FullPower_print _Perbaikan Hasil

PRODUKSI TETRAKUARK DAN PENTAKUARK
PADA PELURUHAN MESON B
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
Ronald Pangidoan Marpaung
030801042
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2009
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
ii
PERSETUJUAN
Judul
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
: PRODUKSI TETRAKUARK DAN PENTAKUARK
PADA PELURUHAN MESON B
: SKRIPSI
: RONALD P. MARPAUNG
: 030801042
: SARJANA (S1) FISIKA
: FISIKA
: MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA
UTARA
Diketahui
Departemen Fisika FMIPA USU
Ketua,
Pembimbing
Dr. Marhaposan Situmorang, M.Sc.
NIP. 130 810 771
Drs. H. Oloan Harahap, M.Sc.
NIP. 130 365 345
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
iii
PERNYATAAN
PRODUKSI TETRAKUARK DAN PENTAKUARK
PADA PELURUHAN MESON B
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Februari 2009
Ronald P. Marpaung
030801042
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
iv
PENGHARGAAN
Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala berkat serta kasih setia-Nya yang
senantiasa melindungi, menyertai, memimpin, dan membimbing penulis, sehingga
dapat menyelesaikan skripsi ini dengan kesungguhan.
Banyak hal yang telah penulis dapatkan selama berkuliah di program studi
Fisika khususnya di bidang peminatan fisika teoritis. Suatu keindahan dan juga
kekaguman melihat keajaiban dan keteraturan alam yang direpresentasikan dalam
bentuk matematika yang sangat kompleks, terlebih ketika penulis mulai menyusun
skripsi ini. Bukan hanya pengetahuan yang penulis peroleh tetapi juga cara berpikir,
pengalaman, dan nilai-nilai kehidupan yang telah disharingkan. Kiranya di waktuwaktu kedepan Tuhan mengizinkan penulis untuk tetap berkontribusi di bidang ini.
Banyak orang-orang yang telah berjasa selama penulis mengikuti perkuliahan
hingga berkelut dalam penyusunan skripsi ini. Ucapan terima kasih penulis tujukan
kepada mereka. Terlebih dahulu kepada Ayahanda Drs. J. Marpaung dan Ibunda P. Br
Bakkara yang keduanya telah tiada, atas semua kasih, doa, kerja keras dan nasehat
yang diberikan ketika masa hidupnya, maka penulis bisa kuliah sampai menyelesaikan
studi di kampus ini. Ucapan terima kasih kepada Drs. H. Oloan Harahap, M.Sc
sebagai pembimbing pada penyusunan skripsi ini yang telah memberikan kepercayaan
penuh pada penulis untuk penyelesaian skripsi ini. Beberapa panduan ringkas dan
cermat telah diberikan kepada penulis untuk secepatnya menyelesaikan skripsi ini.
Juga ucapan terima kasih kepada semua dosen Fisika lainnya yang telah memberikan
pengetahuan yang sangat berharga bagi penulis selama berkuliah. Ucapan terima kasih
juga ditujukan kepada Departemen Fisika FMIPA USU terutama kepada Ketua
Departemen Dr. Marhaposan Situmorang, M.Sc, Sekretaris Departemen Dra. Justinon,
MS beserta staf dan pegawai yang membantu dalam proses administrasi. Tak terlupa
juga ucapan terima kasih kepada staf dan pegawai di lingkungan perpustakaan USU.
Penulis juga mengucapkan banyak terima kasih kepada rekan-rekan kuliah
seperjuangan mahasiswa Fisika, khususnya angkatan 2003 dan bidang peminatan
fisika teoritis. Demikian juga teman-teman lain yang tidak mungkin disebutkan
namanya satu persatu, penulis mengucapkan salam dan banyak terima kasih atas
bantuannya. Akhirnya tak akan terlupakan ucapan terima kasih kepada keluarga dekat,
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
v
kakak dan adik-adik penulis yang telah memberikan doa, dukungan, dan perhatiannya
selama ini.
Akhirnya penulis berharap skripsi ini memberikan gagasan-gagasan baru bagi
pembacanya sehingga memberikan kontribusi bagi penelitian-penelitian fisika
selanjutnya. Semoga bidang fisika, khususnya fisika teori dapat lebih berkembang di
negeri ini.
Ronald P. Marpaung
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
vi
ABSTRAK
Laju peluruhan meson B yang memproduksi tetrakuark dan pentakuark telah dihitung
dalam kerangka standard model. Dengan pendekatan sampai tree-level, proses
peluruhan tingkat hadron, B → H + Z , dihitung dari peluruhan pada tingkat kuark,
b → d + qu u . Diprediksi tetrakuark dan pentakuark yang berpeluang besar diproduksi
oleh eksperimen pada B-factory.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
vii
PRODUCTION OF TETRAQUARK AND PENTAQUARK
IN B MESON DECAYS
ABSTRACT
Decay rate of B meson that produce the tetraquark and pentaquark has been counted in
a standard model framework. By using tree-level approximation, decay process of
hadronic level, B → H + Z , has been calculated from quark level, b → d + qu u .
Predicted tetraquark and pentaquark which possibly produced by experiment at Bfactory.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
viii
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ………………………………………………………………………….. ii
Pernyataan…………………………………………………………………………… iii
Penghargaan …………………………………………………………………............ iv
Abstrak ………………………………………………………………………............ vi
Abstract ………………………………………………………………………........... vii
Daftar Isi……………………………………………………………………….......... viii
Daftar Gambar………………………………………………………………………. x
Daftar Tabel ................................................................................................................ xi
Bab 1. Pendahuluan ....................................................................................................
1.1 Latar Belakang .........................................................................................
1.2 Perumusan Masalah .................................................................................
1.3 Batasan Masalah ......................................................................................
1.4 Tujuan Penelitian .....................................................................................
1.5 Metode Penelitian ....................................................................................
1.6 Sistematika Penulisan ..............................................................................
1
1
3
3
4
4
4
Bab 2. Tinjauan Pustaka .............................................................................................
2.1 Kuark dan Interaksinya ............................................................................
2.2 Meson B ...................................................................................................
2.3 Electroweak Standard Model...................................................................
2.3.1 Lagrangian untuk Sektor Kuark .....................................................
2.3.2 Mekanisme Higgs ..........................................................................
2.3.3 Massa Kuark ..................................................................................
2.3.4 Mixing pada Kuark .........................................................................
2.4 Feynman Rules .........................................................................................
2.5 Peluruhan Tiga Benda ..............................................................................
2.6 Resonansi Eksotik dalam Peluruhan Meson B ........................................
6
6
7
8
8
10
13
14
15
17
19
Bab 3. Hasil Dan Pembahasan ...................................................................................
3.1 Diagram Peluruhan Meson B ...................................................................
3.2 Perhitungan Amplitudo ............................................................................
3.3 Perhitungan Laju Peluruhan ....................................................................
3.4 Parameter yang digunakan .......................................................................
3.5 Produksi Tetrakuark .................................................................................
3.6 Produksi Pentakuark ................................................................................
3.7 Pembahasan .............................................................................................
20
20
23
29
31
32
34
35
Bab 4. Penutup ........................................................................................................... 37
4.1 Kesimpulan .............................................................................................. 37
4.2 Saran ........................................................................................................ 37
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
ix
Daftar Pustaka ............................................................................................................. 38
Lampiran .....................................................................................................................
A. Satuan dan Konversi .............................................................................................
B. Vektor-Empat dan Produk Skalar .........................................................................
C. Aljabar Dirac Matriks Gamma ..............................................................................
D. Teorema Trace dan Identitas Kontraksi ................................................................
E. Spinor Dirac ..........................................................................................................
F. Arti Simbol dan Singkatan ...................................................................................
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
39
39
39
41
43
44
44
x
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1
Gambar 2.2
Gambar 3.1
Gambar 3.2
Potensial interaksi Higgs ………………………………………………
Peluruhan tiga-benda ............................................................................
Peluruhan B → H + Z ...........................................................................
Diagram tingkat kuark produksi tetrakuark (a) dan pentakuark (b)
pada peluruhan meson B ........................................................................
Gambar 3.3 Peluruhan b → d + qu u .........................................................................
11
17
20
21
22
Gambar 3.4 Diagram Feynman peluruhan b → d + qu u .......................................... 23
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
xi
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Pembagian jenis kuark …………………………………………………. 6
Tabel 3.1 Kanal peluruhan meson B yang memproduksi tetrakuark
berdasarkan matriks CKM ........................................................................ 35
Tabel 3.1 Kanal peluruhan meson B yang memproduksi pentakuark
berdasarkan matriks CKM ........................................................................ 36
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Hal yang terus dilakukan oleh fisikawan energi tinggi adalah mencari satuan terkecil
dari materi dan sekaligus memahami interaksi diantaranya. Pencarian materi terkecil
ini akan mengungkap apa sebenarnya materi dasar penyusun alam semesta ini. Dan
dengan memahami interaksi antar materi, kita akan mengetahui bagaimana kuark
berikatan membentuk nukleon, nukleon berikatan membentuk inti, inti bersama-sama
dengan elektron (lepton) membentuk atom atau molekul, dan sampai pada interaksi
benda-benda yang dapat kita lihat di sekeliling kita.
Hingga saat ini telah diketahui bahwa partikel dasar penyusun alam semesta
terbagi menjadi dua macam, yaitu fermion dan boson. Fermion yang menjadi partikel
dasar utama terbagi menjadi dua kelompok, yaitu kuark dan lepton. Kuark terbagi atas
enam jenis yang disebut flavor, mereka adalah up (u), down (d), charm (c), strange (s),
top (t), dan bottom (b). Kuark ini berinteraksi melalui gaya kuat, gaya elektromagnetik
dan gaya lemah. Lepton terdiri atas elektron (e) , muon (µ) , dan tau (τ ) , beserta
neutrino-neutrinonya. Lepton berinteraksi melalui gaya elektromagnetik dan gaya
lemah. Sedangkan partikel boson berfungsi sebagai perantara interaksi-interaksi ini.
Interaksi kuat diperantarai oleh gluon, interaksi elektromagnetik diperantarai oleh
foton, interaksi lemah diperantarai oleh boson W dan Z. Sebenarnya terdapat satu lagi
interaksi di alam semesta ini yang terlebih dahulu ditemukan, yaitu interaksi gravitasi
yang diduga diperantarai boson graviton.
Keseluruhan teori mengenai partikel dan interaksinya di atas (tidak termasuk
gravitasi), merupakan kesatuan teori yang disebut standard model (SM). Memang
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
2
bidang high energy physics (HEP) merupakan bidang fisika yang cukup sulit untuk
digali, tetapi di bidang ini masih terdapat fenomena-fenomena yang sangat menarik
dan belum terpecahkan sampai saat ini. SM muncul sebagai teori yang mampu
menjelaskan hampir sebagian besar fenomena dalam HEP.
Salah satu partikel elementer yang cukup menarik untuk dibahas belakangan
ini adalah kuark. Kuark memiliki sifat yang unik, SM memberikan penjelasan bahwa
kuark tidak pernah teramati sebagai partikel bebas. Kuark harus berikatan dengan
kuark lainnya oleh partikel gluon dan membentuk partikel yang disebut hadron.
Hadron ini terbagi menjadi dua kategori, yaitu baryon dan meson. Baryon terbentuk
dari gabungan tiga kuark (qqq ), sedangkan meson terbentuk dari gabungan satu kuark
dan satu anti-kuark ( qq ). Sampai saat ini, komposisi ini merupakan model yang ideal
bagi SM dalam memahami partikel dan interaksinya. Walaupun demikian, tidak
