Asian Options

BAB II : LANDASAN TEORI
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas beberapa teori dasar yang kelak akan digunakan dalam
penurunan formula penentuan harga Asian Option, baik secara analitik pada Bab
III maupun secara numerik pada Bab IV.
2.1
Aset dan Derivative
Aset adalah suatu objek keuangan yang nilainya pada saat sekarang
diketahui dan dapat berubah pada saat yang akan datang. Fenomena
ketidakpastian nilainya di masa depan ini menyebabkan banyak investor
yang ingin berinvestasi dalam jual-beli aset, misalnya saham, obligasi, atau
suatu komoditas publik. Karena nilai aset yang berubah-ubah, terdapat
investor mengurangi resiko yang mungkin dia tanggung, sehingga
muncullah istilah hedging, yakni strategi yang dilakukan investor agar
resiko yang dialami dalam melakukan transaksi tidak terlalu besar. Terdapat
suatu objek keuangan yang biasa dipakai dalam melakukan hedging, yaitu
derivative.
Derivative adalah suatu objek keuangan yang nilainya bergantung pada nilai
suatu aset (biasa disebut underlying asset bagi derivative tersebut) pada
suatu selang waktu tertentu. Dengan menjual atau membeli suatu derivative,
maka investor mampu membuat strategi yang bisa meminimalisir
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
5
BAB II : LANDASAN TEORI
kemungkinan kerugian yang akan didapatkan. Salah satu contoh derivative
yang paling diminati adalah option..
2.2
Options
Option adalah objek keuangan yang berupa surat kontrak di mana pihak
pembeli (holder) “berjanji” kepada penjual (writer) untuk membeli (jika
berbentuk opsi call)/menjual (jika berbentuk opsi put) suatu aset dengan
suatu harga tertentu (yang disebut strike price) pada waktu yang telah
disepakati sebelumnya (disebut exercise time atau maturity time). Jika
holder menggunakan haknya (untuk membeli atau menjual aset sesuai
perjanjian pada opsi), maka holder disebut meng-exercise opsi tersebut.
Masalah yang menarik saat membicarakan derivative, terutama option,
adalah bagaimana menentukan harga yang pantas dibayar oleh holder
kepada writer saat holder membeli sebuah option dari writer.
Contoh yang paling umum saat membicarakan opsi adalah vanilla option,
yang berdasarkan tipe exercise-nya terbagi menjadi dua tipe yakni European
Option dan American Option, dan masing-masing memiliki dua tipe, yaitu
call dan put. European Option adalah opsi yang hanya bisa di-exercise pada
saat maturity time, di mana hasil exercise tersebut (yang akan menjadi
payoff bagi holder) bergantung pada harga aset pada saat maturity time
tersebut. American Option adalah opsi yang bisa di-exercise oleh holder
kapanpun juga (selama belum mencapai maturity time), dan payoff yang
diterima oleh holder bergantung pada harga aset saat opsi tersebut diexercise. Terdapat contoh lain dari option, yakni suatu jenis opsi yang disebut
path-dependent option. Opsi jenis inilah yang akan dibahas lebih lanjut.
2.3
Path Dependent Option
Path Dependent Option adalah opsi yang payoff-nya bergantung pada
pergerakan harga underlying asset-nya selama seluruh atau sebagian “waktu
hidup” opsi tersebut. Jadi payoff yang diterima holder tidak hanya
bergantung pada suatu harga aset pada satu waktu tertentu saja, seperti yang
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
6
BAB II : LANDASAN TEORI
terjadi pada vanilla option. Secara umum, terdapat 3 jenis opsi jenis path
dependent ini, yaitu barrier option, lookback option, dan Asian option. Pada
tugas akhir ini, hanya Asian option yang akan dibahas.
