BAB I - Lukman8

BAB 5
POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES
Leonhard Euler dilahirkan di Basel
(Switzerland), pada tanggal 15
April 1707 di St Petersburg
(Rusia) .Keluarga Leonhard Euler
pindah ke Riehen, daerah yang
tidak jauh dari Basel, ketika
Leonhard berumur satu tahun dan
di tempat itu dia dibesarkan.
Leonhard dikirim sekolah ke Basel
dan tinggal bersama nenek nya,
hal itu dikarenakan bapak Euler
ingin putra nya menjadi
pendeta.
Sekolah tersebut tidak maju dan Euler pun tidak
belajar matematika sama sekali dari sekolah Namun
minatnya akan matematika didukung oleh pengajaran bapak
nya, Euler membaca buku matematika yang ia miliki dan
mengambil beberapa pelajaran pribadi. Leonhard Euler lulus
dari Universitas Basel tahun 1724 di mana ia belajar
theologie dan Ibrani. Selama di sekolah, ia diles-privatkan
pelajaran matematika kepada Johann Bernoulli.
Euler menyelesaikan studi nya di Universitas Basel
pada tahun 1726. Ia telah belajar banyak mathematical
selama bekerja di Basel. Pekerjaan ini adalah dari Varignon,
Descartes, Newton, Galileo, von Schooten, Jacob Bernoulli,
Hermann, Taylor dan Wallis.Euler menduduki suatu posisi
di Akademi Ilmu pengetahuan di St Petersburg, Rusia. Pada
7 Januari 1734, Euler menikah dengan Katharina Gsell,
putri seorang pelukis dari St Petersburg. Euler mengklaim
bahwa sebagian penemuan matematika terbesarnya terjadi
saat seorang bayi dalam pelukannya dengan anak-anak lain
berkeluyuran di kakinya. Artikel dan buku mekanika, yang
Postulat Kesejajaran Euclides /
95
secara ekstensif memperkenalkan dinamika newtonian dalam
wujud matematika analisa memulai perjalanan Euler untuk
bekerja di bidang matematika.Euler menulis sekitar 380
artikel, diantaranya menulis buku kalkulus, kalkulasi
tentang garis edar keplanetan, artileri dan balistik, analisa,
pembuatan kapal dan ilmu pelayaran, gerakan dari bulan,
memberi kuliah kalkulus. Euler meninggal pada 18
September 1783, di St Petersburg ( Rusia)
A. Kesejajaran Euclid
 Euclides,
seorang
ahli
logika,
masih
mendasarkan pada gambar geometri dalam
pembuktiannya.
 geometri Euclides adalah satu-satunya teori
ruang
yang
mungkin
dan
betul-betul
menggambarkan dunia fisik. Tidak terpikir oleh
mereka bahwa gambar geometri mungkin dapat
menyesatkan mereka. Tetapi
 kedudukan geometri Euclides yang mutlak dan
unik ini dibantah pada awal abad 19 oleh
penemu geometri non-Euclides, para ahli
matematika seolah terguncang.
 Revolusi dalam matematika telah terjadi, yang
dapat disamakan dengan revolusi Copernicus
dalam ilmu astronomi atau revolusi Darwin
dalam biologi.
 Kegagalan
dalam
setiap
usaha
untuk
membuktikan postulat kesejajaran membawa
pada suatu kenyataan bahwa postulat
kesejajaran tidak pasti, teori Euclides tidak
keramat, dan teori geometri yang lain (non
Euclides) mungkin benar.
96 /Postulat Kesejajaran Euclides
B. Struktur Geometri Bidang Euclides
Postulat kesejajaran Euclides
Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal
sedemikian hingga membuat jumlah sudut dalam sepihak
kurang dari 1800, maka kedua garis itu berpotongan pada
pihak yang jumlah sudut dalam sepihaknya kurang dari 1800
Kita mulai dengan mendaftar sejumlah asumsi atau
postulat geometri Euclides.
I. Barang-barang yang sama dengan sesuatu barang,
satu sama lain adalah sama.
II. Jika barang sama ditambah dengan barang yang
sama, jumlahnya sama.