tertutup kemungkinan adanya model dengan komposisi yang berbeda, seiring dengan
perkembangan akselerator-akselerator berkecepatan tinggi di dunia.
Hal ini dibuktikan dengan eksperimen di beberapa negara yang telah
mengkonfirmasi adanya partikel baru, yaitu X dengan massa 3870 MeV/c2 dan θ +
dengan massa 1540 MeV/c2 (Roy, 2003). Partikel tersebut mempunyai komposisi
kuark yang berbeda, yaitu tetrakuark ( qqqq ) dan pentakuark ( qqqqq ). Dalam
perkembangannya kedua partikel ini disebut sebagai meson eksotik dan baryon
eksotik. Partikel tersebut dikatakan eksotik karena tidak bisa dikategorikan dalam
model kuark (konvensional) yang sudah ada. Adanya partikel baru ini, memberikan
pemahaman kita mengenai interaksi kuat yang umumnya hanya bisa didekati dengan
metode perturbasi (perturbative of Quantum Chromodynamic atau pQCD).
Konfirmasi dari beberapa eksperimen terhadap partikel yang berada di luar
model konvensional membuat para fisikawan tertantang untuk mengusulkan jenis
partikel baru dengan bermacam cara produksinya dan mempelajari sifat kuantumnya.
Dalam skripsi ini, penulis mencoba mengamati produksi partikel tetrakuark dan
pentakuark yang terjadi pada peluruhan meson B.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
3
1.2
Perumusan Masalah
Ketika peluruhan suatu hadron terjadi, maka peluruhan sebenarnya merupakan
peluruhan dari subsistemnya yaitu peluruhan kuark yang ada didalamnya. Meson B
dengan komposisi kuark b didalamnya yang tergolong bermassa besar, ditemani kuark
lain yaitu u atau d dengan massa yang jauh lebih kecil. Dengan komposisi seperti ini,
meson B cenderung mudah sekali meluruh menjadi partikel lain, termasuk membentuk
partikel dengan komposisi tetrakuark dan pentakuark.
Sifat meson B yang mudah meluruh menyebabkan dominasi interaksi kuatnya
relatif kecil. Ini menjadi hal yang aneh ketika interaksi lemah yang berperan dalam
proses peluruhan menjadi dominan dibandingkan interaksi kuat. Konsekuensinya
adalah pada SM, dimana perhitungan QCD yang menaungi interaksi kuat dapat
diabaikan dalam peluruhan ini. Konsekuensi lain adalah diabaikannya koreksi satuloop pada setiap verteks diagram Feynman, juga interaksi antar kuarknya. Walaupun
demikian SM masih mempunyai aturan pada interaksi lemah dan elektromagnetik
dalam peluruhan meson B ini. Tidak semua kanal reaksi yang dihasilkan dari
peluruhan meson B untuk memproduksi tetrakuark dan pentakuark dapat berlangsung
sesuai teori SM. Setiap kanal harus mematuhi hukum konservasi yang ada,
diantaranya konservasi muatan dan bilangan kuantum flavor, juga transisi kuark dalam
pencampuran kuark (kuark mixing).
Mengingat banyaknya kanal peluruhan yang dapat diproduksi dari meson B
termasuk partikel tetrakuark dan pentakuark, maka diperlukan perumusan untuk
menghitung laju peluruhan setiap kanal. Perlu juga diamati kanal peluruhan yang
berpeluang terbesar untuk berlangsung dalam eksperimen B-factory. Untuk itu
diperlukan juga besaran fisis branching ratio (BR).
1.3
Batasan Masalah
Kajian masalah dalam skripsi ini dibatasi hanya penelusuran pada teori standard
model tanpa interaksi kuat. Penerapannya dalam proses peluruhan ini juga dibatasi
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
4
hanya sampai tree-level standard model. Penurunan standard model mulai dari
lagrangian hingga feynman rules secara detail tidak dilakukan, karena tidak relevan
dengan topik penelitian. Penurunan lagrangian dan feynman rules secara detail dan
lengkap dapat dilihat di semua buku-buku Field Theory.
1.4
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan,
1. Menghitung laju peluruhan meson B yang memproduksi partikel tetrakuark dan
pentakuark.
2. Menyelidiki lebih lanjut apakah partikel hadron di luar model konvesional bisa
diamati atau tidak.
3. Perhitungan lebih lanjut dengan menghitung nilai branching ratio dari setiap kanal
peluruhan untuk melihat kemungkinannnya pada eksperimen B-factory.
1.5
Metode Penelitian
Penelitian yang dikerjakan ini bersifat teoritis, sehingga kita memerlukan kerangka
teoritis yang sudah diakui kebenarannya, yaitu standard model. Kita memerlukan
standard model dalam menurunkan amplitudo invarian sehingga dari perumusan
peluruhan tiga benda diperoleh laju peluruhan. Laju peluruhan ini selanjutnya
diaplikasikan ke setiap kanal peluruhan. Karena penelitian ini bersifat teoritis, maka
diperlukan sumber informasi yang langsung tepat mengenai topik penelitian. Sumber
informasi ini diperoleh dari buku dan jurnal.
1.6
Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis terbagi menjadi empat bab, dengan penjelasan bab demi bab adalah
sebagai berikut,
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
5
Pada bab 1 dikemukakan latar belakang penelitian, perumusan masalah, batasan
masalah, tujuan penelitian, dan metode penelitian yang digunakan.
Bab 2 merupakan tinjauan pustaka yang membahas mengenai kuark dan
interaksinya. Dilanjutkan pembahasan meson B sebagai sumber untuk
memperoleh tetrakuark dan pentakuark. Kemudian dibahas model standar elektrolemah sebagai landasan perhitungan yang dikonsentrasikan pada sektor kuark.
Demikian juga aturan Feynman dan perumusan laju peluruhan tiga benda juga
dibahas pada bab ini.
Bab 3 berisi hasil dan pembahasan. Pada bab ini akan dibahas bagaimana partikel
tetrakuark dan pentakuark dapat diproduksi dari peluruhan meson B. Dengan
melihat diagram Feynman, pembaca bisa mengetahui bahwa peluruhan hadron
merupakan peluruhan dari subsistemnya yaitu kuark. Kemudian dilanjutkan
dengan perhitungan amplitudo, laju peluruhan, dan penerapannya pada beberapa
kanal peluruhan. Kemudian dibahas bagaimana kemungkinan partikel ini untuk
bisa dideteksi oleh eksperimen dengan mengamati besar laju peluruhan dan nilai
branching ratio-nya.
Bab 4 berisi kesimpulan mengenai penelitian yang telah dilakukan serta saransaran untuk penelitian mendatang dengan topik yang berkaitan dalam skripsi ini.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
6
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Kuark dan Interaksinya
Kuark yang tergolong fermion memiliki spin 1/2 sama seperti elektron, sehingga
meson yang juga bound state dari kuark-antikuark bisa dipandang sebagai kuarkonium
dengan menggunakan analogi dari positronium yang merupakan bound state elektron
e− dan positron e+ (Perkins, 1986). Sama seperti lepton, kuark juga tergolong dalam
enam jenis dan tiga generasi dari massa yang ringan (light kuark) sampai massa yang
terberat (heavy kuark).
Tabel 2.1 Pembagian jenis kuark
Kuark
Muatan
Massa (GeV/c2)
-3
Generasi
-3
down
d
-1/3
3 x 10 s/d 7 x 10
up
u
2/3
1,5 x 10-3 s/d 3,5 x 10-3
strange
s
-1/3
0,07 s/d 0,13
charm
c
2/3
1,0 s/d 1,5
bottom
b
-1/3
4,0 s/d 4,5
top
t
2/3
170 s/d 175
I
II
III
Selain meson, kuark memiliki cara lain untuk berikatan yang kita sebut sebagai
baryon yang membentuk kumpulan tiga kuark. Proton dan neutron adalah contoh
baryon yang teringan yang secara kolektif disebut nukleon. Baryon memiliki
keistimewaan. Keistimewaannya adalah karena dari sinilah kita memperkenalkan
konsep warna. Kita mengetahui bahwa kuark adalah fermion, dan fermion memenuhi
prinsip larangan Pauli, yaitu tidak terdapat dua partikel yang berada dalam keadaan
kuantum yang sama pada tingkat energi yang sama. Dengan kata lain, fungsi
gelombang haruslah antisimetrik untuk setiap pertukaran fermion.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
7
Kuark dapat memiliki komposisi uuu atau ddd, ambil contoh dari partikel ∆ . Kalau
kita tinjau prinsip larangan Pauli, maka ia akan melanggar, karena pertukaran kuarknya selalu simetrik. Jadi diperlukan konsep baru di sini agar eksklusi Pauli tetap
berlaku pada partikel ∆ , yaitu konsep warna, dimana warna-warna tersebut adalah
red, green, blue (RGB). Penjelasan lengkap tentang penggabungan kuark dan konsep
warna ini diberikan oleh oleh teori kromodinamika kuantum (QCD). Konsep warna
dalam teori ini tidaklah sama dengan istilah warna dalam kehidupan sehari-hari.
Kuark berinteraksi melalui gaya kuat, gaya elektromagnetik dan gaya lemah.
Interaksi lemah berperan ketika kuark ini meluruh, dan peluruhan kuark hanya terjadi
jika kuark tersebut lebih berat dari hasil peluruhannya. Kuark-kuark yang dapat
meluruh adalah, diurutkan dari yang paling berat, t, b, c, dan s. Keempat kuark ini bisa
meluruh menjadi u dan d. Tapi, kuark berat seperti t dan b kemungkinan meluruh
dahulu ke c atau s baru ke u dan d seperti yang diketahui dari matriks CKM.
2.2
Meson B
Meson B adalah partikel berat yang merupakan gabungan dari kuark b dan kuark u
atau d. Meson B ini sangat menarik untuk dibahas, terutama peluruhannya. Alasannya
adalah sebagai berikut:
a) Komposisi dalam meson B dengan kuark b yang jauh lebih berat mengakibatkan
meson B cenderung mudah sekali meluruh.
b) Adanya kebebasan asimptotik pada QCD dan besarnya massa momentum yang
dilepaskan oleh kuark ini, maka interaksi electroweak dan kuat sangat berkorelasi.
Peran yang dimainkan oleh perhitungan perturbatif dapat diperbaiki lebih jauh
dengan metode grup renormalisasi.
c) Simetri baru yang disebut heavy flavor symmetry (HFS) muncul dalam Lagrangian
efektif yang diturunkan dari QCD dengan limit M → ∞ (M adalah kuark berat).
Simetri ini membolehkan penentuan faktor bentuk yang terlibat dalam mode
peluruhan eksklusif. Beberapa dari prediksi ini memainkan peranan penting dalam
penentuan elemen matriks CKM. Ekspansi 1/M memberikan kerangka teoritik
yang solid untuk model spektator dimana hanya kuark berat saja yang mengalami
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
8
peluruhan, sementara konstituen lainnya adalah pengamat (spektator) (Barger,
1987).
Maka ketika meson B meluruh, interaksi kuat menjadi relatif lebih kecil
dibanding interaksi lemah. Konsekuensi yang muncul dari alasan diatas adalah pada
SM dimana perhitungan QCD yang menjelaskan interaksi kuat dapat diabaikan.
Dengan demikian teori SM yang kita gunakan untuk menjelaskan peluruhan meson B
ini adalah standard model elektro-lemah (elektroweak standard model).
2.3
Electroweak Standard Model
Pada bagian ini penulis akan menguraikan secara singkat interaksi elektroweak dalam
SM. Teori ini diperkenalkan oleh S.L. Glashow, S. Weinberg, dan A. Salam (sehingga
sering juga disebut sebagai teori GWS) yang merupakan unifikasi dari interaksi lemah
dan elektromagnetik. Kedua interaksi tersebut sebelumnya dirumuskan secara terpisah.
Perumusan elektromagnetik diberikan oleh model QED (Quantum Electro Dynamic),
dan interaksi lemah dirumuskan oleh model V-A (Vector – Axial Vector) dan model
IVB (Intermediate Vector Boson) (Barger, 1987). Grup simetri yang sesuai untuk
interaksi elektro-lemah adalah grup SU (2)L ×U (1)Y . Secara garis besar SM
dikembangkan dari teori medan kuantum yang merupakan penggabungan dari teori
relativitas khusus dan mekanika kuantum.
2.3.1 Lagrangian untuk Sektor Kuark
Pada pembahasan mengenai partikel elementer, keadaan mengenai sistem partikel
tersebut direpresentasikan dalam medan (field). Dari eksperimen peluruhan inti beta
didapat bahwa state untuk kuark left-handed adalah doublet sedangkan kuark righthanded adalah singlet.
u i 
QL ≡  Li 
d L 
dan
QR ≡ u Ri , d Ri ,
dimana u i berarti up, charm, top, d i berarti down, strange, dan bottom.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(2.1)
9
Keseluruhan interaksi pada sistem fermion (kuark) di atas tercakup pada
lagrangiannya. Dari persamaan Dirac (Martin, 2008), lagrangian dapat ditulis sebagai
L = iψγ µ ∂ µ ψ − mψψ.
(2.2)
Suku pertama pada ruas kanan disebut suku kinetik. Suku inilah yang bertanggung
jawab terhadap keberadaan partikel atau medan tersebut. Sedangkan suku kedua
merupakan suku massa, yang ditandai oleh interaksi partikel dengan antipartikelnya.
Karena hukum fisika mengenai partikel tersebut ada dalam lagrangiannya,
maka jika mengacu ke postulat Einstein, seluruh hukum fisika harus invarian terhadap
setiap transformasi. Artinya, jika dilakukan transformasi gauge lokal, secara umum
berbentuk U = eiα ( x ) , pada medan, maka lagrangian tidak berubah, yang dinyatakan
oleh
δL = 0.
(2.3)
Berdasarkan syarat di atas, maka penambahan suku apapun pada lagrangian dapat
dibenarkan sepanjang tidak mengubah lagrangian.
Model GWS menggunakan simetri gauge lokal SU (2)L ×U (1)Y , dengan
operator transformasi yang berbentuk
a
U = eigT e
Y
ig ′ θ ( x )
2
,
(2.4)
1
dengan g dan g ′ merupakan konstanta kopling, T a = σ a , adalah operator isospin
2
2× 2, dan a = 1, 2,3. Jika ini dilakukan pada medan, maka agar persamaan (2.3)
berlaku maka perlu dikonstruksi suatu covariant derivative, Dµ , yang berbentuk
i
Dµ = ∂ µ − igT aWµa − g ′YBµ ,
2
(2.5)
dimana Y merupakan parameter bebas yang disebut hypercharge. Operator isospin dan
hypercharge memenuhi hubungan Gell-Mann-Nishijima (Quigg, 1983) dimana
Y
Q =T3 + .
2
(2.6)
Disini diperkenalkan juga medan vektor baru Wµa dan Bµ .
Sebagai konsekuensi diperkenalkannnya medan gauge baru, maka perlu
dibentuk suku kinetik dari medan gauge sebagai berikut
1
1
LG = − Fi µν Fµνi − B µν Bµν
4
4
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(2.7)
10
dimana Fµνi adalah kuat medan SU (2) ,
Fµνi = ∂ µWνi −∂ νWui − gǫijkWµjWνk
(2.8)
dan Bµν adalah kuat medan U (1) ,
Bµν = ∂ µ Bν −∂ ν Bµ
(2.9)
Jika persamaan (2.5) digunakan pada suku kinetik persamaan (2.2), maka diperoleh
sektor fermion dari lagrangian sebagai berikut
3


