Teori Himpunan Lanjutan

Teori Himpunan Lanjutan
Logika Informatika
Viny Christanti M., M.Kom
Aljabar Himpunan

Jika A, B, C adalah himpunan-himpunan akan berlaku hukum aljabar
himpunan sbb :
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
◦
A A =A
A  A = A } hukum idempoten
(A  B)  C = A  (B  C)
(A  B)  C = A  (B  C)
} assosiatif
A  B = B A
A  B = B A
} komutatif
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
A  (B  C) = (A  B)  (A  C)
} distributif
A   =A A   = 
A  S = S A  S =A
} hukum identitas
A  A` = S A  A` = 
(A`)`= A
S`= 
`= S } komplement
(A  B)` = A`  B`
(A  B)` = A`  B` } de Morgan
Contoh

Buktikan (A  B)  (A  B`) = A
◦ (A  B)  (A  B`) = A  (B  B`)  distributif
◦ B  B` = , sehingga
(A  B)  (A  B`) = A  
◦ A   =A
 identitas,
Jadi (A  B)  (A  B`) = A

Buktikan A  B dan B  C maka A  C !
◦
◦
◦
◦
A = A  B,
B = B  C  definisi subset
A = A  (B  C)
 substitusi
A = (A  B)  C
 assosiatif
A =A  C
 substitusi,
Jadi A  C
 definisi subset.
…

Dualitas
Dual dari setiap hukum aljabar himpunan
adalah juga merupakan hukum.
Dual adalah mempertukarkan pernyataan
dalam himpunan menjadi pernyataan baru.
Jika kita mempertukarkan  dan  dan
juga S dan  dalam setiap pernyataan
mengenai himpunan, maka pernyataan
baru tersebut dinamakan dual dari
pernyataan aslinya.
◦ Contoh :
Dual dari (  B)  (A  S) = A
Adalah (S  B)  (A  ) = A
…

Indexed Sets (Himpunan Berindex)
Misal x1 = {1, 2, 3}, x2 = {2, 4, 6},x3 = {3, 6, 9}
dan I = {1, 2, 3} maka :
 I dinamakan index set (himpunan indeks)
 himpunan {x1, …, x3} dinamakan himpunan berindex
 indeks bawah i dari xi yaitu setiap i  I di namakan
sebuah indeks sehingga sebuah keluarga himpunan
berindeks di atas dinyatakan sebagai {xi}i  I
◦ Contoh :
Definisikan xi = {y  y kelipatan i }, dimana i  I.
x1 = {1, 2, 3, 4}, x2 = {2, 4, 6, ….}, x3 = {3, 6, …},
maka I = {1, 2, 3}
…

Operasi diperumum
Untuk himpunan A1, …. An maka,
in=1 Ai = A1  A2  ….  An
in=1 Ai = A1  A2  ….  An
◦ Misal J  I,
i  J Ai = {x  terdapat i  J sehingga x  Ai}
i  J Ai = {x  x  Ai untuk i  J}
◦ Contoh :
An = (0, 1/n) dimana n  N adalah bilangan asli,
maka :
i  N Ai = {0}
i  N Ai = [0, 1]
Partisi
◦ Misal:
A = {2, 3, 4, 5, …., 9}
B1 = {2, 3},
B2 = {4, 5, 6}, B3 = {7, 8, 9}
◦ B1, B2, B3 adalah keluarga himpunan dan
dinamakan partisi dari A

Syarat:
◦ A= B1  B2 …  Bn
◦ Bi  Bj = { }
Latihan
Selamat Belajar