40 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibahas pembentukan

BAB III
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas pembentukan model penyebaran penyakit
diabetes mellitus tanpa faktor genetik, penentukan titik ekuilibrium dan nilai
bilangan reproduksi dasar, analisa kestabilan di sekitar titik ekuilibrium, dan
simulasi model dengan menggunakan Maple 13.
3.1
Perumusan Masalah Nyata
Diabetes mellitus dapat menyerang semua lapisan umur dan sosial
ekonomi, hal ini dipengaruhi oleh gaya hidup masyarakat yang tidak sehat seperti
pola makan tidak seimbang, kurang aktivitas fisik, dan kebiasaan merokok
(Depkes RI, 2008). Berdasarkan hal tersebut penyebaran dari penyakit diabetes
mellitus tipe II adalah dari dalam masing-masing individu yang bergantung pada
gaya hidup yang dijalankannya. Faktor risiko dari diabetes melitus tipe II adalah
faktor kegemukan atau obesitas yang meliputi perubahan gaya hidup dari
tradisional ke gaya hidup barat, makan berlebihan, dan hidup santai atau kurang
aktif (Suyono, 2011).
Pencegahan terkena diabetes mellitus dapat dilakukan
beberapa cara seperti program penurunan berat badan, diet sehat untuk mencapai
berat badan ideal, latihan jasmani atau berolahraga secara teratur, dan
menghentikan merokok.
Penyakit diabetes mellitus tidak dapat disembuhkan
tetapi hanya dapat diatasi penyebarannya. Dalam penelitian ini akan dibahas
penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan
dengan perawatannya berupa pengobatan serta deteksi dini, melakukan perubahan
40
pola dan gaya hidup dengan pengaturan pola makan sesuai dengan status gizi dan
kebutuhan dengan komposisi nutrisi seimbang individual, dan berolahraga secara
teratur minimal 3-4 kali dalam seminggu.
Individu baru dapat masuk ke dalam populasi karena adanya rekrutmen
dan meninggalkan populasi karena kematian.
Populasi total adalah semua
individu yang rentan, individu laten yaitu individu yang memiliki kebiasaan
buruk, penurunan hormon insulin, dan peningkatan glukosa darah, individu yang
sudah terkena diabetes mellitus tetapi tidak mendapat perawatan, dan individu
yang sudah terkena diabetes mellitus tetapi mendapat perawatan. Laju rekrutmen
yang baru menambah populasi individu rentan dalam populasi. Gaya hidup tidak
sehat dari individu laten akan mempengaruhi gaya hidup dari individu rentan yang
menyebabkan individu rentan menjadi masuk ke populasi individu laten. Laju
pengaruh gaya hidup ini kemudian yang disebut laju kontak infektif.
Model matematika pada penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik
dengan perawatan, populasi manusia pada waktu
terbagi dalam
kelompok
yaitu susceptible (populasi rentan), exposed (populasi laten), kelas ILL (populasi
sakit) yang tidak mendapat perawatan (I), dan kelas ILL (populasi sakit) yang
mendapat perawatan (IT). Individu yang termasuk dalam subpopulasi susceptible
adalah individu belum terkena diabetes mellitus. Individu yang termasuk dalam
subpopulasi exposed adalah individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan
hormon insulin, dan peningkatan glukosa darah, sehingga besar kemungkinan
individu tersebut akan terkena dampak dan gejala dari diabetes mellitus. Individu
yang termasuk dalam subpopulasi ILL adalah individu yang sudah terkena
41
diabetes mellitus tetapi tidak mendapat perawatan. Individu yang termasuk dalam
subpopulasi ILL with treatment adalah individu yang sudah terkena diabetes
mellitus tetapi mendapat perawatan.
3.2
Formulasi Model Matematika
Untuk mempermudah dalam memodelkan penyebaran penyakit diabetes
mellitus khususnya pada penderita yang mengidap diabetes mellitus tanpa faktor
genetik dengan perawatan diperlukan asumsi-asumsi sebagai berikut:
1.