g (Wµ1 − iWµ2 ) 

i  gWµ + g ′YBµ
 ψ.
LF = iψγ ∂ µ − 


2  g (Wµ1 + iWµ2 ) −gWµ3 + g ′YBµ 



µ
(2.10)
2.3.2 Mekanisme Higgs
Prinsip invarian yang dibangun pada subbab sebelumnya, menyatakan bahwa
lagrangian harus invarian terhadap simetri yang dibawa. Konsekuensinya adalah tidak
terdapat suku massa boson gauge yang berbentuk M W WµW µ dan M W Bµ B µ karena
tidak invarian terhadap simetri SU (2)L ×U (1)Y , yang berarti boson gauge itu tidak
bermassa. Medan boson gauge ini biasa disebut sebagai Yang-Mills field.
Untuk kasus teori elektroweak, telah diketahui dari hasil peluruhan beta,
bahwa boson gauge yang terlibat sangat masif. Ini bertentangan dengan teorema
Yang-Mills bahwa boson gauge harus massless. Untuk mengakomodasi boson gauge
masif ini, maka simetri SU (2)L ×U (1)Y harus dirusak. Namun, penambahan suku
M W WµW µ tetap tidak diperbolehkan karena mengakibatkan teori electroweak ini tidak
bisa direnormalisasi. Renormalisasi adalah syarat bagi teori dalam fisika partikel agar
besaran fisis yang dihitung berdasarkan teori tersebut, dalam hal ini matriks transisi
(M) yang akan memberikan decay rate, tidak bernilai divergen.
Salah satu cara perusakan simetri ini adalah melalui mekanisme Higgs (Kane,
1987), yang dilakukan dengan memperkenalkan boson Φ yang berbentuk doublet
sebagai berikut
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
11
φ+ 
Φ =  0 .
 φ 
(2.11)
Boson ini memiliki hypercharge, Y = 1. Akibat adanya boson Higgs, maka muncul
suku kinetik Higgs pada lagrangian yang berbentuk
∗
LHG = ( D µΦ) DµΦ −V (Φ)
(2.12)
dengan Dµ dinyatakan dalam persamaan (2.5). Sedangkan V dinyatakan dalam
V (Φ) = −µ 2Φ†Φ + λ (Φ†Φ)
2
(2.13)
yang jelas invarian terhadap transformasi gauge. Disini µ adalah parameter massa
dan λ adalah kontanta kopling diri. Untuk µ 2 dan λ bernilai positif, kurva V terlihat
seperti pada gambar 2.1, yang memiliki vacuum expectation value (VEV) pada
keadaan dasar yang besarnya
 0 
 ,
Φ 0 = 
υ 2 
(2.14)
dimana
υ≡
µ2
.
λ
(2.15)
Sehingga medan Higgs kini dapat ditulis menjadi
 φ + 
.
Φ = 
0
υ + φ 
(2.16)
Gambar 2.1 Potensial interaksi Higgs
Karena VEV dipilih untuk nilai yang tidak sama dengan nol, maka terlihat dari
gambar 2.1 bahwa lagrangian tidak simetris pada keadaan dasar, yang berarti simetri
telah dirusak. Namun, karena perhitungan tetap dilakukan pada daerah di sekitar
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
12
ground state Φ
0
yang tidak sama dengan nol tersebut, maka hasil ini didapat tetap
konvergen. Massa boson gauge dapat ditentukan dari persamaan (2.12) dengan
mengganti Φ pada persamaan tersebut dengan persamaan (2.16). Suku yang relevan
memberikan
2
2
1 
Lmassa gauge = υ 2  g 2 (Wµ1 ) + g 2 (Wµ2 ) + (−gWµ3 + g ′Bµ ) 

8 
2
 g 2 −gg ′W 3µ 
 υ g  + −µ υ 2

 µ 
=   Wµ W + (Wµ3 Bµ )
2 
 2 
8
−gg ′ g ′  B 
karena Wµ± ≡
(2.17)
1
1
(Wµ1 ∓ iWµ2 ) , yang akan memberikan massa W sebesar 2 υ g. Bagian
2
yang tidak diagonal harus didiagonalisasi untuk memberikan boson gauge yang fisis.
Proses ini menyebabkan medan gauge Wµ3 dan Bµ teredefenisi menjadi
Z µ ≡ cos θωWµ3 − sin θω Bµ
(2.18)
Aµ ≡ sin θωWµ3 + cos θω Bµ
dengan tan θω = g ′ g . Salah satu nilai eigen matriks massa 2× 2 pada persamaan
(2.17) memiliki harga nol. Ini terkait dengan medan baru Aµ . Dengan demikian,
interaksi electroweak diperantarai oleh tiga boson gauge masif dan satu boson gauge
massless. Sebagai akibatnya, turunan kovarian pada persamaan (2.5) dinyatakan
dalam
Dµ = ∂ µ − i
−i

1
g
Y
(Wµ+T + + Wµ−T − ) − i 2 2 Z µ  g 2T 3 − g ′ 2 2 
2
g + g′

Y
Aµ T 3 +  ,

2
g 2 + g ′2
gg ′
(2.19)
dimana T ± = (T 1 ± iT 2 ). Suku terakhir pada persamaan diatas memperlihatkan bahwa
(
boson gauge massless Aµ terikat dengan generator gauge T 3 +
Y
2
). Sesuai dengan
persamaan (2.6), maka suku ini berarti interaksi elektromagnetik. Jadi, dapat
didefenisikan
e≡
gg ′
g 2 + g ′2
,
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(2.20)
13
dimana e adalah muatan elektron. Jelas terlihat bahwa boson gauge massless tersebut
adalah foton.
Proses perusakan simetri diatas telah berhasil mendapatkan massa boson
gauge, yang memerantarai interaksi electroweak ini. Dengan demikian, lagrangian
untuk sektor kuark jika ditulis dalam ketiga boson gauge baru tersebut menjadi
/ )QL + u Ri (i∂
/ )u Ri + d Ri (i∂
/ ) d Ri
LF = QL (i∂
µ
+ g (Wµ+ JWµ+ + Wµ− JWµ− + Z µ J Zµ ) + eAµ J EM
,
(2.21)
dimana
JWµ+ =
1
(uLi γ µ d Li ) ,
2
JWµ− =
1
(d Li γ µuLi ) ,
2
J Zµ =
1
cos θω

1 2

 2

u Li γ µ  − sin 2 θω  uLi + uRi γ µ − sin 2 θω  u Ri


 3

 2 3


 1 1

1
 
+ d Li γ µ − + sin 2 θω  d Li + d Ri γ µ  sin 2 θω  d Ri  ,
 3
 2 3

 
 2
 1
µ
= u i γ µ   u i + d i γ µ −  d i .
J EM
 3 
 3 
(2.22)
2.3.3 Massa Kuark
Prinsip mekanisme Higgs di atas tidak hanya bisa mendapatkan massa untuk boson,
namun juga dikembangkan untuk menentukan massa fermion. Untuk itulah, maka
suku massa harus diperkenalkan pada lagrangian, yang berbentuk interaksi antara
partikel dan antipartikelnya,
Lmassa = mψψ.
(2.23)
Disini, m merupakan besaran kopling interaksi yang diinterpretasikan sebagai massa.
Jika ditulis dalam komponen left-handed dan right-handed,
Lmassa = m (ψL ψR + ψR ψL ).
(2.24)
Mengingat persamaan (2.1), komponen left-handed harus berbentuk doublet
dan komponen right-handed berbentuk singlet, maka persamaan (2.24) diatas tidak
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
14
bisa dikalikan. Untuk itulah, mekanisme Higgs kembali digunakan, yaitu dengan
menyelipkan medan Higgs Φ di antara fermion. Sehingga suku massa sekarang
mengandung medan boson Higgs dan fermion, yang dituliskan sebagai
u j − f ij Q i Φ
j
LHF = − fuij Q iL Φ
R
u
L uR
= − f uij (u Li φ 0 u Rj + d Li φ− u Rj + υu Li u Rj )
− f dij (u Li φ + d Rj + d Li φ 0 d Rj + υd Li d Rj )
(2.25)
dimana
= iτ Φ∗
Φ
2
(2.26)
Disini terdapat besaran kopling baru, yaitu fu dan f d yang menandakan adanya
interaksi kuark dengan boson Higgs, yaitu interaksi tiga field yang biasa disebut
interaksi Yukawa. Interaksi ini berjalan dengan perantaraan boson φ 0 , φ− , dan φ+ .
Sedangkan interaksi partikel dan antipartikel pada persamaan (2.25) memberikan suku
massa,
Lmassa = −u Li υ f uij u Rj − d Li υ f dij d Rj
(2.27)
Namun, karena konstanta kopling fu dan f d secara umum tidak diagonal, maka
secara fisis massa kuark belum didapat. Agar didapat massa fisis dari kuark, maka
harus dilakukan diagonalisasi.
Lmassa = −u L′ k (U † ) ki υ f uij U jl u R′ j − d L′ k (V † ) ki υ f dijV jl d R′ j
= −u Lk mukl δ kl u Rl − d Lk mdkl δ kl d Rl ,
(2.28)
dimana
mukl = (U † ) ki υ f uij U jl ,
dan
mdkl = (V † ) ki υ f dijV jl .
(2.29)
Disini, field untuk kuark telah teredefenisi menjadi
u i = U ij u ′ j ,
dan
d i = V ij d ′ j ,
(2.30)
Dengan state yang mengandung tanda prima merupakan eigenstate massa.
2.3.4 Mixing pada Kuark
Akibat meredefinisi medan pada suku massa, maka secara umum, eigenstate pada
lagrangian yang gauge invariant (biasa disebut weak eigenstate) juga harus
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
15
diredefenisi. Dari lagrangian suku kinetik pada persamaan (2.21), proses redefenisi
saling menghilangkan pada interaksi yang melibatkan pertukaran boson Z dan foton.
Sedangkan untuk interaksi yang melibatkan pertukaran boson W menjadi
JWµ+ =
=
JWµ− =
=
1
1
(uLi γ µ d Li ) = (uL′i γ µ (U † )ik V kj d L′ j )
2
2
1
ij
d L′ j ).
(uL′i γ µ VCKM
2
1
1
(d Li γ µuLi ) = (d L′i γ µ (V † )ik U kj uL′ j )
2
2
1
ij
uL′ j ).
(d L′i γ µ VCKM
2
(2.31)
dimana, VCKM disebut matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa atau matriks CKM (Pich,
2005), yang nilainya diperoleh dari data eksperimen.
VCKM
Vud

