ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh
advertisement
ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM. 09610061 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2013 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Diajukan Kepada: Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM. 09610061 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2013 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM. 09610061 Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal: 29 Juni2013 Dosen Pembimbing I, Dosen Pembimbing II, Hairur Rahman, M.Si NIP. 19800429 200604 1 003 Abdul Aziz, M.Si NIP. 19760318 200604 1 002 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001 ORTOGONALITAS PADA RUANG BERNORMA SKRIPSI Oleh: AKHMAD SYARIFUDDIN FAUQANORI NIM. 09610061 Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan diterima sebagai Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 11 September 2013 Penguji Utama Ketua Penguji Sekretaris Penguji Anggota Penguji : Drs. H. Turmudi, M.Si NIP. 19571005 198203 1 006 ________________ : Dr. Usman Pagalay, M.Si NIP. 19650414 200312 1 001 ________________ : Hairur Rahman, M.Si NIP. 19800429 200604 1 003 ________________ : Abdul Aziz, M.Si NIP. 19760318 200604 1 002 ________________ Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001 PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Akhmad Syarifuddin Fauqanori NIM : 09610061 Jurusan : Matematika Fakultas : Sains dan Teknologi Judul : Ortogonalitas pada Ruang Bernorma menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar merupakan hasil karya sendiri, bukan merupakan pengambilalihan data, tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka. Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan, maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut. Malang, 3 Juli 2013 Yang membuat Pernyataan, Akhmad Syarifuddin Fauqanori NIM. 09610061 MOTTO Bekerjalah untuk Duniamu seakan-akan kamu akan hidup selamanya. Beribadahlah untuk Akhiratmu seakanakan kamu akan mati esok (Al-Hadits) When life changes to be harder, change yourself to be stronger (anonymous) PERSEMBAHAN Bismillahirrahmaanirrahiim... Skripsi ini dipersembahkan untuk: Ibunda tercinta Lailatul Qadariyah Ayahanda tercinta Achmad Fadlillah Muchtar Adik-adik tercinta Fitriyah Nurrahmah, Nurussakinah, dan Miftahul Huda KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr.Wb. Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, taufik, hidayah, dan inayah-Nya sehingga skripsi yang berjudul “Ortogonalitas pada Ruang Bernorma” dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat dan salam semoga tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah mengantarkan umat manusia menuju jalan kebenaran. Keberhasilan penulisan skripsi ini tidak lepas dari bimbingan, arahan, dan bantuan dari berbagai pihak, baik berupa pikiran, motivasi, tenaga maupun do’a. Karena itu, penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Prof. Dr. H. Mudjia Raharjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 2. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang serta pembimbing akademik yang telah memberikan motivasi dan bimbingan kepada penulis semasa perkuliahan. 4. Hairur Rahman, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktunya dan dengan sabar memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini. viii 5. Abdul Aziz, M.Si selaku dosen pembimbing agama yang telah memberikan bimbingan dan arahan kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini. 6. Para dosen Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang yang telah mengajar, mendidik, dan membimbing penulis selama menempuh pendidikan di Jurusan Matematika. 7. Para staf dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang yang telah memberikan pelayanan administrasi dengan baik. 8. Rekan-rekan mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 yang telah memberikan banyak masukan, motivasi, dan pengalaman-pengalaman berharga selama masa perkuliahan. 