ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL (Skripsi)

ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL
(Skripsi)
Oleh
Dwi Mayasari
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
2016
ABSTRACK
CANONICAL ANALYSIS WITH DUAL SPACE APPROACH
By
DWI MAYASARI
Canonical analysis is used to determine the relationship or correlation between
two groups of quantitative variables. The relationship between two groups of
variables is seen by the correlation. Dimensional multivariate data is presented in
the variable space and individual space. Variable space and individual space is
associated by dual space. Variable space has a dual space as well as individual
space. Trough a dual space approach, canonical analysis is trying to reduce the
dimension of matrix to see the relationship between two groups of variables.
Reduction is done by forming a variance covariance matrix of the centralized data
matrix, each group of variables and both groups of variables, then look for the
eigen value to determine the value of the canonical correlation coefficient and
eigen vector to determine the value of the canonical variables pairs.
Keywords : Multivariate, Canonical Analysis, Dual Space.
ABSTRAK
ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL
Oleh
DWI MAYASARI
Analisis Kanonik digunakan untuk mengetahui hubungan atau korelasi antara dua
kelompok variabel kuantitatif. Besarnya hubungan antara kedua kelompok
variabel dilihat dengan nilai korelasinya. Dimensi data multivariat disajikan dalam
ruang variabel dan ruang individu. Ruang variabel dan ruang individu
dihubungkan dengan diagram dual. Ruang variabel mempunyai ruang dual, begitu
pula untuk ruang individu. Melalui pendekatan ruang dual, analisis kanonik
berusaha mereduksi dimensi matriks untuk melihat hubungan antara dua
kelompok variabel. Pereduksian dilakukan dengan membentuk matriks varian
kovarian dari matriks data terpusat,tiap kelompok variabel dan kedua kelompok
variabel, kemudian mencari nilai karakteristik untuk menentukan nilai koefisien
korelasi kanonik dan vektor karakteristik untuk menentukan nilai pasangan
variabel kanonik.
Kata kunci : Multivariat, Analisis Kanonik, Ruang Dual.
ANALISIS KANONIK MELALUI PENDEKATAN RUANG DUAL
Oleh
Dwi Mayasari
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Metro, Lampung pada tanggal 23 Mei 1994, sebagai
anak kedua dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Sutarno dan Ibu Lela Utama,
dan adik dari Edwin Sutartama serta kakak dari Aldrin Tridata.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) Negeri 4 Metro Timur diselesaikan pada tahun
2006, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Kota Metro diselesaikan pada
tahun 2009, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kota Metro
diselesaikan pada tahun 2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
mandiri. Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif dalam organisasi tingkat
jurusan, fakultas dan universitas yaitu Anggota Gematika 2012-2013, anggota
Biro KRT Himpunan Mahasiswa Matematika (HIMATIKA) periode 2013-2014,
Anggota Muda Rois (AMAR) FMIPA Universitas Lampung, dan pengurus Unit
Kegiatan Mahasiswa (UKM) Judo Universitas Lampung.
Pada tahun 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat
Statistik (BPS) Kota Metro, dan pada tahun yang sama penulis melaksanakan
Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Muara Tembulih, Kecamatan Ngambur,
Kabupaten Pesisir Barat, Provinsi Lampung.
MOTTO
“Allah tidak akan membebani seseorang melainkan sesuai dengan
kesanggupannya”
(Al-Baqarah: 286)
“Karena Sesungguhnya bersama setiap kesulitan pasti ada kemudahan”
(Al-Insyirah: 5)
“Kemenangan yang seindah-indahnya dan sesukar-sukarnya yang boleh direbut
oleh manusia ialah menundukan diri sendiri”
(Ibu Kartini)
PERSEMBAHAN
Dengan penuh rasa syukur kepada Allah SWT, dan dengan kerendahan hati
penulis persembahkan karya kecil dan sederhana ini sebagai tanda bakti dan
cinta kepada semua orang yang senantiasa mendukung dan dengan tulus
mendoakan kelancaran terciptanya karya ini.
Ayah, Ibu, Mbah, Abang dan Aldrin yang selalu memberikan semangat dan
menjadi sumber motivasi terbesar selama ini.
Sahabat-sahabat yang selalu ada. Terima kasih atas keceriaan, semangat, serta
motivasi yang diberikan kepada penulis.
Almamaterku tercinta Universitas Lampung.
SANWACANA
Dengan mengucapkan Alhamdulillah penulis panjatkan puji syukur kehadirat
Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan
skripsi ini yang berjudul “Analisis Kanonik melalui Pendekatan Ruang Dual”.
Skripsi ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana
Sains di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Lampung. Dalam pelaksanaan dan penyusunan skripsi ini penulis
banyak mendapatkan bantuan, pengarahan, motivasi serta bimbingan dari
berbagai pihak. Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terimakasih
banyak kepada :
1.
Bapak Rudi Ruswandi, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I, terimakasih untuk
bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini.
2.
Bapak Amanto, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II, terimakasih untuk
bimbingan dan masukannya selama penyusunan skripsi.
3.
Bapak Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D. selaku Dosen Penguji, terimakasih
atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang
membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4.
Bapak Rudi Ruswandi, M.Si. selaku Pembimbing Akademik, terimakasih atas
bimbingan dan pembelajarannya serta masukan kepada penulis dalam
menjalani perkuliahan.
5.
Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D.,selaku Dekan FMIPA Universitas
Lampung.
7.
Seluruh Dosen dan Karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
8.
Untuk kedua orang tua Ayah dan Ibu, serta Mbah, Abang dan Adik tercinta
yang tak pernah berhenti memberi semangat, doa, materi, dorongan, nasehat
dan kasih sayang serta pengorbanan yang tak tergantikan hingga penulis
selalu kuat menjalani setiap rintangan yang ada di depan.
9.
Sahabat tersayang Desi, Astuti, Siti, dan Tri yang selalu ada dalam keadaan
apapun.