III. Jika barang sama dikurangi dengan barang yang
sama, selisihnya sama.
IV. Keseluruhan lebih besar dari bagiannya.
V. Bentuk geometri dapat dipindah tanpa mengubah
ukuran dan bentuknya.
VI. Setiap sudut mempunyai garis bagi.
VII.
Setiap segmen mempunyai satu dan hanya
satu titik tengah.
VIII.
Dua buah titik terletak pada satu dan hanya
satu garis.
IX. Sebuah segmen dapat diperpanjang sehingga sama
dengan segmen tertentu.
X. Sebuah lingkaran dapat digambar jika diketahui
pusat dan jari-jarinya.
XI. Semua sudut siku-siku besarnya sama….
Dari postulat-postulat di atas dapat disimpulkan
sejumlah teorema dasar, di antaranya :
1. Sudut-sudut yang bertolak belakang besarnya
sama.
Postulat Kesejajaran Euclides /
97
2. Sifat-sifat kongruensi segitiga (ss-sd-ss, sd-ss-sd, ssss-ss)
3. Teorema tentang kesamaan sudut-sudut alas
segitiga samakaki dan konversnya.
4. Adanya satu garis yang tegak lurus pada suatu
garis melalui satu titik pada garis tersebut.
5. Adanya garis tegak lurus pada garis tertentu
melalui titik di luar garis tersebut.
6. Pembuatan sudut yang sama dengan sudut tertentu
pada titik tertentu dengan menetapkan titik sudut
dan sisinya.
7. Pembuatan segitiga yang kongruen dengan segitiga
tertentu dengan menetapkan sisi yang sama dengan
sisi dari segitiga tertentu tersebut.
Sekarang kita dapat membuktikan teorema
sudut luar, sebagai kunci pengembangan selanjutnya.
Teorema 5.1 (Teorema sudut luar)
Sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut
dalam yang tidak bersisian dengan sudut luar tersebut.
A
F
E
B
.
M
1
2
.
C
D
.
H
98 /Postulat Kesejajaran Euclides
Bukti:
Misalkan diketahui segitiga ABC dan D pada
perpanjangan BC .
Pertama, kita tunjukkan bahwa sudut luar  ACD
>  A. Misalkan E titik tengah AC , dan BE
diperpanjang melalui E sedemikian hingga BE = EF.
Maka AE = EC, BE = EF, dan  AEB =  CEF
(sudut bertolak belakang besarnya sama).
Jadi AEB  CEF (ss – sd – ss), dan BAE = FCE
(sudut yang bersesuaian pada segitiga yang
kongruen adalah sama). Karena ACD > FCE
(keseluruhan lebih besar dari bagiannya), kita dapat
menyimpulkan ACD > BAE = A.
Untuk menunjukkan bahwa  ACD >  B,
perpanjang AC melalui C ke H, sehingga
membentuk BCH. Selanjutnya tunjukkan BCH >
B gunakan cara seperti bagian pertama bukti di
atas :
Misalkan M titik tengah BC , perpanjang AM
melalui M sedemikian hingga AM = MN, dan
seterusnya. Untuk melengkapi bukti tersebut,
perhatikan bahwa BCH dan ACD adalah sudut
bertolak belakang, berarti besarnya sama.
Teorema 5.2
Jika dua garis dipotong oleh sebuah garis transversal
sedemikian hingga membentuk sepasang sudut
dalam berseberangan yang sama, maka kedua garis
tersebut sejajar.
A
k
C
1
C
2
2
B
A
k
1
m
m
B
Postulat Kesejajaran Euclides /
99
Bukti:
Misalkan sebuah garis transversal memotong dua
garis k dan m di titik A dan B dan membentuk
sepasang sudut dalam berseberangan 1 dan 2
yang sama. Andaikan k dan m tidak sejajar. Maka
keduanya berpotongan di titik C, dan membentuk
ABC. Titik C terletak di sebelah kiri AB atau di
sebelah kanannya. Dalam hal ini sudut luar ABC
sama dengan sudut dalam yang tidak bersisian
dengannya ( 1 =  2). Hal ini kontradiksi dengan
Teorema 1. Jadi pengandaian salah, yang benar l dan
m sejajar.