9. Ibunda Lailatul Qadariyah dan ayahanda Achmad Fadlillah Muchtar yang jasa-jasanya dalam kehidupan penulis tidak dapat diuraikan satu-persatu. 10. Adik-adik penulis Fitriyah Nurrahmah, Nurussakinah, dan Miftahul Huda yang tidak pernah berhenti memberikan do’a dan dukungan kepada penulis. 11. Achmad Wahyudi, Agus Maulana, Angga Debby Frayudha, Alfi Syahri Yuni, Lailatul Urusyiyah, Misbakhul Choeroni, Mochammad Fajar Wildan, Muhamad Imam Mutamaqin, Qosimil Junaidi, Sefiana Noor Cholidah, dan Yusuf Arifuddin yang telah memberikan banyak masukan dan dukungan kepada penulis. 12. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih atas bantuannya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. ix Akhirnya, penulis memohon kepada Allah SWT semoga segala kebaikan yang telah diberikan dibalas oleh-Nya. Semoga skripsi ini memberikan manfaat. Amin Ya Robbal ‘Alamin. Wassalamu’alaikum Wr. Wb. Malang, September 2013 Penulis x DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PERSETUJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN HALAMAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR ................................................................................... DAFTAR ISI .................................................................................................. DAFTAR SIMBOL ....................................................................................... DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... ABSTRAK ..................................................................................................... ABSTRACT ................................................................................................... اﻟﻤﻠﺨﺺ ........................................................................................................ viii xi xii xiii xiv xv xvi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ................................................................................ 1.2 Rumusan Masalah ........................................................................... 1.3 Tujuan Penelitian ............................................................................ 1.4 Batasan Masalah .............................................................................. 1.5 Manfaat Penelitian .......................................................................... 1.6 Metode Penelitian ........................................................................... 1.7 Sistematika Penulisan ..................................................................... 1 4 4 4 5 6 6 BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Ruang Vektor .................................................................................. 2.2 Ruang Bernorma ............................................................................. 2.3 Ruang Hasilkali Dalam . .................................................................. 2.4 Ruang Semi Hasilkali Dalam ......................................................... 2.5 Ortogonalitas ................................................................................... 2.6 Kajian Agama tentang Ortogonalitas .............................................. 8 13 39 54 56 59 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Ortogonalitas-P ................................................................................ 3.2 Ortogonalitas-I ................................................................................. 3.3 Ortogonalitas-BJ .............................................................................. 3.4 Ortogonalitas-g ................................................................................ 62 68 75 79 BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan ..................................................................................... 88 4.1 Saran ............................................................................................... 