10. Sahabat-sahabat seperjuangan Matematika 2012 Ima, Hana, Ica, Ernia, Mba
Desti, Yama, Anggi, Yanti, Erni, Citra, Oci, Dwi, Adelfira, Candra, Rendi,
Gerry, dan semua teman-teman yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
11. Keluarga HIMATIKA FMIPA Universitas Lampung atas kebersamaannya
selama ini.
12. Almamater tercinta Universitas Lampung.
13. Seluruh pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu
persatu.
Bandar Lampung, Desember 2016
Dwi Mayasari
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .......................................................
1.2 Perumusan Masalah ...................................................................
1.3 Tujuan Penelitian ........................................................................
1
3
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Matriks .................................................................
2.1.1 Definisi Matriks ..............................................................
2.1.2 Transpose Matriks ...........................................................
2.1.3 Skalar...............................................................................
2.1.4 Matriks Diagonal .............................................................
2.1.5 Trace Matriks ..................................................................
2.1.6 Matriks Simetris ..............................................................
2.1.7 Matriks Identitas..............................................................
2.1.8 Invers Matriks .................................................................
2.1.9 Permutasi .........................................................................
2.1.10 Determinan Matriks ........................................................
2.1.11 Matriks Singular ..............................................................
2.1.12 Matriks Ortogonal ...........................................................
2.2 Matriks Koragam ........................................................................
2.3 Ruang Vektor ..............................................................................
2.4 Kombinasi Linear ........................................................................
2.5 Bebas Linear................................................................................
2.6 Himpunan Perentang ...................................................................
2.7 Basis ............................................................................................
2.8 Pemetaan Linear ..........................................................................
2.9 Transformasi Linear dalam Bentuk Matriks ...............................
2.10 Ruang Dual ...............................................................................
2.11 Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik ............................
2.12 Bentuk Bilinear .........................................................................
2.13 Ruang Euclids ...........................................................................
2.14 Diagram Dual ............................................................................
2.14.1 Metrik .............................................................................
2.14.2 Norm ...............................................................................
2.14.3 Metrik di E ......................................................................
2.14.4 Metrik di F ......................................................................
5
5
5
6
6
6
6
7
7
8
9
11
11
11
11
12
13
13
13
14
14
15
16
17
17
18
20
21
21
22
2.14.5 Metrik Bobot di F ...........................................................
2.15 Analisis Peubah Ganda .............................................................
2.16 Analisis Korelasi Ganda ............................................................
2.17 Analisis Korelasi Kanonik ........................................................
23
24
25
25
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ..................................................
3.2 Metode Penelitian.....................................................................
28
28
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Data Penelitian .........................................................................
4.2 Hasil dan Pembahasan..............................................................
4.2.1 Vektor Mean dan Matriks Data Terpusat ........................
4.2.2 Matriks Varian Kovarian.................................................
4.2.3 Nilai – Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik ......
4.2.4 Menentukan Nilai Koefisien Korelasi Kanonik ..............
4.2.5 Menentukan Nilai Pasangan Variabel Kanonik ..............
31
32
34
37
39
42
43
V.
KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
Notasi
( × )
= Matriks data awal peubah independen yang berukuran p variabel kuantitatif
dan n individu
( × )
= Matriks data awal peubah dependen berukuran q variabel kuantitatif dan n
individu
= Hasil pengukuran peubah independen variabel ke j pada individu ke i,
dengan j = 1, 2, …, p dan i = 1, 2, …, n
= Hasil pengukuran peubah dependen variabel ke j pada individu ke i, dengan
j = 1, 2, …, q dan i = 1, 2, …, n
̅
G
= Vektor mean
= Matriks dengan semua vektor kolomnya sama dengan ̅
= Matriks identitas berukuran n
= Bobot individu ke i
= Matriks diagonal bobot dimana
individu
=
; n menjelaskan banyaknya
= akar karakteristik ke i
= vektor karakteristik ke i untuk kelompok variabel independen
= vektor karakteristik ke i untuk kelompok variabel dependen
= variabel kanonik pada kelompok independen
= variabel kanonik pada kelompok dependen
I.
1.1
PENDAHULUAN
Latar Belakang dan Masalah
Metode untuk menganalisis data dengan variabel yang lebih dari dua peubah
dikenal dengan analisis peubah ganda (analisis multivariat). Analisis multivariat
adalah salah satu metode dalam statistik yang digunakan untuk melakukan analisis
secara simultan (bersama-sama) terhadap dua variabel atau lebih. Analisis
multivariat merupakan pengembangan dari analisis univariat atau bivariat. Pada
analisis univariat data diperoleh cukup dengan memperhatikan satu peubah atau
karakter saja dari satu individu. Sedangkan pada analisis multivariat data
diperoleh dengan memperhatikan dua bahkan lebih banyak lagi peubah yang
merupakan karakter dari individu yang sama.
Teknik dalam analisis multivariat bisa dikelompokkan menjadi dua kelompok
besar, yaitu analisis dependensi dan interdependensi. Analisis interdependensi
merupakan analisis dimana variabel tidak dibedakan menjadi variabel dependen
dan variabel independen, sedangkan analisis dependensi (analisis ketergantungan),
merupakan analisis yang jelas antara variabel dependen dengan independennya
serta menentukan hubungan antara variabel-variabel tersebut secara individual
atau bersama. Salah satu metode dari analisis dependensi yang akan dibahas pada
penelitian ini adalah analisis korelasi kanonik.
2
Analisis korelasi kanonik merupakan salah satu metode analisis multivariat yang
ditujukan untuk mengetahui hubungan antara dua kelompok variabel. Besarnya
hubungan ini diukur dengan nilai korelasi antara dua kelompok variabel tersebut.
