hitung integral

BAB 15
HITUNG INTEGRAL
1.Integral tak tentu (tanpa batas)
a. Rumus-rumus
1
n
1)
x dx
2)
a . x dx
x
n
n 1
c, n
1
1
a
n
n
x
n 1
c, n
1
1
3)
adx
4)
x dx
2)
( f ( x)
ax
c
1
1
dx
ln x
c
x
b. Sifat-sifat Integral
1)
k . f ( x ) dx
k . f ( x ) dx
g ( x )) dx
f ( x ) dx
g ( x ) dx
Contoh :
1.
(7 x
2.
x (x
3.
x x dx
7
5) dx
x
2
5x
c
2
2
2
2
2) dx
x (x
2
4x
1
4) dx
3
x . x 2 dx
3
1
x 2 dx
3
=
x
(x
4
3
2
4x )
4 x dx
1
x
5
5
1
2
c
2
x
4
4
x
3
c
3
5
x2
c
5
1
2
A. Pemakaian Integral tak tentu
Contoh :
Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F
f(x) = 4x + 1
F ( x)
f ( x ) dx
F(2)=17
10
c
2(2)
17
c
(4 x
2
2
1) dx
c
2x
2
c
17
Jadi F(x)= 2 x 2
7
x
x
7
b. Menentukan persamaan kurva y=f(x) jika diketahui
dy
dx
dan sebuah titik pada kurva.
Contoh :
Gradien garis singgung dari y=f(x0 disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 dan grafik dari y = f(x)
melalui titik ( 1 , 5 ). Tentukan persamaan dari fungsi tersebut.
Gradien garis singgung dari y = f(x) disetiap titik (x,y) adalah 2x – 4 , berarti
dy
2x
4 atau dy
(2 x
4) dx
dx
didapat bahwa y = f(x) =
dy
(2 x
grafik melalui titik (1,5) maka
5
Jadi fungsi tersebut adalah
x
Matematika SMA
y
1
2
by Drs. Pundjul Prijono
2
4x
4) dx = x
4(1)
C
2
4x
C
C
8
8
89
c. Penerapan pada Fisika
Jika diketahui persamaan kecepatan yang merupakanfungsi dari waktu (v(t)), maka
persamaan jaraknya (s) diperoleh dengan :
ds
v
s
vdt
dt
Jika diketahui persamaan percepatan merupakan fugsi waktu (a(t)) maka persamaan
kecepatannya (v(t)) diperoeh dengan :
a
dv
v
a dt
dt
Contoh :
Sebuah partikel bergerak sepanjang s meter setelah t detikdan v adalah kecepatan partikel
pada t detik. Jika v = 3 – t dan s = 0 untuk t = 4. Tentukan panjang lintasan partikel itu.
ds
v
s
vdt
(3
t ) dt
1
3t
dt
t
2
c
2
s = 0 untuk t = 4
0
1
3.4
.4
2
c
2
c=-4
Jadi ,
s
1
t
2
3t
4
2
II. Integral Tertentu
Contoh :
4
Hitung integral tertentu
x dx
0
4
2
x dx
4
3
x2
0
3
0
2
3
2
2
(4 2
03 )
3
(8
0)
5
3
1
3
b
Jika diperhatikan bentuk
f ( x ) dx
F ( x)
b
a
a
= F(b) – F(a)
a
= - F(a) – F(b) =
f ( x ) dx
b
a
Untuk
f ( x )dx
F (a )
F (a )
0
a
Sifat-sifat :
b
b
1. [ f ( x )
g ( x )] d x
a
b
f ( x)dx
a
a
g ( x)dx
a
a
2.
kf ( x )dx
k
b
f ( x ) dx , k=konstanta
b
b
3.
c
f ( x ) dx
b
f ( x ) dx
a
a
f ( x ) dx , dengan a<c<b
c
b
4.
dx
b
a
a
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
90
Luas sebagai limit suatu jumlah
Secara umum Penggunaan integral sebagai berikut:
1. Menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x0 dan sumbu X
a. Diatas sumbu X
y=f(x)
b
L
f ( x ) dx
a
a
b
b. Dibawah sumbu X
a
b
b
a
L
y=f(x)
f ( x ) d x a ta u L =
a
f ( x)dx
b
c. Luas daerah yang dibatasi kurva y = f(x) dan y = g(x) ; pada interval x = a dan x =
b
y2
g ( x)
y1
f ( x)
y1
f ( x)
b
a
b
L
b
( y1
y 2 ) d x a ta u L =
a
{ f ( x)
g ( x )} d x
a
Contoh :
Luas daerah dibatasi oleh parabola y
A. 8 2
16 2
B.
