metode simpleks - Direktori File UPI
advertisement
Pendahuluan Pengantar Metode Simpleks Fitriani Agustina, Math, UPI 1 METODE SIMPLEKS (PRIMAL) • Masalah Program Linear • Masalah Program Linear dalam Bentuk Matriks • Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL • Bentuk Standar Masalah Program Linear • Bentuk Standar Pembatas Linear • Bentuk Standar Peubah Keputusan • Bentuk Standar PL dalam Bentuk Matriks • Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel • Memperbaiki Nilai Fungsi Tujuan z • Mengakhiri Perhitungan Simpleks Fitriani Agustina, Math, UPI 2 Masalah Program Linear • Maksimasi (Minimasi) : z c1 x1 c2 x2 cn xn dengan pembatas linear a11 x1 a12 x2 a1n xn a21 x1 a22 x2 a2 n xn , , , b1 , b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn , , bm dan pembatas tanda x j 0, Fitriani Agustina, Math, UPI j 1, 2, , n 3 Masalah PL dalam bentuk matriks t • Maksimasi (Minimasi) : z c0 x0 dengan pembatas linear dan pembatas tanda A0 x0 b x0 0 dimana: a11 a A0 21 am1 a12 a22 am 2 Fitriani Agustina, Math, UPI a1n x1 c1 x c a2 n 2 2 x c0 0 amn xn c n b1 b b 2 bm 4 Ketentuan dalam Bentuk Standar Masalah PL • Seluruh pembatas linear harus berbentuk persamaan dengan ruas kanan yang nonnegatif. • Seluruh peubah keputusan harus merupakan peubah nonnegatif. • Fungsi tujuan merupakan maksimasi /minimasi. Beberapa hal yang dapat dilakukan untuk memperoleh bentuk standar masalah PL sesuai ketentuan di atas berkaitan dengan pembatas linear dan peubah keputusan. Fitriani Agustina, Math, UPI 5 Bentuk Standar Pembatas Linear • Apabila pembatas linearnya bertanda ”≤”, maka pada ruas kiri pembatas linear perlu ditambahkan slack variable. • Pembatas linear bertanda ”≤” berhubungan dengan penggunaan dan ketersediaan sumber daya, sehingga slack variable mewakili jumlah sumber daya yang tidak dipergunakan. • Misalkan pembatas linear ke-p bertanda ”≤”, maka diperoleh bentuk standar: a p1 x1 a p 2 x2 a pn xn xn p b p dimana xn p merupakan slack variable Fitriani Agustina, Math, UPI 6 • Apabila pembatas linearnya bertanda ”≥”, maka pada ruas kiri pembatas linear perlu dikurangkan surplus variable. • Pembatas linear bertanda ” ≥” berhubungan dengan persyaratan spesifikasi minimum, sehingga surplus variable mewakili jumlah kelebihan sesuatu dibandingkan dengan spesifikasi minimumnya. • Misalkan pembatas linear ke-q bertanda ” ≥”, maka diperoleh bentuk standar: aq1 x1 aq 2 x2 aqn xn xn q bq dimana xn q merupakan surplus variable Fitriani Agustina, Math, UPI 7 • Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan 1. • Arah pertidaksamaan berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan 1. • Pembatas linear dengan pertidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua pertidaksamaan. Fitriani Agustina, Math, UPI 8 Bentuk Standar Peubah Keputusan • Suatu peubah keputusan x j yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua peubah keputusan nonnegatif dengan menggunakan substitusi: 1 2 xj xj xj dimana x1j 0 dan x 2j 0 . Selanjutnya substitusi ini harus dilakukan pada seluruh pembatas linear dan fungsi tujuannya. • Oleh karena itu bentuk standar masalah PL dinyatakan dalam bentuk matriks adalah: Fitriani Agustina, Math, UPI 9 Bentuk Standar Masalah PL dalam Bentuk Matriks • Misalkan terdapat m pembatas linear dimana sebanyak g pembatas