2.4 Distribusi Normal dan Lognormal
Pada tugas akhir ini, distribusi normal (dan juga lognormal) memegang
peranan penting dalam formulasi harga sebuah opsi. Suatu peubah acak X
dikatakan mengikuti distribusi normal, dengan rata-rata μ dan variansi σ 2 ,
jika fungsi padat peluangnya berupa
⎛ ( x − μ )2 ⎞
1
⎟
f ( x) =
exp ⎜ −
⎜
2σ 2 ⎟
σ 2π
⎝
⎠
(2.1)
dan fungsi distribusinya berupa
1
F ( x) =
2π
⎛ ( x − μ )2 ⎞
∫−∞ exp ⎜⎜ − 2σ 2 ⎟⎟
⎝
⎠
x
(2.2)
Selain itu, perlu diketahui pula bahwa jumlah dari sejumlah N peubah acak
normal yang saling bebas X i , i = 1, 2,…, N juga berdistribusi normal. Dan
N
jika Y = ∑ X i , maka Y berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi
i =1
masing-masing:
N
E (Y ) = ∑ E ( X i ), dan
(2.3)
i =1
N
Var (Y ) = ∑ Var ( X i )
(2.4)
i =1
Misalkan Z = e X , di mana X merupakan peubah acak normal dengan ratarata μ dan variansi σ 2 . Maka Z dikatakan mengikuti distribusi lognormal,
yang fungsi padat peluangnya berbentuk:
g ( z) =
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
1
zσ z
⎛ ( ln z − μ z )2 ⎞
⎟
exp ⎜ −
⎟
⎜
2σ 2
2π
⎝
⎠
(2.5)
7
BAB II : LANDASAN TEORI
di mana μ z dan σ z2 dinyatakan sebagai berikut:
σ z2 = exp ( 2μ x + σ x2 ) ⎡⎣exp (σ x2 ) − 1⎤⎦ .
⎛
μ z = exp ⎜ μ x +
⎝
σ x2 ⎞
⎟
2 ⎠
σ z2 = exp ( 2μ x + σ x2 ) ⎡⎣exp (σ x2 ) − 1⎤⎦ .
2.5
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Gerak Brown
Gerak Brown atau Wiener Process didefinisikan sebagai suatu proses
{W ( t ) ; t ≥ 0} yang memiliki sifat-sifat berikut:
1. W ( 0 ) = 0
2. W ( t ) kontinu
3. Setiap increment W ( t + s ) − W ( t ) saling bebas dan berdistribusi normal
dengan rata-rata μt dan variansi σ t2 .
Sebagai catatan, jika μt = 0 dan σ t2 = 1 , maka Gerak Brown di atas disebut
sebagai Gerak Brown Standar
2.6
Gerak Brown Geometrik
Misalkan W ( t ) merupakan suatu Gerak Brown dengan parameter μt dan
σ t2 . Maka suatu proses Y ( t ) yang didefinisikan: Y ( t ) = eW ( t ) , t ≥ 0 ,
merupakan suatu Gerak Brown Geometrik. Y ( t ) ini berdistribusi lognormal
dengan rata-rata:
⎛
σ 2t ⎞
E (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y 0 exp ⎜ μ t +
⎟
2 ⎠
⎝
(2.9)
var (Y ( t ) | Y ( 0 ) = y0 ) = y02 exp ( 2μt + σ 2t ) ⎡⎣exp (σ 2t ) − 1⎤⎦
(2.10)
dan variansi :
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
8
BAB II : LANDASAN TEORI
2.7
Teorema Limit Pusat
Misalkan X1 , X 2 ,…, X n adalah barisan dari peubah-peubah acak yang
identik dan saling bebas dengan rata-rata dan variansinya masing-masing
adalah μ dan σ 2 . Misalkan terdapat peubah acak Sn , di mana
n
Sn = ∑ X i
(2.11)
i =1
Teorema Limit Pusat menyatakan:
“ Untuk nilai n yang sangat besar, Sn akan menghampiri
peubah acak normal dengan rata-rata nμ dan variansi nσ 2 .