3
C. 4 2
2
x dan y
D.
4
x
2
adalah …
8 2
E.
3
2
Jawab :
Titik potong kedua parabola
x
2
4
x
2
2x
2
4
Cara cerdik :
D
L
6a
x
2
2
x
Matematika SMA
2
by Drs. Pundjul Prijono
x
2
4
D
2
x
;D
b
2x
2
2
4 ac
4
91
2
L
2
(4
2 x ) dx
4x
2
3
x
2
3
D = 32
2
32 32
L
6.2
2
8
3
8 2
16
3
2
16
2
2
3
2
Untuk bentuk :
(p,q)
4
L
. p .q
3
2. Volume benda putar yang terjadi jika daerah dibatasi : y = f(x) , sumbu X , x = a dan
x=b
yang diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i) Diputar mengelilingi sumbu X
X
b
2
V
y dx
a
b
b
a
2
( f ( x )) d x
a
(ii)
Diputar mengelilingi sumbu Y
b
d
2
V
x dy
c
d
2
( g ( y )) dy
a
c
3. Volume benda putar yang terjadi jika yang dibatasi oleh kurva
y1
dan
f ( x)
y2
g ( x)
diputar mengelilingi sumbu X atau sumbu Y
(i)
Diputar mengelilingi sumbu X
y1
y2
b
f ( x)
V
g ( x)
{( af ( x ))
V
X
( y1
b
2
2
2
y2 )dx
2
( g ( x ) } dx
a
y
(ii)
Diputar mengelilingi sumbu Y
x1
f ( y)
d
x2
g ( y)
V
( x1
2
2
x 2 ) dy
c
d
=
(( f ( y ))
2
2
( g ( y )) dy
c
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
92
Contoh :
X
Tentukan volume benda putar jika
y
x
2
3
diputar 360 o mengelilingi
sumbu X
2
.D . D
Cara cerdik : V
30. a
.9 . 9
V
3
30. 1
81
3
10
III. Aturan Rantai untuk mencari Turunan Fungsi
Ingat kembali rumus Deferensial fungsi
n
1.
f ( x)
ax
2.
f ( x)
u ( x ).v ( x )
3.
f '( x )
u ( x)
f ( x)
anx
n 1
f '( x )
u '( x ) v ( x )
u '( x ) v ( x )
f '( x )
v( x)
4.
f ( x)
u ( x)
u ( x ) v '( x )
( v ( x ))
v( x)
f '( x )
u ( x )V '( x )
u '( x )
2
5.
f ( x)
sin x
f '( x )
6.
f ( x)
cos x
f '( x )
7.
f (x)
tan x
f '( x )
cos x
sin x
1
2
cos x
v '( x )
Untuk mencari turunan/deferensial untuk fungsi yang lebih rumit (majemuk) tetapi dapat
dipandang sebagai hasil dari komposisi beberapa fungsi digunakan aturan rantai turunan
fungsi.
1. Jika F(x)=(fog)(x) dengan f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang dapat diturunkan , berlaku
F'(x)=f'(g(x)).g'(x)
2. Jika F(x)= (fogoho….), berlaku F'(x)=f'(h(h…..)).g'(h(..)).h'(…).
3. a. dalam notasi Leibniz:
Jika y = F(x)=fog)(x) dengan v = g(x); berlaku :
b. y = F(x) = (fogoho…), maka :
dy
y'
dy
dx
dy dv
.
dv dx
dy dv dw
...
.
.
......
dv dw ...
dx
dx
( Dalil Rantai)
Pengertian fungsi komposisi ( majemuk ).
