File

Perhatikan gambar di samping
Gradien garis l adalah
h
mQ =
=
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
f(x+h)f(x)
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
𝑥+ℎ −𝑥
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
l
Q(x+h,f(x+
h))
g
P(X,f(
X))
x+h
x
Titik P(x,y) adalah sembarang titik pada kurva y= f(x) sehingga
P dapat dituliskan sebagai P(x, f(x)).
Jika h→0 maka g menjadi garis singgung pada kurva dititik P. Maka
gradien garis singgungnya adalah
𝒇 𝒙 + 𝒉 − 𝒇(𝒙)
𝒎 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉
h→0
= 𝒇′ (𝒙)
Persamaan garis singgung pada kurva di titik 𝑥1, 𝑦1 dengan gradien m dimana
m = 𝑓 ′ 𝑥 adalah
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒇′(𝒙)(𝒙 − 𝒙𝟏 )
Dengan demikian, persamaan garis singgung g di titik P (x, f(x)) pada kurva
adalah
y – f(x) = f ′(x) (x – 𝒙𝟏 )
Contoh
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (1, 4)
jika f '(x) = 3x2 + 6x
Jawab
f(x) = y
f(1) = 4
f '(x) = 3x2 + 6x f '(1) = 3 . 1 + 6 . 1
=9
Jadi, persamaan garis singgung di titik (1, 4) adalah
y – f(x) = f ′(x) (x – 𝑥1 )
y – 4 = 9 (x – 1)
y = 9x – 5.
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar
dengan garis 4x + y = 3
Jawab
4x + y = 3
y= -4x + 3
m2= -4
y = 3 + 2x – x2
f’(x) = -2x + 2
x=3
f(x) = 3 + 2(3) – (3)2
f(x) = 0
y=0
m1 = m2
-2x+2 = -4
-2x = -6
x=3
Persamaan garis singgung yang sejajar terhadap garis 4x + y = 3 adalah
y – f(x) = f ′(x) (x – 𝑥1 )
y – 0 = -4 (x – 3)
y = -4x + 12
1. Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)
a. Tentukan gradien garis singgung di titik A
b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y =
f(x) dengan f(x) = 2x3 yang tegak lurus terhadap garis y
1
=– 𝑥
24
Jawaban no 1
1. Diketahui y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)
y = f(x) = x2 – 3x + 4
f’(x)= 2x – 3
a. Gradien di titik A (3,4)
m = f’(x) = 2x – 3
= 2.3 – 3
=6–3
=3
b. Persamaan garis singgung di
titik A (3,4)
y – y1 = m (x – x1)
y – 4 = 3 (x – 3 )
y – 4 = 3x – 9
y = 3x – 5
Jawaban no 2
1
y = 2x3 tegak lurus terhadap garis y = – 𝑥
24
maka
m1.
m2 = -1
1
(– 𝑥 ) . m2 = -1
24
m2 = 24
f’(x1) = 24
Untuk x1 = 2,
f (x) = 2x3
f (x1) = 2(23)
= 16
y = 2x3
f '(x) = 6x2
f '(x1) = 6x12
24 = 6x12
4 = x12
X1= ± 2.
Untuk x1 = - 2,
f (x) = 2x3
f (x1) = 2((-2)3)
= - 16
Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap garis y = –
y – f(x1) = f '(x1) (x – x1)
y – 16 = 24 (x – 2)
y = 24x – 32
1
𝑥
24
y – f(x1) = f '(x1) (x – x1)
y – (-16) = 24 (x – (-2))
y + 16 = 24 (x + 2)
y = 24x + 32
adalah
y=f(x)
1.