Akibat dari teorema 5.3 ini ada 3 yaitu:
Akibat 5.1
Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama
adalah sejajar.
Akibat 5.2
Hanya ada satu garis tegak lurus pada garis tertentu
yang melalui satu titik di luar garis tersebut.
Akibat 5.3
Jika titik P tidak ada garis k, maka ada sedikitnya satu
garis lurus yang melalui P yang sejajar k.
P
Q
Bukti:
100 /Postulat Kesejajaran Euclides
m
k
Dari P ditarik garis tegak lurus k dengan titik kakinya
Q, kemudian buat garis m yang melalui P dan tegak
lurus PQ . Maka m sejajar dengan k (sesuai dengan
akibat 1 teorema 2)
Teorema 5.3:
Jumlah dua sudut segitiga kurang dari 1800.
A
C
B
D
Bukti:
Misalkan diketahui ABC. Akan kita tunjukkan
bahwa A + B < 1800. Perpanjang CB melalui B ke
D. Maka ABD adalah sudut luar ABC.
Menurut Teorema 5.1 : ABD > A. Tetapi
ABD = 1800 - B
Dengan demikian berarti :
1800 - B > A
atau
1800 - A + B
Jadi : A + B < 1800 (teorema terbukti)
C. Pengganti postulat kesejajaran Euclides
Postulat Playfair.
Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang
diketahui yang melalui sebuah titik di luar garis yang
diketahui.
Postulat Kesejajaran Euclides /
101



Postulat Playfair membahas tentang kesejajaran
garis dan postulat kesejajaran Euclides tentang
garis-garis yang berpotongan.
Postulat ke lima dan postulat Postulat Playfair.
keduanya mempunyai peran yang sama dalam
perkembangan geometri.
Kedua postulat tersebut ekivalen secara logis atau
hanya ekivalen. Ini berarti, jika postulat Playfair
diambil sebagai postulat (bersama dengan
semua postulat Euclides kecuali postulat
kesejajaran Euclides), maka postulat kesejajaran
Euclides dapat disimpulkan sebagai teorema;
dan sebaliknya, jika postulat kesejajaran
Euclides diambil sebagai postulat (bersama
dengan semua postulat Euclides kecuali postulat
kesejajaran Euclides), maka postulat Playfair
dapat disimpulan sebagai teorema.
D. Ekivalensi Postulat Kesejajaran Euclides dengan
Postulat Playfair
Pertama,
 Kita asumsikan postulat kesejajaran Euclides
dan kita simpulkan menjadi postulat Playfair.
 Jika diketahui garis k dan titik P di luar k. Akan
kita tunjukkan hanya ada satu garis yang
melalui P sejajar k.
P
2 1
Q
102 /Postulat Kesejajaran Euclides
m
n
k

Kita tahu bahwa ada garis yang melalui P dan
sejajar k, dan kita tahu bagaimana cara
membuatnya (lihat akibat 3 teorema 5.2). Dari P
ditarik garis tegak lurus k dengan titik kaki di Q,
dan melalui P dibuat garis m tegak lurus PQ .

Maka m // k.
Sekarang, misalkan n sebarang garis yang
melalui P, dan n  m. akan tunjukkan n
memotong k. misalkan  1 dan 2 adalah
sudut-sudut yang dibentuk oleh garis n dan
PQ . Maka 1 bukan sudut siku-siku, karena
jika 1 siku-siku maka n dan m berhimpit, hal
ini kontradiksi dengan asumsi. Jadi 1 atau 2
adalah sudut lancip, misalkan 1 yang lancip.
Kesimpulan
Garis k dan n dipotong oleh garis transversal PQ
sehingga membentuk sudut lancip 1 dan sebuah
sudut siku-siku, yang keduanya merupakan sudut
dalam sepihak dari garis transversal. Karena jumlah
kedua sudut ini kurang dari 1800, sesuai dengan
postulat kesejajaran Euclides, kedua garis n dan k
akan berpotongan. Jadi m adalah satu-satunya garis
yang melalui P sejajar k, yang berarti kita dapat
menyimpulkan postulat Playfair dari postulat
kesejajaran Euclides.