Individu yang telah sakit tidak dapat disembuhkan.
2.
Pengaruh migrasi diabaikan sehingga penyebaran penyakit bersifat
tertutup dalam suatu populasi.
3.
Tidak adanya faktor genetik yang mempengaruhi penyebaran penyakit
diabetes mellitus sehingga tergolong diabetes mellitus tipe II.
4.
Dengan adanya perawatan akan memperpanjang usia hidup penderita.
5.
Rekrutmen masuk kelas S (Susceptible).
6.
Individu yang memiliki kebiasaan buruk, penurunan hormon insulin,
dan peningkatan glukosa darah masuk kelas E (Exposed).
7.
Individu yang telah sakit dan tidak mendapatkan perawatan masuk
kelas I (ILL).
8.
Individu yang telah sakit dan mendapatkan perawatan masuk kelas IT
(ILL with Treatment).
9.
Terjadi kematian akibat penyakit diabetes mellitus baik penderita yang
mendapat perawatan atau tidak mendapat perawatan.
42
Berikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam
model penyakit diabetes mellitus disajikan dalam Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Variabel dan Parameter
Simbol
Definisi
Syarat
Satuan
Jumlah individu susceptible
individu
pada saat
Jumlah individu exposed pada
individu
saat
Jumlah individu sakit pada
individu
saat
Jumlah individu sakit dengan
individu
perawatan pada saat
Jumlah individu dalam
individu
populasi
Laju rekrutmen pada populasi
Laju kematian alami
Laju kontak infektif individu
yang rentan terhadap individu
yang laten
Laju perpindahan individu
laten terhadap individu sakit
43
tanpa perawatan
Laju perpindahan individu
laten terhadap individu sakit
dengan adanya perawatan
Laju kematian akibat penyakit
tanpa perawatan
Laju kematian akibat penyakit
dengan adanya perawatan
Berdasarkan asumsi-asumsi pada subbab
dapat dibentuk model
penyebaran penyakit diabetes mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan
sebagai berikut:
a.
Perubahan jumlah individu susceptible terhadap waktu
Pertambahan jumlah individu kelas susceptible dipengaruhi oleh
adanya pertambahan rekrutmen pada populasi
, pengurangan jumlah
individu yang dipengaruhi oleh kematian alami dari individu susceptible per
satuan waktu
, dan pengurangan kontak infektif pada individu
susceptible terhadap individu exposed
.
Berdasarkan hal di atas
sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
44
b.
Perubahan jumlah individu exposed terhadap waktu
Kontak infektif pada individu susceptible terhadap individu exposed
mempengaruhi pertambahan jumlah individu kelas exposed. Jumlah
individu yang mengalami kematian alami dari individu exposed per satuan
waktu
dan jumlah individu dari kelas exposed per satuan waktu
akan mempengaruhi pengurangan populasi exposed. Berdasarkan hal di
atas sehingga diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
c.
Perubahan jumlah individu sakit terhadap waktu
Jumlah individu exposed yang berubah menjadi individu sakit tanpa
perawatan per satuan waktu
sakit.
mempengaruhi pertambahan populasi
Sementara, kematian alami dan kematian akibat penyakit tanpa
perawatan dari individu sakit per satuan waktu
jumlah individu sakit.
akan mengurangi
Berdasarkan hal di atas sehingga diperoleh
persamaan diferensial sebagai berikut:
d.
Perubahan jumlah individu sakit dengan perawatan terhadap waktu
Berkurangnya kematian alami dan kematian akibat penyakit dengan
adanya perawatan per satuan waktu
namun bertambahnya
individu exposed yang kemudian menjadi individu sakit tetapi mendapatkan
perawatan per satuan waktu
mempengaruhi pertambahan jumlah
45
individu sakit dengan perawatan.