= Vcd

Vtd
Vus Vub 

Vcs Vcb 

Vts Vtb 
0,9738 − 0,9750 0, 218 − 0, 224
0, 001− 0, 007 


≈  0, 218 − 0, 224 0,9734 − 0,9752 0, 030 − 0,058 


0, 029 − 0,058 0,9983 − 0,9996
 0, 003 − 0, 019
(2.32)
Matriks diatas menunjukkan bahwa pada sektor kuark terjadi pencampuran (mixing).
Artinya, keadaan kuark merupakan kombinasi linier dari kuark lainnya. Ini berarti
terdapat probabilitas untuk bertransisi dari satu generasi kuark ke generasi lainnya.
2.4
Feynman Rules
Pada subbab sebelumnya telah dibahas tentang penurunan lagrangian sistem yang
dikonsentrasikan pada sektor kuark, kemudian dilanjutkan dengan penjabaran kuark
mixing. Dari lagrangian ini dapat dijabarkan bagaimana interaksi antara fermion
dengan fermion, fermion dengan boson, fermion dengan partikel Higgs dan seterusnya.
Demikian juga dengan matriks CKM, dari sini dapat diketahui transisi yang bisa
terjadi antara kuark satu dengan kuark lainnya. Sekarang setelah didapatkan
lagrangian yang lengkap maka dapat dibuat daftar Feynman rule yang diperlukan
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
16
dalam perhitungan amplitudo peluruhan. Tetapi tidak semua Feynman rule dituliskan
disini, hal ini hanya untuk memfokuskan penulisan dan pembahasan hanya pada
proses peluruhan yang sedang ditinjau.
Berikut daftar Feynman rule-nya (Barger, 1987),
a. Garis eksternal
Keadaan awal fermion:
∼
u ( p, s )
Keadaan akhir fermion:
∼
u (k , s )
Keadaan awal antifermion:
∼
υ ( p, s )
Keadaan akhir antifermion:
∼
υ (k , s)
b. Propagator Boson W
Boson W memediasi interaksi lemah dengan nilai propagator:
∼
−ig µν
p − M W 2 + iΓW M W
2
.
Dimana p adalah jumlah momentum partikel keadaan awal, sedangkan ΓW dan
M W merupakan laju peluruhan dan massa dari boson W.
c. Verteks interaksi
∼
−ig µ
γ (1− γ 5 ) Vab .
2 2
∼
−ig ν
γ (1− γ5 ) Vdc∗ .
2 2
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
17
2.5
Peluruhan Tiga Benda
Kita perhatikan proses peluruhan tiga benda dimana partikel dengan massa M meluruh
menjadi tiga partikel yang lebih ringan dengan massa m1 , m2 , dan m3 . Kita akan
bekerja dalam kerangka acuan partikel yang meluruh. Sehingga four vector-nya adalah
p µ = ( M , 0, 0, 0), dan vektor-empat partikel yang tertinggal berturut-turut adalah
k1 , k2 , dan k3 .
Gambar 2.2 Peluruhan Tiga-benda
Secara umum, rumus untuk laju peluruhan tiga-benda adalah
dΓ =
1
2
M d Φ3 ,
2M
(2.33)
dimana
d Φ3 = (2π ) δ (4) ( p − k1 − k2 − k3 )
4
d 3k1
d 3k2
d 3 k3
(2π ) 2 E1 (2π ) 2 E2 (2π ) 2 E3
3
3
3
,
(2.34)
adalah ruang fasa invariant. Karena ada sembilan integral yang harus dikerjakan, dan
empat fungsi delta, hasil untuk dΓ adalah diferensial terhadap lima variabel sisa. Dua
dari lima variabel dapat dipilih sebagai energi E1 dan E2 dari dua partikel keadaan
akhir; kemudian energi dari partikel ketiga E3 = M − E1 − E2 juga diketahui dari
kekekalan energi. Dalam kerangka acuan partikel yang meluruh, tiga partikel keadaanakhir dengan 3-momentum harus berada dalam bidang, karena kekekalan momentum.
Dengan merincikan E1 dan E2 secara unik bisa membakukan sudut antara ketiga
momentum partikel dalam bidang peluruhan. Ketiga variabel sisa bersesuaian dengan
arah bidang peluruhan terhadap beberapa sumbu koordinat tetap.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
18
Disini, spin partikel awal tidak diketahui atau diperdulikan sehingga bisa
dirata-ratakan, akibatnya partikel akhir tidak memiliki arah preferensi tertentu. Maka
kita dapat,
1
dE1dE2 ,
32π 3
(2.35)
1
2
M dE1dE2 .
64π 3 M
(2.36)
d Φ3 =
dan juga
dΓ =
Untuk melakukan integral terhadap energi yang tersisa, maka harus ditetapkan batas
integrasi. Jika kita putuskan untuk menghitung integral E2 dulu, kemudian dengan
mengerjakan kinematiknya dapat ditunjukkan syarat batas untuk E2 tertentu (Martin,
2008)
E2maks ,min =
1 
2
M − E1 )(m23
+ m22 − m32 ) ±
2 (
2m23 
( E12 − m12 )λ (m232 , m22 , m12 ) ,
(2.37)
dimana
2
= (k2 + k3 ) = ( p − k1 ) = M 2 − 2 E1M + m12 ,
m23
2
2
(2.38)
adalah massa campuran yang merupakan kombinasi dari partikel 2 dan 3. Kemudian
diperkenalkan juga λ ( x, y, z ) yang merupakan triangel function berbentuk,
λ ( x, y, z ) ≡ x 2 + y 2 + z 2 − 2 xy − 2 xz − 2 yz.
(2.39)
Batas integrasi untuk integral terakhir E1 adalah:
M 2 + m12 −(m2 + m3 )
m1 < E1 <
.
2M
2
(2.40)
Strategi yang baik biasanya dengan memilih partikel dengan label ”1” untuk partikel
dimana energinya kita perhitungkan. Perlu diperhatikan, dalam kasus tertentu dimana
massa partikel keadaan akhir sangat kecil dibandingkan massa partikel induk, maka
batas integrasi dapat disederhanakan menjadi,
M
M
− E1 < E2 <
,
2
2
(2.41)
M
.
2
(2.42)
0 < E1 <
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
19
2.6
Resonansi Eksotik dalam Peluruhan meson B
Fakta bahwa beberapa peluruhan B menghasilkan peningkatan (enhancement) baryonantibaryon bermassa-ringan. Sehingga mendukung terbukanya lagi pertanyaan lama:
jika enhancement seperti itu ada, apakah hanya terbatas pada bilangan kuantum biasa
seperti meson (qq ) ? Beberapa argumen yang didasarkan pada formasi dualitas atau
sistematika
resonansi
mengusulkan
bahwa
enhancement
baryon-antibaryon
dimungkinkan dalam semua sistem dengan bilangan kuantum yang memiliki dua
kuark dan dua antikuark. Kemudian muncul pertanyaan lagi seperti: jika resonansi
tersebut ada, mengapa tidak bisa diamati dalam kanal peluruhan meson–meson biasa?
Beberapa aturan seleksi yang diusulkan melarang terjadinya kopling seperti itu.
Peluruhan meson B memberikan kesempatan untuk menguji aturan itu.
Kita ambil contoh peluruhan B + pada tingkat kuark: bu → sudq + qc .
Keadaan akhirnya adalah eksotik karena tidak berbagi bilangan kuantum flavor
dengan keadaan kuark-antikuark. Sekarang, kita misalkan antikuark charm c
bergabung dengan q membentuk Dq . Dengan demikian selain menghasilkan meson
Dq kita juga memperoleh meson dengan isi sudq . Ini adalah meson eksotik (Rosner,
2003).
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
20
BAB 3
HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1
Diagram Peluruhan Meson B
Setelah landasan teori selesai dibentuk pada bab sebelumnya, maka sekarang kita
mulai membahas masalah sebenarnya yaitu peluruhan meson B yang memproduksi
partikel tetrakuark dan pentaquark. Secara umum, proses tersebut dapat diilustrasikan
melalui diagram pada gambar 3.1. Dimana B menyatakan partikel induk meson B, H
adalah partikel meson atau baryon model konvensional, sedangkan X dan Z berturutturut adalah partikel tetrakuark dan pentakuark yang diproduksi. Bagian yang diarsir
adalah tempat terjadinya interaksi fisika, tidak bisa dilihat dengan eksperimen tetapi
diprediksi oleh teori Model Standard.
Gambar 3.1 Peluruhan B → H + Z .
Memang diagram peluruhan yang kita amati diatas masih peluruhan pada
tingkat hadron. Sedangkan teori yang ingin kita tinjau adalah pada tingkat kuark,
sehingga diagram peluruhan tersebut harus kita terjemahkan ke dalam tingkat kuark.
Diagram peluruhan pada tingkat kuark dapat kita lihat pada gambar 3.2.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
21
(a)
(b)
Gambar 3.2 Diagram tingkat kuark produksi tetrakuark (a) dan pentakuark (b) pada
peluruhan meson B.
Peninjauan ke tingkat kuark dilakukan karena penelitian ini bertujuan untuk
mengetahui interaksi dari kuark yang terlibat. Meson B, tetrakuark, dan pentaquark
dipecah berdasarkan kuark penyusunnya seperti terlihat pada gambar 3.2.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
22
Langkah selanjutnya adalah kita memahami interaksi dari tiap-tiap kuark
kemudian mengusahakan penyederhanaan dari diagram diatas untuk mempermudah
perhitungan selanjutnya. Disini perlu diperjelas bahwa dalam penelitian ini digunakan
model spektator (spectator model) untuk menyederhanakan kedua proses peluruhan
diatas. Model spektator dipilih karena massa meson B yang sangat didominasi oleh
massa kuark b daripada massa kuark q yang merupakan kuark u atau d (Martin,2008).
Selain model spektator, dominasi kuark b yang tergolong berat juga
menyebabkan kuark ini mudah meluruh. Kuark b yang cenderung mudah meluruh ini
menyebabkan dominasi dari interaksi lemah sangat besar dibandingkan interaksi kuat
pada proses ini. Adanya dominasi interaksi lemah juga praktis menguntungkan kita
dalam hal perhitungan amplitudo dan perhitungan selanjutnya, sehingga kita tidak
terjebak dalam kerumitan perhitungan yang dimiliki oleh QCD dengan lattice-nya.
Interaksi kuat memang mempunyai pengaruh pada tingkat kuark seperti koreksi satuloop pada setiap verteks dalam diagram Feyman dan juga interaksi antar kuark. Di sini,
kita tidak memperhitungkan adanya pengaruh interaksi kuat, sehingga koreksi tersebut
tidaklah diperlukan.
Dengan
kedua
anggapan
diatas,
maka
kita
dapat
dengan
mudah
menyederhanakan kedua diagram pada gambar 3.2 menjadi satu diagram yang lebih
sederhana. Diagram yang sederhana ini mewakili kedua diagram produksi tetrakuark
dan pentaquark pada peluruhan meson B tersebut, seperti terlihat pada gambar 3.3
Gambar 3.3 Peluruhan b → d + qu u
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
23
3.2
Perhitungan Amplitudo
Setelah kita menyederhanakan diagram peluruhan dengan interaksi kuark yang tersisa,
langkah selanjutnya adalah membuat diagram Feynman sesuai dengan teori model
standar. Disinilah perhitungan dengan model standar diperlukan untuk memberikan
penjelasan tentang bagaimana interaksi terjadi. Perhitungan yang dilakukan hanya
pada tree level model standar karena keterbatasan waktu dan juga pengalaman, tetapi
hal ini bukanlah penghalang kalau ada peminat lain yang ingin melanjutkan penelitian
ke orde yang lebih tinggi. Adapun diagram Feynman tree level dari proses yang kita
bahas adalah ditunjukkan pada gambar 3.4.
Gambar 3.4. Diagram Feynman peluruhan b → d + qu u
Dimana kita defenisikan momentum dan spin dari tiap tiap partikel keadaan awal dan
akhir dalam bentuk spinor sebagai berikut,
Partikel
Momentum
Spin
Spinor
b
p
s
υ ( p, s )
(3.1)
u
k1
s1
υ (k1 , s1 )
(3.2)
qu
k2
s2
u ( k 2 , s2 )
(3.3)
d
k3
s3
υ (k3 , s3 )
(3.4)
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
24
Setelah menggambarkan diagram Feynman-nya, kita lalu mencari amplitudo
untuk proses ini. Untuk menurunkan amplitudo digunakan Feynman rules yang
terdapat pada subbab 2.4. Kita mulai dari bentuk −iM ,


