Pertanyaan mendasar:

Pertanyaan mendasar:
Basis itu apa?
(suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari suatu vektor)
Untuk apa belajar basis?
2
3
n
(membentuk suatu ruang tertentu, misal ruang R , R , R , dan lain sebagainya)
Misalnya kita akan membuat suatu ruang yang berdimensi 3. Agar ruang
tersebut dapat terbentuk, maka diperlukan suatu vektor yang dapat
membangun ruang tersebut.
Definisi:
Jika V adalah suatu ruang vektor sebarang dan S = {v1, v2, …, vn} adalah suatu
himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat
berikut berlaku:
(a) S bebas linier
(b) merentang V
Contoh 1:
Misalkan S = { v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 1, 2)}  V=R3. Apakah S basis
ruang vektor V?
Jawab:
S basis V, berarti S bebas linier dan S merentang V.
1. Akan ditunjukkan bahwa S bebas linier
Untuk menunjukkan S bebas linier, maka vektor nol (0) dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di S, dengan selesaian hanya (0, 0,
0).
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 1, 2) = (0, 0, 0)
(a1, 0a1, 0a1) + (0a2, a2, 0a2) + (0a3, a3, 2a3) = (0, 0, 0)
(a1 + 0a2 + 0a3, 0a1 + a2 + a3, 0a1 + 0a2 + 2a3) = (0, 0, 0)
dengan menyesuaikan komponen yang sama, diperoleh:
a1 + 0a2 + 0a3 = 0
0a1 + a2 + a3 = 0
0a1 + 0a2 + 2a3 = 0
Sistem Persamaan Linier (SPL) di atas dapat diselesaikan dengan cara
elinimasi, substitusi, atau Operasi Baris Elementer (OBE). Berikut ini akan
diselesaikan dengan menggunakan OBE, yaitu:
1
0

0
1
0

0
1
0

0
0 0 0
1 1 0 
0 2 0  12 b3
0 0 0
1 1 0  b2  b3
0 1 0 
0 0 0
1 0 0 
0 1 0 
SPL yang bersesuaian adalah
a1
=0
a2
=0
a3 = 0
Jadi, selesaian SPL di atas adalah a1 = a2 = a3 = 0. Oleh karena itu, S bebas linier.
2. Akan ditunjukkan bahwa S merentang V
Untuk menunjukkan S merentang V, maka sebarang vektor di V dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di S, dengan selesaian
SPL yang konsisten.
Misalkan dipilih sebarang vektor b = (x, y, z)  V, maka:
k1v1 + k 2v2 + k3v3 = b
k1 (1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) + k3 (0, 1, 2) = (x, y, z)
(k1, 0k1, 0k1) + (0k2, k2, 0k2) + (0k3, k3, 2k3) = (x, y, z)
(k1 + 0k2 + 0k3, 0k1 + k2 + k3, 0k1 + 0k2 + 2k3) = (x, y, z)
dengan menyesuaikan komponen yang sama, diperoleh:
k1 + 0k2 + 0k3 = x
0k1 + k2 + k3 = y
0k1 + 0k2 + 2k3 = z
Sistem Persamaan Linier (SPL) di atas dapat diselesaikan dengan cara
elinimasi, substitusi, atau Operasi Baris Elementer (OBE). Berikut ini akan
diselesaikan dengan menggunakan OBE, yaitu:
1 0 0 x 
0 1 1 y 


1
0 0 2 z  2 b3
1
0

0
1
0

0
0 0
1 1
0 1
0 0
1 0
0 1

b b
 2 3
1 
2 z
x 
y  12 z 
1

2 z 
x
y
SPL yang bersesuaian adalah
k1
=x
k2
=y–
k3 =
1
2
1
2
z
z
Jadi, selesaian SPL di atas adalah k1 = x, k2 = y –
1
2
z, dan k3 =
1
2
z.
Hal ini menunjukkan bahwa SPL konsisten. Oleh karena itu, S merentang V.
Kesimpulannya, karena S bebas linier dan S merentang V, maka S adalah basis V.
Contoh 2:
Misalkan T = { v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0), v3 = (0, 2, 0)}  V=R3. Apakah T basis
ruang vektor V?
Jawab:
T basis V, berarti T bebas linier dan T merentang V.
1. Akan ditunjukkan bahwa T bebas linier
Untuk menunjukkan T bebas linier, maka vektor nol (0) dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di T, dengan selesaian hanya (0, 0,
0).
a1v1 + a2v2 + a3v3 = 0
a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 0) + a3 (0, 2, 0) = (0, 0, 0)
(a1, 0a1, 0a1) + (0a2, a2, 0a2) + (0a3, 2a3, 0a3) = (0, 0, 0)
(a1 + 0a2 + 0a3, 0a1 + a2 + 2a3, 0a1 + 0a2 + 0a3) = (0, 0, 0)
dengan menyesuaikan komponen yang sama, diperoleh:
a1 + 0a2 + 0a3 = 0
0a1 + a2 + 2a3 = 0
0a1 + 0a2 + 0a3 = 0
Dengan sangat mudah, selesaian SPL di atas dapat diperoleh, yaitu:
a1
=0
= -2a3
a2
Jika a3 = t, tR, maka a1 = 0, a2 = -2t, dan a3 = t. Hal ini menunjukkan bahwa
SPL di atas mempunyai selesaian non-trivial (mempunyai selesaian lain selain
nol). Oleh karena itu, T TIDAK bebas linier.
2. Akan ditunjukkan bahwa T merentang V
Untuk menunjukkan T merentang V, maka sebarang vektor di V dapat
dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di T, dengan selesaian
SPL yang konsisten.
Misalkan dipilih sebarang vektor c = (x, y, z)  V, maka:
k1v1 + k 2v2 + k3v3 = b
k1 (1, 0, 0) + k2 (0, 1, 0) + k3 (0, 2, 0) = (x, y, z)
(k1, 0k1, 0k1) + (0k2, k2, 0k2) + (0k3, 2k3, 0k3) = (x, y, z)
(k1 + 0k2 + 0k3, 0k1 + k2 + 2k3, 0k1 + 0k2 + 0k3) = (x, y, z)
dengan menyesuaikan komponen yang sama, diperoleh:
k1 + 0k2 + 0k3 = x
0k1 + k2 + 2k3 = y
0k1 + 0k2 + 0k3 = z
Dengan sangat mudah, selesaian SPL di atas dapat diperoleh, yaitu:
k1
=x
k2
= y – 2k3
0=z
Hal ini menunjukkan bahwa SPL di atas tidak konsisten. Oleh karena itu, T
TIDAK merentang V.
Kesimpulannya, karena T TIDAK bebas linier dan T TIDAK merentang V, maka T
adalah BUKAN basis V.