linear dengan tanda "≤", dan sebanyak h pembatas linear dengan tanda "≥", maka dapat dinyatakan bahwa terdapat (m – g – h ) pembatas linear dengan tanda "=". • Maksimasi (Minimasi) : z c0t x0 cst xs dengan pembatas linear dan pembatas tanda Ax b Fitriani Agustina, Math, UPI x0 10 Solusi Basis dan Solusi Basis Fisibel • Bentuk standar pembatas linear adalah Ax b (1) Persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk berikut ini: x1 1 x2 2 xN N b (2) dimana a1 , a2 , , aN adalah vektor-vektor yang merupakan vektor kolom pada matriks A dengan orde m N dimana N n g h . • Pada pembahasan ini persamaan (1) konsisten. Fitriani Agustina, Math, UPI diasumsikan bahwa 11 • Persamaan (1) diasumsikan bahwa m N dan Rank A m serta tiap peubah x j secara tetap diasosiasikan berkoresponden dengan vektor kolom j . • Apabila dipilih m vektor kolom yang membentuk matriks A adalah bebas linear, dan N m peubah lain yang berkoresponden dengan vektor-vektor yang tersisa pada matriks A tersebut mempunyai nilai nol, sehingga himpunan m persamaan simultan itu mempunyai penyelesaian tunggal yang dinamakan penyelesaian dasar (solusi basis). Fitriani Agustina, Math, UPI 12 • m peubah dari solusi basis yang berasosiasi dengan m vektor kolom yang bebas linear dinamakan peubah dasar (basic variable/BV), • (N – m) peubah sisanya dinamakan peubah nondasar (nonbasic variable/NBV) pada umumnya ditetapkan bernilai nol. • Apabila terdapat satu/lebih BV yang bernilai nol maka masalah program linear tersebut dinamakan degenerasi dan BV yang bernilai nol dinamakan peubah degenerasi. • Jika seluruh peubah pada suatu solusi basis bernilai nonnegatif, maka solusi itu dinamakan solusi basis fisibel (BFS). Fitriani Agustina, Math, 13 UPI KLIK Memperbaiki nilai fungsi tujuan z • Misalkan diberikan z tertentu sebagai solusi basis awal, maka pada iterasi berikutnya akan dicoba untuk memperoleh solusi basis fisibel yang baru dengan nilai fungsi tujuan yang berubah. • Apabila maksimasi z f x1 , x2 , , xn maka nilai z akan ditingkatkan dengan cara memperoleh solusi basis fisibel yang baru sampai mencapai nilai maksimum (optimal),dan berlaku sebaliknya untuk kasus minimasi. Fitriani Agustina, Math, UPI 14 • Misalkan untuk bentuk standar masalah PL diketahui solusi basis fisibel awalnya dan B merupakan matriks dengan orde (m x m) dimana kolom-kolom dari matriks B merupakan vektor basis, sehingga B dinamakan matriks basis yaitu suatu sub matriks dari matriks A yang non singular a11 a12 a1n a1n 1 a1n 2 a1N a21 a22 a2 n a2n 1 a2n 2 a2 N A am1 am 2 amn am n 1 am n 2 amN Fitriani Agustina, Math, UPI 15 a11 a12 a1n 1 a a22 a2 n 0 21 A am1 am 2 amn 0 0 0 1 0 0 1 a1n 1 a1n 2 a1N 1 a2n 1 a2n 2 a2 N 0 B amn 1 am n 2 amN 0 Fitriani Agustina, Math, UPI 0 0 1 0 0 1 16 • Ambil sembarang vektor basis xB dan vektor harga dari peubah basis cB , kemudian dari A x b diidentifikasi sejumlah NBV dan BV dari persamaan awal yang merupakan solusi basis fisibel: B xB b m atau x i 1 Bi di b xB1 d1 xBr d r xBr 1 d r 1 xBm d m b t dan fungsi tujuannya adalah z cB xB dimana 1 0 B 0 Fitriani Agustina, Math, UPI 0 0 1 0 0 1 b1 b b 2 bm x B1 x xB B 2 xBm 17 • Perlu diingat bahwa B merupakan matriks berorde (m x m) dan Rank A m Rank B , hal ini berarti bahwa tiap kolom dari matriks A , yaitu j merupakan kombinasi linear dari