Kedua,
 Kita asumsikan postulat Playfair, dan kita
simpulkan
menjadi
postulat
kesejajaran
Euclides.
Postulat Kesejajaran Euclides /
103
R
P
.
E
2
m
1
k


Q
Misalkan garis k, m dipotong oleh sebuah garis
transversal di Q, P dan membentuk sepasang
sudut dalam sepihak 1 dan 2 yang
jumlahnya kurang dari 1800. Jadi :
1 + 2 < 1800 …………… (1)
Misalkan  3 adalah suplemen dari  1,
Maka :
1 + 3 = 1800 ………(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh :
2 < 3 ……………..(3)
Pada titik P buatlah  QPR yang sama dan
berseberangan dalam dengan 3. Maka 2 <
QPR, jadi RP tidak berimpit dengan garis m

(berbeda dengan m). Menurut teorema 2, RP //
k. Sesuai dengan postulat Playfair, m tidak
sejajar dengan k ; oleh karena itu m dan k
berpotongan.
Misalkan m dan k berpotongan pada pihak yang
berlawanan dengan
PQ
dari 1 dan 2,
misalkan di titik E. Maka 2 adalah sudut luar
PQE; oleh karena itu 2 < 3, kontradiksi
dengan (3). Akibatnya permisalan salah, jadi m
dan l berpotongan pada pihak
PQ
yang
memuat 1 dan 2. Jadi postulat kesejajaran
Euclides dapat diperoleh dari postulat Playfair,
yang berarti kedua postulat ekivalen.
104 /Postulat Kesejajaran Euclides
E. Peran postulat kesejajaran Euclides
Dengan mengasumsikan postulat kesejajaran Euclides
(atau postulat Playfair yang ekivalen), beberapa akibat
penting berikut dapat ditetapkan :
a. Jika dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis
maka terbentuk sepasang sudut berseberangan
yang sama.
b. Jumlah sudut-sudut sudut segitiga adalah 1800
c. Sisi-sisi yang berhadapan suatu jajargenjang
adalah sama.
d. Garis yang sejajar di mana-mana jaraknya sama.
e. Adanya persegipanjang dan persegi.
f. Teori luas yang terkenal dinyatakan dengan
satuan persegi.
g. Teori segitiga yang sebangun, yang meliputi
adanya gambar dengan sebarang ukuran yang
sebangun dengan gambar tertentu.
Postulat kesejajaran Euclides merupakan
sumber dari beberapa akibat yang penting. Tanpa
postulat kesejajaran Euclides kita tidak akan
mempunyai teori-teori terkenal tentang bidang,
kesebangunan dan hubungan Phythagoras. Tanpa
postulat kesejajaran Euclides, geometri di sekolah
dianggap merupakan materi yang membosankan.
Postulat kesejajaran Euclides boleh dianggap tidak
penting ketika kita mempelajari geometri di sekolah
menengah.
F. Pembuktian
Proclus
Terhadap
Postulat
Kesejajaran Euclides
Postulat Kesejajaran Euclides /
105
Proclus (410 – 485) memberikan bukti terhadap
postulat kesejajaran Euclides sebagai berikut: Kita
asumsikan postulat Euclides kecuali postulat
kesejajaran, dan kita buktikan menjadi postulat
Playfair.
Misalkan P adalah titik yang tidak terletak pada
garis k (lihat gambar). Kita buat garis m melalui P dan
sejajar k.
Misalkan : PQ  k di Q dan m  PQ di P.
P
X
m
Z
n
Q
Y
k
Andaikan : ada garis lain n yang melalui P dan
sejajar k.
Maka n membentuk sudut lancip dengan PQ yang
terletak (misalnya) di sebelah kanan
PQ yang
seluruhnya termuat pada daerah yang dibatasi oleh
k, m dan PQ .