88 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 89 xi DAFTAR SIMBOL . : Norma (norm) , : Hasilkali Dalam (Inner Product) , : Semi Hasilkali Dalam (Semi Inner Product) : Ortogonalitas I : Ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality) P : Ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality) BJ : Ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality) g : Ortogonalitas-g xii DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Grafik Fungsi f x x ............................................................... 21 Gambar 2.2 Grafik Fungsi u x 2 x 1 ........................................................ 23 Gambar 2.3 Grafik Fungsi c x 4 x 2 ........................................................ 25 Gambar 2.4 Grafik Fungsi v x 3 x 2 ......................................................... 27 Gambar 2.5 Grafik Fungsi u x v x 5 x 1 .............................................. 28 Gambar 2.6 Ilustrasi pada Ketaksamaan Young ................................................ 31 Gambar 3.1 Ilustrasi Ortogonalitas-P pada Ruang Bernorma ........................... 62 Gambar 3.2 Ilustrasi Ortogonalitas-I pada Ruang Bernorma ............................ 69 xiii ABSTRAK Fauqanori, Akhmad Syarifuddin. 2013. Ortogonalitas pada Ruang Bernorma. Skripsi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: (I) Hairur Rahman, M.Si (II) Abdul Aziz, M.Si Kata Kunci: Ruang Vektor, Ruang Bernorma, Ruang Hasilkali Dalam, dan Ortogonalitas. Ortogonalitas merupakan salah satu konsep penting pada ruang hasilkali dalam, karena ortogonalitas berhubungan dengan besar sudut antara dua vektor. Dua vektor x dan y pada ruang hasilkali dalam jika dan hanya jika x, y 0 . Berdasarkan penelitian terdahulu yang dilakukan oleh J.R. Partington pada tahun 1986 mengenai ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam, diketahui bahwa ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam memenuhi beberapa sifat dasar antara lain: sifat nondegenerasi, simetri, homogenitas, aditif kanan, resolvabilitas, dan kontinuitas. Hal yang paling sering dikaji pada ruang bernorma adalah mengenai panjang vektor dan jarak antara dua vektor. Terdapat beberapa definisi ortogonalitas pada ruang bernorma, antara lain: ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality), ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality), ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality), dan ortogonalitas-g. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji sifat-sifat ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam yang dapat dikembangkan pada ruang bernorma. Metode yang digunakan pada penelitian ini adalah penelitian kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan data dan informasi yang berhubungan dengan penelitian dengan bantuan buku-buku, jurnal, artikel, dan sumber-sumber lain yang relevan. Berdasarkan hasil pembahasan dapat disimpulkan bahwa ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality) pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, simetri, homogenitas, dan aditif kanan. Ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality) pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, simetri, dan aditif kanan. Ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality) pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, dan homogenitas. Ortogonalitas-g pada ruang semi hasilkali dalam memenuhi sifat nondegenerasi, homogenitas, dan aditif kanan. Disarankan untuk penelitian selanjutnya dapat mengkaji sifat-sifat dasar ortogonalitas yang berlaku pada ruang bernorma-2 bahkan hingga ruang bernorma-n. Selain itu, juga masih terdapat beberapa definisi ortogonalitas lain pada ruang bernorma, seperti ortogonalitas-R dan ortogonalitas-D, sehingga masih membuka kemungkinan untuk melakukan penelitian. xiv ABSTRACT Fauqanori, Akhmad Syarifuddin. 