Analisis korelasi kanonik fokus pada korelasi antara sebuah kombinasi linear dari
variabel dalam satu himpunan dan kombinasi linear dari variabel dalam himpunan
lainnya. Ide pertama adalah untuk menentukan bagian dari kombinasi linear yang
memiliki korelasi terbesar. Selanjutnya akan ditentukan bagian dari kombinasi
linear yang memiliki korelasi terbesar diantara semua bagian yang tidak
berkorelasi dengan bagian yang dipilih di awal. Bagian dari kombinasi linear
dinamakan variabel kanonik, dan korelasi yang lainnya dinamakan korelasi
kanonik. Sebagai contoh seorang dokter ingin mengetahui adakah hubungan
antara gaya hidup dan kebiasaan makan dengan kesehatan pasien yang diukur
dengan hipertensi, berat badan, dan tingkat ketegangan.
Dalam sebuah kasus multivariat untuk melihat suatu hubungan yang mencakup
variabel dan individu yang banyak, tentu menjadi tidak mudah seperti halnya pada
korelasi sederhana dalam analisis univariat yang responnya merupakan peubah
tunggal. Banyak teknik yang digunakan untuk melihat hubungan atau kemiripan
antar variabel-variabel kuantitatif dalam kelompok salah satunya dapat dilakukan
dengan menggunakan teknik analisis komponen utama, namun pada kasus yang
terdiri dari dua kelompok variabel kuantitatif , teknik analisis yang digunakan
adalah analisis korelasi kanonik. Untuk mendapatkan kemiripan antara dua
kelompok variabel kuantitatif maka penyajian data dilakukan dengan mereduksi
dimensi dari segugus data yang berdimensi besar menjadi data yang berdimensi
kecil seperti halnya pada analisis komponen utama, dimana pada komponen utama
3
segugus data yang berdimensi besar direduksi menjadi dimensi yang lebih kecil,
tetapi tidak banyak kehilangan informasi yang diterangkan oleh variabel-variabel
awal. Dalam hal ini metode yang akan digunakan peneliti untuk melihat
kemiripan dua kelompok variabel kuantitatif yaitu dengan melalui pendekatan
ruang dual.
Bentuk khusus dari fungsi linear adalah fungsional-linear, yaitu fungsi linear dari
suatu ruang vektor ke skalar suatu lapangan. Himpunan dari fungsional-linear
akan membentuk suatu ruang yang disebut ruang dual dan basis-basis dari ruang
tersebut dinamakan basis dual. Ruang dual merupakan himpunan semua bentuk
linear yang didefinisikan pada ruang vektor riil. Suatu bentuk linear yang
merupakan anggota dari ruang dual adalah pemetaan linear dengan domain ruang
vektor dan range-nya berupa lapangan. Data multivariat dalam penelitian ini
dipandang sebagai vektor-vektor acak yang disajikan dalam bentuk matriks
dimana dimensi matriks data tersebut akan direduksi dengan memperhatikan
konsep-konsep ruang dual.
1.2
Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas pada penelitian ini yaitu mereduksi dimensi
matriks melalui pendekatan ruang dual untuk melihat derajat ekivalensi antara
dua kelompok variabel atau seberapa jauh dua kelompok variabel tersebut
mendekati keadaan ekivalen. Dalam hal ini himpunan semua pemetaan linear
yang merupakan anggota ruang dual akan memetakan setiap vektor riil menjadi
suatu bilangan riil.
4
1.3
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah :
1. Mengkaji analisis kanonik dengan pendekatan ruang dual.
2. Mereduksi data multivariat pada ruang bagian berdimensi kecil yang
optimal melalui pendekatan ruang dual untuk melihat hubungan atau
kemiripan antara dua kelompok variabel kuantitatif.
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Matriks
2.1.1 Matriks
Definisi. Matriks adalah suatu kumpulan bilangan yang juga sering disebut
elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh
banyaknya kolom dan baris serta dibatasi tanda “[ ]” atau “( )”. Dalam matriks
dikenal dengan ukuran matriks yang disebut dengan ordo.
Jika
adalah sebuah matriks, maka dapat digunakan
untuk menyatakan entri
yang terdapat di dalam baris dan kolom dari . Jadi sebuah matriks
yang umum dapat dituliskan sebagai:
=
⋮
…
…
⋱
…
⋮
×
⋮
(Anton, 2004 ).
2.1.2 Transpose Matriks
Definisi. Jika
dengan
=[
=
adalah matriks
] adalah transpose matriks
mempertukarkan baris dan kolom dari
pertama dari
, maka matriks
yang dituliskan
yang diperoleh dengan
yaitu kolom pertama dari
dan seterusnya (Anton, 2004).
adalah baris
6
2.1.3 Skalar
Suatu skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai, tetapi tidak memiliki arah.
Definisi. Jika
(product)
adalah suatu matriks dan adalah suatu skalar, maka hasil kali
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing
entri dari
oleh (Anton, 2004).
2.1.4 Matriks Diagonal
Matriks diagonal yaitu matriks bujur sangkar yang semua entri di luar diagonal
utama bernilai nol.
Contoh:
5
= 0
0
0
4
0
0
⎡
= ⎢0
⎢0
⎣0
0 0
7 0,
0 2
0
0
−6
0
0⎤
0⎥
0⎥
0⎦
2.1.5 Trace Matriks
Definisi. Jika diberikan sebarang matriks
matriks
berukuran
× , maka trace dari
tersebut didefinisikan sebagai jumlah dari unsur-unsur diagonalnya, dan
dinotasikan dengan
( )=∑
=
( ), sehingga:
+
+ ⋯+
(Mattjik dan Sumertajaya, 2011).
2.1.6 Matrik simetris
Misalkan
adalah sebarang matriks berukuran
simetrik (Anton, 2004).
× , jika
=
maka
7
2.1.7 Matriks Identitas
Matriks
disebut matriks identitas dan biasa diberi simbol .
=
=
= 1,2, … ,
=1→ =
, = 1,2, … ,
⇔
=
dan untuk
=0→ ≠
(Anton, 2004).
2.1.8 Invers Matriks
Definisi. Jika
adalah suatu matriks bujur sangkar, dan dapat dicari matriks
=
sehingga
= , maka
dinamakan invers dari
dikatakan mempunyai invers (invertible) dan
(Anton, 2004).
Teorema.
Jika suatu matriks mempunyai invers, maka inversnya tunggal.