Berdasarkan hal di atas sehingga
diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut:
Berdasarkan asumsi-asumsi, variabel-variabel, parameter-parameter, dan
deskripsi di atas, dapat dibentuk diagram alir berikut:
Gambar 3. Diagram Alir Model Matematika Penyakit Diabetes Mellitus tanpa
Faktor Genetik dengan Perawatan
Berdasarkan Persamaan
maka penyebaran penyakit diabetes
mellitus dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial orde satu
sebagai berikut:
5
46
Adapun jumlah populasi total tidak konstan, ditunjukkan sebagai berikut:
dengan
3.3
.
Titik Ekuilibrium
Titik
̂ ̂ ̂ ̂ merupakan titik-titik ekuilibrium dari Sistem
memenuhi persamaan
5 jika
. Titik-titik ekuilibrium dari Sistem
5 disajikan dalam teorema berikut:
Teorema 3.3.1
i.
Jika
, maka Sistem
̂ ̂ ̂ ̂
ii.
Jika
5 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
.
, maka Sistem
5 memiliki titik ekuilibrium endemik
dengan
47
yaitu
Bukti
Sistem
5 akan mencapai titik ekuilibrium pada saat
Maka Sistem
Dari Persamaan
5 dapat ditulis:
diperoleh
̂
̂
̂̂
̂(
̂
Dari Persamaan
̂̂
̂)
̂)
(
diperoleh
̂̂
̂
̂
̂
48
̂
.
Jika
̂
diperoleh
̂
Dari Persamaan
diperoleh
̂
̂
̂
̂
̂
Dari Persamaan
̂
diperoleh
̂
̂
̂
̂
̂
̂
(i) Substitusikan Persamaan
pada Persamaan
̂
̂
5
diperoleh
̂)
(
(
)
̂
Selanjutnya Persamaan
disubstitusikan pada Persamaan
diperoleh
̂
̂
̂
49
̂
Persamaan
5 diperoleh
disubstitusikan pada Persamaan
̂
̂
̂
̂
Berdasarkan penyelesaian di atas diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit
pada Persamaan
.
dan
Jadi terbukti jika
maka Sistem
̂ ̂ ̂ ̂
ekuilibrium bebas penyakit yaitu
(ii) Berdasarkan Persamaan
, jika
(
(
pada Persamaan
)
(
)
)
(
50
5
memiliki titik
.
(disimbolkan
Selanjutnya substitusi Persamaan
( ̂ ̂ ̂ ̂)
yaitu
)
) maka diperoleh
diperoleh
Persamaan
disubstitusikan pada Persamaan
(
)
(
(
Substitusi Persamaan
diperoleh
)
)
pada Persamaan
(
diperoleh
)
(
(
51
)
)
Berdasarkan Persamaan
maka
,
5
Sistem
,
memiliki
, dan
titik
, terbukti jika
ekuilibrium
endemik
yaitu
dengan
3.4
.
Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan dari individu menjadi
terinfeksi yang disebabkan oleh individu terinfeksi primer. Jika
maka
penyakit tidak akan menyerang populasi dan tidak terdapat kejadian epidemik,
dan jika
maka penyakit sangat mungkin untuk menyebar.
Penentuan bilangan reproduksi dasar
generation matrix dari Sistem
adalah kelas exposed
5 .
, kelas ILL
menggunakan metode next
Pada model ini, untuk kelas terinfeksi
, dan kelas ILL dengan perawatan
maka persamaan yang digunakan adalah Persamaan
dapat dituliskan sebagai berikut:
52
dan
,
yang
maka diperoleh
[
]
*
+
Hasil linearisasi disekitar titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu
( ̂ ̂ ̂ ̂)
pada
[
Selanjutnya akan dicari
dan
]
adalah
*
+
didapatkan
|
|
|
|
[
|
|
| |
|
|
|
|
*
|
|
|
|
|
|
]
+
[
]
53
Kemudian akan dicari next generation matrix
dengan matriks
dengan cara mengalikan matriks
dan diperoleh
[
]
[
[
]
]
Bilangan reproduksi dasar
matriks . Jadi, nilai
3.5
dari Sistem
diperoleh dari nilai eigen terbesar dari
5 adalah
Kestabilan Titik Ekuilibrium
Pada subbab ini, akan dilakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium dari
Sistem
5 . Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem
5 disajikan dalam
teorema berikut.