2013. Orthogonality on Normed Space. Thesis. Department of Mathematics Faculty of Science and Technology Maulana Malik Ibrahim State Islamic University of Malang. Advisors: (I) Hairur Rahman, M.Si (II) Abdul Aziz, M.Si Keywords: Vector Space, Normed Space, Inner Product Space, and Orthogonality Orthogonality is one of the important concepts on inner product space, because orthogonality associated with the angle between two vectros. Two vectors x and y in inner product space are called orthogonal if only if x, y 0 . Based on previous research conducted by J.R. Partington in 1986 concerning orthogonality on inner product space, it is known that the orthogonality in inner product space satisfy some basic properties such as: nondegeneracy, symetry, homogeneity, right additivity, resolvability, and continuity. The most often studied on normed space are the length of vector and the distance between two vectors. There are several definitions of orthogonality on normed space, such as: P-orthogonality (Phyatogerean Orthogonality), I-orthogonality (Isosceles Orthonality), BJ-orthogonality (Birkhoff-James Orthogonality), and g-orthogonality. Based on these issues, the aim of this research is to examine the properties of orthogonality in the inner product space which can be developed on a normed space. The method which is used in this research is library research, by collecting data and related information to the research with the help of books, journals, articles, and other sources are relevant. Based on the discussion, it can be conclude that the P-orthogonality on real normed space satisfy nondegeneracy, symetry, homogeneity, and right additivity. Iorthogonality on real normed space satisfy nondegeneracy, symetry, and right additivity. BJ-orthogonality on real normed space satisfy nondegeneracy and homogeneity. Gorthogonality on semi inner product space satisfy nondegeneracy, homogeneity, and right additivity. Suggested for the next research to examine the fundamental properties that apply to the orthogonality 2-normed space even up n-normed space. In addition, there are several other definitions of orthogonality on normed space, such as R-orthogonality and D-orthogonality, so it’s still open to the possibility of doing research. xv اﻟﻤﺨﻠﺼﺔ ﻓوق اﻟﻧوري ،اﺣﻣد ﺷرﯾف اﻟد ﯾن. ٢٠١٣ .اﻟﺗﻌﺎﻣد ﻓﻲ اﻷﻣﺎﻛن اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ .أطروﺣﺔ .ﻗﺳم اﻟرﯾﺎﺿﯾﺎت، ﻛﻠﯾﺔ اﻟﻌﻠوم واﻟﺗﻛﻧوﻟوﺟﯾﺎ ﻓﻲ اﻟﺟﺎﻣﻌﺔ اﻹﺳﻼﻣﯾﺔ ﻣوﻻﻧﺎ ﻣﺎﻟك إﺑراھﯾم ﻣﺎﻻﻧﺞ اﻟدوﻟﺔ .اﻟﻣﺷرف ﻣﺳﺗﺷﺎر .١ :ﺧﯾر اﻟرﺣﻣن ،اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر .٢ﻋﺑد اﻟﻌز ﯾز ،اﻟﻣﺎﺟﺳﺗﯾر ﻛﻠﻣﺎت اﻟﺑﺣث :ﻓﺿﺎءات اﻟﻣﺗﺟﮫ ،وﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ،وﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟﻣﻧﺗﺞ اﻟداﺧﻠﯾﺔ ،واﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ اﻟﺗﻌﺎﻣد ھﻲ واﺣدة ﻣن اﻟﻣﻔﺎھﯾم اﻟﮭﺎﻣﺔ ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺗﺞ اﻟداﺧﻠﯾﺔ ،ﺑﺳﺑب اﻟﺗﻌﺎﻣد اﻟﻣرﺗﺑطﺔ اﻟزاوﯾﺔ ﺑﯾن اﺛﻧﯾن ﻣن ﻧﺎﻗﻼت .ﻣﺗﺟﮭﯾن xو yﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺗﺞ اﻟداﺧﻠﯾﺔ إذا وﻓﻘط إذا . x, y 0اﺳﺗﻧﺎدا إﻟﻰ اﻷﺑﺣﺎث اﻟﺳﺎﺑﻘﺔ اﻟﺗﻲ أﺟرﺗﮭﺎ J.R. Partingtonﺳﻧﺔ ١٩٨٦ﺑﺷﺄن اﻟﺗﻌﺎﻣد ﻓﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟداﺧﻠﯾﺔ اﻟﻣﻧﺗﺞ ،ﻓﻣن اﻟﻣﻌروف أن اﻟﺗﻌﺎﻣد ﻓﻲ اﻟﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟداﺧﻠﯾﺔ اﻟﻣﻧﺗﺞ ﺗﻠﺑﯾﺔ ﺑﻌض اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ ﻣﺛل :طﺑﯾﻌﺔ ﻏﯾر اﻻﻧﺣطﺎط ،واﻟﺗﻣﺎﺛل ،واﻟﺗﺟﺎﻧس، واﻟﻣﺿﺎﻓﺎت اﻟﺣق ،وإﻋﺎدة اﻟﻣﻼءة اﻟﻣﺎﻟﯾﺔ ،واﻻﺳﺗﻣرارﯾﺔ. وﻏﺎﻟﺑﺎ ﻣﺎ درﺳﮫ ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ھو طول اﻟﻣوﺟﮫ واﻟﻣﺳﺎﻓﺔ ﺑﯾن ﻣﺗﺟﮭﯾن .ھﻧﺎك ﻋدة ﺗﻌرﯾﻔﺎت ﻟﻼﻟﺗﻌﺎﻣد ﻓﻲ اﻷﻣﺎﻛن اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ،ﻣن ﺑﯾن أﻣور أﺧرى :اﻟﺗﻌﺎﻣد Phytagorean ) P-اﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ( ،اﻟﺗﻌﺎﻣد) I-اﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوي اﻟﺳﺎﻗﯾن( BJ،اﻟﺗﻌﺎﻣد ) Birkhoff-Jamesاﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ( ،واﻟﺗﻌﺎﻣد .G-وﺑﻧﺎء ﻋﻠﻰ ھذه اﻟﻘﺿﺎﯾﺎ ،وﺗﮭدف ھذه اﻟدراﺳﺔ إﻟﻰ دراﺳﺔ ﺧﺻﺎﺋص اﻟﺗﻌﺎﻣد ﻓﻲ اﻟﻔﺿﺎء اﻟﻣﻧﺗﺞ اﻟداﺧﻠﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﯾﻣﻛن ﺗطوﯾرھﺎ ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ. اﻟطرﯾﻘﺔ اﻟﻣﺳﺗﺧدﻣﺔ ﻓﻲ ھذه اﻟدراﺳﺔ ھو اﻟﺑﺣث ﻓﻲ اﻟﻣﻛﺗﺑﺔ ،ﻣن ﺧﻼل ﺟﻣﻊ اﻟﺑﯾﺎﻧﺎت واﻟﻣﻌﻠوﻣﺎت اﻟﻣﺗﻌﻠﻘﺔ ﺑﮭذا اﻟﺑﺣث ﻣﻊ ﻣﺳﺎﻋدة ﻣن اﻟﻛﺗب واﻟﻣﺟﻼت واﻟﻣﻘﺎﻻت واﻟﻣﺻﺎدر اﻷﺧرى ذات اﻟﺻﻠﺔ. واﺳﺗﻧﺎدا إﻟﻰ اﻟﻣﻧﺎﻗﺷﺔ ،ﯾﻣﻛن أن ﻧﺧﻠص إﻟﻰ أن اﻟﺗﻌﺎﻣد Phytagorean ) P-اﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ( ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ﺣﻘﯾﻘﻲ ﯾﻠﺑﻲ ﻏﯾر اﻻﻧﺣطﺎط ،واﻟﺗﻣﺎﺛل ،واﻟﺗﺟﺎﻧس ،واﻟﻣﺿﺎﻓﺎت اﻟﺣق .