F(a
)
a
g(f(a))
B
A
Jika fungsi f : A
C
B dan g : B
C maka fungsi F: A
dapat dinyatakan sebagai fungsi komposisi F : a
Contoh :
F
f ( x)
g f :x
Matematika SMA
3x
2
2 dan g ( x )
( g  f )( x )
cos x
g ( f ( x ))
by Drs. Pundjul Prijono
C yang melalui dua fungsi f dan g
( g  f )( a )
g ( f ( a ))
maka :
g (3 x
2
2)
cos(3 x
2
2)
93
Contoh :
Tentukan F'(x) jika diketahui F(x) =
Jika F(x) = f(g(h(x))) =
h( x)
2x
((2 x
1
3)
2x
((2 x
1
3)
2x
)
3
3
3
) m aka f ( x )
x
3
3
, g (x)
x
1
x
, dan
3
Sehingga F'(x) = f'(g(h(x))).g'(h(x)).h'(x)
=
3((2 x
=
6((2 x
1
3)
2x
3
1
3)
1
2
) .(1
3
.(2)
3) ).
1
2
) .(1
2x
2
(2 x
(2 x
2
3) )
Catatan :
Dalil rantai sering digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
Nilai stasioner y = F(x) dicari dengan memperhatikan hal-hal sebagai berikut:
F(a) adalah nilai balik maksimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) < 0
F(a) adalah nilai balik minimum jika F'(a) = 0 dan F''(a) > 0
F(a) adalah nilai balik horizontal jika F'(a) = 0 dan F''(a) = 0, dan F''(a)
0
Contoh :
Tentukan nilai stasioner dari
3
f ( x)
1
1) 2 .2
(2 x
3.
2
f" (x) =
3.
1
1)
3
.2
=
3 (2 x
1)
dan sifatnya.
1) 2
3( 2 x
3
f '( x )
(2 x
1
1) 2
(2 x
f ( x)
1
1
(2 x
1)
2
2
1
(2 x
1
1)
2
.2
3(
2
1
3(2 x
1) 2
1
3(2 x
1)
2
=
3(2 x
1)
3
1
(2 x
1) 2
1
)( 2 x
1)
2
.2
2
1
=
3( 2 x
1)
1
2
3( 2 x
1)
2
Syarat stasioner f'(x) = 0
Jadi ,
3(2 x
(2 x
2)
0
2x
2
0
x
1
1)
Untuk x =1 maka :
F(1) = -2
F"(x) = 6 (positip)
Jadi , f(1) = -2 adalah nilai balik minimum
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
94
IV. Integral Fungsi Trigonometri
Rumus Integral Trigonometri
1.
sin xdx
cos x
sin( ax
c
1
b ) dx
cos( ax
b)
c
a
2.
cos xdx
sin x
cos( ax
1
b ) dx
2
4.
c
sin( ax
b)
cos ec xdx
2
c
cos ec ( ax
cot anx
1
b ) dx
a
3.
2
sec xdx
2
c
1
b ) dx
cot( ax
b)
c
a
tan x
sec ( ax
c
tan( ax
b)
c
a
5.
tan x sec xdx
6.
cot x cos ecxdx
sec x
c
cos ecx
c
Contoh :
3
sin x . cos xdx
A. 14 sin 4 x c
B. 12 sin 4 x c
C.
2
1
4
cos x
c
D. 13 sin x c E.
1
3
4
sin x
c
Jawab :
3
3
Cara cerdik :
cos x (sin x ) dx
sin x . cos xdx
3
Misal : y = sin x
dy
dx
cos x
3
dy
dx
cos x ( y )
1
4
y dy
sin x . cos xdx
1
4
cos x
4
sin x
3
sin xd (sin x )
c
dy
3
cos x
y
4
1
4
c
4
sin x
c
V. Integral Substtitusi dan Integral parsial.
a. Integral Substitusi
a.
1
n
x dx
n
n 1
c
u
n 1
c dengan u=f(x),n
1
1
n
u du
x
n
1
n
( ax
b ) dx
( ax
a (n
b.
b)
sin x
c
cos udu
sin u
c dengan u
n
v .u dx
d.
v sin udx
v
1
.
u' n
u
n 1
c
1
v
n 1
c, n
1
1)
cos xdx
c.
-1
1
cos u
f ( x)
, u = f(x)
c
u'
v cos udx
v
n
( f ( x )) d ( f ( x ))
u'
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
95
1
=
( f ( x ))
n
n 1
c
1
Contoh :
dx
Tentukan
2x
1
2
dx
2x
5
1
1
2
1
2
u
1
du
2
1
du = 2 dx
2
dx
5
du
u
du
……misal u = 2x + 5
1
dx =
du
2
c
.2.u 2
2
1
=
u2
c
2x
5
c
Catatan : Ciri suatu integral substitusi adalah jika integral tersebut merupakan integral hasil
kali dua fungsi yang satu merupakan kelipatan/turunan dari fungsi yang lain.