Teorema 3.5.1
i.
Jika
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
stabil asimtotik lokal.
54
( ̂ ̂ ̂ ̂)
ii.
Jika
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
( ̂ ̂ ̂ ̂)
tidak stabil.
Bukti
Akan dicari nilai eigen pada titik ekuilibrium bebas penyakit dengan
mendefinisikan Sistem
5 sebagai berikut:
̇
̇
5
̇
̇
5 diperoleh dengan menggunakan
Pendekatan linear untuk Sistem
ekspansi Taylor di sekitar titik ekuilibrium
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂ ̂ ̂ ̂ yaitu:
̂)
55
Pendekatan linear untuk Sistem
adalah
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂ )(
̂)
dengan
dan
merupakan bagian nonlinear yang selanjutnya dapat
diabaikan karena nilai
dan
mendekati nol.
Sehingga Sistem
dapat dituliskan sebagai matriks seperti berikut:
̇
̇
[ ]
̇
̇
[
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
]
̂,
Misalkan
dari Sistem
̇
̇
[ ]
̇
̇
[
̂,
̂
̂
̂ ]
̂
[
̂, dan
̂ , maka
diperoleh
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
( ̂ ̂ ̂ ̂)
]
56
̇
̇
̇
[ ̇ ]
Sistem
merupakan linearisasi Sistem
matriks Jacobian pada titik ekuilibrium
5 , sehingga diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂
dari Sistem
5
sebagai berikut:
[
]
[
]
Akan ditunjukkan bahwa jika
( ̂ ̂ ̂ ̂)
, titik ekuilibrium bebas penyakit
stabil asimtotik lokal.
Substitusi titik ekuilibrium bebas penyakit
ke Persamaan
( ̂ ̂ ̂ ̂)
akan diperoleh matriks Jacobian di sekitar titik ekuilibrium
sebagai berikut:
[
]
57
Nilai eigen dari Persamaan
, dengan
dapat dicari dengan menyelesaikan
adalah nilai eigen dan
adalah matriks identitas,
sehingga diperoleh
|
|
*
+
|
|
[
]
|
|
|
|
|
(
Berdasarkan Persamaan
|
)
, diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
58
(
)
Sehingga didapatkan
Jelas
,
, dan
bernilai negatif, karena ,
Selanjutnya berdasarkan yang diketahui bahwa
59
, dan
bernilai positif.
, maka
bernilai negatif.
Hal ini menunjukkan bahwa semua nilai eigen dari Persamaan
negatif, sehingga titik ekuilibrium bebas penyakit
bernilai
( ̂ ̂ ̂ ̂)
stabil asimtotik lokal.
Jika diketahui
, maka diperoleh nilai eigen dari
adalah positif.
Berdasarkan hal tersebut, maka titik ekuilibrium bebas penyakit
( ̂ ̂ ̂ ̂)
tidak stabil.
Teorema 3.5.2
Jika
maka titik ekuilibrium endemik
stabil
asimtotik lokal dengan
Bukti
Substitusi titik ekuilibrium endemik
(
)
60
ke Persamaan
dan diperoleh
(
(
)
(
(
)
)
)
[
]
Selanjutnya menentukan
dengan
adalah nilai eigen
dan adalah matriks identitas untuk mencari nilai eigen sebagai berikut:
(
|
)
(
)
(
(
)
|
*
)
+
|
|
[
|
]
(
(
)
(
(
)
)
|
)
|
|
|
|
(
(
)
(
(
)
|
|
(
(
61
)
|
)
|
)
)
(
(
)
)
|
|
(((
((
(
)(
)
)
)))
Berdasarkan Persamaan
Jelas nilai eigen dari
)
diperoleh nilai eigen sebagai berikut:
dan
bernilai negatif karena
dan
bernilai
positif. Untuk nilai eigen yang lainnya sebagai berikut:
(((
(
(
((
)
)
)
)
((
(
)
)(
)))
)
)
(
)
Untuk nilai eigen yang lainnya, akan digunakan kriteria Routh-Hurwitz
untuk melihat sifat akar-akar karakteristiknya.
