fungsi transedental

Aplikasi  memudahkan manusia
membuat gambaran peristiwa alam
Fungsi eksponensial :
menerangkan perkembangan populasi
bakteri, peluruhan radioaktif
FUNGSI
TRANSEDENTAL
Fungsi hiperbolik :
memberi bentuk jaringan listrik
Fungsi invers trigonometri :
menentukan tempat duduk terbaik di
bioskop
2
Grafik y=lnx
A. FUNGSI EXPONENSIAL
A.1. Fungsi ex
Jika ln y = x maka y = ex
ln y = 1 maka nilai y dinamakan e
Jadi ln e = 1
Bila x = ln y, y>0 dan - < x < 
atau bisa ditulis y = ln-1x (invers dari ln
x)
Secara umum
ex = exp (x)
exp (x)=ln-1x
Bila a dan b bilangan rasional, maka
e  2.718281828459045
(i) ea . eb = ea+b
x merupakan bil.rasional
dan tak rasional
(ii) ea/eb = ea-b
3
(iii) e-a = 1/ea
4
1
Turunan ex
1. Turunkan ex
Y = ex maka ln y = x ln e
ln y = x  jika diturunkan
1
thd x
dy  dx
y
1 dy
dy
 1 atau dx
 y  ex
y dx
d x
Jadi
e  ex
dx
2. Tentukan e- 4x dx
Bentuk umum
Y = eu
u = f(x) dapat diturunkan
Maka
dy
du
 eu
dx
dx
5
6
Fungsi ax
Turunan ax
Bila a bilangan riil positif dan b = ln a,
maka
Diketahui ax = eu lna  dari rumus turunan
a = eb
a = eln a
(eln a)x = ex ln a
ax = ex ln a atau ln ax = x lna
fungsi exponensial
diperoleh
 
bil.riil
axay = ax+y
x
y
x-y
(ii) a /a = a
(iii) (ax)y = axy
(iv) (ab)x = axbx
(v) (a/b)x = ax/bx


d u
d u lna
a 
e
dx
dx
d
du
u lna   ln a.eu lna du
 e u lna
 a u lna
dx
dx
dx
Sifat-sifat ax  apabila a>0, b>0, x dan y
(i)
Jadi
7
 
d u
du
a  a u lna
dx
dx
8
2
1. Tentukan
2
dy
dari y  5e  x
dx
2. Tentukan


4
5
dy
dari y  x 4  2  5 x  2
dx
9
Penerapan Fungsi Eksponensial
10
Δy
dy
ky
kt
Δt
y
dy
  k dt

y
lny  kt  C
Misalnya pd kasus peramalan populasi
Penduduk diketahui : penambahan populasi y
jangka waktu t
y dan t  jumlah penduduk awal dan
panjangnya jangka waktu
Saat t=0  y = y0 akan menghasilkan C=ln y0,
y
 ky
t
sehingga :
ln y  ln y 0  kt
ln
bila k > 0, populasi meningkat
k < 0, populasi berkurang
y
 kt
y0
y
 ekt atau y  y 0 ekt
y0
11
12
3
Banyaknya bakteri dlm pembiakan pada
tengah hari ialah 10.000.
Setelah 2 jam, bertambah menjadi 40.000.
Berapa jumlah bakteri pada pukul 17.00?
B.1 FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma asli  ln
x
ln x 
1
 t dt, x  0
1
atau ln x = elog x
(logaritma dg bil. pokok e)
Turunan logaritma asli
d
1
ln x  , x  0
dx
x
jika u  f(x)  0, dan bila f dapat dideferensialkan,
d
1 d
ln u 
u
dx
u dx
13
Sifat logaritma asli
14
Grafik logaritma asli
Bila a dan b bilangan positif dan r bilangan
(iv) ln ar = r ln a
rasional
(v) ln e = 1
(i) ln 1 = 0
(vi) a = eln a
(ii) ln ab = ln a + ln b
(iii) ln a/b = ln a – ln b
untuk 0< x< 1, misal x =1/a, a>1, maka
ln 1/a = ln 1 – ln a = – ln a (negatif)
untuk x >1, misal x = b/a, b>a, maka
ln b/a = ln b – ln a (positif)
15
16
4
B.2 FUNGSI loga
1) Tentukan nilai x pada persamaan
e5-3x = 10 dengan mempergunakan
Jika a bilangan positif dan a ≠ 1, maka
y = loga x
x = ay
kaidah logaritma asli
Semula bilangan 10 dipakai sebagai bil.pokok
logaritma menjadi bias
Utk kalkulus (matematika lanjutan)
 bilangan e sbg bil.pokok logaritma
fungsi loge sbg f(x) = ex, adl lambang lain ln
logex = ln x
Apabila y = logax  x = ay, shg ln x = y ln a
17
Turunan fungsi loga
logax = ln x/ ln a
18
Turunan Perkalian Dua Fungsi
d
1
log a x 
dx
x lna
y=A.B
Fungsi ax dan xa
dy
dA
dB
B
A
dx
dx
dx
Andaikan a konstanta dan x variabel maka
fungsi f(x) = ax berbeda dengan g(x)= xa, karena
 
d x
a  a x ln a
dx
d a
x  a x a 1 dimana a bil.rasion al
dx
 
19
20
5
Contoh soal :
1) Tentukan turunan dari y = x 2102x
2) Tentukan turunan dari y = (3x+2).e3x+2
21
Contoh soal :
Turunan Pembagian Dua Fungsi
1) Tentukan turunan dari :
A
y
B
dy

dx
B
22
y
dA
dB
A
dx
dx
2
B
23
(3x 2  2 x  1)
sin(2x  1)
24
6
3
2) Tentukan turunan dari :
x 1
y3
, dimana x  1
x 1
3) Tentukan turunan dari y 
x 4 x2  1
(3x  2)5
25
26
7