Contoh :
2
2 x (4 x
3
3
1) dx
A. 12 ( 4 x 3 1) 4
B. 18 (4 x 3 1) 2
c
C. 14 (4 x 3 1) 3
c
c
D.
1
16
(4 x
1)
5
c
E.
1
24
(4 x
3
1)
4
c
Jawab :
Misal : y
dy
12 x
4x
2
3
Cara cerdik :
1
dy
dx
dx
12 x
2
2 x (4 x
3
3
2 x ( y)
dy
3
12 x
=
1
1
3
y dy
6
y
4
c
24
2x
Hasil =
a
2
1
(4 x
3
1)
4
2
2 x , f ( x)
4x
3
n 1
, syarat n
1
1)
1, n
3
c
24
2
(4 x
2
3
1)
4
c
12 x (3 1)
1
f
f '( x )( n
2
1) d x
a
n
af ( x ) dx
2
(4 x
3
af
1)
4
1
a
( x)
ln f ( x )
c
f '( x )
c
24
b. Integral Substitusi Trigonometri.
Suatu integral yang variabelnya memuat bentuk
a
2
2
x ,
a
2
x
2
atau
x
2
a
2
diselesaikan
dengan merasionalkan dengan menggunakan substitusi variable trigonometri.
FUNGSI INTEGRAN
SUBSTITUSI DENGAN
HASIL SUBSTITUSI
a
2
x
2
x = a sin t
a 1
sin t
a
2
x
2
x = a tan t
a 1
tg t
x
2
a
2
x = a sec t
a sec t
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
2
2
2
a cos t
a sec t
1
a tan t
96
Contoh :
16
x
2
Misal x = 4 sin t
Jadi
x
16
x
4 sin t
16
x
2
2
2
16 sin t
2
16
dx
2
x
16 sin t
8t
2
sin t )
4 cos t
4 cos t
4 cos tdt
2
4 cos t .4 cos tdt
=
2
16(1
8 cos 2 t
16 cos tdt
d (2 t )
8t
16 (
4 sin 2 t
1
1
2
2
c
cos 2 t ) dt
8t
8 sin t cos t
8 dt
8 cos 2 tdt
c
2
c. Integral Parsial
Jika dalam mengintegralkan dengan substitusi tidak membuahkan hasil maka digunakanlah
integral ganda/bagian demi bagian atau integral Parsial.
Dengan memisalkan bahwa u = f(x) dan v = g(x)
Didapat du = f'(x) dx dan dv = g'(x) dx
Sehingga didapat rumus integral Parsial :
Atau :
f ( x ) g '( x ) d '( x )
udv
f ( x) g ( x)
uv
vdu .
g ( x ). f '( x ) dx
Jika f(x) mempunyai turunan ke-n=0, maka beraku :
f ( x ). g ( x ) dx
f ( x)
integral I g ( x )
integral III g(x) …… (tanda
 turunan I f(x) x integral II g(x)  turunan II f(x) x
selalu berselang-seling)
Contoh :
x cos 2 x dx
u
x
du
...
dv
dx
=
1
v
sin 2 x
2
1
2
x cos 2 x dx
cos 2 xdx
x sin 2 x
1
2
1
2
sin 2 xdx
1
4
x sin 2 x
cos 2 x
c
contoh :
2
Tentukan
x cos 2 xdx
..
Turunan
x
integral
2
cos 2x
2x
1
2
sin 2 x
1
2
cos 2 x
4
1
sin 2 x
8
2
x cos 2 xdx
Matematika SMA
2
x . 12 sin 2 x
(2 x.
1
4
cos 2 x )
by Drs. Pundjul Prijono
2(
1
8
sin 2 x )
c
97
=
2
1
2
x sin 2 x
1
2
x cos 2 x
1
4
sin 2 x
c
Soal Latihan :
(x
1.
2)
a.
1
x
b.
1
x
x
c.
1
x
x
x
2
2
x
2
x
2
c
d.
1
x
4
2
3
c
e.
1
x
x
4
3
3
c
c
x
2
2
1
2
4
3
3
x
2
x
dx adalah …
4
x
2.
