pengertian integral

integral
MATERI:
1. Pengertian integral
2. integral tak entu
3. integral tertentu
4. menentukan luas daerah
5. menentukan volume benda putar
A. PENGERTIAN INTEGRAL
Di kelas XI, telah dipelajari tentang konsep turunan. Pemahaman tentang
konsep turunan ini dapat digunakan untuk memahami konsep integral. Coba
tentukan turunan fungssi berikut:

ƒ1(x) = 3x3 + 3

ƒ2(x) = 3x3 + 7

ƒ3(x) = 3x3 - 1

ƒ4(x) = 3x3 - 10
Perhatikan bahwa fungsi-fungsi tersebut memiliki bentuk umum ƒ(x) =
3x3 + c, dengan c suatu konstanta. Setiap fungsi di atas memiliki turunan ƒ΄(x) =
9x2 .
Bagaimana jika menentukan fungsi ƒ(x) dari ƒ΄(x) yang diketahui?.
Menentukan fungsi ƒ(x) dari ƒ΄(x) berarti menentukan antiturunan dari ƒ΄(x).
Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial atau operasi invers
terhadap differensial.
Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F΄(x)= ƒ(x), maka F(x)
merupakan antiturunan atau integral dari ƒ(x).
Pengintegralan fungsi ƒ(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut:
 ƒ(x)dx  F(x)  c
Dengan :

= notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang
matematikawan dari Jerman).
ƒ(x) = fungsi integral
F(x) = fungsi integral umum yang bersifat F΄(x) = ƒ(x)
c
= konstannta pengintegralan
Sekarang perhatikan fungsi berikut:

g1  x , didapat g1 ' ( x)  1.
Jadi, jika g1 ' ( x)  1 maka g1 x    g1 ' x dx  x  c1 .

g 2 x  
1 2
x , didapat g 2 ' ( x)  x.
2
Jadi, jika g 2 ' ( x)  x maka g 2  x    g 2 x dx 

g 3 x  
1 3
x , didapat g 3 ' ( x)  x 2 .
3
Jadi jika g 3 ' ( x)  x 2 maka g 3 x    g 3 ' x dx 
Dari
g x  
uraian
tersebut
nampak
1 n 1
x  c atau dapat dituliskan
n 1
contoh , turunan fungsi
antiturunan
dari
 f ' x dx  3x
2
1 2
x  c2 .
2
f  x   3x 2  c
f ' x   9 x 2
adalah
bahhwa
x
n
dx 
adalah
1 3
x  c3 .
3
jika
g ' x   x n , maka
1 n 1
x  c, n  1. Sebagai
n 1
f ' x   9 x 2 . Ini berarti,
f  x   3x 2  c
atau
dituliskan
 c . Uraian ini menggambarkan hubungan sebagai
Jika f ' x   x n , maka f  x  
1 n 1
x  c , n ≠ -1 dengan c suatu konstanta
n 1
1. Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut!
a. f x   5x 2  10 x
c. f  x  
1 3
x  2x
2
b. f x   2 x 3  3x 2  4 x  5
d. f  x  
1 4 1 3 1 2
x  x  x 1
4
3
2
2. Tentukan antiturunan x jika diketahui
a. g ' x   x 3
c. g ' x   3x 4  2 x
b. g ' x   2 x 6  3
d. g ' x   x 2  4 x 
1
2
Penyelesaian
1. a. f ' x   2  5x 21  0  10 x
b. f ' x   3  2x 31  2  3x 21  1  4x11  0  6 x 2  6 x  4
3
 1
c. f ' x    3   x 31  1  2x11  x 2  2
2
 2
 1
 1
 1
d. f ' x    4   x 41   3   x 31   2   x 21  0  x 3  x 2  x
 4
 3
 2
2. a. g x  
1 31
1
x  c  x4  c
3 1
4
b. g x  
2 61
3 01
2
x 
x  c  x 7  3x  c
6 1
0 1
7
c. g x  
3 41
2 11
3
x 
x  c  x5  x2  c
4 1
11
5
d. g x  
1
1 21
4 11
1
1
x 
x  2 x 01  c  x 3  2 x 2  x
2 1
11
0 1
3
2
B. INTEGRAL TAK TENTU
Pada bagia sebelumnya, kita telah mengetahui bahwa integral merupakan
antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada
interval [a, b] sedemikian hingga
adalah F(x) + c.
d F  x 
 f  x  , maka anti turunan dari f x 
dx
Secara sistematis ditulis
 f x dx  F x   c
Di mana  dx =Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
f x  = Fungsi integral, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
c = konstanta
x3
Sebagai contoh, dapat kita tuliskan  x dx 
c
3
2
Karena