Bukti :
Misalkan invers dari suatu matriks
=
dan
maka :
=
=
=
Akan ditunjukkan bahwa
=
Karena
=
Teorema.
Jika
adalah
=
dan
adalah (
=(
=
) =
=
maka terbukti bahwa invers dari
adalah sebuah matriks dan
)
=
bersifat tunggal. ∎
mempunyai invers, maka inversnya
8
Bukti.
(
)
=(
) . .
(
)
=(
) . . .
(
)
(
=(
)
(
=(
)
(
= .
)
=
) .
. . .
) .(
).
.
.
maka benar bahwa
.
.
. ∎
adalah invers dari
2.1.9 Permutasi
Definisi. Barisan bilangan-bilangan ( , , … , ) dimana berlaku
≠
(
= 1, 2, … , ) serta
≠
, untuk
salah satu dari bilangan asli (1, 2,…,n)
disebut suatu permutasi
Contoh :
(2, 3, 1, 4, 5) adalah permutasi.
Definisi. Inversi pada permutasi adalah adanya bilangan bulat yang lebih besar
mendahului bilangan bulat yang lebih kecil,
<
(
Contoh :
= 1,2, … , ).
<
(
mendahului ) padahal
Tentukanlah banyaknya invers dalam permutasi berikut
(3, 4, 1, 5, 2).
Jawab :
Banyaknya inverse adalah 2 + 2 + 0 + 1 = 5.
9
Definisi. Jika banyaknya inversi suatu permutasi adalah bilangan genap maka
dinamakan permutasi genap (even) dan jika banyaknya inversi suatu permutasi
adalah bilangan ganjil maka dinamakan permutasi ganjil (odd).
Definisi. Misalkan ( , , … , ) suatu permutasi, maka tanda (sign) dari
permutasi tersebut ditulis ( , , … , ) adalah ( , , … , ) = +1 bila
( , , … , ) genap, = -1 bila ( , , … , ) ganjil (Anton, 2004).
2.1.10 Determinan Matriks
Definisi. Determinan dari matriks bujur sangkar
berordo n adalah jumlah dari
semua ! hasil kali bertanda dari elemen-elemen matriks , yang dituliskan
dengan :
det( ) = | | = ∑ ( , , … , )
(Anton, 2004).
,
,…,
Selain dengan permutasi mencari determinan juga dapat dilakukan dengan
ekspansi kofaktor.
Definisi. Jika
oleh
adalah matriks bujur sangkar, maka minor entri
adalah determinan dari submatriks
dinyatakan
yang diperoleh dengan cara
menghilangkan semua entri pada baris ke –i dan semua entri pada kolom ke-j.
Dan kofaktor dari
yang dilambangkan oleh
suatu skalar (Anton, 2004).
Definisi. Misalkan
adalah (−1)
adalah matriks bujur sangkar, determinan dari
didefinisikan sebagai:
adalah
10
det( ) =
+
+ ⋯+
det( ) =
+
+⋯+
(karena baris ke-i menjadi acuan atau tetap, disebut ekspansi kofaktor sepanjang
baris ke-i).
(karena kolom ke-j menjadi acuan atau tetap, disebut ekspansi kofaktor sepanjang
kolom ke-j).
Definisi. Misalkan
matriks bujur sangkar,
adalah kofaktor dari entri
,
maka
=
⋮
⋮
…
…
⋱
…
⋮
Dinamakan matriks kofaktor . Transpose dari matriks ini dinamakan adjoin
yang dinotasikan dengan
( ).
( )=
=
⋮
⋮
…
…
⋱
…
⋮
(Anton, 2004)
Dengan menggunakan matriks adjoin, selanjutnya dapat ditentukan invers dari
suatu matriks. Misalkan
=
( )
merupakan suatu matriks bujur sangkar, maka
( )
Dengan demikian, ada hubungan bahwa suatu matriks bujur sangkar
mempunyai invers jika dan hanya jika det( ) ≠ 0.
11
2.1.11 Matriks Singular
Jika
adalah matriks bujur sangkar dan det( ) = 0, maka invers dari matriks
tidak ada dan
dikatakan sebagai matriks singular atau non-invertible
(Anton, 2004).
2.1.12 Matriks Ortogonal
Matriks bujur sangkar
=[
] dikatakan dapat didiagonalisasi secara orthogonal
jika terdapat matriks orthogonal
sehingga berlaku
= ′
. Matriks
orthogonal didefinisikan sebagai matriks kuadrat yang inversnya sama dengan
transposenya, sehingga :
Maka
= ′
adalah matriks orthogonal (Mattjik dan Sumertajaya, 2011).
2.2 Matriks Koragam
× 1,
Misalkan
adalah vektor peubah berukuran
berukuran
× 1, ( ) adalah nilai harapan dari
dari . Maka matriks koragam dari
[ , ]=
dan
adalah vektor peubah
dan ( ) adalah nilai harapan
adalah:
= [( − [ ])( − [ ])] (Johnson dan Wichern, 2002).
Untuk x = y, maka cov[x,x] = var(x) =
= [(x− [x])(x− [x])T].
2.3 Ruang Vektor
Definisi. Misalkan
sebarang himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan
operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan
12
tersebut merupakan sebuah aturan yang memasangkan elemen u dan v dalam ,
yang dituliskan u + v, yang dinamakan jumlah u dan v. Sedangkan perkalian
skalar merupakan aturan untuk mengawankan setiap skalar k maupun setiap
elemen u pada V yaitu elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika
aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua elemen u, v, w pada V dan oleh
setiap skalar k dan l, maka dinamakan V sebuah ruang vektor dan elemen-elemen
pada V dinamakan vektor:
1. u + v ϵ
(tertutup terhadap penjumlahan)
2. u + v = v + u (komutatif)
3. u + (v + w) = (u + v) + w (asosiatif)
4. ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 ; untuk semua u di V
5. untuk setiap u di V, ada sebuah benda –u di V yang kita namakan negatif u
sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
6. jika k adalah sebuah skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku
berada di V
7. k(u + v) = ku + kv
8. (k + l) u = ku + lv
9. k(lu) = (kl)(u)
10. 1u = u
(Anton, 2004).