2
x
2
2
2
4
3
3
c
4
3
3
c
x
x
2
x
dx
x
a. ln x
x
c
d. ln x 2 x
b. ln x
x
c
e. ln x
ln x
c
c.
2
x
x
x
c
2
3. Persamaan kurva yang memenuhi persyaratan
d y
dx
6 kurva melalui ( 1 , 2 ) san sejajar
2
8x – y + 10 = 0 adalah …
a. f ( x )
3x
2
14 x
b. f ( x )
3x
2
3x
c. f ( x )
x
2
x
9
1
d. f ( x )
x
2
4x
e. f ( x )
x
3
2
a. 9
4
1
x
x
1
2
dx
4
2x
4. Luas daerah yang dibatasi oleh grafik y
5.
3x
b. 8
c.
b. 1 4
c. 1 2
9
x
dan y = x + 3 adalah …
2
d.
3
4
e.
9
2
8
3
...
a. 3 4
d. 4 5
6. Luas daerah yang dibatasi oeh grafik y
a. 64 34
b. 2 1 54
b. 20 34
4
2
4 x dan y
c. 20 56
7. Volume daerah yang dibatasi oleh y
a. 25 12
x
e. 4 6
5x
d. 5 0 56
2
x dan y
c. 23 52
x
2
2
adalah
e. 5 6 65
2
diputar pada sumbu x adalah
d. 6 53
e. 5 13
8. Gradien garis singgung kurva dititik (x,y) sama dengan 2x – 5. Jika kurva melalui ( 4 , 7 )
memotong sumbu y di :
a. ( 0 , 11 )
9. 8 cos(2 x
a. 8tg (2 x
b. 8 cos(2 x
Matematika SMA
b. ( 0 , 10 )
c. ( 0 , 9 )
d. ( 0 , 8 )
d. 4 sin(2 x
)
c
e. 4 cos(2 x
)
c
e. ( 0 , 7 )
) dx
)
c
)
c
by Drs. Pundjul Prijono
98
c. 8 sin(4 x
)
c
10. tg 3 x sec 3 x cot(2 x
4
a.
b.
co t(3 x )
sin (2 x
)
) dx
1
co s ec 3 x
1
(
3
) co s ec ( 2 x
)
sec(3 x )
1
(
3
)
2
sin 8 x
4
1
3
2
) tg (2 x
)
c
2
sec(3 x )
1
(
3
x ) co s ec (2 x
)
c
2
...
sin 6 x
2
sin 8 x
2
1
c.
1
(
c
d.
c
3
b.
tg (3 x )
2
11. 8 sin 2 7 x .sin xdx
1
) co s(2 x
1
e.
c
2
1
..
d.
c
3
c.
a.
) cos ec (2 x
sin 6 x
e.
c
3
2
sin 8 x
2
sin 6 x
1
sin 8 x
2
1
2
sin 6 x
c
sin 6 x
c
3
sin 8 x
2
2
3
c
3
12. sin 6 x cos xdx , adalah
a.
1
sin 7 x
1
b.
c
8
sin 7 x
c.
c
6
1
co s 7 x
c
7
d.
1
sin 7 x
e.
c
7
1
sin 7 x
c
5
13. (2 x 1) 2 / 3 dx , adalah ...
a.
b.
14.
3
(2 x
1)
3
2x
1
d.
c
10
2
(2 x
1)
3
2x
1
10
x sin xdx
(2 x
1)
3
2x
1
c
(2 x
1)
3
2x
1
c
10
2
e.
c
2
10
c.
3
(2 x
1)
3
2x
1
c
10
...
a. –x cos x + sin x + c
d. –x tg x - sin x + c
e. –x cos x + tg x + c
b. x sin x - sin x + c
c. –x cos x + sin x + c
15.
x x
a.
b.
c.
d.
e.
2
3
3
2
2
3
2
1dx
x(x
x(x
x(x
x(x
...
1) x
1) x
1) x
1) x
4
1
15
4
1
15
4
1
15
4
1
3
(x
1)
2
x
1
c
(x
1)
2
x
1
c
(x
1)
2
x
1
c
(x
1)
2
x
1
c
15
2
x(x
3
Matematika SMA
1) x
1
4
(x
1)
2
x
1
c
15
by Drs. Pundjul Prijono
99
1.