d  x3
  c   x 2
dx  3

sehimmga kita dapat memandang integral tak tentu sebagai wakil keseluruhan
keluarga fungsi (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c).
Teorema 1
Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
x
n
dx 
1 n 1
x  c di mana c
n 1
adalah konstanta
Jika ƒ adalah fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta,
maka  kf x dx  k  f x 
Teorema 3
Jika ƒ dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan , maka
  f x   g x dx   f x dx   g x dx
Teorema
Teorema 42
Jika ƒ dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan , maka
  f x   g x dx   f x dx   g x dx
Teorema 5
Aturan Integral Substitusi
Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan
rasional tidak nol, maka
 ux  u' x dx  r  1 ux 
1
r
r 1
 c , di mana c
adalah konstanta dan r≠-1
Teorema 6
Aturan Integral Parsial
Jika u dan v adalah fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
 udv  uv   vdu
Teorema 7
Aturan Integral Trigonometri

 cos xdx  sin x  c

 sin xdx   cos x  c

 cos
1
2
x
dx  tan x  c
Di man c adalah konstanta
1. Aturan Integral Substitusi
Aturan integral substitusi seperti tertulis pada teorema. Aturan ini digunakan
untuk memecahkan masalah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan
dengan rumus-rumus dasar yang sudah dipelajari.
Contoh:
Hitunglah integral dari
a.
x
9  x 2 dx
Penyelesaian:
b. 
sin x
x
dx
c.
x
 1  2 x 
2 4
dx
a.
x
9  x 2 dx
misalkan u = 9 - x2, maka du = -2xdx
du
2
xdx=
2
 x 9  x dx =
 9  x 
1
2 2
 du 
xdx   u 2 

2
1
3
1
1
1 2u 2
c
=   u 2 du   
2
2 3
1
Jadi,
b.

x
=
1 2
1
 u u 2  c   u u  c
2 3
3
=
1
9  x2
3

9  x 2 dx = 
sin x


1
9  x2
3
9  x2  c

9  x2  c
dx
x
misalkan u = x = x
1
2
1
du 1  2
 x
dx 2
du
1

dx 2 x
dx  2 x du
Sehingga

sin x
x
dx =

sin u
x
2 x du
= 2 sin udu  2 cos u  c  2 cos x  c
Jadi
c.

sin x
x
dx =  2 cos x  c
x
 1  2 x  4dx
2
misalkan u = 1 - 2x2, maka du = -4xdx
du
 4x
dx =
x
 1  2 x 
2 4
x
u
dx =
=
=
Jadi
x
 1  2 x 
2 4
4

du
 4x
1 4
1
 1  1 
u du      u 3  c  u 3  c

4
12
 4  3 

1
1  2x 2
12
dx =

1
12 1  2 x 2

3

3
2. Integral dengan Bentuk
Pengintegralan bentuk-bentuk
c 

1
12 1  2 x 2

3
c
c
a2  x2 ,
a2  x2 ,
a 2  x 2 dan
a 2  x 2 dan
x2  a2
x 2  a 2 dapat
dilakukan dengan menggunakan substitusi dengan x = a sin t, x = a tan t, x = a
sec t. Sehingga diperoleh bentuk-bentuk seperti berikut
Contoh:
Hitunglah
 sin 3x  1 cos3x  1dx
Penyelesaina:
Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu kalian harus mengubah sin (3x + 1)
cos (3x + 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu
sin a cos a 
1
sin 2a
2
Dengan rumus ini, kalian mendapatkan:
 sin 3x  1cos3x  1dx   2 sin 6 x  2dx
1
1
sin 6 x  2 dx
2
1 1
    cos6 x  2   c
2 6
1
  cos6 x  2  c
12
1
Jadi  sin 3x  1 cos3 x  1dx   cos6 x  2   c
12