Misal X sebarang titik pada garis m yang terletak di
sebelah kanan P, XY  k di Y, dan XY memotong
n di Z, maka XY > XZ. Misalkan X digerakkan terus
menerus menjauhi P sepanjang garis m. maka XZ
akan bertambah panjang sampai tak terbatas,
karena XZ paling sedikit panjangnya sama dengan
segmen garis dari X yang tegak lurus n.
106 /Postulat Kesejajaran Euclides
Jadi XY juga bertambah panjang sampai tak
terbatas.
Tetapi jarak antara dua garis yang sejajar harus
terbatas. Dengan demikian terjadi kontradiksi, yang
berarti pengandaian salah. Jadi, m adalah satusatunya garis yang melalui P dan sejajar k.
Dengan demikian, postulat Playfair berlaku,
demikian juga postulat yang ekivalen, yaitu postulat
kesejajaran Euclides.
Pada proses pembuktian di atas, dilibatkan tiga
asumsi, yaitu :
(A) Jika dua garis berpotongan, jarak suatu titik di suatu
garis ke suatu titik pada garis lainnya akan bertambah
panjang sampai tak terbatas, jika titik tersebut bergerak
menjauhi titik potong kedua garis tersebut.
(B) Segmen garis terpendek yang menghubungkan suatu
titik di luar suatu garis adalah segmen garis yang tegak
lurus pada garis tersebut.
(C) Jarak antara dua garis yang sejajar adalah terbatas.
(A) dan (B) dapat ditetapkan tanpa bersumber pada
postulat kesejajaran Euclides. Jadi hal yang terpenting
dari pembuktian di atas adalah asumsi (C). Berarti
Proclus dengan diam-diam menganggap (C) sebagai
asumsi tambahan. Kita namakan (C) sebagai asumsi
tersembunyi dari postulat Proclus.
Jadi, kita bisa menyatakan bahwa : Postulat
Proclus ekivalen dengan postulat kesejajaran Euclides.
Karena, postulat kesejajaran Euclides berarti jarak
antara dua garis yang sejajar adalan konstan, dan oleh
karena itu terbatas. Sebaliknya, sesuai dengan argumen
Proclus bahwa dari postulat Proclus dapat diperoleh
postulat kesejajaran Euclides.
Postulat Kesejajaran Euclides /
107
Jadi, Proclus hanya mengganti postulat
kesejajaran Euclides dengan postulat yang ekivalen,
tidak menetapkan validitas (Kesahihan) postulat
kesejajaran Euclides.
G. Penyelesaian Wallis
John Wallis (1616 – 1703) mengganti postulat
kesejajaran Euclides dengan postulat berikut :
Akan ada suatu segitiga dengan satu sisinya
ditetapkan sebarang
yang sebangun dengan
segitiga tertentu.
Dari sini, postulat
Playfair dapat disimpulkan sebagai berikut:
Misal P titik di luar k. Dari
P ditarik PQ  k, yang
memotong k di Q, dan
dari P tarik garis m 
PQ .
John Wallis (1616 – 1703)
n
n
P
S
P
m
R
S
m
R
T
k
Q
k
Q
Misalkan n adalah garis yang lain dengan m yang
melalui P. Akan ditunjukkan bahwa n memotong k.
108 /Postulat Kesejajaran Euclides
Misalkan R adalah sebarang titik pada n dan berada
pada daerah antara k dan m. Dari R tarik RS  PQ ,
yang memotong PQ di S.
Dengan menggunakan postulat Wallis, kita bisa
mendapatkan PQT sedemikian hingga PQT =
PSR, dan PR berimpit dengan PT . Jadi T pada n.
Selanjutnya, PQT = PSR, jadi PQT adalah sikusiku.
Karena k. PQ di Q, berarti T pada k.
Oleh karena itu, n memotong k pada T, dan berarti
hanya ada satu garis yang melalui P dan sejajar k.
Jelaslah bahwa dari postulat Wallis dapat
diperoleh postulat kesejajaran Euclides.
Dan
sebagaimana yang telah kita selidiki, kebalikannya
juga berlaku. Jadi postulat Wallis secara logis ekivalen
dengan postulat kesejajaran Euclides. Wallis
nampaknya merasa bahwa postulatnya lebih pasti, dan
juga merasa bahwa dia telah menyelesaikan masalah
postulat kesejajaran Euclides selama ini.