اﻟﺗﻌﺎﻣد) I-اﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ ﻣﺗﺳﺎوي اﻟﺳﺎﻗﯾن( ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ﺣﻘﯾﻘﻲ ﯾﻠﺑﻲ ﻏﯾر اﻻﻧﺣطﺎط ،واﻟﺗﻣﺎﺛل ،واﻟﻣﺿﺎﻓﺎت اﻟﺣق-BJ . اﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ ) Birkhoff-Jamesاﻟﺗﻌﺎﻣدﯾﺔ( ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﺣﺔ اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ﺣﻘﯾﻘﻲ ﯾﻠﺑﻲ ﻏﯾر اﻻﻧﺣطﺎط، واﻟﺗﺟﺎﻧس .اﻟﺗﻌﺎﻣد G-ﻋﻠﻰ ﻣﺳﺎﺣﺎت اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ اﻟﺣﻘﯾﻘﯾﺔ ﺗﻠﺑﯾﺔ ﺧﺻﺎﺋص ﻏﯾر اﻻﻧﺣطﺎط ،واﻟﺗﺟﺎﻧس، واﻟﻣﺿﺎﻓﺎت اﻟﺣق. واﻗﺗرح إﺟراء اﻟﻣزﯾد ﻣن اﻟﺑﺣوث ﻟدراﺳﺔ اﻟﺧﺻﺎﺋص اﻷﺳﺎﺳﯾﺔ اﻟﺗﻲ ﺗﻧطﺑق ﻋﻠﻰ اﻟﺗﻌﺎﻣد اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ اﻟﻔﺿﺎء -2ﺣﺗﻰ ﻣﺳﺎﺣﺔ ﺗﺻل -Nاﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ .وﺑﺎﻹﺿﺎﻓﺔ إﻟﻰ ذﻟك ،ھﻧﺎك ﻋدة ﺗﻌرﯾﻔﺎت أﺧرى ﻣن اﻟﺗﻌﺎﻣد ﻓﻲ اﻷﻣﺎﻛن اﻟوﺣدة اﻟطﺑﯾﺔ اﻟﻧروﯾﺟﯾﺔ ،ﻣﺛل اﻟﺗﻌﺎﻣد R-واﻟﺗﻌﺎﻣد ،D-ﻟذﻟك ﻣﺎ زال ﻣﻔﺗوﺣﺎ أﻣﺎم إﻣﻛﺎﻧﯾﺔ اﻟﻘﯾﺎم اﻟﺑﺣوث. xvi BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis fungsional merupakan cabang analisis yang menggabungkan antara aljabar linier dan analisis. Pembahasan pada analisis fungsional meliputi ruang vektor pada dimensi tak hingga serta pemetaan-pemetaan di antara ruang vektor. Selain itu juga dibahas tentang konsep kekontinuan dan kekonvergenan pada ruang vektor. Objek-objek pada analisis fungsional meliputi ruang bernorma, ruang hasilkali dalam, dan operator-operator linier kontinu pada ruang vektor. Konsep dasar dari ruang bernorma dan ruang hasilkali dalam adalah ruang vektor. Pada dasarnya ruang-ruang matematika membentuk suatu hierarki, yakni ruang-ruang anak dapat mewarisi karakteristik induknya. Misalnya, semua ruang hasilkali dalam merupakan ruang bernorma, karena hasilkali dalam menginduksi norma pada ruang hasilkali dalam. Secara umum ruang bernorma didefinisikan sebagai ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi norma dengan memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. Istilah norma (norm) pada suatu vektor didefinisikan sebagai panjang dari vektor atau jarak antara dua vektor. Istilah panjang dan jarak sebenarnya telah dijelaskan dalam Al-Qur’an baik yang dijelaskan secara langsung maupun secara tidak langsung. Istilah panjang telah dijelaskan secara langsung dalam Al-Qur’an surat Al-Haqqah ayat 32 yang berbunyi sebagai berikut: 1 2 Artinya: “Kemudian belitlah Dia dengan rantai yang panjangnya tujuh puluh hasta (Q.S Al-Haqqah: 32)”. Pada surat Al-Haqqah ayat 32, terdapat satuan panjang tradisional, yaitu hasta. Satuan ukuran panjang yang digunakan adalah satuan yang tidak baku (Abdussakir, 2007:132). Al-Qur’an secara tidak langsung juga telah menjelaskan konsep jarak, seperti yang terdapat dalam surat Al-Isra’ ayat 1 yang berbunyi sebagai berikut: Artinya: “Maha Suci Allah yang telah memperjalankan hamba-Nya pada suatu malam dari Al Masjidil Haram ke Al Masjidil Aqsha yang telah Kami berkahi sekelilingnya agar Kami perlihatkan kepadanya sebagai tandatanda (kebesaran) Kami. Sesungguhnya Dia adalah Maha Mendengar lagi Maha Mengetahui (Q.S Al-Isra’: 1)”. Surat Al-Isra’ ayat 1 menjelaskan tentang peristiwa Isra’ Mi’raj. Peristiwa Isra’ Mi’raj merupakan salah satu peristiwa penting bagi umat Islam dan wajib diyakini kebenarannya. Isra’ atau perjalanan malam merupakan perjalanan yang dilakukan Nabi Muhammad SAW dari Masjidil Haram ke Baitul Muqaddas, sedangkan mi’raj merupakan perjalanan naiknya Nabi Muhammad SAW ke langit dunia yang terdekat kemudian ke Mustawa (Al Maraghi, 1993:6). Secara tidak langsung konsep jarak yang dijelaskan pada surat Al-Isra’ ayat 1, yaitu mengenai jarak antara dua tempat, yaitu Masjidil Haram yang dapat dianalogikan sebagai titik awal dan Masjidil Aqsha atau Baitul Muqaddas yang 3 dapat dianalogikan sebagai titik akhir (tujuan). Dengan adanya titik awal dan