1. Tentukanlah integral berikut!
2
3
a.  x dx
f.

b.  5 x 4   dx
g.
 x x
h.
x
i.
x
c.
 18 x
8

 25 x 4  3 x 2 dx
4 x 6  3x 5  8
d. 
dx
x5
e.
 x
3

 x dx
3 x  2dx
2
2
3

9
 5 dx
1  x dx
4 x  1dx
3 
 4
j.   5  4 dx
x 
x
Skor 50
2. Tentukanlah integral berikut!
a.  sin x  cos x dx
 x
b.  sin x cos 2 xdx

c.  sin 5 x sin 4 xdx
 3 sin x  4 cos x dx
d.  2 x  1sin 3xdx
 8 sin 9 x cos 3x  6 sin 9 x sin 3x dx
2

 2 sin x dx
3 x  2dx
Skor 35
3. Tentukanlah fungsi g(t), jika diketahui
a. g΄ (t)=7 dan g(0)=0
b. g΄ (t)=3t2 + 8t – 1 dan g(2)=5
c. g΄ (t)=6t2 + 4t + 1 dam g(1)=5
Skor 15
C. INTEGRAL TERTENTU
1. Memahami Luas Sebagai Suatu Limit Tertentu
Sebelumnya kalian telah mempelajari grafik fungsi kuadrat. Daerah grafik
fungsi kuadrat berupa garis lengkung. Berapakah luas daerah yang batasbatasnya berupa garis lengkung ini? Untuk mengetahui, lakukanlah aktivitas
berikut.
1.
Gambarlah grafik fungsi kuadrat, misalnya f(x)=9–x2 pada interval [0,3].
2.
Bagi selang menjadi n selang bagian yang lebarnya masing-masing
3
, memakai titiktitik x0  0  x1  x2   xn1  xn  3
n
x 
3.
Buat persegi panjang-persegi panjang yang alasnya ∆x dan tingginya
f(xi). Tentukan pula luas setiap persegi panjang tersebut!
4.
Jumlahkan luas setiap persegi panjang tersebut!
5.
Dengan memilih ∆x sekecil-kecilnya hingga mendekati nol, hitunglah
limit jumlah dari hasil pada langkah 4. Hasil yang kalian dapatkan
menunjukkan luas daerah yang dibatasi kurva f(x)=9-x2, sumbu-x, garis
x = 0, dan x = 3.
6.
Buatlah kesimpulannya dan diskusikan kesimpulan tersebut dengan
teman-temanmu!
Dari Aktivitas ini, kalian memperoleh daerah yang akan ditentukan luasnya.
Setelah membagi interval [0, 3] menjadi n selang bagian yang lebarnya
masing-masing x 
x0  0
x1  x 
3
n
6
n
9
x 3  3x 
n



x 2  2 x 
x i  ix 
3i
n
3
, kalian memperoleh:
n
Luas setiap persegi panjang pada gambar tersebut adalah:
2
 3i  3   3i   3  27 27 
f x1 x  f      9         3 i 2 
 n  n   n   n  n n

Luas seluruh persegi panjang adalah sebagai berikut.
L  f x1 x  f x 2 x    f x n x
 27 27   27 27 
 27 27 
L    3 12     3 2 2       3 n 2 
 n n
  n n

 n n

27 27 2
L  n

1  22    n2
n n3
27  nn  12n  1
9
3 1 
93 1 
L  27  3 
 27   2   2   18    2 

6
2
n n 
2n n 
n 



Dengan memilih ∆x → 0 maka n →∞, sehingga akan diperoleh luas daerah
yang dibatasi kurva f(x) =9-x2, sumbu-x, garis x=0, dan x =3 sebagai berikut.