Hasilnya, untuk setiap x sembarang diperoleh
⎧ S − nμ
⎫
P⎨ n
≤ x⎬ ≈ N ( x)
⎩ σ n
⎭
(2.12)
dan hampiran yang diperoleh menjadi lebih akurat seiring
dengan bertambah besarnya nilai n. “
Sebagai catatan, N ( x ) yang dimaksud pada teorema di atas adalah fungsi
distribusi pada peubah acak normal standar Z (rata-ratanya 0 dan
variansinya 1) , yakni
N ( x) = P ( Z ≤ x)
2.8
(2.13)
Model Pergerakan Harga Aset
Model yang pertama-tama digunakan untuk memodelkan pergerakan harga
aset pada tugas akhir ini adalah model diskrit. Pada model diskrit, selang
waktu [ 0,T ] dibagi dalam n subselang yang panjangnya seragam dengan
lebar selang δ t =
T
. Misalkan S (t i ) adalah harga aset pada saat t i = iδ t .
n
Model :
S ( ti +1 ) = S ( ti ) + μδ t S ( ti ) + σ δ t Yi. S ( ti )
(2.14)
dengan μ > 0, σ ≥ 0, dan Y0 , Y1 , Y2 ,...iid ~ N (0,1)
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
9
BAB II : LANDASAN TEORI
Dengan menggunakan cara rekursif diperoleh :
n −1
(
S ( t ) = S0 ∏ 1 + μδ t + σ δ t Yi
i =0
)
⎛ S ( t ) ⎞ n −1
ln ⎜
⎟ = ∑ ln 1 + μδ t + σ δ t Yi
⎝ S0 ⎠ i =0
(
Jika δ t → 0 dan mengingat bahwa ln (1 + x ) ≈ x −
(2.15)
)
(2.16)
x2
maka diperoleh :
2
⎛ S ( t ) ⎞ n −1 ⎛
1 2 2⎞
ln ⎜
⎟ ≈ ∑ ⎜ μδ t + σ δ t Yi − σ δ tYi ⎟
2
⎠
⎝ S0 ⎠ i =0 ⎝
(2.17)
⎡⎛
1
1
⎞⎤
E ⎢⎜ μδ t + σ δ t Yi − σ 2δ tYi 2 ⎟ ⎥ = μδ t − σ 2δ tYi 2
2
2
⎠⎦
⎣⎝
(2.18)
⎡⎛
1
⎞⎤
Var ⎢⎜ μδ t + σ δ t Yi − σ 2δ tYi 2 ⎟ ⎥ = σ 2δ t + O (δ t )
2
⎠⎦
⎣⎝
(2.19)
Selanjutnya,
dan dengan menggunakan Teorema Limit Pusat maka diperoleh :
⎛ S (t ) ⎞
⎛⎛
1 2⎞
2 ⎞
ln ⎜
⎟ ~ N ⎜ ⎜ μ − σ ⎟ t,σ t ⎟
2 ⎠
⎝⎝
⎠
⎝ S0 ⎠
(2.20)
sehingga formulasi harga aset pada saat t adalah:
1 2⎞
⎛
⎜ μ − σ ⎟t +σ t . Z
2 ⎠
S ( t ) = S0 .e⎝
(2.21)
dengan Z ~ N ( 0,1)
Karena
S (t )
dapat
dituliskan
dalam
bentuk
eksponensial
dari
1 2⎞
⎛
⎜ μ − σ ⎟ t + σ t .Z yang adalah peubah acak normal, maka dapat
2 ⎠
⎝
disimpulkan bahwa S (t ) berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan
variansi:
E ⎡⎣ S ( t ) ⎤⎦ = S0 .e μ t
(
(2.22)
)
Var ⎣⎡ S ( t ) ⎦⎤ = S0 2 .e 2 μ t . eσ t − 1
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
2
(2.23)
10
BAB II : LANDASAN TEORI
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa harga saham berdistribusi
lognormal dengan rataan dan variansi seperti tertera di atas.
2.9
Lemma Ito
Misalkan u ( X ( t ) ) merupakan suatu fungsi kontinu dengan turunan
parsialnya yang juga kontinu. Misalkan dX ( t ) didefinisikan oleh:
dX ( t ) = a ( X , t ) dt + b ( X , t ) dZ ( t )
(2.24)
di mana dZ ( t ) adalah suatu gerak Brown standar
Misalkan terdapat suatu proses stokastik Y ( t ) di mana Y ( t ) = u ( X ( t ) , t ) .