2.4 Kombinasi Linear
Definisi. Sebuah vektor
dikatakan kombinasi linear dari vektor
terdapat bilangan-bilngan riil
,
,…
sehingga :
,
,…
, bila
13
=
+
+ ⋯+
(Anton, 2004).
2.5 Bebas Linear
Definisi. Misalkan
{ ,
,…
,
suatu ruang vektor dan
,…
. Himpunan
} dikatakan bebas linear jika persamaan:
+
=
Hanya dapat dipenuhi oleh
(Anton, 2004).
+ ⋯+
=⋯=
=0
=0
2.6 Himpunan Perentang
Definisi. Misalkan
vektor pada
suatu ruang vektor dan
,
,…
. Jika masing-masing
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
vektor-vektor tersebut merentang
(Anton, 2004).
,
,…
maka
2.7 Basis
Definisi. Misalkan
{ ,
,…
suatu ruang vektor dan
} dikatakan sebagai basis bagi
Dalam hal ini jika
merupakan basis bagi
,
,…
. Himpunan
jika B merentang
maka dikatakan
=
dan bebas linear.
berdimensi n
(dim( ) = )
Definisi. Misalkan
bila
=
=
1
(1, 0, … , 0) = 0
⋮
0
,
,…,
basis dari
.
dinamakan basis kanonik,
14
=
0
(0, 1, … , 0) = 1
⋮
0
=
0
(0, 0, … , 1) = 0 (Djauhari, 1988).
⋮
1
⋮
2.8 Pemetaan Linear
Definisi. Pemetaan
dari ruang vektor
ke dalam ruang vektor
dinamakan
pemetaan linear bila :
i.
ii.
f ( ̅+
) = f ( ̅) + f ( )
f ( λ ̅ ) = λ f ( ̅)
Untuk setiap ̅ dan
di
dan setiap λ di
(Djauhari, 1988).
2.9 Transformasi Linear dalam Bentuk Matriks
Fungsi :
→
adalah aturan yang mengaitkan setiap ̅ elemen dari
dengan tepat satu ke elemen ( ̅ ) di daerah hasil
fungsi transformasi dari
ke
. Fungsi tersebut disebut
.
Sistem Persamaan Linear (SPL) dapat dipandang suatu aturan transformasi linear:
⋮
= ( ,
,…,
)=
= ( ,
,…,
)=
= ( ,
,…,
)=
+
+
+
+⋯+
+ ⋯+
+ ⋯+
SPL diatas merupakan transformasi linear :
→
yaitu
15
( ,
,…,
Maka matriks
)=(
,
=
,…,
)
disebut matriks standar untuk transformasi linear
=
…
…
⋱
…
⋮
(Djauhari, 1988).
⋮
2.10 Ruang Dual
Definisi. Misalkan ( , ) merupakan himpunan semua pemetaan linear dari
setiap vektor di
ke dalam suatu bilangan real di
sehingga ( , ) juga
merupakan ruang vektor. Secara khususnya pula, anggota dari ( , ) dinamakan
bentuk linear .
Jika
memetakan setiap vektor di
ke dalam suatu bilangan real di
maka
merupakan suatu bentuk linear jika:
f( ̅+
f(
) = f ( ̅) + f ( )
̅)=
f ( ̅)
untuk setiap ̅ dan
di
dan
di , sehingga
Ruang vektor ( , ) dinamakan ruang dual
Berdasarkan definisi
∗
dan diberi lambang
∗
.
adalah himpunan semua bentuk linear yang didefinisikan
pada . Sebagaimana halnya , maka
dual (Djauhari, 1988).
adalah anggota dari ( , ).
∗
pun memiliki basis yang disebut basis
16
2.11 Nilai Karakteristik dan Vektor Karakteristik
Jika
adalah matriks
karakteristik dari
, maka vektor tak nol
jika
di dalam
adalah kelipatan skalar dari
=
Untuk suatu skalar λ. Skalar
dinamakan vektor
yakni :
dinamakan nilai karakteristik dari
dikatakan vektor karakteristik yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai karakteristik matriks
yang berukuran
dan
, dapat ditulis
kembali sebagai suatu persamaan homogeny :
( −
) =0
Dengan adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks , dalam
catatan matriks:
=
⋮
⋮
…
…
⋱
…
⋮
=
−
( −
Uuntuk memperoleh nila
| −
−
⋮
|=0
…
⋱
⋯
⋮
−
=0
,
1
= 0
⋮
0
,
≠0
=
=0
) =0
≠0→| −
|=0
0 … 0
1 … 0 ,
⋮ ⋱ ⋮
0 … 1
⋮
17
buah akar
( )=
,
,…,
Jika nilai karakteristik
+
+ ⋯+
+
=0
disubstitusikan pada persamaan ( −
adalah ( −
solusi dari vektor karakteristik
)
) = 0, maka
= 0 (Rencher, 2002).
2.12 Bentuk Bilinear
Misalkan suatu ruang vektor, dim( ) = , dan
. Pemetaan
1).
3).
dinamakan bentuk bilinear pada , bila :
( ̅ + , ̅ ) = ( ̅ , ̅) +
2). ( ̅ ,
+ ̅ ) = ( ̅, ) +
(α ̅,β
)=αβ
Bentuk bilinear
×
ke dalam
( , ̅)
( ̅ , ̅)
( ̅, )
Untuk setiap ̅ , , ̅ di , dan α, β real.
di
pemetaan dari
dikatakan simetris bila
(Djauhari, 1988).
( ̅, ) =
( , ̅ ) untuk setiap ̅ dan
2.13 Ruang Euclides
Ruang vektor , dengan dim( ) = , yang dilengkapi suatu produk skalar
dinamakan ruang Euclides dan
( ̅ , ) disebut produk skalar dari ̅ dan .