Adakah postulat Wallis lebih jelas dan lebih
sederhana dari postulat kesejajaran Euclides ?
R
C
S
A
B
P
.
.T
Q
Postulat Kesejajaran Euclides /
109
Jika ABC dan segmen dari PQ diketahui (Gambar
2.9), maka ada titik R sedemikian hingga PQR
sebangun dengan ABC. Bagaimana kita bisa
mendapatkan titik R? Pada sisi PQ kita bisa membuat
QPS = A dan PQT = B.
Maka R akan diperoleh dari perpotongan antara PS
dan QT . Akibatnya, sesuai dengan postulat Wallis,
maka PS dan QT berpotongan.
Ingat bahwa A + B < 1800 (sesuai dengan teorema
3).
Berarti :
 P + Q < 1800.
Jadi postulat Wallis dapat dinyatakan sebagai :
Jika dua garis dipotong oleh suatu garis sedemikian
hingga membentuk sepasang sudut yang berjumlah
kurang dari 1800, maka kedua garis tersebut pasti
berpotongan.
Postulat ini sangat mirip dengan postulat kesejajaran
Euclides. Tetapi postulat Wallis menyatakan lebih
lanjut, karena ada tambahan R = C dan sisi-sisi
yang bersesuaian dari segitiga sebanding.
Dengan demikian postulat Wallis lebih pasti dan lebih
sederhana dari postulat kesejajaran Euclides.
H. Usaha Saccheri dalam Mempertahankan Postulat
Kesejajaran Euclides
Giovanni Girolamo Saccheri ( 5 September 1667 – 25
Oktober 1733) menulis sebuah buku “Euclides
Vindicatus” yang diterbitkan sesudah kematiannya. Dia
mencoba menguji kebenaran postulat kesejajaran
Euclides dengan cara baru. Caranya dengan
mengasumsikan bahwa postulat kesejajaran Euclides
110 /Postulat Kesejajaran Euclides
itu salah, menunjukkan adanya kontradiksi, yang
secara logis berarti memvalidasikan (mengesahkan)
postulat kesejajaran Euclides dengan menggunakan
prinsip bukti tak langsung.
Pengujian Saccheri dimulai dengan mempelajari
suatu segiempat yang mempunyai dua sisi yang sama
dan tegak lurus pada sisi yang ketiga. Tanpa
mengasumsikan sebarang postulat kesejajaran, kita
bisa membuat segiempat yang dimaksud, yang
sekarang disebut sebagai segiempat Saccheri.
Misalkan ABCD adalah segiempat Saccheri dengan
AD = BC dan A = B = 900 (Gambar 2.10).
Saccheri mampu membuktikan C = D, dan
selanjutnya mempertimbangkan tiga kemungkinan
mengenai sudut C dan D :
(1) Hipotesis sudut siku-siku
(C = D = 900)
(2) Hipotesis sudut tumpul (C = D > 900)
(3) Hipotesis sudut lancip (C = D < 900)
C
D
A
B
Jika postulat kesejajaran Euclides diasumsikan,
maka hipotesis sudut siku-siku benar (karena postulat
kesejajaran Euclides berakibat bahwa jumlah sudut
sebarang segiempat adalah 3600).
Dasar argumen Saccheri sebagai berikut :
Dengan menunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan
hipotesis sudut lancip keduanya menimbulkan suatu
kontradiksi berarti postulat kesejajaran Euclides benar.
Postulat Kesejajaran Euclides /
111
Dengan menggunakan serangkaian teorema
secara hati-hati, Saccheri mampu membuktikan bahwa
hipotesis
sudut
tumpul
menimbulkan
suatu
kontradiksi. Selanjutnya dia memperhatikan implikasi
dari sudut lancip. Di antaranya berupa sejumlah
teorema yang tidak biasa (unusual), yang dua
diantaranya dapat dinyatakan sebagai berikut :
(1) Jumlah sudut-sudut sebarang segitiga adalah kurang
dari 1800
(2) Jika k dan m adalah dua garis dalam suatu bidang, maka
salah satu sifat berikut akan terpenuhi :
(a) k dan m berpotongan, keduanya memencar dari titik
perpotongannya.