3
Diketahui
2
3x
2x
1
25 , nilai
1 dx
3
x
3
3
3
2
3
3
2
3
x
3
3
9
a
3
3
a
a
1
2
2
a
a
25
2
39
1
=25
x
a
2
3
27
2
2
2
2
3
2
3
a
2
a
a
3
a
3
3
a
3
a
1
6
a
2
a
25
a
2
a
25
2
2
a
14
a
-14
14
14
0
a
2
a
1
1
2
1
2.
3
7
0
(D)
2
Nilai sin 2 x . cos x dx=
0
=
1
2
sin x dx
sin 3 x
0
1
1
cos 3 x
6
1
0
1
cos 3
6
1
cos x
2
2
cos 540
1
1
6
1
1
1
6
2
6
1
3
cos 0
0
6
1
1
2
1
1
6
cos 0
2
1
0
cos 180
2
1
1
cos 3 0
6
1
0
6
1
cos 0
0
2
1
2
1
2
1
3
6
3.
1
cos
8
4
6
3
(E)
Hasil cos 5 x dx
= cos x . cos 4 dx
= cos x .
cos
= cos x . 1 sin
2
2
2
x
x
2
dx
dx
= cos x 1 2 sin 2 x
= cos x
3
2
= sin x
4.
x
2
2 cos x sin
2
= sin x
sin
sin
3
1
x
5
1
x
2
x
cos x sin
sin
5
x
C
sin
5
x
C(D)
5
4
x
cos x dx
x
Matematika SMA
3
3
1
sin x dx
2
1(
)
cos x
by Drs. Pundjul Prijono
100
2x
sin x
2(+)
0
cos x
sin x
= x 2 sin x sin x 2 x cos x 2 sin x +C
= x 2 sin x sin x 2 x cos x C
= x 2 1 sin x 2 x cos x C ( B )
5.
3
3x
2
2x
2 dx
40
p
3x
3
x
3
2
3
p
9
6
1
2
3
-1
2
x
p
dx
40
2x
dx
40
p
3
2
p
3
p
p
3
3
p
-1
3
3
p
24
-2
2
2
2 3
27
2x
2
3
3
3
2
-2
-6
-8
2
p
p
2 p
2
40
2p
40
2p
40
2
2p
-16
16
0
16
0
p
2
p
1
1
2
(C)
6.
2
Hasil dari sin 3 x . cos 5 xdx
…
o
2
0
2
0
2
0
1
sin 3
5
sin 3
5 dx
2
1
sin 8 x
sin 2 x dx
2
1
1
sin 8 x
2
sin 2 xdx
2
1
90
1
cos 8 x
16
cos 2 x
4
1
0
1
cos 720
16
1
cos 0
4
1
1
16
1
1
4
4
cos 0
16
1
16
5
1
cos 180
1
16
1
1
4
1
1
4
4
16
5
16
10
16
7.
(A)
1
2
Nilai 2 x sin xdx
...
0
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
101
1
2
1
2
2 xdx
sin xdx
0
x
0
2
1
2
cos x
0
2
1
cos 90
0
2
cos 0
2
1
2
1
(C)
2
1 dx
4
8.
Nilai
x sin x
2
x sin x
2
x
1d
...
1
2x
1
sin x
2
1
2
cos x
1d x
2
1
c
2
9.
x sin 2 xdx
x
1
(C)
...
sin 2 x
1
cos 2 x
2
1
sin 2 x
4
1
1
sin 2 x
x cos 2 x
4
2
1
0
jadi
10.
2
(C)
c
2
sin
2
x
2
cos x dx
...
0
2
cos 2 xdx
0
2
cos 2 x
d (2 x)
2
0
2
0
1
cos 2 xd ( 2 x )
2
1
90
sin 2 x
2
1
0
1
sin 2 . 90
2
1
sin 2 . 0
2
1
.0
2
.0
2
(C)
0
11.
Hasil 2 x cos
1
xdx
...
2
2x
cos
1
x
2
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
102
2
1
2 sin
x
2
0
4 cos
1
x
2
1
4 x sin
x
1
8 cos
2
12.
Hasil
x
(A)
c
2
2
x 9
x dx
x 9
x
2
1
2
x9
x
2
1
2
...
dx
9
d
x
2
2x
1
9
x
1
2
2
d 9
x
2
3
1 2
2
. 9 x 2
2 3
1
2
9 x
9
3
13.
x
2
2
(A)
c
1
6
Nilai 5 x 1 x dx
...