93 1
LR   lim 18    2
n 
2n n


   18

Sekarang, perhatikan kembali persamaan berikut.
LRn   f x1 x  f x2 x    f xn x
Dengan menggunakan notasi sigma, kalian dapat menuliskan persamaan
tersebut sebagai berikut.
n
LRn    f xi x
i 1
Jika ∆x → 0, maka akan diperoleh
LRn   lim
x 0
n
 f x x
i
i 1
Dengan mengambil batas daerah x1 = a dan x2 = b, maka bentuk di atas
merupakan suatu bentuk integral tertentu yang dituliskan sebagai
b
L   f x dx
a
1
 9  x dx  9 x  3 x
3
3
Sehingga diperoleh
2
0
3

  27  9  18
0
b
Jika fungsi f terdefinisi pada interval [a, b], maka
 f xdx adalah integral
a
tertentu terhadap fungsi f dari a ke b. Pengintegralannya dituliskan sebagai
berikut.
b
 f xdx   f x
b
a
 F b   F a 
a
Dengan
f x  = fungsi integran
a
= batas bbawah
b
= batas atas
b
Sehingga kalian harus dapat membedakan bahwa integral tertentu  f x dx
a
adalah bilangan, sedangkan integral tak tentu yang dibahas sebelumnya
adalah fungsi.
Gambarlah daerah dari integral tertentu berikut. Kemudian, hitunglah integral tersebut!
1
1  5 xdx
0
1
2.
 x  1dx
2
3
3.
 x dx
2
0

2
4.  sin xdx
0
3
5.
 x dx
3

6.  cos 2 xdx
0
2. Teorema Dasar Kalkulus
Berdasarkan definisi integral tertentu, maka dapat diturunkan suatu teorema
yang disebut dengan Teorema Dasar Kalkulus.
Dalam pengerjaan hitung integral tertentu ini akan lebih mudah jika kalian
menggunakan teorema-teorema berikut.
CONTOH

6
1. Hitunglah
 sin 3x  cos x dx
0
Penyelesaian:



6
6
6
0
0
0
 sin 3x  cos x dx   sin 3xdx   cos xdx



 1
6
6


sin
3
x

cos
x
dx


cos
3
x
0
 3
  sin x 0

0
6

6
1

 


 sin 3x  cos x dx   3  cos 2  cos 0    sin 6  sin 0 
0

6
 sin 3x  cos x dx   3  1  2  6
0
1
1
5
1
2. Tentukanlah  x 2 dx
1
Penyelesaian:
Oleh karena untuk f(x) =x2, berlaku f(-x) = f(x), maka f(x) = x2 merupakan fungsi
genap. Dengan menggunakan Teorema 4, akan diperoleh:
1
2 3
2
1 3 
3
1 x dx  20 x dx  2 3 x  0  3 1  0   3
1
1
2
2
4
3. Tentukanlah  f x dx jika fungsi f didefinisikan sebagai
0
Penyelesaian:
4
2
4
0
0
2
4
2
4
0
2
 f x dx   f x dx   f x dx

0
4

0
4
f  x dx   x  2dx   1dx
2
1

4
f  x dx   x 2  2 x   x 2
2
0
 1
 f x dx   2 2
0
4
2
 1

 2  2    0 2  2  0   4  2
 2

 f x dx  2  4  2  8
0
1. Tentukanlah integral tertentu berikut!
2
a.
 4t  6t dt
0
2
e.
1
 3x
x 3  1dx
2
1