Dalam suatu ruang Euclides, dapat diukur panjang (vektor), jarak (antara dua
vektor), serta sudut (yang dibentuk oleh dua vektor). Untuk itu akan dianggap
ruang Euclides dengan produk skalar
(Djauhari, 1988).
18
2.14 Diagram Dual
Misalkan
pada
(
)
adalah matriks data hasil pengukuran
buah variabel kuantitatif
individu,
…
…
⋱
…
⎡
=⎢
⎢ ⋮
⎣
⎤
⎥
⋮⎥
⎦
yang merupakan elemen baris ke-j dan kolom ke-i, adalah nilai pengukuran
variabel ke-j pada individu ke-i, dimanai di = {1,2, … , }
Urutan bilangan (
,
, …,
= {1,2, … }.
) yakni urutan nilai pengukuran variabel ke-1
sampai dengan variabel ke-p pada individu ke-i, dapat dinyatakan dengan vektor :
⎡ ⎤
̅ =⎢ ⎥=∑
⎢⋮⎥
⎣ ⎦
di =
̅
; artinya dengan
merupakan vektor real berdimensi .
Dalam hal ini { ̅ , ̅ , …, ̅ } menyatakan basis kanonik dari ruang vektor
individu . Jadi ̅ menggambarkan vektor individu ke-i di
Demikian pula untuk urutan bilangan (
,
, …,
; = 1,2, … , .
), yang merupakan urutan
hasil pengukuran variabel ke-j pada individu ke-1 sampai dengan ke-n, dapat
dinyatakan sebagai vektor :
⎡ ⎤
⎢ ⎥
̅ =⎢ ⎥=∑
⎢⋮⎥
⎣ ⎦
̅
di
=
Disini { ̅ , ̅ , …, ̅ } adalah basis kanonik dari ruang vektor variabel . Dengan
demikian, ̅ menyatakan vektor variabel ke-j di ; = 1,2, … , .
19
Cara pandang tersebut, mengakibatkan bahwa di
{ ̅ ; i=1,2,…,n} dan di
pandang
∗
∗
dan
memiliki titik-titik individu
memiliki titik variabel { ̅ ; j=1,2,…,p}. Sekarang
yakni ruang dual dari
dan dari .
Misalkan { ̅ ∗ , ̅ ∗ , …, ̅ ∗ } dan { ̅∗, ̅∗ , …, ̅∗ } adalah basis-basis dualnya.
Berdasarkan definisi basis dual, maka kita peroleh :
1). ̅ ∗ ( ̅ ) = ̅ ∗ ( ∑
2). ̅∗ ( ̅ ) = ̅∗ ( ∑
̅ ) = < ̅ ∗, ̅ > =
̅ ) = < ̅∗ , ̅ > =
Dari uraian 1) dan 2), dapat disimpulkan bahwa
adalah :
a). nilai ̅ ∗ pada vektor individu ke-i atau dengan kata lain ̅ ∗ menggambarkan
variabel ke-j di
∗
b). ̅∗ pada vektor variabel ke-j. Sehingga ̅∗ menyatakan individu ke-i di
∗
.
Sampai disini, telah diperoleh representasi individu dan variabel sebagai berikut.
a). Terhadap variabel-j dapat dikaitkan vektor ̅ di
dan bentuk linear ̅ ∗ di
b). Terhadap individu-i dapat dikaitkan vektor ̅ di E dan bentuk linear ̅∗ di
∗
∗
Oleh karena itu dalam usaha menggambarkan mekanisme yang ada dalam induk
dasar , adalah wajar kita pandang pemetaan:
:
∗
→
̅∗ → ̅ = ( ̅∗ )
Jadi
memetakan bentuk linear ̅∗ menjadi vektor individu ̅ .
Selanjutnya dapat diketahui pula bahwa matriks pemetaan dari
tidak lain adalah
matriks data
dapat
( × )
itu sendiri. Dengan demikian, matriks data
dipandang sebagai pemetaan :
=
∗
→
20
̅∗ → ̅ =
Dan
:
̅∗
transpose dari
∗
→
̅∗ → ̅ =
Sehingga
adalah pemetaan:
̅∗
yang memetakan bentuk linear ̅ ∗ menjadi ̅ .
Menyajikan himpunan individu dan himpunan variabel adalah salah satu
tujuan utama dari teknik-teknik analisis data multidimensi. Untuk itu perlu
membuat partisi dari yang terdiri atas kelas-kelas dari individu-individu yang
saling berdekatan. Jadi perlu dipertegas pengertian kedekatan antar individu.
Demikian pula untuk membuat kelas-kelas dari , perlu didefinisikan kedekatan
antar variabel. Dalam analisis linear, kedekatan tersebut akan diukur dengan
bantuan metrik Euclides (Djauhari, 1988).
2.14.1 Metrik
Diberikan sebarang himpunan . Fungsi :
bilangan real. Dimana
×
→
dengan
himpunan
adalah jarak Euclids di antara titik dari anggota di
yang
memenuhi sifat-sifat :
1.
2.
3.
( , ) ≥ 0 untuk setiap , di
=
dan ( , ) = 0 jika dan hanya jika
( , ) = ( , ) untuk setiap , di
( , ) ≤ ( , ) + ( , ) , , di
Disebut metrik atau jarak pada . Himpunan
dilengkapi dengan suatu metrik
ditulis dengan ( , ) disebut ruang metrik. Anggota ruang metrik ( , ) disebut
21
titik dan untuk setiap , di
titik .
bilangan non-negatif ( , )disebut jarak titik
ke
2.14.2 Norm
Definisi. Suatu norm di sebuah ruang vektor real
adalah pemetaan dari
himpunan bilangan real, biasanya dilambangkan ‖. ‖ yang memenuhi:



‖ ‖ ≥ 0 untuk setiap
‖
∈
dan ‖ ‖ = 0 jika dan hanya jika
‖ = ‖ ‖‖ ‖ untuk setiap skalar
dan
‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ untuk setiap ,
(Anton, 2004).