Dari Persamaan
diperoleh
62
dengan
Berdasarkan
Persamaan
kriteria
Routh-Hurwitz,
akar-akar
karakteristik
dari
akan memiliki bagian real bernilai negatif jika semua elemen
kolom pertama bernilai sama (positif semua atau negatif semua). Oleh karena
, maka haruslah
diketahui
, maka
dan
dan
Selanjutnya
.
Akan dibuktikan bahwa jika
Jika
.
, maka
, maka terbukti bahwa
63
.
.
Diperoleh semua nilai eigen dari Persamaan
sehingga terbukti bahwa jika
bernilai negatif,
, maka titik ekuilibrium endemik
(
)
stabil asimtotik lokal.
3.6
Simulasi Model
Pada subbab ini akan dibahas mengenai simulasi dalam keadaan bebas
penyakit dan keadaan terjangkit penyakit untuk memberikan gambaran lebih jelas
mengenai model matematika untuk masalah penyebaran penyakit diabetes
mellitus tanpa faktor genetik dengan perawatan dengan menggunakan parameterparameter dan nilai awal tertentu.
Jumlah penduduk di Kota Yogyakarta pada tahun 2014 berjumlah 413936
jiwa. Penderita diabetes mellitus tipe II untuk di Kota Yogyakarta berjumlah
2891 jiwa dan 1816 jiwa diantaranya mendapatkan perawatan (Profil Kesehatan
Kota Yogyakarta, 2015).
Berdasarkan permasalahan nyata yang terjadi di Kota
64
5
Yogyakarta diperoleh nilai awal untuk
5
. Nilai
5
menyatakan laju kematian alami individu.
Menurut proyeksi penduduk Indonesia tahun 2013, angka harapan hidup di
Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta adalah
5. Nilai
tahun, sehingga diperoleh
menyatakan laju rekrutmen dalam populasi. Menurut
profil kesehatan Kota Yogyakarta tahun 2015, tingkat kelahiran per 1000
kelahiran adalah
55
, sehingga diperoleh
.
Diasumsikan laju perpindahan individu yang laten menjadi sakit adalah 20
tahun, laju kematian karena penyakit diabetes adalah 60 tahun, dan laju kematian
karena penyakit diabetes adanya pengaruh perawatan adalah 62 tahun, maka
diperoleh
5
Parameter
menyatakan laju kontak infektif individu yang rentan menjadi
individu yang laten. Nilai parameter ini dapat bervariasi. Diberikan simulasi
model yang akan menunjukkan pengaruh dari variasi nilai parameter
penyebaran penyakit diabetes mellitus.
Berikut simulasi untuk
terhadap
dan
.
1.
Simulasi untuk
Diambil nilai
5, sehingga mendapatkan nilai
nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan
65
. Jika
maka diperoleh nilai
.
Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut,
diperoleh simulasi
yang ditunjukkan pada Gambar 4. sebagai berikut:
Gambar 4. Grafik Simulasi untuk
Pada Gambar 4 terlihat bahwa pada saat
sebelum
populasi kelas
populasi kelas
(Exposed), populasi kelas
(Susceptible), populasi kelas
dan populasi kelas
penyakit
sampai kurang lebih
(Susceptible) mengalami penurunan dan
with treatment) mengalami peningkatan.
populasi kelas
5
dengan
(ILL), dan populasi kelas
(ILL
Seiring dengan berjalannya waktu
(Exposed), populasi kelas (ILL),
(ILL with treatment) menuju titik ekuilibrium bebas
5
. Ini berarti jumlah individu yang masuk
di masing-masing kelas akan berkurang dan bahkan menghilang dari populasi.
66
2.
Simulasi untuk
5, sehingga mendapatkan nilai
Diambil nilai
nilai-nilai parameter disubstitusikan pada Persamaan
.
diperoleh simulasi
. Jika
maka diperoleh nilai
Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut,
yang ditunjukkan pada Gambar 5 sebagai berikut:
Gambar 5. Grafik Simulasi untuk
dengan
5.