4
 13


b.   x  x 3 dx
1

8
3

2 x cos 2 xdx
0

4
c.
 sin
4
f.
 2 x  1
x  x 2 dx
g.
0


1  cos x dx
2

3
d.
4
1
 t  2
2
dt
h.
1
 tan
4
xdx
0
Skor 80
1
2. Jika

f x dx  4 dan
1
 g x dx  2 hitunglah integral-integral berikut!
0
0
1
1
a.  3 f x dx
d.
 2 g x   3 f x dx
0
0
1
b.
 2 f x   3x dx
0
  f x   g xdx
e.
2
1
0
1
c.
 3 f x   2 g x  2dx
0
Skor 10
3. Diketahui f merupakan fungsi ganjil dan g merupakan fungsi genap dengan
1
1
0
0
 f x dx   g xdx  3
1
a.
 f x dx
1
Tentukanlah integral-integral berikut!
1
b.
 g x dx
1
1
c.
 f x  dx
1
Skor 10
D. MENENTUKAN LUAS DAERAH
1.
Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu-x
Pada subbab c kalian telah mengetahui bahwa luas merupakan limit suatu
jumlah, yang kemudian dapat dinyatakan sebagai integral tertentu. Pada
subbab ini, akan dikembangkan pemahaman untuk menentukan luas daerah
yang dibatasi oleh beberapa kurva.
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,
dan garis x = b, dengan f(x) ≥ 0 pada [a, b], maka luas daerah R adalah
sebagai berikut.
b
LR    f x dx
a
CONTOH
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = 4 – x2, sumbu-x,
garis x = 0, dan x = 1.
Penyelesaian:
Daerah tersebut adalah daerah R.
Luas daerah R adalah:
1


LR    4  x 2 dx
0
1
1 
1
2



LR   4 x  x 3    4  1   13  0   3
3 0 
3
3


Jadi, luas daerah R adalah 3
2.
2
satuan luas
3
Menentukan Luas Daerah di Bawah Sumbu-x
Misalnya S daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu-x, garis x = a,
dan garis x = b, dengan f(x) ≤ 0 pada [a, b], seperti yang telah dibahas
di subbab sebelumnya, maka luas daerah S adalah
b
LS    f x dx
a
CONTOH
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh garis y 
1
x  2 sumbu-x, garis
4
x =4, dan sumbu-y.
Penyelesaian:
Daerah tersebut adalah daerah S. Luas Daerah S adalah
1

LS      x  2 dx
4

0
4
 1

1


LS     x 2  2 x      4 2  2  4   0   2  8  6
8
0

 8

4
Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6 satuan.
3.
Menentukan Luas Daerah yang Terletak Dibatasi Kurva
y=f(x) dan Sumbu-x
Misalkan T daerah yang dibatasi oleh kurva y=f(x), sumbu-x, garis x=a, dan
garis x=c, dengan f(x)≥0 pada [a, b] dan f(x) )≤ 0 pada [b, c], maka luas
daerah T adalah
b
c
a
b
LT    f x dx   f x dx
Rumus ini didapat dengan membagi daerah T menjadi T1 dan T2 masingmasing pada interval [a, b] dan [b, c]. Kalian dapat menentukan luas T1
sebagai luas darah yang terletak di atas sumbu-x dan luas T2 sebagai luas
daerah yang terletak di bawah sumbu-x.
CONTOH
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x)= -sin x,
0 ≤ x ≤ 2π, dan sumbu-x.
Jawab:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= f(x)= -sin x,
0 ≤ x ≤ 2π, dan sumbu-x. adalah
L  L A1   L A2 
2