 −ig µ

−ig µν

−iM = υ ( p, s )
γ PLVbu  υ (k1 , s1 )  2
2
 p − M W + iΓW M W 
 2



 −ig ν

γ PLVq∗u d  υ (k3 , s3 )
u (k2 , s2 )
 2

(3.5)
1
dimana, PL = (1− γ5 ) .
2
Kita dapat menulis hasil diatas menjadi lebih sederhana dengan penyingkatan pada
notasi spinor Dirac υ ( p, s ) = υ , υ (k1 , s1 ) = υ1 dan yang lainnya. Sehingga diperoleh,
M=
Vbu Vq∗u d
g2
(υγ µ PL υ1 )(u2 γµ PL υ3 )
2 ( p 2 − M W2 ) + iΓW M W
(3.6)
Karena persamaan laju peluruhan dinyatakan dalam kuadrat kompleks dari M , maka
2
2
kita cari M , dimana M = MM∗ . Bentuk konjugate kompleks M∗ adalah,
M∗ =
Vbu∗ Vqu d
∗
g2
∗
υγ ν PL υ1 ) (u2 γν PL υ3 )
(
2
2
2 ( p − M W ) − iΓW M W
(3.7)
Sehingga kita dapatkan,
2
2
Vbu Vqu d
∗
g4
∗
M =
υγ µ PL υ1 )(u2 γµ PL υ3 )(υγ ν PL υ1 ) (u2 γ ν PL υ3 )
(
2
2
2
2
2
4 (p −M ) +Γ M
W
W
W
2
(3.8)
Untuk mengevaluasi bentuk konjugate kompleks dapat dilakukan dengan mengubah
spinor dan matriks Dirac ke bentuk konjugate hermit, kemudian mengubahnya
kembali ke bentuk semula. Untuk suku konjugate kompleks yang kedua,
∗
(u2 γν PL υ3 ) = (u2† γ 0 γν PL υ3 ) = υ3† PL† γν† γ 0u2
∗
= υ3† PL γ 0 γν u2 = υ3† γ 0 PR γν u2
= υ3 PR γν u2
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(3.9)
25
Di sini kita gunakan hubungan dalam mekanika kuantum seperti pada lampiran
dimana PL† = PL , dan γ ν† γ 0 = γ 0 γν , dan PL γ 0 = γ 0 PR , dan υ3† γ 0 = υ3 . Maka dengan
cara yang sama, dapat diperoleh suku konjugate kompleks yang pertama,
∗
(υγ ν PL υ1 )
= υ1PR γ ν υ
(3.10)
Sehingga persamaan (3.8) dapat kita tuliskan menjadi,
2
Vbu Vqu d
g4
M =
(υγ µ PLυ1 )(υ1PR γ ν υ)(u2 γµ PL υ3 )(υ3 PR γν u2 )
4 ( p 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
W
W
W
2
(3.11)
Karena matriks proyeksi spin hanya diijinkan dihitung pada spin yang memberikan
kontribusi, maka kita dapat menjumlahkan semua semua spin yang berlabel s , s1 ,
s2 , s3 .
2
Vbu Vqu d
g4
M =
4 ( p 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
W
W
W
2
∑ (υγ
µ
PL υ1 )(υ1 PR γ ν υ)(u2 γ µ PL υ3 )(υ3 PR γν u2 )
(3.12)
s , s1 , s2 , s3
Maka dengan menggunakan trik yang terdapat pada lampiran (E.9) diperoleh,
∑υ υ
= /k1 − m1
(3.13)
∑υ υ
= /k3 − m3
(3.14)
1 1
s1
3 3
s3
Massa dapat diabaikan karena batas energi tinggi. Sehingga persamaan (3.12) menjadi,
2
Vbu Vqu d
g4
M =
4 ( p 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
W
W
W
2
∑ (υγ
µ
PL /k1 PR γ ν υ )(u2 γ µ PL k/3 PR γν u2 )
(3.15)
s1 , s2
Kemudian kita sederhanakan persamaan diatas dengan mengeliminasi matriks
proyeksi menggunakan ketentuan,
PL k/1 PR = /k1 PR PR = /k1 PR
(3.16)
PL k/3 PR = /k3 PR PR = /k3 PR
(3.17)
Sehingga persamaan (3.15) menjadi,
2
Vbu Vqu d
g4
M =
4 ( p 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
W
W
W
2
∑ (υγ
µ
/k1PR γ ν υ)(u2 γ µ /k3 PR γν u2 )
s1 , s2
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(3.18)
26
Langkah selanjutnya kita gunakan trik lain. Sebuah perkalian dot dari dua matriks
adalah sama dengan trace dari perkalian dua matriks itu dalam orde kebalikannya.
Misalnya,
(a1 a2 a3
 b 
 
 b1 
 1 
b 
b 
a4 ) 2  = Tr  2 (a1
b3 
b3 
 
 
b4 
b4 
a2
a3

 b1a1 b1a2



b a b a
a4 ) = Tr  2 1 2 2
b3a1 b3a2



b4 a1 b4 a2

b1a3 b1a4 

b2 a3 b2 a4 
 (3.19)
b3a3 b3a4 

b4 a3 b4 a4 
Dengan menggunakan trik ini untuk tiap-tiap ekspansi dalam tanda kurung pada
persamaan (3.18), kita pindahkan spinor yang berada didepan ke belakang sehingga
menjadi sebuah trace.
υγ µ /k1 PR γ ν υ = Tr  γ µ /k1 PR γ ν υυ 
(3.20)
u2 γµ k/3 PR γν u2 = Tr  γ µ /k3 PR γν u2u2 
(3.21)
Sehingga persamaannya berubah menjadi,
2
Vbu Vqu d
g4
M =
4 ( p 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
W
W
W
2
∑ Tr  γ
µ
s1 , s2
k/1PR γ ν υυ  Tr  γ µ /k3 PR γν u2u2 
(3.22)
Kemudian lakukan penjumlahan terhadap s1 dan s2 dengan menggunakan trik biasa
seperti pada persamaan (3.13) dan (3.14). Sehingga diperoleh,
2
Vbu Vqu d
g4
M =
Tr  γ µ /k1 PR γ ν /p  Tr  γ µ /k3 PR γν k/2 
4 ( p 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2 
W
W
W
2
(3.23)
Langkah selanjutnya adalah mengevaluasi trace yang tersisa. Kita mempunyai trace
suku kedua lalu kita pecah menjadi dua suku,


1 + γ5 
/k2 
Tr  γ µ /k3 PR γν k/2  = Tr  γ µ k/3 
γ

ν


 2 
1
1
= Tr  γ µ /k3 γν /k2  + Tr  γ µ /k3γν /k2 γ5 
2
2
(3.24)
Untuk suku kedua pada persamaan (3.24) diatas, kita menggunakan keadaan bahwa
γ 5 adalah anti komutatif dengan semua matriks gamma. Dengan menggunakan sifat-
sifat matriks gamma dan teorema trace yang terdapat pada lampiran maka diperoleh,
Tr  γ µ /k3 γ ν /k2 γ 5  = k3α k2β Tr  γ µ γα γν γ β γ5 
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
27
= k3α k2β (4iǫµανβ )
(3.25)
Dimana ǫµανβ adalah tensor Levi-Civita antisimetrik total yang didefenisikan dalam
lampiran (D.9). Sedangkan untuk suku yang pertama juga bisa kita hitung,
Tr  γ µ /k3 γν /k2  = k3α k2β Tr  γ µ γ α γν γ β 
= k3α k2β (4 g µα g νβ − 4 g µν g αβ + 4 g µβ g αν )
= 4k3µ k2ν − 4 g µν (k3 ⋅ k2 ) + 4k2 µ k3ν
(3.26)
Sehingga dengan menggabungkan persamaan (3.25) dan persamaan (3.26) diatas, kita
peroleh nilai trace suku kedua pada persamaan (3.23),
Tr  γ µ /k3 PR γν /k2  = 2  k3µ k2 ν − g µν (k3 ⋅ k2 ) + k2 µ k3ν + ik3α k2β ǫµανβ 
(3.27)
Dengan cara yang sama kita dapatkan bentuk trace suku yang pertama dari persamaan
(3.23) yaitu,
Tr  γ µ k/1 PR γ ν /p  = 2  k1µ p ν − g µν (k1 ⋅ p ) + p µ k1ν + ik1ρ pσ ǫ µρνσ 
(3.28)
Sekarang kita kalikan bersama kedua trace ini melibatkan indeks µ dan ν . Sebagai
catatan bahwa perkalian silang yang hanya berisi satu tensor ǫ dapat dihilangkan. Hal
ini dikarenakan tensor epsilon yang antisimetrik pada relasi µ dan ν , dimana bentuk
perkalian lainnya adalah simetrik. Perkalian kedua trace menghasilkan,
Tr  γ µ k/1 PR γ ν /p  Tr  γ µ /k3 PR γν k/2  = 4  k1µ p ν − g µν (k1 ⋅ p ) + p µ k1ν + ik1ρ pσ ǫµρνσ  ×
 k3µ k2ν − g µν (k3 ⋅ k2 ) + k2 µ k3ν + ik3α k2β ǫµανβ 