∈
∈
ke
=0
2.14.3 Metrik di E
Misalkan
ruang Euclides dengan metrik M yang berperan mengukur kedekatan
antar individu. Dengan memandang
bersifat satu-satu atau bijektif) dari
diterapkan metrik
sebagai isomorfisma (sebuah fungsi yang
pada
∗
maka sangatlah wajar bila pada
sedemikian sehingga :
‖ ̅ − ̅ ‖
=
̅∗ − ̅∗
( ̅∗ ) = ̅ ; i=1,2,…,n. Mekanisme di atas, dapat disajikan dalam
dimana
diagram berikut.
∗
∗
∗
22
Secara umum, untuk setiap
( )− ( )
=
dan
di
−
Ini berarti pula bahwa untuk setiap
‖ ( )‖
=‖ ‖
di
∗
diinginkan
∗
berlaku :
(Djauhari, 1988).
2.14.4 Metrik di F
Seperti halnya di , maka untuk mengukur kedekatan antar variabel serta melihat
kolinearitasnya di
diterapkan suatu metrik di . Dengan mengikuti konsep
yang sama seperti untuk , di
̅ − ̅
=
Ingatlah bahwa
̅∗ − ̅∗
( ̅ ∗) = ̅
∗
pun dapat diterapkan metrik
; j = 1,2,…,p.
Secara umum, hal tersebut berarti bahwa untuk setiap
‖
=‖ ‖
( )‖
Hubungan antara
dan
∋
di
∗
berlaku :
diberikan pada dalil berikut.
Dalil
Jika untuk setiap
di
∗
berikut :
berlaku ‖
∗
∗
Komutatif, artinya :
=
( )‖
= ‖ ‖ , maka diperoleh diagram
23
Selanjutnya kedua diagram di atas dapat digabungkan sehingga membentuk
diagram berikut ini yang menggambarkan seluruh mekanisme dasar yang ada bila
dihadapkan dengan matriks data
( × ).
∗
=
∗
=
Diagram tersebut selanjutnya disebut diagram dual (Djauhari, 1988).
2.14.5 Metrik Bobot di F
Bila
( × )
matriks data yang terdiri dari
baris dan
dengan himpunan vektor individu { ̅ / = 1,2, … }.
kolom maka di
=
Misalkan terhadap setiap individu -i, jadi terhadap setiap vektor ̅ di himpunan
itu, diberikan bobot
(
> 0 dan ∑
Dengan demikian, maka vektor ̅ dimana :
̅=
= 1)
̅
tidak lain adalah vektor mean atau pusat gravitasi dari himpunan vektor individu
di atas. Elemen ke-j dari ̅ adalah
=
24
yang merupakan mean sampel untuk variabel ke-j. Khususnya jika
=
; untuk
setiap = 1,2, … , yang berarti bahwa semua individu memiliki bobot yang sama
(ini akan diperoleh bila sampel diambil secara acak); maka
̅= ∑
dan
= ∑
Di dalam analisis data univariate, besaran-besaran yang sering digunakan
terutama adalah mean sampel (rata-rata) dan variansi sampel. Sebagai
pengembangannya pada analisis data multivariate, akan digunakan vektor mean ̅
dan momen inersia (yang merupakan perluasan dari variansi) (Djauhari, 1988).
2.15 Analisis Peubah Ganda
Misalkan
Maka setiap
adalah vektor acak berukuran
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎢⋮⎥
⎣ ⎦
dinotasikan
( )
( , )
⋮
( , )
Dengan mengartikan
dinotasikan
,…,
mungkin saling
dan matriks kovarian
didefinisikan sebagai:
( )=
⎡
=⎢
⎢
⎣
,
adalah vektor acak dan diasumsikan
tidak bebas. Nilai tengah dari vector acak
dari
× 1 atau
( , )
( )
⋮
( , )
,
=
sebagai unsure ke ( , ) dari matriks
( )
( )
=
⋮
( )
…
…
⋱
…
⋮
=
( , )
⎤
( , )⎥
=
⋮
⎥
( ) ⎦
( )=
dimana:
, bentuk
⋮
⋮
,
…
…
⋱
…
⋮
disebut
25
( ) = [(
=
=
,
1998).
=
− μ ) ] untuk = 1,2, … ,
(
− μ )((
− μ ) untuk ≠ = 1,2, … (Johnson,
2.16 Analisis Korelasi Ganda
Misalkan ingin didapatkan korelasi antara variabel
didefinisikan matriks
(
,
,…,
=
dan
=
) merupakan koragam contoh dari
dan
1
dengan
merupakan matriks koragam contoh dari , analog dengan
merupakan korelasi contoh dari
dengan
dan
=
,
dimana
,…,
dan
=(
,
=
.
,…,
adalah matriks korelsi
contoh dari . Kuadrat korelasi ganda dapat dihitung menggunakan partisi dari
matriks koragam atau partisi dari matriks korelasi sebagai berikut
=
Korelasi ganda
=
kombinasi linear
2.1
dapat didefinisikan dengan maksimum korelasi antara
dan
(Rencher, 2002).
2.17 Analisis Korelasi Kanonik
Analisis kanonik adalah analisis statistika multivariat yang memungkinkan
identifikasi dan kuantifikasi hubungan antara dua himpunan peubah. Jika terdapat
dua kelompok variabel
derajat ekivalensi antara
ekivalen.
dan , melalui teknik analisis kanonik dapat diselidiki
dan
atau seberapa jauh keduanya mendekati keadaan
26
Misalkan terdapat dua kelompok variabel kuantitatif { ̅ , ̅ , … , ̅ } dan
{
,
,…,
} pengertian ekivalensi antara dua variabel kuantitatif, bermakna
bahwa kedua variabel itu ekivalen jika dan hanya jika mereka berimpit atau
memiliki korelasi 1 atau -1. Untuk melihat kemiripan antar kedua kelompok
variabel kuantitaif penyajian data dilakukan dengan mereduksi data yang
berdimensi besar menjadi dimensi kecil dengan pendekatan ruang dual.