0
L    sin xdx    sin xdx


L  cos x   cos x 0
2

L  cos 2  cos    cos   cos 0 
L  1   1   1  1  2  2  4
Jadi, luas daerah tersebut adalah 4 satuan luas.
4.
Menentukan Luas Daerh yang Terletak di Antara Dua
Kurva
Luas daerah U pada gambar di bawah adalah
L(U) = Luas ABEF - Luas ABCD
ABEF adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y1=f(x), x=a, x=b, dan y=0
sehingga Luas ABEF =
 f xdx
b
a
Adapun ABCD adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y2=g(x), x=a, x=b,
 g x dx
b
dan y =0 sehingga Luas ABEF=
a
Dengan demikian, luas daerah U adalah
LU    f x dx   g x dx    f x   g x dx
b
b
b
a
a
a
CONTOH
Tentukanlah luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) =4 –x2, garis x=0, dan
di atas garis y =1.
Penyelesaian:
Luas daerah yang dimaksud adalah luas daerah U. Tentukanlah batas-batas
pengintegralan, yaitu absis titik potong antara kurva y =f(x)= 4 –x2 dan garis
y =1 di kuadran I. Substitusi y =1 ke persamaan y=4 –x2 sehingga didapat:
4 –x2 =1
x2 = 3
x1   3
atau
x2  3
Oleh karena daerah U ada di kuadran I, maka batas-batas pengintegralannya
adalah x =0 sampai x = 3 .
Dengan demikian, luas daerah U adalah sebagai berikut.
LU  
 4  x
3
2

 1 dx
0
LU  
 3  x dx
3
2
0
3
1 
1

LU   3 x  x 3   3  3  
3 0
3

 3
3
3 3
Jadi, luas daerah U adalah 2 3 satuan luas.
1
33 3 32 3
3
1. Gambarlah daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut! Kemudian, tentukan
luas daerah tersebut!
a.
f x   3x 2  x 3 dan sumbu-x.
b. g x   1  x 3 , sumbu-x, dan garis x = 2
c. hx   x 2  3x , sumbu-x, x = 0, dan sumbu simetri parabola
d. ix  x, g x  2x , dan x = 5
e.
j x   x 2  3x  4 dan sumbu garis y = -4
f.
k x   sin x dan
g x   cos x untuk 0  x 

2
Skor 60
2. Suatu daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 - 2x - 8 dan sumbu-x dibagi
menjadi dua bagian oleh sumbu-y. Tentukan perbandingan luas bagian masingmasing!
Skor 60
3. Tentukan luas persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang
dibatasi kurva y = x2 dan garis y = 4.
Skor 60
E. MENENTUKAN VOLUME BENDA PUTAR
1.
Menentukan
Volume
Benda
Putar
yang
Diputar
Mengelilingi Sumbu-x
Secara umum, volume dinyatakan sebagai luas alas dikali tinggi. Secara
matematis, ditulis V= A.h
Kemudian, perhatikan sebuah benda yang bersifat bahwa penampangpenampang tegak lurusnya pada suatu garis tertentu memiliki luas tertentu.
Misalnya, garis tersebut adalah sumbu-x dan andaikan luas penampang di x
adalah A(x) dengan a ≤ x ≤ b. Bagi selang [a, b] dengan titik-titik bagi
a  x0  x1  x2    xn  b .
Melalui titik-titik ini, luas bidang tegak lurus pada sumbu-x, sehingga
diperoleh pemotongan benda menjadi lempengan yang tipis-tipis. Volume
suatu lempengan ini dapat dianggap sebagai volume tabung, yaitu
Vi  Ax  dengan xi 1  xi  xi
n
Dengan jumlah yang kalian dapatkan V   A xi xi kemudian akan
t 1
b
menjadi V   Ax dx .
a
A(x) adalah luas alas benda putar, oleh karena alas benda putar ini berupa
lingkaran, maka A(x) = π r2 jari-jari yang dimaksud merupakan sebuah
fungsi dalam xi misalnya f(x). Dengan demikian volume benda putar dapat
b
dinyatakan sebagai V     f x  dx
2
a
Misalkan R daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f(x), sumbu-x, garis x =a,
garis x = b, dengan a < b, maka volume benda putar yang diperoleh dengan
memutar daerah R mengelilingi sumbu-x adalah
2.
Menentukan
Volume
Benda
Putar
yang
Diputar
Mengelilingi Sumbu-y
Misalkan S daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi x=f(y), sumbu-y, garis
x=a, garis x =b, dengan a<b, maka volume benda putar yang diperoleh
dengan memutar daerah S mengelilingi sumbu-y adalah V.
CONTOH
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik
f(x)=4 – x2, sumbu-x, dan sumbu-y diputar 360° terhadap:
a. sumbu-x
b. sumbu-y
Penyelesaian:
a. Volumenya adalah:
2