= 16 (k1 ⋅ k3 )( p ⋅ k2 )
(3.29)
Setelah kita selesai mengevaluasi semua trace yang tersisa, maka kita kembalikan
hasil perkalian trace yang diperoleh ke persamaan (3.23). Maka diperoleh kuadrat
amplitudo invarian untuk proses yang kita tinjau,
2
M =
4 g 4 Vbu Vqu d
2
( p 2 − M W2 ) + ΓW 2 M W 2
2
(k1 ⋅ k3 )( p ⋅ k2 )
(3.30)
Setelah kita berhasil mereduksi persamaan kuadrat amplitudo invarian diatas
menjadi lebih sederhana, langkah selanjutnya adalah kita kembali ke proses peluruhan
yang ditinjau sebelumnya. Seperti yang pernah dijelaskan diatas, bahwa proses
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
28
peluruhan tingkat kuark b → d + qu u adalah merupakan proses peluruhan tiga benda
seperti yang dibahas di subbab 2.4. Selanjutnya kita akan menghitung laju peluruhan
dari proses yang kita tinjau pada tingkat kuark dengan menggunakan persamaanpersamaan peluruhan tiga benda tersebut.
Kita terapkan diagram peluruhan tingkat kuark pada gambar 3.3 ke diagram peluruhan
tiga benda pada gambar 2.1, dimana M = mb sedang indeks 1,2, dan 3 dapat kita ganti
berturut-turut dengan u , qu , dan d .
Kembali ke hasil yang kita peroleh pada persamaan (3.30), kita perlu sekali
lagi mengevaluasi perkalian dot dari (k1 ⋅ k3 ) dan ( p ⋅ k2 ) . Untuk itu, sekarang kita
tinggal menentukan di dalam kerangka acuan mana kita mulai menghitung. Kita pilih
partikel induk mb sebagai acuannya, dimana k2 berada pada sumbu-z. Sehingga,
p = (mb , 0, 0, 0)
(3.31)
k2 = ( Equ , 0, 0, Equ )
(3.32)
p ⋅ k2 = mb Equ
(3.33)
Maka,
Kemudian kita hitung (k1 ⋅ k3 ) dengan menggunakan hukum kekekalan momentum,
p = k1 + k2 + k3
(3.34)
Sehingga kita dapatkan,
k1 ⋅ k3 =
1
2
(k1 + k3 ) − k12 − k32 
2 
=
1
2
( p − k2 ) − k12 − k32 

2
=
1 2
p + k2 2 − 2 p ⋅ k2 − k12 − k3 2 
2 
k1 ⋅ k3 =
1 2
mb + mqu 2 − 2mb Equ − mu 2 − md 2 
2 
(3.35)
Nilai mb juga dapat langsung kita masukkan ke nilai p pada propagator Boson W.
Setelah kita berhasil mengevaluasi kinematikanya, maka sekarang kita telah memiliki
2
hasil akhir dari perhitungan kuadrat kompleks amplitudo M , yaitu:
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
29
2 g 4 Vbu Vqu d
2
M =
3.3
(mb − M
2
)
2 2
W
2
+ ΓW M W
2
2
 m 2 + m 2 − 2m E − m 2 − m 2  m E
qu
b qu
u
d 
b qu
 b
(3.36)
Perhitungan Laju Peluruhan
Setelah hasil akhir perhitungan kuadrat kompleks amplitudo diketahui, maka langkah
selanjutnya adalah menghitung laju peluruhan pada tingkat kuark dengan
menggunakan persamaan peluruhan tiga benda. Seperti dijelaskan pada akhir sub bab
sebelumnya bahwa kita menerapkan M = mb sedang indeks 1, 2, dan 3 dapat kita
ganti berturut-turut dengan u , qu , dan d . Sehingga persamaan Laju peluruhan
diferensial untuk peluruhan tingkat kuark b → d + qu u adalah,
dΓ =
1
2
M dEu dEqu
3
64π mb
(3.37)
Kita masukkan nilai kuadrat amplitudo invarian pada persamaan (3.36) ke persamaan
(3.37) dan diperoleh,
2
g 4 Vbu Vqu d
1
 m 2 + m 2 − 2m E −
dΓ =
qu
b qu
b
32π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2 
b
W
W
W
mu 2 − md 2  Equ dEu dEqu
(3.38)
Selanjutnya kita tinggal menentukan syarat batas untuk dapat mengerjakan laju
peluruhan differensial diatas. Syarat batas yang kita gunakan juga merupakan syarat
batas yang digunakan pada persamaan peluruhan tiga benda. Sama seperti yang telah
dilakukan diatas, kita tinggal mengganti indeks yang sesuai dengan persamaan
tersebut. Perlu diketahui disini karena nilai mb yang jauh lebih besar dari mu , mqu ,
dan md . Maka kita dapat menggunakan batas seperti pada persamaan (2.41) dan
(2.42) sehingga menjadi,
mb
m
− Eu < Equ < b
2
2
0 < Eu <
mb
2
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(3.39)
(3.40)
30
Kedua syarat batas diataslah yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan persamaan
laju peluruhan differensial pada persamaan (3.38). Kita mulai dengan pengintegralan
terhadap Equ .
2
g 4 Vbu Vqu d
1
dΓ =
dEu
32π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
b
W
W
W
∫
mb
2
mb
−Eu
2
(m
2
b
Equ + mqu 2 Equ − mu 2 Equ −
md 2 Equ − 2mb Eq2u ) dEqu
(3.41)
Sehingga diperoleh laju peluruhan diferensial terhadap Eu yaitu,
2
g 4 Vbu Vqu d
dΓ
1
=
dEu 32π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
b
W
W
W
 m 2 E 2 mq 2 Eu2 m 2 E 2
 b u + u
− u u −
 2
2
2

md 2 Eu2 2mb Eu3 

−
2
3 
(3.42)
Langkah selanjutnya adalah memperoleh persamaan laju peluruhan tingkat kuark,
dengan melakukan pengintegralan terhadap Eu .
2
g 4 Vbu Vqu d
1
Γ (b → dqu u ) =
32π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
b
W
W
W
∫
0
mb
2
 m 2 E 2 mq 2 Eu2
 b u + u
−
 2
2

mu 2 Eu2 md 2 Eu2 2mb Eu3 
 dEu
−
−
2
2
3 
(3.43)
Maka diperoleh,
2
g 4 Vbu Vqu d
1
Γ (b → dqu u ) =
32π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
b
W
W
W
 m 5 mq 2 mb3
 b
u
 48 + 48 −