Syarat fungsi naik dalam
suatu interval tertentu yaitu
jika seiring pertambahan
nilai x ke kanan, maka nilai
f(x) semakin bertambah
atau f ‘(x)>0.
x2 > x 1
f(x2) > f(x1)
f(x1 )
f(x 2 )
x2
x1
Fungsi Naik
(a)
2. Syarat fungsi turun yaitu
jika seiring pertambahan
nilai x kekanan, maka nilai
f(x) semakin berkurang
atau f ‘(x)<0
x2 > x 1
f(x2) < f(x1)
y=f(x)
f(x1 )
f(x 2 )
x1
x2
Fungsi Turun
(b)
Contoh Soal
1. Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan:
a. Fungsi naik
b. Fungsi turun
Jawab:
f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4
f’(x) = 3x2 + 18x + 15
Syarat fungsi naik f’(x) > 0
3x2 + 18x + 15 > 0
x2 + 6x + 5 > 0
(x+1) (x+5) > 0
Harga batas
x = -1 , x = -5
Jadi fungsi naik pada interval
x < 5 atau x > -1
Perhatikan grafik fungsi
y = f(x) disamping. Pada titik
A,B,C dan D dengan absis
berturut-turut x = a, x = b, x = c
dan x = d menyebabkan f’(x) =
0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d)
merupakan nilai – nilai
stasioner.
1. Nilai stasioner maksimum
Pada : x < a diperoleh f’(x) > a
x = a diperoleh f’(x) = a
x > a diperoleh f’(x) < a
Fungsi yang demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner
maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik
maksimum.
2. Nilai stasioner belok
a. Nilai stasioner di titik B
Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0
x = b diperoleh f’(x) = 0
x > b diperoleh f’(x) < 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan
titik (b,f(b)) disebut titik belok.
b. Nilai Stasioner di titik D
Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0
x = d diperoleh f’ (x) = d
x > d diperoleh f’ (x) > d
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik
(d,f(d)) disebut titik belok.
3. Nilai stasioner minimum
Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0
x = e diperoleh f’(x) = 0
x > e diperoleh f’(x) > 0
Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik
(e,f(e)) disebut titik balik minimum.
Contoh
1. Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 + 2x
Jawab :
f(x) = x2 + 2x
f’(x) = 2x + 2
= 2(x + 1)
Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0
2(x + 1) = 0
x = -1
f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1
Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)
x
2(x+1)
f’(x)
Bentuk grafik
x=1
-1-
-1
0
0
Titik balik minimum
-1+
+
+
3. Tentukan interval f(x) naik, turun, dan koordinat titik stationer
1
dari 𝑓 𝑥 = 2 + 𝑥 2 − 𝑥 3
3
4. Diketahui f(x) = - x3 + 3x2 - 1
a). Tentukan titik stasionernya
b). Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Jawaban no 3
𝑓 𝑥 =2+
𝑥2
f ' (x) = 2x - x2
1 3
− 𝑥
3
a. Interval f(x) naik
f(x) naik jika f’(x) > 0
2x – x2 > 0
x (2 – x) > 0
(x) naik pada interval : 0 < x < 2
b. Interval f(x) turun
f(x) turun jika f’(x) < 0
2x – x2 < 0
x (2 – x) < 0
f(x) turun pada interval : x < 0 atau x >
2
c. Interval f(x) stasioner
f(x) stationer jika f’(x) = 0
2x – x2 = 0
x (2 – x) = 0
x = 0 atau x = 2
Untuk x = 0 maka nilai y = 2 + 𝑥 2 −
1
3
𝑥3
y = 2 + 02 −
y=2
1
3
03
Untuk x = 2 maka nilai y = 2 + 𝑥 2 −
1
3
𝑥3
y = 2 + 22 −
1
3
23
y=2+4y=
Jadi koordinat titik stationernya (0, 2) dan (2,
10
)
3
10
3
8
3
Jawaban no 4
a. Untuk mencapai titik stasioner , maka f’(x) = 0
f(x) = - x3 + 3x2 – 1
f’(x) = -3x2 + 6x
-3x2 + 6x = 0
(-3x1 + 0)(x2 – 2) = 0
Diperoleh : x1 = 0 dan x2 = 2
Sehingga titik stasioner yang didapat adalah
x1 = 0  f(0) = -(0)3 + 3(0)2 – 1
f(0) = -1
jadi titik stasioner yang pertama = (0,1)
x2 = 2  f(2) = -(2)3 + 3(2)2 – 1
f(2) = 3
jadi titik stasioner yang kedua = (2,3)
b. Tentukan interval fungsi naik dan interval fungsi turun
Didapatkan x1 = 0 dan x2 = 2, jadi daerah asal Df terbagi menjadi tiga interval :
-----------Interval I
+++++++
0
Interval II
Interval I = misalkan ambil x = -1 ,
f’(x) = -3x2 + 6x
f’(-1) = -3(-1)2 + 6(-1) = -9
f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi
tanda (-) negatif.