Melalui pendekatan ruang dual pereduksian matriks pada setiap kelompok
variabel melibatkan nilai karakteristik dan vektor karakteristik dari matriks varian
kovarian dengan matriks diagonal bobot
. Matriks varian kovarian ditentukan
melalui matriks data terpusat yaitu selisih dari data sebenarnya dengan rataratanya. Sehingga nilai koefisien korelasi kanonik dan nilai pasangan variabel
kanonik juga bersifat terpusat (Djauhari, 1988).
Definisi. Dua kelompok variabel kuantitatif { ̅ , ̅ , … , ̅ } dan {
,
,…,
}
dikatakan ekivalen, jika himpunan semua kombinasi linear dari { ̅ , ̅ , … , ̅ }
berimpit dengan himpunan semua kombinsi linear {
Misalkan = {1, 2, … , } himpunan individu, (
,
,…,
}.
) dan (
) matriks-
matriks data berturut-turut hasil pengukuran kelompok variabel pertama dan
kedua pada . Diagram dual yang sesuai dengan , ,
=
∗
tersebut adalah :
∗
∗
=
∗
=
27
Dimana:
a. Pada
=
b. Pada
=
c. Pada
digunakan basis kanonik { ̅ (1)| = 1, 2, … , } dan metrik
=(
) .
=(
) .
digunakan basis kanonik { ̅ (2)| = 1, 2, … , } dan metrik
digunakan basis kanonik { ̅ | = 1, 2, … , } dan metrik
(Djauhari, 1988).
=
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan pada semester genap tahun ajaran 2015/2016,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam, Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang
menggunakan buku-buku penunjang dan jurnal-jurnal yang berhubungan dengan
tugas akhir ini, kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menerapkan
teori yang telah dipelajari. Langkah-langkah yang digunakan pada penelitian ini
yaitu:
1. Menentukan vektor mean ̅ pada masing-masing kelompok variabel
dan
dengan elemen-elemennya merupakan mean dari setiap variabel yang
diamati.
2. Membakukan data atau menentukan matriks data terpusat dari matriks data
mentah. Untuk memperoleh matriks data terpusat
×
dan
matriks berukuran
operasi matriks berikut :
×
matriks berukuran
dapat dilakukan dalam bentuk
29
Dengan ̅ adalah ∑
=
− ̅ dan
=
− ̅
3. Dengan bobot semua individu pada kedua kelompok variabel sama, maka
diketahui
=
, matriks diagonal bobot berukuran
×
. Selanjutnya
akan ditentukan matriks varian-kovarian tiap kelompok variabel. Misal
diberikan:
= matriks varians-kovarians kelompok variabel pertama.
=
=
= matriks varian-kovarian kelompok variabel kedua.
=
=
=(
variabel pertama dan kedua.
) matriks varian-kovarian kelompok
4. Dari matriks varian-kovarian yang telah diperoleh, maka akan dicari nilai
karakteristik
yang akan digunakan untuk menentukan koefisien korelasi
kanonik dan vektor karakteristik untuk menentukan nilai pasangan
variabel kanonik, dengan persamaan berikut:
Misal

banyaknya variabel pada , dan
Jika
≤ , maka terlebih dahulu mencari nilai karakteristik dari
persamaan det(

banyaknya variabel pada .
−
) = 0, untuk setiap =
Menentukan vektor karakteristik
pada kelompok variabel
1,2, … , .
pertama yang bersesuaian dengan nilai karakteristik
= 1.
, dimana
30

Jika
< , maka terlebih dahulu mencari nilai karakteristik dari
persamaan det(

1,2, … , .
−
Menentukan vektor karakteristik
) = 0, untuk setiap =
pada kelompok variabel kedua
yang bersesuaian dengan nilai karakteristik
=
, dimana
1.
5. Menentukan koefisien korelasi kanonik ( , ) dari nilai karakteristik
yang telah diperoleh :
( , )=
untuk setiap = 1,2, … , .
6. Menentukan nilai pasangan variabel kanonik ( , ) yaitu
variabel kanonik pada kelompok pertama dan
merupakan variabel
kanonik pada kelompok kedua, untuk setiap = 1,2, … ,
=
dan
=
untuk setiap = 1,2, … ,
merupakan
dengan:
V. KESIMPULAN
Dari uraian pembahasan dan analisis yang telah dilakukan, maka diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Melalui pendekatan ruang dual, analisis korelasi kanonik berusaha mereduksi
dimensi ruang untuk melihat kemiripan dua kelompok variabel. Pada
penelitian ini analisis korelasi kanonik berhasil mereduksi dimensi matriks
dengan membentuk matriks varian kovarian melalui matriks data terpusat.
Invers dari matriks varian kovarian tiap variabel merupakan dual dari dari
matriks varian kovarian. Selanjutnya analisis diteruskan dengan melibatkan
matriks varian kovarian dan matriks data terpusat tanpa melibatkan matriks
data awal.
2. Analisis korelasi kanonik berfokus pada korelasi antara kombinasi linear dari
gugus peubah independen dengan gugus peubah dependen. Ide utamanya
mencari pasangan kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar. Pasangan
kombinasi linear kedua kelompok variabel yang dipilih merupakan pasangan
kombinasi linear yang memiliki korelasi terbesar yaitu pada pasangan
kombinasi linear pertama.
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard dan Chris Rorres. 2004. Aljabar Linear Elementer. Jakarta.
Erlangga.
Djauhari, Maman A. 1988. Struktur Data Statistik. Jakarta. Karunika, Universitas
Terbuka.
Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. New York. W.H. Freeman and Company.
Johnson, R. A. dan Winchen, D. W. 2002. Applied Multivariate Statistical
Analysis Fifth Edition. New Jersey. Prentice Hall Inc.
Mattjik, A. Ansori dan Sumertajaya, I Made. 2011. Sidik Peubah Ganda. Bogor.
IPB Press.
Rencher, Alvin C. 2002. Methods of Multivariate Analysis Second Edition. New
York. John Wiley and Sons.