V  4 x
 dx    16  8x

2
2 2
0
 x 4 dx
2
0
2
8
1 

V   16 x  x 3  x 5 
3
5 0



8
1

V    16  2   2 3   2 5   0 
3
5



64 32 

V    32 
 
3
5 

256
V 

15
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi
sumbu-x adalah
256
 satuan volume.
25
b. Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar
mengelilingi sumbu-y, kalian harus nyatakan persamaan kurva y = f(x )=
4 -x2 menjadi persamaan x2 dalam variabel y. y = 4 – x2 → x2 = 4 - y
Volume benda putar tersebut adalah
4
1 

V    4  y dy   4 y  y 2 
2 0

0
4


1

V     4  4   4 2   0    16  8  8
2



Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah R diputar mengelilingi
sumbu-y adalah 8π satuan volume.
3.
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi kuerva
f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-x
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan │f(y)│ ≥ │g(y)│
pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-x. Seperti yang telah
dijelaskan di subbab sebelumnya, maka volume benda putar yang diperoleh
adalah sebagai berikut.
CONTOH
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik
f(x)=x-2, sumbu-y, garis x=2, dan y =-1 diputar 360° mengelilingi sumbu-x
Penyelesaian:
Karena daerah yang dimaksud ada di bawah sumbu-x, maka volume
nya adalah
2


V     1   x  2  dx
2
2
0
2
 

V    1  x 2  4 x  4 dx
0
2
 1

V     x 3  2 x 2  3 x 
 3
0
 8
  2
V      8  6   0  
  3
 3
Jadi, volume benda putar yang terjadi jika daerah S diputar mengelilingi
1
sumbu-x adalah 4  satuan volume.
6
4.
Menentukan Volume Benda Putar yang Dibatasi kuerva
f(x) dan g(x) jika Diputar Mengelilingi Sumbu-y
Jika daerah yang dibatasi oleh kurva f(y) dan g(y) dengan │f(y)│ ≥ │g(y)│
pada interval [a, b] diputar mengelilingi sumbu-y. Seperti yang telah
dijelaskan di subbab sebelumnya, maka volume benda putar yang diperoleh
adalah sebagai berikut.
CONTOH
Tentukanlah volume benda putar, jika daerah yang dibatasi oleh grafik
f x  
1
x  2 , sumbu-x, garis x = 0, dan garis x = 4 diputar 360°
4
mengelilingi sumbu-y.
Penyelesaian:
Untuk menentukan volume benda putar tersebut, tentukan batas-batas
pengintegralan, yaitu ordinat titik potong antara kurva y = f  x  
1
x  2,
4
dan garis x = 4.
Substitusi x = 4 ke persamaan y = f  x  
y= f  x  
1
x  2,
4
sehingga diperoleh,
1
 4  2  1 ,
4
Jadi, batas-batas pengintegralannya adalah y = -1 sampai y = 0. Oleh karena
daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu-y, maka kalian harus
1
menyatakan persamaan kurva y= x  2 , menjadi persamaan x dalam
4
1
variabel y. Dari y= x  2
4
1
x y2
4
x = 4y +8
Jadi, volume benda putar tersebut adalah
0


1
V    4 y  8  4 dy    4 y  8 dy
2
2
2
1
0
2

1



V    16 y 2  64 y  48 dy    16 y 2  64 y  64 dy
1
2
1
0
 16

 16

V    y 3  32 y 2  48 y     y 3  32 y 2  64 y 
3
 1
3
 2
  16

3
2
V   0     1  32 1  48   1 

 3
 16
  16

    13  32 12  64 1     2 3  32 22  64 2
 3

 3
 16
  16
  128

V      16      32  64    
 128  128 
 3
  3
  3

64
16
80
V   
3
3
3
Dengan demikian, volume benda putar yang terjadi jika daerah U diputar
mengelilingi sumbu-y adalah.
80
 satuan volume
3