titik akhir maka dapat ditentukan jarak antara dua titik. Selain surat Al-Isra’ ayat 1, dalam Al-Qur’an juga terdapat ayat yang secara langsung menjelaskan tentang konsep jarak, seperti yang terdapat pada AlQur’an surat An-Najm ayat 9 yang berbunyi sebagai berikut: Artinya: “Maka jadilah Dia dekat (pada Muhammad sejarak) dua ujung busur panah atau lebih dekat (lagi) (Q.S An-Najm: 9)”. Surat An-Najm ayat 9 secara langsung telah menjelaskan tentang konsep pengukuran panjang atau jarak menggunakan satuan ukur ujung busur panah (Abdussakir, 2007:131). Hasilkali dalam pada ruang vektor riil V merupakan fungsi yang mengasosiasikan suatu bilangan riil dengan sepasang vektor pada V , sehingga memenuhi aksioma-aksioma ruang hasilkali dalam. Jika u dan v vektor-vektor pada ruang vektor rill V maka hasilkali dalam antara vektor u dan v dinotasikan dengan u, v . Ruang vektor riil yang dilengkapi dengan fungsi hasilkali dalam disebut ruang hasilkali dalam riil (Anton & Rorres, 2004:310). Ortogonalitas merupakan salah satu konsep penting pada ruang hasilkali dalam, karena ortogonalitas berhubungan dengan besar sudut antara dua vektor. Dua vektor u dan v pada ruang hasilkali dalam V dikatakan ortogonal jika dan hanya jika u, v 0 (Anton & Rorres, 2004:327). 4 Berdasarkan penelitian terdahulu yang dilakukan oleh J.R Partington pada tahun 1986 diketahui bahwa ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam memenuhi beberapa sifat, antara lain sifat nondegenerasi, simetri, homogenitas, aditif kanan, resolvabilitas, dan kontinuitas. Hal yang paling sering dikaji pada ruang bernorma adalah mengenai panjang vektor dan jarak antara dua vektor. Pada ruang bernorma terdapat beberapa definisi ortogonalitas, antara lain Orthogonality), ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality), ortogonalitas-BJ ortogonalitas-I (Birkhoff-James (Isosceles Orthogonality), dan ortogonalitas-g yang dikembangkan oleh Milicic. Secara umum telah diketahui bahwa tidak semua ruang bernorma merupakan ruang hasilkali dalam, sehingga penulis tertarik untuk mengkaji ortogonalitas pada ruang bernorma di mana tidak semua sifat-sifat ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam dapat dikembangkan pada ruang bernorma. Oleh karena itu, penulis mengambil judul “Ortogonalitas pada Ruang Bernorma”. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang di atas, penulis merumuskan masalah yaitu, bagaimanakah sifat-sifat dasar ortogonalitas yang berlaku pada ruang bernorma? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini yaitu mengetahui sifat-sifat ortogonalitas yang berlaku pada ruang bernorma. 1.4 Batasan Masalah Adapun yang menjadi batasan masalah pada penelitian ini, antara lain: 5 1. Sifat-sifat dasar ortogonalitas yang dikaji, yaitu pada ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality), ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality), ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality), dan ortogonalitas-g pada ruang bernorma. 2. Ruang bernorma yang dikaji pada penelitian ini adalah ruang bernorma-1. 1.5 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini antara lain: 1. Manfaat bagi Penulis Untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang telah dipelajari, yaitu ilmu matematika khususnya mengenai analisis. Selain itu, penelitian ini juga menjadi sarana untuk menyelesaikan pendidikan di tingkat strata satu. 2. Manfaat bagi Instansi Mendapatkan sumbangan pemikiran sebagai kontribusi nyata terhadap Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Manfaat bagi Pembaca Sebagai tambahan wawasan, referensi, dan informasi tentang sifat-sifat ortogonalitas, yaitu ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality), ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality), ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality), dan ortogonalitas-g pada ruang bernorma. 6 1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kepustakaan (library research), yaitu dengan mengumpulkan data dan informasi yang berhubungan dengan penelitian dengan bantuan buku-buku, jurnal, artikel, dan sumber-sumber lain yang relevan. Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mendefinisikan ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam serta sifat-sifat dasar ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam. 2. Mendefinisikan hubungan antara ruang hasilkali dalam dan ruang bernorma. 3. Mendefinisikan ortogonalitas pada ruang bernorma, yaitu ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality), ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality), ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality), dan ortogonalitas-g. 4. Membuktikan sifat-sifat ortogonalitas, yaitu ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality), ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality), ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality), dan ortogonalitas-g pada ruang bernorma melalui definisi ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam. 1.7 Sistematika Penulisan Sistematika penulisan penelitian ini dibagi menjadi empat bab, dengan sistematika sebagai berikut: Bab I Pendahuluan Pada bab ini akan membahas beberapa sub bahasan, yaitu latar belakang, rumusan masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan. 7 Bab II Kajian Pustaka Pada bab ini akan membahas beberapa sub bahasan yang berisi tentang teori-teori yang ada kaitannya dengan hal-hal yang penulis bahas, yaitu ruang vektor (vector space), ruang bernorma (normed space), ruang hasilkali dalam (inner product space), ruang semi hasilkali dalam, ortogonalitas, dan kajian agama tentang ortogonalitas. Bab III Pembahasan Pada bab ini akan membahas beberapa sub bahasan tentang ortogonalitasP, ortogonalitas-I, ortogonalitas-BJ, dan ortogonalitas-g pada ruang bernorma serta sifat-sifat dasar ortogonalitasnya. Bab IV Kesimpulan Pada bab ini berisi kesimpulan penelitian dan saran untuk penelitian selanjutnya. BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Ruang Vektor Definisi 2.1 Ruang vektor (vector space) atas lapangan (field) adalah himpunan tak kosong V yang dilengkapi dengan dua fungsi, yaitu fungsi yang memetakan V x V ke V dan fungsi yang memetakan x V ke V , yang secara berturut-turut dinotasikan dengan x y dan x, untuk setiap x, y V dan , sedemikian hingga untuk setiap 1, , dan x, y, z V berlaku: 1. x y y x, x y z x y z . 2. Terdapat objek 0 V sedemikian hingga x 0 x . 3. Terdapat objek -x V sedemikian hingga x -x 0 . 4. 1x x, x x, dalam hal ini 1 merupakan elemen identitas pada operasi perkalian skalar. 5. x + y x y , x x x . Jika atau secara berturut-turut maka V merupakan ruang vektor riil atau ruang vektor kompleks. Anggota dari disebut skalar, sedangkan anggota dari V disebut vektor. Operasi x + y disebut penjumlahan vektor (vector addition), sedangkan operasi x disebut perkalian skalar (scalar multiplication) (Rynne & Youngson, 2008:3). 8 9 Contoh 2.1 Buktikan bahwa n ruang vektor, jika u u1 , u2 ,..., un dan v v1 , v2 ,..., vn merupakan vektor-vektor sebarang pada n dengan operasioperasi standar penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan sebagai u + v u1 v1 , u2 v2 ,..., un vn dan jika adalah sebarang skalar, maka perkalian skalar didefinisikan sebagai u u1 , u2 ,..., un . Penyelesaian: Untuk membuktikan bahwa n merupakan ruang vektor maka perlu ditunjukkan vektor-vektor pada n memenuhi sifat-sifat berikut: 1. u + v = v + u dan u v w u v w untuk setiap u, v, w n . Karena u + v u1 , u2 ,..., un v1 , v2 ,..., vn u1 v1 , u2 v2 ,..., un vn v1 u1 , v2 u2 ,..., vn un v +u dan u v w u1 , u2 ,..., un v1 , v2 ,..., vn w1 , w2 ,..., wn u1 , u2 ,..., un v1 w1 , v2 w2 ,..., vn wn u1 v1 w1 , u2 v2 w2 ,..., un vn wn u1 v1 , u2 v2 ,..., un vn w1 , w2 ,..., wn u v w. 10 2. Terdapat objek 0 n yang didefinisikan sebagai 0 0, 0,..., 0 . sedemikian hingga u 0 u. Karena u 0 u1 , u2 ,..., un 0, 0,..., 0 u1 0, u2 0,..., un 0 u1 , u2 ,..., un u. 3. Terdapat objek -u n yang didefinisikan sebagai -u u1 , u2 ,..., un . sedemikian hingga u -u 0. Karena u -u u1 , u2 ,..., un u1 , u2 ,..., un u1 u1 , u2 u2 ,..., un un u1 u1 , u2 u2 ,..., un un 0,0,...,0 0. 