Jika kita lakukan ekspansi deret Taylor terhadap ΔY, maka didapat:
ΔY =
1 ⎛ ∂ 2u
∂u
∂u
∂ 2u
∂ 2u 2 ⎞
2
X
X
t
2
ΔX +
Δt + ⎜
Δ
+
Δ
Δ
+
Δt ⎟ + O ( t )
∂X
∂t
∂X ∂t
∂t 2
2 ⎝ ∂X 2
⎠
(2.25)
dengan O ( t ) adalah suku-suku dengan orde lebih tinggi dari Δt
catat bahwa :
ΔX 2 = b ( X , t ) x Δt + O ( Δ t )
2
(2.26)
dengan x = peubah acak normal standar
sehingga suku-suku yang memuat ΔX 2 tidak dapat diabaikan. Dalam
diferensial limit ΔX → 0 dan Δt → 0 , suku ΔX Δt dan Δt 2 tidak berperan,
sehingga dapat diabaikan, dan persamaan (2.25) menjadi:
2
∂u
∂u
1
2 ∂ u
dt +
dX + b ( X , t )
dt
∂t
∂X
∂X 2
2
(2.27)
2
⎛ ∂u
∂u 1
∂u
2 ∂ u ⎞
= ⎜ + a( X ,t)
+ b( X ,t)
dZ ( t )
⎟ dt + b ( X , t )
∂X 2
∂X 2 ⎠
∂X
⎝ ∂t
dY ( t ) =
2.10 Formula Black-Scholes
Black-Scholes formula adalah suatu model matematika yang cukup populer
di bidang matematika keuangan, terutama dalam hal pembuatan formula
penentuan harga opsi. Model Black-Scholes ini berlaku pada keadaan di
bawah sejumlah asumsi, yakni:
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
11
BAB II : LANDASAN TEORI
(a)
Transaksi dapat terjadi setiap saat dan tidak ada biaya tambahan yang
dikenai pada transaksi tersebut (misal biaya transaksi atau pajak)
(b)
Tidak ada peluang terjadinya arbitrage (keadaan tanpa ada peluang
merugi)
(c)
Terbukanya kesempatan untuk melakukan short selling (yakni
meminjam sejumlah aset dan menjualnya untuk mendapatkan uang
tunai, dan setelah beberapa waktu membeli kembali aset tersebut dan
mengembalikannya).
(d)
Peminjaman atau penabungan uang tunai dari/ke bank dimungkinkan
dengan suku bunga yang nilainya konstan
(e)
Tidak ada pembagian dividen pada penjualan aset
(f)
Harga saham berdistribusi lognormal dengan rata-rata dan variansi yang
konstan
(g)
Jumlah aset yang dibeli bisa dalam bentuk pecahan
Misalkan C adalah harga sebuah opsi call Eropa. Perubahan harga saham
diberikan oleh persamaan:
dS = μ S dt + σ S dB
(2.28)
Dengan memanfaatkan Lemma Ito, kita peroleh bentuk persamaan
diferensial stokastik untuk call Eropa berikut:
⎛ ∂C
∂C 1 2 2 ∂ 2C ⎞
∂C
dC = ⎜
dt + σ S
dB
+ μS
+ σ S
2 ⎟
∂S 2
∂S ⎠
∂S
⎝ ∂t
0 < S < ∞, dan τ > ∞
(2.29)
di mana persamaan (2.29) tersebut dinamakan Black-Scholes formula,
dengan syarat awal:
c ( S , 0 ) = max {S − K , 0}
(2.30)
C ( 0,τ ) = 0
(2.31)
dan syarat batas:
jika S → ∞, maka C ( S ,τ )
S − Ke− rτ
(2.32)
dengan K adalah strike price-nya.
Penentuan Harga Opsi Asia
Riswan Harapan (10103024)
12