0
5x
1
5
1
7
1
0
6
x
1
x
1
x
7
8
56
5
x 1
x
7
5
1
x
8
56
11 1
5
7
7
0
1
5
7
1 1
5
8
56
0
0
01
7
0
7
5
1
0
8
56
5
0
6
5
56
14.
(C)
Hasil dari cos x cos 4 xdx
1
2
1
2
1
cos 5 x
cos 5 x
sin 5 x
10
15.
...
cos 3 x dx
1
cos 3 xdx
2
1
sin 3 x c
6
(B)
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2
y x dan garis x y 6 adalah . . satuan
luas.
Jawab:
x
6
y
6
y
x
2
x
x
2
Matematika SMA
y
6
x
by Drs. Pundjul Prijono
103
2
0
x
a
1, b
2
D
b
D
1
D
25
2
1, c
4 .1 .
6
6
D
6a
2
25
L
6
4 ac
D
L
x
25
6 .1
25 . 5
L
6
125
L
6
L
20
5
6
16.
(C)
Luas daerah yang diarsir pada gambar
adalah …satuan luas.
x=3
2
y x 4x 3
y x
2
6x 5
Jawab:
3
x
2
6x
5
x
2
4x
3dx
1
3
2x
2
10 x
3
5x
8 dx
1
2
x
2
8 x 31
3
2
.( 27 )
5(9 )
2
24
3
5 (1)
8
3
18
45
24
2
5
8
3
3
3
2
3
6
2
3
17.
(D)
Luas daerah D yang dibatasi oleh parabola
y= x2 dikuadran I, garis x + y = 2, dan garis
y = 4 adalah …satuan luas.
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
104
Jawab:
y
2
x
2
y
x
2
y
x
0
x
0
2
x
x
x
2
2 x
1
2 ataux
1
1
2
L
4
(2
x ) dx
0
1
1
2x
x
2
2
L
3
0
8
8
2
3
1
2
8
8
2
6
1
4
0
1
2
L
x dx
1
L
L
2
4
16
1
3
1
4
3
(3
4
2
2)
6
L
11
6
6
25
L
6
L
4
1
6
18.
(A)
Volume benda putar bila daerah yang
dibatasi kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4
diputar 360o mengelilingi sumbu y
adalah….satuan volume.
Jawab:
y = -x2 + 4
y = -2x + 4
2
x =4–y
2x = 4 – y
x = 2 – ½y
4
y
2
4
y
2
(16 - 8y
2
y )
4-y
2
16
y
2
y( y
y
Matematika SMA
2
8y
y
4y
0
4)
0
0 atauy
16
4y
4
by Drs. Pundjul Prijono
105
4
V
4
y
2
1
2
y
dy
2
0
4
V
4
y
4
1
2y
4
V
4
y
4
1
2y
dy
2
y dy
4
0
4
V
1
y
2
y dy
4
0
1
4
1
2
y
2
V
2
4
0
V
y
y
3
12
0
64
8
12
V
16
8
3
V
8
3
19.
(D)
Volume benda putar yang terjadi jika
1
daerah yang dibatasi oleh kurva y
1
garis y
x
2
2x 2 ,
dan garis x = 4 diputar 360o
terhadap sumbu x adalah …satuan volume.
Jawab:
y
y
2 x
1
x
2
1
2 x
x
2
1
4x
x
4
1
0
x
2
4x
4
0
1
x
x
4
4
x
0 ataux
4
V
1
2
2 x
4
1
4x
2x
dx
2
x dx
1
2
12
V
x
4
0
V
2
2
0
V
16
32
4
x
3
0
16
12
V
26
2
3
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
106
20.
(C)
Volume benda putar yang terjadi bila darah
yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 1 dan
sumbu x dari x = 1, x = -1, diputar
mengelilingi sumbu x sejauh 360o adalah…
Jawab:
1
V
2
2
x
1 dx
1
1
V
x
4
2x
2
1dx
1
1
V
x
2
5
5
V
V
V
1
x
3
x
3
1
2
5
3
1
2
5
3
1
1
1
1
2
5
3
1
2
5
3
1
1
16
15
(C)
Matematika SMA
by Drs. Pundjul Prijono
107