Teori Himpunan Lanjutan Logika Informatika Viny Christanti M., M.Kom Aljabar Himpunan Jika A, B, C adalah himpunan-himpunan akan berlaku hukum aljabar himpunan sbb : ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ A A =A A A = A } hukum idempoten (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) } assosiatif A B = B A A B = B A } komutatif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) } distributif A =A A = A S = S A S =A } hukum identitas A A` = S A A` = (A`)`= A S`= `= S } komplement (A B)` = A` B` (A B)` = A` B` } de Morgan Contoh Buktikan (A B) (A B`) = A ◦ (A B) (A B`) = A (B B`) distributif ◦ B B` = , sehingga (A B) (A B`) = A ◦ A =A identitas, Jadi (A B) (A B`) = A Buktikan A B dan B C maka A C ! ◦ ◦ ◦ ◦ A = A B, B = B C definisi subset A = A (B C) substitusi A = (A B) C assosiatif A =A C substitusi, Jadi A C definisi subset. … Dualitas Dual dari setiap hukum aljabar himpunan adalah juga merupakan hukum. Dual adalah mempertukarkan pernyataan dalam himpunan menjadi pernyataan baru. Jika kita mempertukarkan dan dan juga S dan dalam setiap pernyataan mengenai himpunan, maka pernyataan baru tersebut dinamakan dual dari pernyataan aslinya. ◦ Contoh : Dual dari ( B) (A S) = A Adalah (S B) (A ) = A … Indexed Sets (Himpunan Berindex) Misal x1 = {1, 2, 3}, x2 = {2, 4, 6},x3 = {3, 6, 9} dan I = {1, 2, 3} maka : I dinamakan index set (himpunan indeks) himpunan {x1, …, x3} dinamakan himpunan berindex indeks bawah i dari xi yaitu setiap i I di namakan sebuah indeks sehingga sebuah keluarga himpunan berindeks di atas dinyatakan sebagai {xi}i I ◦ Contoh : Definisikan xi = {y y kelipatan i }, dimana i I. x1 = {1, 2, 3, 4}, x2 = {2, 4, 6, ….}, x3 = {3, 6, …}, maka I = {1, 2, 3} … Operasi diperumum Untuk himpunan A1, …. An maka, in=1 Ai = A1 A2 …. An in=1 Ai = A1 A2 …. An ◦ Misal J I, i J Ai = {x terdapat i J sehingga x Ai} i J Ai = {x x Ai untuk i J} ◦ Contoh : An = (0, 1/n) dimana n N adalah bilangan asli, maka : i N Ai = {0} i N Ai = [0, 1] Partisi ◦ Misal: A = {2, 3, 4, 5, …., 9} B1 = {2, 3}, B2 = {4, 5, 6}, B3 = {7, 8, 9} ◦ B1, B2, B3 adalah keluarga himpunan dan dinamakan partisi dari A Syarat: ◦ A= B1 B2 … Bn ◦ Bi Bj = { } Latihan Selamat Belajar