kolom d i pada matriks B. Hubungan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: j a1 j d1 amj d m m j d i aij i 1 dimana: a j a1 j Fitriani Agustina, Math, UPI j B aj atau amj T 18 • Solusi basis fisibel yang baru diperoleh dengan cara sederhana yaitu dengan hanya mengganti satu kolom matriks B. • Matriks basis baru yang non singular dinotasikan dengan B yang dibentuk melalui perubahan kolom d r dari matriks B dan penempatan kembali kolom k ( k 0 ) dari matriks A. Dalam hal ini k dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari d1 , , d m : k a1k d1 ark d r amk d m Fitriani Agustina, Math, UPI (3) 19 • apabila solusi persamaan (3) untuk d r disubstitusi m ke persamaan xBi d i b akan diperoleh solusi basis baru yaitu: i 1 aik xBr xBi xBr d i k b ark ark i 1; ir m • Solusi basisnya harus fisibel, yaitu: aik untuk x Bi xBi xBr 0 ark dimana: xBr x Br 0 ark Fitriani Agustina, Math, UPI i 1, , m xBi xBr min ; ark i 1, , m aik dan i r aik 0 0 20 • Nilai fungsi tujuan dapat ditentukan oleh z z , dan untuk permasalahan memaksimumkan z, diperoleh m m z cBi xBi dan z c Bi x Bi i 1 i 1 tetapi karena c Bi cBi , i r dan c Br ck maka xBr diperoleh: z c z z c z z ark k k k k m dimana zk cBi aik cBt ai dan zk adalah solusi i 1 basis fisibel untuk suatu k yang diberikan karena cB dan ak diketahui. Fitriani Agustina, Math, UPI 21 Mengakhiri perhitungan simpleks Secara garis besar pada tiap iterasi metode simpleks, terdapat tiga aspek yang perlu diperhatikan, yaitu: 1. Vektor k (berkorespondensi dengan peubah xk ) adalah calon peubah untuk menjadi peubah masuk (entering variable/EV) pada matriks basis apabila k memenuhi syarat: z k c k min z j c j ; z j c j 0 (a.1) j 1, , N Fitriani Agustina, Math, UPI 22 • Penyataan z z jika dan hanya jika zk ck 0 dan 0 menunjukkan bahwa dapat dipilih k vektor dari matriks A untuk masuk dalam matriks basis. • Apabila terdapat lebih dari satu k yang menunjukkan bahwa zk ck 0 maka nilai k yang dipilih adalah nilai k yang menunjukkan zk ck 0 yang paling minimum. Fitriani Agustina, Math, UPI 23 2. Vektor d r (berkorespondensi dengan peubah xBr ) akan menjadi peubah keluar (leaving variable/LV) meninggalkan matriks basis apabila r memenuhi syarat: xBr (a.2) xBi min ; aik 0 0 ark i 1, , m aik 3. Fungsi tujuan dapat diperbaiki (ditingkatkan apabila memaksimumkan) jika dan hanya jika z k c k 0 dan 0 dimana θ diperoleh pada aspek ke-2. Fitriani Agustina, Math, UPI 24 4. Apabila tidak ada k yang menunjukkan zk ck 0 Dengan kata lain terdapat nilai zk ck 0 untuk tiap kolom vektor j pada matriks A. Hal ini berarti bahwa nilai fungsi tujuan telah mencapai maksimum. Untuk masalah program linear dengan maksimasi z = ct x dengan pembatas linear Ax = b dan pembatas tanda x ≥ 0. Misalkan solusi basis fisibel ada dan paling sedikit untuk satu nilai k, zk – ck < 0 dan aik ≥ 0 untuk semua (i = 1, ..., m), maka masalah program linear tersebut mempunyai nilai tak tebatas untuk Fitriani Agustina, Math, fungsi tujuannya. UPI 25 Untuk masalah program linear dengan maksimasi z c t x dengan pembatas linear A x b dan pembatas tanda x 0 . Apabila pada solusi basis fisibel yang diperoleh terdapat z j c j 0 untuk tiap kolom j dari matriks A yang tidak terdapat pada matriks B maka solusi basis fisibelnya adalah optimal. Fitriani Agustina, Math, UPI 26