----------2
Interval III
Interval II = misalkan ambil x = 1
f’(x) = -3x2 + 6x
f’(1) = -3(1)2 + 6(1) = 3
f’(x) > 0 ,maka interval II naik diberi
tanda (+) positif
Interval II = misalkan ambil x = 3
f’(x) = -3x2 + 6x
f’(3) = -3(3)2 + 6(3) = - 9
f’(x) < 0 , maka interval I turun diberi tanda (-) negatif.
Kesimpulannya :
f(x) naik pada interval 0 < x < 2
f(x) turun pada interval – ∞ < x < 0 dan 2 < x < + ∞
Cara menggambar grafik fungsi aljabar suku banyak adalah sebagai
berikut:
1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
2. Tentukan titik-titik stationer dan jenis-jenisnya.
3. Tentukan beberapa titik pada kurva.
4. Gambarlah kurva.
Gambarlah grafik 𝑦 =
Jawab
1 3
𝑥
3
−
7 2
𝑥
2
+ 12𝑥 − 5
Langkah 1 : Menentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
a. titik potong dengan sumbu X, diperoleh jika y = 0
1
7
y = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 12𝑥 − 5
1 3 7 2
𝑥 − 𝑥 + 12𝑥 − 5 = 0
3
2
Dalam soal ini titik potong sumbu x sukar ditentukan
b. titik potong dengan sumbu Y, diperoleh jika x = 0
1
7
y = 3 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 12𝑥 − 5
1
7
y = 03 − 02 + 12(0) − 5
3
2
y = -5
titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -5)
Langkah 2 : Menentukan titik stationer dan jenisnya.
1
7
Dari y = 𝑥 3 − 𝑥 2 + 12𝑥 − 5
3
2
′
Maka 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 − 7𝑥 + 12
Nilai stationer dicapai jika f’(x) = 0, sehingga :
Untuk 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 = 0
(x - 3)(x - 4) = 0
x1 = 3 atau x2 = 4
Untuk x1 = 3
1
f(x) = 3 33 −
1
7 2
3
2
+ 12(3) − 5
f(x) = 8 2
f(x) naik jika f’(x) > 0, maka :
x2 - 7x +12 > 0
(x - 3)(x - 4) > 0
x < 3 atau x > 4
Untuk x2 = 4
1
f(x) = 3 43 −
1
7 2
4
2
+ 12(4) − 5
f(x) = 8 3
f(x) turun jika f’(x) < 0, maka :
x2 - 7x +12 < 0
(x - 3)(x - 4) < 0
3<x<4
Langkah 3 : Ambil beberapa titik tertentu
𝑥
𝑓(𝑥)
1
2
3
5
6
3
7
2
3
Langkah 4 : Gambarlah grafiknya
4
8
1
2
5
8
1
3
9
1
6
Buatlah grafiknya dari persamaan y = f(x) = 3x – x3
Jawab:
i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0.
y = 0 = 3x – x3
titik potong sumbu x adalah (0,0), (1,0),
0 = x (3 – x2)
(-1,0)
0 = x (1 - x ) (1 + x)
ii. memotong sumbu y, jika x = 0
y = 3x – x3
y = 3.0 - 03
y=0
titik potong sumbu y adalah (0,0)
Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0
f’ (x) = 3 – 3x2
= (1 - x 2)
= 3 (1 – x) (1 + x)
x = 1, x = -1
untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2
x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2
nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2
titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2)
c. titik bantu
x
-2
2
-3
3
...
y
2
-2
18
-18
...
d. gambarlah grafiknya