yang timbul akibat
gaya P2 = P2 * X
Momen akibat P2 = P2
*X
Momen resultante
akibat P1, P2, P3 dan
P4 = 0.8 kn M
P2 * X = 0.8 kN m
X = 0.8 / 2 = 0.4 m
X
Akibat dua gaya P2
dan R143, yang
bekerja pada dua garis
yang sejajar, sulit
untuk mencari
dimanakah letak garis
kerja resultante dari
kedua gaya tersebut.
Bagaimana cara
menetukan
resultante dari
gaya-gaya yang
bekerja sejajar?
X
4. Superposisi beberapa gaya dengan garis
yang sejajar.
Berat balok diabaikan
Kedua beban W1 dan
W2 mempunyai berat
yang sama (10 kN) dan
jarak terhadap as juga
sama (300 cm)
Akibat kedua beban
tersebut maka balok
tidak berputar. Balok
ada pada kondisi
seimbang
Pada kedua ujung
balok bekerja beban
sama W1 = W2 = 10
kN
Jarak beban ke as
tumpuan a1 = a2 =
300 cm
Benda akan seimbang
dan garis kerja
resultante gaya W1
dan W2 akan
mempunyai garis
kerja yang sama
dengan garis kerja
gaya RW.
Balok akan tetap
mendatar karena pada
balok terjadi
keseimbangan
R = W1 + W2
RW = R
M1 = M2 = 30 kN m
Pada kedua ujung balok
bekerja beban sama W1 = W2
= 10 kN
Jarak beban ke as tumpuan a1
= a2 = 300 cm
RW = W1 + W2 = 30 kN
M1 = 30 kN m
M2 = 60 kN m
Karena M1 < M2 maka akan
terjadi ketidak-seimbangan
gaya yang bekerja pada
benda.
Benda akan berputar searah
perputaran jarum jam
Jika posisi tumpuan
dipindahkan ke kanan
sejarak 1 m, maka :
Pada kedua ujung
balok bekerja beban
sama W1 = 10 kN, W2
= 20 kN
Akibat adanya momen
MR = 0 kN m, maka
benda seimbang.
Keseimbangan benda
akan terjadi jika garis
kerja RW berimpit
dengan garis kerja
resultante gaya W1 +
W2.
Jarak beban ke as
tumpuan
a1 = 4 m
a2 = 2 m
RW = W1 + W2
M1 = 40 kN m
M2 = 40 kN m
M1 = M2
MR = 0
Buat gaya bantu H sebarang (mis 12.75
kN) pada dua titik tangkap gaya W1 dan
W2 dengan arah saling berlawanan.
Dengan kedua gaya H yang saling
berlawanan dengan garis kerja yang
sama, maka kedua gaya ini secara ilmu
gaya akan saling menghilangkan.
Buat resultante gaya W1 dan H (RW1H).
Buat resultante gaya W2 dan H (RW2H).
Kedua garis kerja gaya RW1H dan
RW2H berpotongan pada titik TW1W2.
Melalui titik TW1W2 buat resultante gaya
RW1H dan RW2H menjadi RW1W2.
Garis kerja RW1W2 akan memotong
garis kerja H di titik K.
Titik K mempunyai jarak 400 cm dari titik
1 dan 200 cm dari titik 2
Panjang vektor gaya RW1W2 = 59.95 mm
RW1W2 = 59.95/20*10 kN = 29.975 kN ≈ 30 kN
Bagaimana mencari
resultante dan garis
kerja gaya-gaya yang
bekerja sejajar?