Induksi Matematika

Induksi Matematika
Matematika Diskret (TKE132107)
Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Iwan Setiawan <stwn at unsoed.ac.id>
Tahun Ajaran 2013/2014
Ingat proposisi?
Sebuah proposisi mempunyai nilai.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Benar atau salah.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Perlu dibuktikan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Metode pembuktian yang sahih.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pembuktian proposisi himpunan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Pembuktian proposisi bilangan bulat.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Buktikan pernyataan “hasil penjumlahan n buah bilangan bulat positif
pertama adalah n(n+1)/2”!
Metode pembuktian untuk proposisi perihal
bilangan bulat disebut dengan Induksi
Matematika.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Teknik pembuktian yang
baku di dalam matematika.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dalam pembuktian, kita ingin mencari
mana teknik yang paling efisien/sangkil.
(dan tentu saja efektif/mangkus)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dengan induksi matematika kita dapat melakukan
pengurangan langkah-langkah pembuktian bahwa
semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu
himpunan kebenaran melalui sejumlah langkah
terbatas.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Postulat Peano.
(aksioma: proposisi yang diasumsikan benar)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Proposisi Perihal
Bilangan Bulat
Banyak hal terkait dengan bilangan bulat.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
fungsi proposisi
p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) adalah proposisi yang menyatakan “hasil penjumlahan bilangan
bulat positif dari 1 sampai n adalah
n(n+1)/2”.
Buktikan bahwa p(n) benar!
Coba subtitusikan nilai n!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Apakah cara tersebut dapat
membuktikan bahwa
p(n) benar?
Subtitusi langsung p(n) dengan n yang
“dicoba-coba” tidak dapat disebut sebagai
pembuktian bahwa p(n) benar untuk seluruh n.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Temukan rumus hasil penjumlahan
dari n buah bilangan ganjil
positif pertama!
Coba subtitusikan nilai n dan simpulkan!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Dugaan.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Apakah cara tersebut dapat
membuktikan bahwa rumus
tersebut benar?
Contoh-contoh lainnya dapat
dibaca pada buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi
Sederhana
p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat
positif, dan kita ingin membuktikan bahwa p(n)
benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi Sederhana
1. p(1) benar, basis induksi;
2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap
n ≥ 1, langkah induksi;
Hipotesis Induksi
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat
positif n.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Basis induksi digunakan untuk memperlihatkan
bahwa pernyataan tersebut benar jika n
diganti dengan elemen terkecil.
(bilangan bulat positif terkecil)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita harus memperlihatkan bahwa
implikasi p(n) → p(n+1) benar untuk
setiap bilangan bulat positif.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Bagaimana cara membuktikan
implikasi tersebut?
Tunjukkan bahwa:
jika p(n) benar, p(n+1) benar.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Tidak ada asumsi p(n) benar
untuk semua bilangan positif.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Kita hanya memperlihatkan bahwa jika
diasumsikan p(n) benar, maka p(n+1)
benar untuk setiap n positif.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Soham Banerjee, CC BY, http://flic.kr/p/tkDMw
Buktikan dengan induksi matematika
bahwa 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2,
untuk n ≥ 1!
p(n) menyatakan proposisi tersebut.
bahwa jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n(n+1)/2,
untuk n ≥ 1, yaitu 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)/2
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Gunakan 2 langkah pembuktian
prinsip induksi sederhana.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1) basis induksi: p(1) benar, dengan n=1.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
2) langkah induksi:
jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.
(hipotesis induksi)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1 + 2 + 3 + … + n + (n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1)/2
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi
yang Dirampatkan
Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat yang
tidak dimulai dari 1 saja.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
≥ n0
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan
kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi yang Dirampatkan
1. p(n0) benar;
2. Jika p(n) benar, p(n+1) juga benar untuk setiap
n ≥ n0;
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat
n ≥ n0.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Buktikan dengan induksi matematika
n
bahwa 3 < n!, untuk n bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 6.
p(n) menyatakan proposisi tersebut.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
1) basis induksi: p(7); 37 < 7!.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
2) langkah induksi:
jika p(n) benar, p(n+1) juga benar.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
3(n+1) < (n+1)!
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi Kuat
Induksi kuat?
p(n) adalah proposisi perihal bilangan bulat dan
kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar
untuk semua bilangan bulat n ≥ n0.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi Kuat
Hipotesis yang lebih banyak
1. p(n0) benar;
2. Jika p(n0), p(n0+1), …, p(n) benar, p(n+1) juga
benar untuk setiap n ≥ n0;
sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat
n ≥ n0.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Buktikan dengan induksi kuat bahwa setiap
bilangan bulat positif n (n ≥ 2) dapat dinyatakan
sebagai perkalian dari satu atau lebih bilangan
prima!
Bilangan bulat positif disebut prima, jika dan hanya jika,
bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya
sendiri.
Bentuk Induksi
Secara Umum
Umum.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Generik?
Dapat diterapkan dalam
himpunan obyek secara umum.
(tidak hanya pada proposisi himpunan bilangan bulat positif)
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Syarat: (1) himpunan obyek punya keterurutan,
(2) mempunyai elemen terkecil.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Baca Definisi 4.1 pada buku referensi.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
X terurut dengan baik oleh “<” dan p(x) adalah
pernyataan perihal elemen x dari X. Kita ingin
membuktikan bahwa p(x) benar untuk
semua x ∈ X.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Prinsip Induksi secara Umum
x0 adalah elemen terkecil di dalam X
1. p(x0) benar;
2. Jika p(y) benar untuk y < x, p(x) juga benar
untuk setiap x > x0 di dalam X;
sehingga p(x) benar untuk semua x ∈ X.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Daftar Bacaan
●
Munir, R. 2010. Matematika Diskrit, Revisi
Keempat, Penerbit Informatika.
Matematika Diskret (TKE132107) - Program Studi Teknik Elektro, Unsoed