(b) k dan m tidak berpotongan, tetapi mempunyai garis
tegak lurus persekutuan, sehingga dua garis
memencar dalam dua arah dari arah garis tegak lurus
persekutuan.
(c) k dan m tidak berpotongan, dan tidak mempunyai
garis tegak lurus persekutuan, sehingga kedua garis
konvergen pada satu arah tetapi divergen pada arah
yang lain.
Saccheri ternyata tidak sampai pada suatu
kontradiksi, meskipun dia berpikiran seharusnya
terjadinya kontradiksi; dan sudah kita ketahui bahwa
sampai saat ini teori Saccheri tentang hipotesis sudut
lancip bebas dari kontradiksi dalam geometri Euclides.
Kenyataannya, dia telah membuktikan sejumlah
teorema dalam geometri non-Euclides yang kira-kira
satu abad berikutnya dikembangkan oleh Bolyai dan
Lobachevsky.
Jelaslah kegagalan Saccheri dalam menangani
postulat kesejajaran Euclides telah membuat suatu
lompatan logis dalam geometri non-Euclides.
112 /Postulat Kesejajaran Euclides
Usahanya memvalidasikan postulat kesejajaran
Euclides telah gagal, tetapi kegagalan yang besar
tersebut hanya dapat dicapai oleh seseorang dengan
kemampuan dan pendidikan yang luar biasa.
LATIHAN 5
1. Buktikan postulat Playfair ekivalen dengan
teorema sudut dalam berseberangan;
Jika dua garis sejajar (paralel) dipotong oleh sebuah
garis transversal, maka sepasang sudut dalam
berseberangan yang dibentuk adalah sama.
2. Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides
berikut, yang dilakukan oleh Bolyai (1775 – 1856).
Misalkan diketahui titik P di luar garis k, PQ  k di
Q, m  PQ di P. Misal n garis yang melalui P, n  m
(Gambar 2.11).
Akan ditunjukkan: n memotong k, sehingga m
adalah satu-satunya garis yang melalui P dan
sejajar k.
Misalkan A adalah titik yang terletak di antara P
dan Q perpanjang AQ melalui Q, sehingga AQ =
QB. Misal AR  n di R, dan perpanjang melalui R,
sehingga AR = RC. Maka A, B, dan C tidak terletak
segaris, dan bisa membentuk segitiga.
m
A
R
n
Q
B
k
Postulat Kesejajaran Euclides /
113
Misal Z adalah lingkaran luar segitiga ABC.
Maka k dan n merupakan garis sumbu busur
lingkaran Z dan oleh karena itu k dan n
berpotongan di pusat lingkaran Z.
3.
Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides
berikut :
P
m
.X
d
n
k
Q
Misalkan diketahui titik P di luar k, PQ  k di Q, d
adalah jarak PQ dari P ke k, dan m adalah garis
yang terletak pada sisi yang sama dengan k dari P
dan berjarak d dari k.
Jelaslah m melalui P dan tidak memotong k.
Misalkan n adalah garis selain m yang melalui P.
Akan ditunjukkan n memotong k
n memotong m dan memasuki daerah di antara m
dan k (misal di sebelah kanan PQ ).
Jika X menjauhi P, maka jarak dari X ke m akan
bertambah sampai tak terbatas. Tentunya jaraknya
akan lebih besar dari pada d, yang merupakan
jarak tetap dari m ke k.
Jadi, n harus memotong k, oleh karena itu m adalah
satu-satunya garis yang melalui P dan sejajar k.
114 /Postulat Kesejajaran Euclides
4.
Kritiklah pembuktian proposisi berikut :
Dua garis yang di mana-mana jaraknya tidak sama pasti
berpotongan.
m
A
d
a
B
X
b
k
Misalkan garis k jaraknya ke m di mana-mana tidak
sama. Maka ada dua titik A, B pada k yang masingmasing berjarak a dan b ke garis m sedemikian
hingga a  b.