Selanjutnya diambil nilai
disubstitusikan pada Persamaan
Jika nilai-nilai parameter
maka diperoleh nilai
Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi
yang ditunjukkan pada Gambar 6 sebagai berikut:
67
5
.
Gambar 6. Grafik Simulasi untuk
dengan
5.
Selanjutnya diambil nilai
disubstitusikan pada Persamaan
Jika nilai-nilai parameter
maka diperoleh nilai
Dari nilai awal dan nilai parameter-parameter tersebut, diperoleh simulasi
yang ditunjukkan pada Gambar 7 sebagai berikut:
68
5
5
.
5 dengan
Gambar 7. Grafik Simulasi untuk
5
Berdasarkan Gambar 5, Gambar 6, dan Gambar 7 ditunjukkan bahwa
populasi kelas
(Susceptible) semakin menurun kemudian meningkat kembali
menuju titik ekuilibrium dan populasi kelas
(ILL with treatment) dari
meningkat kemudian menurun menuju titik ekuilibrium yang artinya jumlah
individu yang sakit dengan adanya perawatan akan tetap ada dalam populasi.
Populasi kelas
(Exposed) mengalami penurunan tetapi jumlah individu laten
akan ada dalam populasi karena terjadi kontak infektif antara populasi
(Susceptible) dan
(Exposed). Populasi kelas
(ILL) semakin menurun menuju
titik ekuilibrium. Berdasarkan hal tersebut menunjukkan bahwa jika parameter
yang terbentuk memenuhi
, maka penyakit diabetes mellitus akan menjadi
endemik.
69
Nilai numerik
5
5 adalah
untuk nilai
.
5 diperoleh
Untuk
5
5
.
5 diperoleh
Untuk
5
5
.
Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 5, Gambar 6, dan
Gambar 7, terlihat bahwa saat laju kontak infektif individu yang rentan menjadi
individu yang laten
meningkat maka populasi individu rentan semakin
menurun, sementara populasi individu laten, sakit, dan sakit dengan adanya
perawatan semakin meningkat sebanding dengan nilai parameter
parameter
.
yang semakin meningkat menunjukkan bahwa solusi Sistem
semakin lama akan menuju titik ekuilibrium
, dan nilai
Nilai
5
semakin besar. Hal
ini berarti jika laju kontak infektif individu yang rentan menjadi individu yang
laten semakin besar, maka berakibat semakin besar tingkat penyebaran penyakit
diabetes mellitus.
Diasumsikan laju perpindahan individu yang laten menjadi sakit tanpa
perawatan adalah
5 tahun, maka diperoleh
5. Berikut simulasi model untuk
pengaruh dari perubahan nilai parameter
70
:
dan diambil nilai
yang akan menunjukkan
Gambar 8. Grafik Simulasi untuk
Nilai numerik
dengan
5 dan nilai
untuk nilai
5
5 dan
adalah
.
Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 5 dan Gambar 8
terlihat bahwa saat laju perpindahan individu laten terhadap individu sakit tanpa
perawatan (
meningkat maka populasi individu rentan dan populasi individu
laten tidak ada peningkatan maupun penurunan, sedangkan untuk populasi
individu sakit semakin meningkat dan populasi individu sakit dengan adanya
perawatan semakin menurun. Laju perpindahan individu laten terhadap individu
71
sakit tanpa perawatan ini tidak mempengaruhi perubahan kestabilan titik
ekuilibrium endemik
, namun hanya mempengaruhi perilaku solusi Sistem
5 dalam menuju titik ekuilibrium endemik
. Perubahan parameter
semakin meningkat menunjukkan bahwa solusi Sistem
menuju titik ekuilibrium
yang
5 semakin lama akan
dan tidak ada perubahan terhadap nilai
yang
artinya tidak berpengaruh terhadap tingkat penyebaran penyakit diabetes mellitus.
72