mu 2 mb3 md 2 mb3 mb5 
−
− 
48
48
96 
(3.44)
Sehingga jika disederhanakan dapat kita peroleh laju peluruhan pada tingkat kuark
yaitu,
2
g 4 Vbu Vqu d
1
Γ (b → dqu u ) =
mb 5 + 2mb 3 (mqu 2 − mu 2 − md 2 )
3072π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
b
W
W
W
(
)
(3.45)
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
31
Dimana g adalah konstanta kopling, kemudian nilai Vbu dan Vqu d diperoleh dari
matriks CKM. Untuk mb , mqu , mu , md , adalah massa dari masing-masing kuark yang
terlibat sesuai dengan diagram peluruhan pada gambar 3.3. Sedangkan M W dan ΓW
berturut-turut adalah massa dan besar laju peluruhan untuk boson W .
Rumus laju peluruhan tingkat kuark pada persamaan (3.45) ini yang akan kita
gunakan untuk meninjau besar laju peluruhan tingkat hadron untuk tiap-tiap kanal dari
peluruhan meson B yang memproduksi tetrakuark (meson eksotik) maupun
pentakuark (baryon eksotik). Setelah kita memperoleh laju peluruhan untuk suatu
kanal peluruhan tersebut, maka perlu juga kita menghitung nilai Branching ratio atau
Branching fraction dari kanal peluruhan tersebut.
Branching ratio (BR) merupakan perbandingan laju peluruhan suatu kanal peluruhan
terhadap laju peluruhan total dari partikel induk. Untuk memperoleh laju peluruhan
total (Γtotal ) partikel induk, kita tinggal menggunakan hubungan terbaliknya dengan
waktu hidup (τ ) .
BR ( X → Y ) =
Γ( X → Y )
Γ( X )
(3.46)
dimana,
Γtot =
1
τ
(3.47)
Sama seperti laju peluruhan, nilai BR dapat juga sebagai pertanda
kemungkinan suatu kanal peluruhan teramati melalui eksperimen. Semakin besar nilai
BR dari suatu kanal peluruhan, maka semakin besar juga kemungkinan kanal
peluruhan ini untuk terjadi dan teramati melalui eksperimen. Nilai BR ini juga yang
akan kita hitung untuk tiap-tiap kanal peluruhan yang ditinjau, baik peluruhan meson
B yang menghasilkan tetrakuark maupun peluruhan yang menghasilkan pentakuark.
3.4
Parameter yang digunakan
Setelah semua besaran-besaran yang diperlukan untuk perhitungan proses peluruhan
yang kita tinjau telah selesai kita turunkan, maka sekarang kita dapat menerapkan
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
32
perhitungan ke setiap kasus dimana meson B bisa meluruh menjadi tetrakuark dan
pentakuark. Untuk perhitungan setiap kanal peluruhan kita menggunakan parameter
yang diambil dari Particle Data Group (PDG) (Amsler, 2008).
Vud = 0,974
Vus = 0, 22
Vub = 0, 004
Vcd = 0, 22
Vcs = 0,975
M W = 80, 4 GeV
mu = 0, 003 GeV
ΓW = 2,12 GeV
ms = 0, 095 GeV
g = 0, 653
mc = 1, 25 GeV
τ B+ = 1, 638×10−12 sec
mb = 4, 3 GeV
Vcb = 0, 041
3.5
md = 0, 005 GeV
τ B0 = 1, 530×10−12 sec
Produksi Tetrakuark
Kita mulai dengan mengambil suatu kasus peluruhan yang menghasilkan tetrakuark,
lalu kita terjemahkan ke tingkat kuark,
B+
π0 + X +
(3.48)
→ (d ) d + d (uu ) u
(3.49)
→
(b )u
Dalam kasus ini, kuark b adalah tetap kuark b sesuai mode peluruhan kuark
b → d + qu u yang telah kita bahas (lihat gambar 3.2a dan 3.3). Demikian juga kuark
d dan u adalah merupakan kuark d dan u , tetapi kuark qu disini adalah kuark u .
Sebelum kita menghitung, harus ditinjau terlebih dahulu apakah reaksi peluruhan
diatas telah memenuhi konservasi muatan (Q) dan bilangan kuantum flavor. Seperti
kita ketahui bahwa untuk interaksi lemah konservasi bilangan kuantum flavor hanya
dipenuhi oleh bilangan baryon (B), dan bilangan lepton (L). Jika salah satu konservasi
dari ketiga konservasi ini tidak dipenuhi, berarti reaksi peluruhan yang telah dibuat
adalah salah.
(b )u
Q:
+
1
2
+
3
3
→
(d ) d
+
+1
B:
−
1 1
+
3 3
1 1
−
3 3
+ d (uu )u
+
0
−
1 1
+
3 3
1 2 2 2
+ − +
3 3 3 3
+1
−
1 1 1 1
+ − +
3 3 3 3
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
33
L:
0
0
0
0
0
0
Terlihat bahwa peluruhan diatas telah memenuhi konservasi muatan dan bilangan
kuantum flavor. Selanjutnya kita hitung besar laju peluruhannya menggunakan
persamaan (3.45), dimana laju peluruhan tingkat kuarknya adalah juga laju peluruhan
tingkat hadron. Sehingga rumus laju peluruhannya menjadi,
Γ ( B+ → π0 X + ) =
2
g 4 Vub Vud
1
(mb5 − 2mb3md 2 )
3072π 3 (m 2 − M 2 )2 + Γ 2 M 2
b
W
W
W
(3.50)
Maka dengan memasukkan nilai parameter pada subbab 3.4 diperoleh,
Γ ( B+ → π 0 X + ) = 1, 0245 ×10−15 GeV
(3.51)
Perhatikan bahwa satuan laju peluruhan diatas masih dalam GeV, hal ini terjadi karena
kita menggunakan asumsi yang menyatakan bahwa ℏ = c = 1 , seperti pada lampiran.
Untuk itu kita gunakan analisis dimensi untuk mengembalikan satuan ke semulanya.
Maka hasil yang kita peroleh menjadi,
Γ ( B + → π 0 X + ) = 1, 0245 ×10−15 GeV ×
1
ℏ
Γ ( B + → π 0 X + ) = 1,556 ×109 sec−1
(3.52)
(3.53)
Selanjutnya kita hitung juga besar laju peluruhan total dari partikel induk B + dengan
menggunakan persamaan (3.47). Diperoleh bahwa laju peluruhan total adalah,
Γtot B+ = 6,105 ×1011 sec−1
(3.54)
Maka nilai branching ratio-nya dapat kita hitung menggunakan persamaan (3.46).
BR ( B + → π 0 X + ) =
Γ ( B+ → π 0 X + )
Γtot B+
BR ( B + → π 0 X + ) = 2,55 ×10−3
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(3.55)
(3.56)
34
3.6
Produksi Pentakuark
Hal yang sama juga dilakukan pada produksi pentakuark. Kita ambil suatu kanal
peluruhan meson B yang menghasilkan pentakuark, lalu kita terjemahkan ke tingkat
kuark.
B+ →
(b )u
∆+ + θc+
(3.57)
→ (d ) d d + dd (uc )u
(3.58)
Disini kuark b dan d adalah tetap kuark b dan d sesuai mode interaksi peluruhan
yang telah dibahas (lihat gambar 3.2b dan 3.3). Tetapi dalam kasus ini, kuark qu dan
u berturut-turut adalah kuark u dan c . Selanjutnya kita tinjau apakah reaksi
peluruhan diatas telah memenuhi konservasi muatan dan bilangan kuantum flavor.
(b )u
Q:
+
1
2
+
3
3
→
(d ) d d
+
1 1 1
+ +
3 3 3
+1
B:
L:
−
dd (uc )u
+
−
1 1
2 2 2
− + − +
3 3 3 3 3
0
1 1
+
3 3
−
+1
1 1 1
− −
3 3 3
+
1 1 1 1 1
+ + − +
3 3 3 3 3
0
-1
+1
0
0
0
Terlihat bahwa peluruhan diatas memenuhi ketiga hukum konservasi tersebut.
Selanjutnya kita hitung besar laju peluruhannya menggunakan persamaan (3.45),
dimana laju peluruhan tingkat kuarknya adalah juga laju peluruhan tingkat hadron.
Sehingga rumus laju peluruhannya menjadi,
2
g 4 Vcb Vud
1
Γ( B → ∆ θ ) =
mb5 + 2mb3 (mu 2 − mc 2 − md 2 ) (3.59)
3072π3 (m 2 − M 2 )2 +Γ 2 M 2
b
W
W
W
+
+ 0
c
(
)
Maka dengan memasukkan nilai parameter pada subbab 3.4 diperoleh,
Γ ( B + → ∆+θc0 ) = 8,946 ×10−14 GeV
(3.60)
Selanjutnya dengan menggunakan analisis dimensi diperoleh,
Γ ( B + → ∆+θc0 ) = 1, 359 ×1011 sec−1
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(3.61)
35
Maka nilai branching ratio-nya dapat kita hitung,
BR ( B + → ∆+θc0 ) = 0, 2226
(3.62)
Demikian juga untuk partikel pentakuark maupun tetrakuark yang lain yang dihasilkan
dari peluruhan meson B, dapat dilakukan perhitungan dengan menggunakan
perumusan seperti diatas.
3.7
Pembahasan
Dengan memahami persamaan laju peluruhan yang telah diturunkan pada persamaan
(3.45). Kemudian setelah melakukan perhitungan terhadap beberapa channel
peluruhan diatas, maka tampak bahwa matriks CKM mempengaruhi variasi dari
channel peluruhan yang dapat dihitung oleh persamaan (3.45) tersebut. Jika kita lihat
dari matriks CKM pada (2.32), maka kita dapat menerapkan perhitungan hanya pada
beberapa kanal peluruhan tingkat kuark. Kita lihat kanal peluruhan yang dimaksud
pada tabel (3.1) dan (3.2).
BR terhadap B +
BR terhadap B 0
1, 556 ×109
2,55 ×10−3
2,38 ×10−3
(b )q → (d )q + q (uc )q
1, 359 ×1011
0, 2226
0, 2079
(b )q → (d )q + q (cu )q
9, 283 ×107
1, 521×10−4
1, 420 ×10−4
(b )q → ( d )q + q (cc ) q
8,342 ×109
1, 366 ×10−2
1, 276 ×10−2
(b )q → ( s ) q + q (uu ) q
7,932 ×107
1, 299 ×10−4
1, 213 ×10−4
(b )q → ( s ) q + q (uc )q
6, 925 ×109
1,134 ×10−2
1, 059 ×10−2
(b )q → ( s ) q + q (cu )q
1,822 ×109
2,984 ×10−3
2, 788 ×10−3
(b )q → ( s ) q + q (cc ) q
1, 636 ×1011
0, 2680
0, 2503
Kanal peluruhan
Laju peluruhan
(b )q → (d )q + q (uu )q
-1
(sec )
Tabel 3.1 Kanal peluruhan meson B yang memproduksi tetrakuark berdasarkan
matriks CKM.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
36
BR terhadap B +
BR terhadap B 0
1, 556 ×109
2,55 ×10−3
2,38 ×10−3
(b )q → (d )q q + qq (uc )q
1, 359 ×1011
0, 2226
0, 2079
(b )q → (d )q q + qq (cu )q
9, 283 ×107
1, 521×10−4
1, 420 ×10−4
(b )q → (d )q q + qq (cc )q
8,342 ×109
1,366 ×10−2
1, 276 ×10−2
(b )q → ( s ) q q + qq (uu )q
7,932 ×107
1, 299 ×10−4
1, 213 ×10−4
(b )q → ( s ) q q + qq (uc )q
6, 925 ×109
1,134 ×10−2
1, 059 ×10−2
(b )q → ( s ) q q + qq (cu )q
1,822 ×109
2,984 ×10−3
2, 788 ×10−3
(b )q → ( s ) q q + qq (cc ) q
1, 636 ×1011
0, 2680
0, 2503
Kanal peluruhan
Laju peluruhan
(b )q → (d )q q + qq (uu ) q
(sec-1)
Tabel 3.2 Kanal peluruhan meson B yang memproduksi pentakuark berdasarkan
matriks CKM.
Pada kedua tabel kanal peluruhan diatas, kita mendapatkan pola dimana agar
laju peluruhan bernilai besar atau agar peluruhan bisa diamati eksperimen. Maka pola
b → d + qu u dimana d dan qu masing-masing harus berpasangan sedemikian rupa
sehingga Vqu d bernilai mendekati satu. Hal ini bisa dilakukan jika diambil d , qu = d , u
atau d , qu = s , c ditambah b , u = b , c . Kemudian jika kita perhatikan lagi kuark u
pada tabel 3.1 di atas, maka laju peluruhan dan branching ratio akan lebih besar jika
kuark tersebut adalah c dibandingkan jika kuark tersebut adalah u . Ini juga terkait
dengan matriks CKM dimana nilai elemen Vub lebih kecil dari nilai elemen Vcb .
Nilai terbesar dari produksi tetrakuark dan pentakuark dimiliki oleh kanal peluruhan
dengan mode interaksi (b ) → ( s ) + (cc ) , dimana nilai branching ratio adalah 0,2680
terhadap meson B + dan 0,2503 terhadap B 0 . Demikian juga untuk kanal peluruhan
dengan mode interaksi (b ) → ( d ) + (uc ) diperoleh nilai branching ratio, yaitu 0,2226
terhadap meson B + dan 0,2079 terhadap meson B 0 .
Hasil yang diperoleh menyatakan bahwa laju peluruhan untuk produksi
tetrakuark dan pentakuark dari peluruhan meson B memiliki orde yang sama. Hal ini
dikarenakan perhitungan peluruhan tingkat kuark yang dilakukan hanya sampai pada
pendekatan tree level.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
37
BAB 4
PENUTUP
4.1
Kesimpulan
Produksi tetrakuark dan pentakuark pada peluruhan meson B dimungkinkan terjadi
pada kanal peluruhan dengan mode interaksi tingkat kuark, b → d + qu u . Dimana
kanal peluruhan yang paling berpeluang terjadi adalah pada keadaan u = c dan
d , qu = d , u atau d , qu = s , c. Untuk kanal peluruhan dengan mode interaksi
(b ) → ( s ) + (cc ), laju peluruhannya adalah 1, 636 ×1011 sec−1 dimana nilai branching
ratio-nya adalah 0,2680 terhadap meson B + dan 0,2503 terhadap B 0 . Untuk kanal
peluruhan dengan mode interaksi (b ) → ( d ) + (uc ), laju peluruhannya adalah
1, 359 ×1011 sec−1 dimana nilai branching ratio adalah 0,2226 terhadap meson B + dan
0,2079 terhadap B 0 . Hal ini terkait dengan nilai elemen matriks CKM yang dimiliki
oleh syarat tersebut mendekati satu, dan ini juga telah mengindikasikan bahwa transisi
dari kuark b ke kuark u sangat kecil kemungkinannya dibandingkan transisi dari
kuark b ke kuark c .
4.2
Saran
Perhitungan model standard yang dilakukan hanya sampai pendekatan tree level,
sehingga laju peluruhannya memiliki orde yang sama. Penelitian mendatang
diharapkan ke orde yang lebih tinggi, dengan memperhitungkan koreksi satu loop
setiap verteks diagram Feynman juga interaksi antar kuark sehingga hasil yang
diperoleh lebih teliti.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
38
DAFTAR PUSTAKA
Amsler, C. 2008. Particle Data Group (PDG). PL B667. (URL: http://pdg.lbl.gov).
Barger, V. D. and Roger, J. N. P. 1987. Collider Physics. Series of Frontiers in
Physics. Addison-Wesley Publishing Company. California.
Braaten, E. and Masaoki, K. 2004. Production of the X(3872) in B Meson Decay by
the Coalescence of Charm Mesons. arXiv:hep-ph/0404161v2.
Brodsky, S. J. and F. S. Navarra. 1997. Looking for Exotic Multiquark States in
Nonleptonic B Decays. arXiv:hep-ph/9704348v2.
Browder, T. E. Klebanor, I. R. and Marlow, D. R. 2004. Prospect for Pentaquark
Production at Meson Factories, arXiv:hep-ph/0401115v4.
Kane, G. 1987. Modern Elementary Particle Physics. Addison-Wesley Publishing
Company. California.
Krane Kenneth S, 1992, Fisika Modern, Penerjemah Hans J. Wospakrik, Cetakan I,
Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.
Martin, S. P. 2008, Phenomenology of Particle Physics. NIU Spring Lecture Notes.
PHYS586.
Perkins, D. H. 1986. Introduction to High Energy Physics. Edisi Ketiga. Addison
Wesley Publishing Company. California.
Pich, A. 2005. The Standard Model of Electroweak Interaction. arXiv:hepph/0502010v1.
Quigg C. 1983. Gauge Theories of the Strong, Weak, and Electromagnetic
Interactions. Series of Frontiers In Physics. The Benjamin/Cummings
Publishing Company. California.
Rosner, J. L. 2003. Exotic State of Matter in Heavy Meson Decays, arXiv:hepph/0312269v3.
Roy, D. P. 2003. History of Meson (4-quark) and Baryon (5-quark) States, arXiv: hepph/0311207v3.
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
39
LAMPIRAN
A. Satuan dan Konversi
Sistem satuan yang digunakan dalam perhitungan ini adalah sistem satuan alami
(natural system of units), dimana didefenisikan ℏ = c = 1 dan tidak berdimensi. Hal
ini menyebabkan besaran-besaran massa, energi, dan momentum dinyatakan dalam
dimensi energi, misalnya dengan satuan GeV. Besaran waktu dan panjang menjadi
berdimensi energi-1, dan kecepatan menjadi tidak berdimensi. Konvensi ini digunakan
agar persamaan-persamaan dalam fisika partikel menjadi lebih sederhana. Untuk
mendapatkan nilai dan mengembalikan dimensi besaran yang ingin diketahui dari
besaran hasil perhitungan, maka digunakan analisis dimensi dan faktor konversi
berikut,
ℏ = 6, 58212233×10−25 GeV sec
(A.1)
ℏc = 197, 327053×10−3 GeV fm
(A.2)
(ℏc) 2 = 0, 38937966 GeV 2 mbarn
(A.3)
B. Vektor-Empat dan Produk Skalar
Istilah umum dari vektor-empat dapat dituliskan dalam bentuk kontravarian a µ ,
dengan indeks berada di atas, atau dalam kovarian aµ , dengan indeks berada di bawah.
Kedua bentuk ini saling dihubungkan dengan suatu tensor metrik seperti,
aµ = ∑ g µν a ν ,
ν
a µ = ∑ g µν aν
(B.1)
ν
Dimana tensor metrik didefenisikan sebagai,
g µν = g µν
1 0
0
0 