Misal a > b, dan c = a – b, serta d : jarak AB .
Jika suatu titik bergerak dari A ke B yang terletak
pada garis m, maka jaraknya ke k berkurang
sebesar c. Pilih titik X pada m yang terletak pada
arah yang sama dengan A ke B, sedemikian hingga
5.
jarak AX adalah (a/c) d.
Maka titik yang bergerak dari A ke X pada garis m
jaraknya ke l akan berkurang sebesar ( a/c ) c = a.
Jadi jarak X ke k adalah (a – a) = 0, berarti m
memotong k di X.
Hal ini secara tidak langsung sesuai dengan
postulat Playfair :
Misalkan P adalah titik di luar k, maka hanya ada satu
garis yang melalui P dan sejajar k, yakni suatu garis
yang melalui P dan jaraknya ke k di mana-mana sama.
Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides
oleh A.M. Legendre (1752 – 1833) berikut :
Postulat Kesejajaran Euclides /
115
n
R’
P
.
m
R
Q
.
B
l
A
Misalkan diketahui titik P di luar l, PQ  l di Q, dan
m  PQ di P.
Misal n garis yang melalui P, n  m.
Akan ditunjukkan : n memotong l, sehingga m
adalah satu-satunya garis yang melalui P dan
sejajar l.
Sudah tentu n akan memotong l jika n tegak lurus
l. Jadi kita asumsikan n tidak tegak lurus l.
Karena n  m, maka ada titik R pada garis n
sedemikian hingga  QPR lancip.
Buatlah  QPR’ =  QPR, dengan R’ terletak
berlawanan arah dengan R dari PQ. Maka Q
terletak di dalam  RPR’. Berarti l memuat satu
titik yang ber ada di dalam  RPR’ dan memotong
salah satu kaki sudutnya.
Jika l memotong kaki PR, maka n pasti memotong
l.
Misalkan l memotong kaki PR’ di A.
Pilih titik B pada kaki PR sedemikian hingga PB =
PA.
Maka  PQA = =  PQB (ss – sd – ss) dan  PQB
siku-siku. Jadi B pada l dan n memotong l.
6. Kritiklah pembuktian postulat kesejajaran Euclides
berikut :
116 /Postulat Kesejajaran Euclides
n
P
m
R
Q
Y
’
X
k
X
’
Misalkan diketahui titik P di luar l, PQ  l di Q, dan
m  PQ di P.
Misal n garis yang melalui P, n  m
Akan ditunjukkan : n memotong l, sehingga m
adalah satu-satunya garis yang melalui P dan
sejajar l.
Sudah tentu n akan memotong l jika n tegak lurus
l. Jadi kita asumsikan n tidak tegak lurus l.
Karena n  m, maka ada titik R pada garis n
sedemikian hingga  QPR lancip.
Pilih titik X pada kaki PR dari  QPR.
Misal Y merupakan kaki garis yang tegak lurus
dari X ke kaki PQ dari  QPR.
Jika X bergerak menjauhi P terus menerus, maka Y
juga menjauhi P terus menerus.
Dengan demikian terdapat kedudukan Y’ dari Y
pada kaki PQ sedemikian hingga PY’ > PQ.
Misalkan X’ merupakan kedudukan X pada kaki
PR.
Karena PY’ > PQ, maka titik P dan Y’ pasti terletak
berlawanan arah dari l.
Tetapi X’ dan Y’ berada pada arah yang sama dari
l, karena Y’X’ // l.
Postulat Kesejajaran Euclides /
117
7.
Berarti P dan X’ terletak berlawanan arah dari l,
dan n yang menghubungkan kedua titik tersebut,
pasti memotong l.
Jika diketahui postulat kesejajaran Euclides maka
jumlah sudut setiap segitiga adalah 1800.
Pikirkanlah, apakah konversnya juga berlaku ?
Coba buktikan, tetapi jangan membuang-buang
waktu yang tidak berarti, karena itu merupakan
masalah yang sulit jika tanpa persiapan yang
memadai.
118 /Postulat Kesejajaran Euclides