0 −1 0
0 

= 
0 0 −1 0 


0 −1
0 0
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(B.2)
40
Disini juga diperkenalkan konvensi penjumlahan Einstein, dimana indeks yang
dinyatakan berulang pada indeks atas dan bawah merupakan pernyataan penjumlahan
dari tiap-tiap komponennya. Yaitu bahwa
∑g
µν
a ν → g µν a ν . Sehingga persamaan
ν
(B.1) dapat ditulis menjadi,
aµ = g µν a ν ,
a µ = g µν aν
(B.3)
Beberapa contoh vektor-empat kontravarian,
koordinat ruang waktu :
x µ = ( x 0 , x1 , x 2 , x 3 ) = (t , x, y, z ) = (t , r )
momentum-empat
:
p µ = ( p 0 , p1 , p 2 , p 3 ) = ( E , px , p y , p z ) = ( E , p)
vektor-empat potensial :
Aµ = ( A0 , A1 , A2 , A3 ) = (φ, Ax , Ay , Az ) = (φ, A)
vektor-empat arus
j µ = ( j 0 , j1 , j 2 , j 3 ) = ( ρ , j x , j y , j z ) = ( ρ , j ) .
:
(B.4)
Hubungan dengan vektor-empat kovariannya adalah,
xµ = g µν x v = (t , −r )
pµ = g µν p v = ( E , − p)
Aµ = g µν Av = (φ, − A)
jµ = g µν j v = (ρ, − j ) .
(B.5)
Produk skalar dari dua vektor-empat a dan b adalah didefenisikan sebagai,
a µ bν g µν = aµ bν g µν = aµ b µ = a µbµ = a ⋅ b
(B.6)
Penulisan dalam bentuk eksplisit dimana komponen a µ = (a 0 , a ) dan b µ = (b 0 , b) ,
produk skalarnya adalah,
a ⋅ b = a 0b 0 − a1b1 − a 2b 2 − a 3b3
= a 0b 0 − a ⋅ b
= a 0 a0 + a1b1 + a 2 b2 + a 3b3
(B.7)
Gradien kovarian diperoleh dari pendifferensialan terhadap vektor-empat kontravarian.
∂µ =
∂ ∂ ∂ ∂  ∂

∂
=  , , ,  =  , ∇
µ
 ∂t ∂x ∂y ∂z   ∂t

∂x
(B.8)
dan untuk gradien kontravariannya dapat dituliskan,
∂

∂ µ = g µν ∂ ν =  , −∇
 ∂t

Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(B.9)
41
Kemudian untuk produk skalarnya kita peroleh,
□ = ∂ µ∂ µ =
∂2
− ∇2
2
∂t
(B.10)
yang disebut sebagai operator d’Alembert.
Operator momentum dalam koordinat ruang juga didefenisikan sebagai,
p µ = i∂ µ = i
 ∂

∂
= i , −i∇

∂xµ  ∂t
(B.11)
Kemudian produk skalarnya adalah,
 ∂2

p µ pµ = −∂ µ ∂ µ = −  2 , −∇2  = −□


 ∂t

(B.12)
C. Aljabar Dirac Matriks Gamma
Matriks Pauli
Bentuk Matriks spin Pauli dapat dituliskan sebagai berikut:
0 1
σ1 = 
,
1 0
0 −i 
σ 2 = 
,
 i 0 
1 0 
σ 3 = 
 , dan
0 −1
1 0
σ 0 = 
,
0 1
(C.1)
Sifat utama dari matriks ini adalah,
σi† = σi ,
Tr σ i = 0,
(σ )
1 2
= I,
det σ i = −1,
σ iσ j = iǫijk σ k + δij
(C.2)
Sifat matriks Pauli yang lain adalah,
hubungan anti-komutasi:
hubungan komutasi:
{σ i , σ j } = 2δij
σ i , σ j  = 2iǫijk σ k


(C.3)
(C.4)
Matriks Dirac
Dalam representasi Weyl (Chiral), matriks Dirac γ µ didefenisikan sebagai,
0
γ µ =  µ
σ
σ µ 

0 
Dimana matriks Dirac ini secara eksplisit dapat dituliskan,
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
(C.5)
42
0
γ 0 =  0
σ
σ 0 
 ,
0 
 0
γ j =  j
−σ
σ j 
 ,
0 
( j = 1, 2,3)
(C.6)
Disini σ 0 adalah matriks identitas 2×2 dan 0 adalah matriks nol 2×2 , sedang σ j
adalah matriks Pauli.
Beberapa sifat penting dari matriks Dirac adalah sebagai berikut,
γ 0† = γ 0 ,
(γ )
0 2
( j = 1, 2,3)
γ j † = −γ j ,
(γ )
j 2
= 1,
( j = 1, 2,3)
= −1,
(γ µ )
†
γ 0γ µ†γ 0 = γ µ ,
γ 0 = γ 0γ µ
{γµ , γν } = γµ γν + γν γµ = 2gµν
(C.7)
(C.8)
(C.9)
(C.10)
Sekarang kita defenisikan juga dalam representasi Chiral matriks Dirac kelima dari
empat matriks sebelumnya,
−1 0
γ 5 = γ5 = iγ 0 γ1γ 2 γ 3 = 

 0 1
(C.11)
Matriks Dirac γ5 ini memenuhi hubungan,
γ5† = γ5 ,
{γ5 , γµ } = 0,
γ52 = 1,
γ5 γ µ = −γ µ γ5
(C.12)
Dalam matriks Dirac perlu juga didefenisikan perkalian skalarnya dengan momentum
empat yang dituliskan dalam notasi Feynman slash.
γ µ aµ = a/
(C.13)
Sekarang kita defenisikan operator proyeksi left-handed dan right-handed, PL dan PR
dalam representasi Chiral,
PL =
1− γ5 1 0
,
=
2
0 0
PL =
1 + γ 5 0 0

=
2
0 1
(C.14)
Dimana 1 dan 0 adalah matriks identitas dan matriks nol orde 2× 2 . Kedua proyektor
diatas memenuhi beberapa aturan,
PL2 = PL ,
PR2 = PR ,
PR PL = PL PR = 0,
PL† = PL ,
PR γ µ = γ µ PL ,
PR† = PR
(C.15)
PL γ µ = γ µ PR
(C.16)
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
43
D. Teorema Trace dan Identitas Kontraksi
Teorema Trace
Untuk menghitung amplitudo M diperlukan teorema trace dan juga sifat-sifat matriks
Dirac diatas. Adapun beberapa teorema trace yang digunakan adalah,
Tr (1) = 4
(D.1)
Untuk trace dari matriks Dirac γ dalam jumlah ganjil adalah nol,
Tr (γ µ1 γ µ2 ⋯ γ µ2 n+1 ) = 0
(D.2)
Untuk beberapa matriks Dirac γ dalam jumlah genap digunakan teorema,
Tr (γ µ γν ) = 4 g µν
(D.3)
Tr (γ µ γν γ ρ γ σ ) = 4  g µν g ρσ − g µρ gνσ + g µσ gνρ 
(D.4)
Beberapa teorema trace yang melibatkan matriks Dirac γ5 ,
Tr (γ µ γ5 ) = 0
(D.5)
Tr (γ µ γν γ 5 ) = 0
(D.6)
Tr (γ µ γν γ ρ γ 5 ) = 0
(D.7)
Tr (γ µ γν γ ρ γ σ γ5 ) = 4iǫµνρσ
(D.8)
dimana ǫµνρσ adalah tensor anti-simetrik Levi-Civita yang didefenisikan sebagai,
ǫµνρσ
 1 untuk permutasi genap,

= −1 untuk permutasi ganjil,

 0 jika dua indeks atau lebih adalah sama.
(D.9)
Identitas Kontraksi
Beberapa aturan kontraksi dalam matriks Dirac γ ,
γ µ γµ = 4
(D.10)
γ µ γ ν γ µ = −2γ ν
(D.11)
γ µ γ ν γ ρ γ µ = 4g νρ
(D.12)
γ µ γ ν γ ρ γσ γ µ = −2γσ γ ρ γν
(D.13)
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
44
E. Spinor Dirac
Spinor Dirac untuk partikel bebas memiliki bentuk u ( p, s ) dan υ ( p, s ) , dimana
masing-masing memiliki spinor adjoint yang didefenisikan dengan,
u ( p, s ) = u ( p, s ) γ 0
(E.1)
υ ( p, s ) = υ ( p, s ) γ 0
(E.2)
†
†
Dengan menggunakan spinor Dirac ini, maka persamaan Dirac dapat ditulis dalam
bentuk,
( /p − m) u ( p, s) = 0 ,
( /p + m) υ ( p, s ) = 0
(E.3)
Sedangkan dalam bentuk spinor adjoint menjadi,
u ( p, s )( /p − m) = 0,
υ ( p, s )( /p + m) = 0
(E.4)
Normalisasi pada spinor Dirac,
u ( p, s ) u ( p, r ) = 2mδsr
(E.5)
υ ( p, s ) υ ( p, r ) = −2mδsr
(E.6)
u ( p , s ) υ ( p, r ) = υ ( p , s ) u ( p , r ) = 0
(E.7)
Operator penjumlahan spin dalam spinor Dirac didefenisikan sebagai,
∑ u ( p, s)u ( p, s) = /p + m
(E.8)
∑ υ ( p, s) υ ( p, s) = /p − m
(E.9)
s
s
F. Arti Simbol dan Singkatan
QL
State kuark left-handed
QR
State kuark right-handed
γµ
Matriks Dirac
σa
Matriks Pauli
∂µ
Turunan
Dµ
Turunan kovarian
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
45
α ( x)
Fungsi ruang waktu
θ ( x)
Parameter transformasi lokal
SU (2) L
Sub grup weak isospin
U (1)Y
Sub grup weak hypercharge
g
Konstanta kopling SU (2) L
g′
Konstanta kopling U (1)Y
Wµa
Medan vektor boson untuk SU (2) L
Bµ
Medan vektor boson untuk U (1)Y
Ta
Operator isospin
Y
Operator hypercharge
Fµνi
Kuat medan SU (2) L
Bµν
Kuat medan U (1)Y
ǫijk
Konstanta struktur SU (2) L
Φ
Medan boson Higgs
φ+
Medan skalar kompleks untuk muatan positif
φ−
Medan skalar kompleks untuk muatan negatif
φ0
Medan skalar kompleks netral
Φ†
Konjugate hermit medan Higgs
Dµ
Derivatif kontravarian
V (Φ)
Potensial Higgs
µ
Parameter massa dalam mekanisme Higgs
λ
Konstanta kopling diri dalam mekanisme Higgs
υ
Parameter radius dalam mekanisme Higgs
Φ
0
Vacuum expectation value pada keadaan dasar
Wµ±
Medan bermuatan boson W
Zµ
Medan netral boson Z
Aµ
Medan foton
T±
Medan isospin
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
46
θω
Sudut Weinberg atau sudut mixing lemah
e
Koefisien interaksi elektromagnetik (muatan elektron)
/
∂
Feynman slash untuk gradien kovarian (γ µ ∂ µ )
JWµ+
Arus boson W bermuatan positif
JWµ−
Arus boson W bermuatan negatif
J Zµ
Arus boson Z
µ
J EM
Arus elektromagnetik
fu
Konstanta kopling kuark u, c, dan t
fd
Konstanta kopling kuark d, s, dan b
U
Matriks satuan untuk kuark u, c, dan t
V
Matriks satuan untuk kuark d, s, dan b
VCKM
Matriks Cabibbo-Kobayashi-Maskawa
g µν
Tensor metrik
p
Momentum partikel awal
k
Momentum partikel akhir
MW
Massa boson W
ΓW
Laju peluruhan boson W
Vij
Elemen matriks CKM transisi i ke j
Γ
Laju peluruhan
M
Amplitudo invarian
pµ
Vektor empat momentum
s
Spin partikel dalam spinor
PL
Operator proyeksi left-handed
PR
Operator proyeksi right-handed
τ
Waktu hidup
BR
Branching Ratio (rasio pencabangan)
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009
47
Ronald Pangidoan Marpaung : Produksi Tetrakuark Dan Pentakuark Pada Peluruhan Meson B, 2009.
USU Repository © 2009