4. 1u u dan x x. Karena 1u 1 u1 , u2 ,..., un 1u1 ,1u2 ,...,1un u1 , u2 ,..., un u dan 11 u u1 , u2 ,..., un u1 , u2 ,..., un u. 5. u v u v dan u = u u, untuk dan u, v n . Karena u v u1 v1 , u2 v2 ,..., un vn u1 v1 , u2 v2 ,..., un vn u1 v1 , u2 v2 ,..., un vn u1 , u2 ,..., un v1 , v2 ,..., vn u v dan u u1 , u2 ,..., un u1 , u2 ,..., un u1 u1 , u2 u2 ,..., un un u1 , u2 ,..., un u1 , u2 ,..., un u u. Teorema 2.1 Misalkan V suatu ruang vektor, x merupakan suatu vektor pada V dan k adalah suatu skalar maka berlaku: 1. 0x 0 . 2. k 0 0 . 3. 1 x x . 4. Jika kx 0 maka k 0 atau x 0 . (Anton & Rorres, 2004:233). 12 Bukti: 1. Diketahui bahwa 0 merupakan suatu skalar, maka vektor 0x dapat ditulis sebagai vektor a a x , di mana a adalah sebarang skalar sehingga berlaku 0x a a x ax a x 0. 2. Diketahui bahwa k merupakan sebarang skalar dan 0 merupakan vektor nol. Vektor k0 dapat ditulis sebagai vektor k x -x , sehingga berlaku k 0 k x -x kx k -x kx kx 0. 3. Berdasarkan teorema 2.1 bagian 1 diketahui 0x 0 . Vektor 0x dapat ditulis sebagai vektor 1 1 x, sehingga berlaku 0x 1 1 x 1x 1 x x 1 x sehingga diperoleh 1 x -x. 4. Untuk k 0 dan x 0 maka kx 0, sedangkan untuk k 0 dan x 0 maka kx 0. Dapat disimpulkan jika kx 0 maka k 0 atau x 0. 13 2.2 Ruang Bernorma Definisi 2.2 Misalkan X merupakan suatu ruang vektor atas . Suatu norma pada X merupakan suatu fungsi : X , sedemikian hingga untuk semua x, y X dan berlaku: 1. x 0 . 2. x 0 jika dan hanya jika x 0 . 3. x x . 4. x y x y . (Rynne & Youngson, 2008:31). Definisi 2.3 Secara umum, fungsi norma pada n untuk 1 p didefinisikan dengan 1 x p n p p xi i 1 2.1 Fungsi norma pada n untuk p 1 didefinisikan dengan x 1 x1 x2 xn 2.2 Fungsi norma pada n untuk p 2 didefinisikan dengan 1 n 2 2 x 2 xi i 1 2.3 Fungsi norma pada 2.3 disebut sebagai norma Euclid, sedangkan untuk p fungsi norma pada n didefinisikan dengan 14 x max x1 , x2 ,..., xn 2.4 (Debnath & Mikusinski, 1990:11). Contoh 2.2 Misalkan X 2 , di mana k , l X dengan k 3, 4 dan l 6, 8 . Fungsi norma pada X didefinisikan seperti pada persamaan 2.3 . Tunjukkan apakah vektor-vektor pada X memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. Penyelesaian: 1. k 0. Karena 1 n 2 2 k ki i 1 1 2 2 2 k1 k2 2 3 4 1 2 2 9 16 25 5 0. 2. k 0, jika dan hanya jika k 0. Jika k 0 maka 1 n 2 2 k ki i 1 0 2 k1 k2 0. 2 0 1 2 2 1 2 2 15 Jika k 0 maka k1 k2 0 atau k 0. 3. k k , Ambil 2. Karena 1 n 2 2 k ki i 1 2 k1 k2 1 2 2 2 2 3 2 4 1 2 2 6 2 82 36 64 100 10 1 1 2 2 n 2 2 k i i 1 k 2 k1 k2 2 3 2 1 2 2 4 1 2 2 2 9 16 2 25 2 5 10 4. k l k l . Karena 1 n 2 2 k ki i 1 3 2 k1 k 2 2 4 1 2 2 1 2 2 16 9 16 25 5 1 n 2 2 l li i 1 2 l1 l2 2 1 2 2 6 8 1 2 2 36 64 100 10 1 n 2 2 k l ki li i 1 2 ki l1 k2 l2 3 6 2 9 4 2 1 2 2 4 8 1 2 2 1 2 2 81 16 97 9,848... Jadi, vektor k 3, 4 dan l 6, 8 pada ruang vektor X memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. 17 Definisi 2.4 Diberikan himpunan A . Liput terbuka (open cover) dari A adalah koleksi dari himpunan terbuka G Ga di yang termuat pada himpunan A, sehingga A Ga . 2.5 a 1 Jika G ' merupakan koleksi bagian dari himpunan G sedemikian hingga gabungan dari himpunan G ' yang juga termuat pada himpunan A, maka G ' disebut liput bagian (subcover) dari G. Jika G ' memuat berhingga himpunan, maka G ' disebut liput bagian berhingga (finite subcover) dari G . Himpunan K dikatakan kompak (compact) jika setiap liput terbuka (open cover) dari K memiliki liput bagian (subcover) berhingga (Bartle & Sherbert, 2000:319-320). Interval 0, 3 pada himpunan bilangan riil merupakan contoh himpunan kompak (compact set). Misal A 0,3 , liput terbuka (open cover) dari himpunan bilangan riil yang juga termuat di A, yaitu O , . Berdasarkan liput terbuka (open cover) O , diperoleh liput bagian (subcover) yang juga termuat di A, yaitu O ' 1,1 , 0, 2 , 1,3 . 18 Karena liput buka (open cover) dari interval 0,3 memiliki liput bagian (subcover) yang banyaknya berhingga, sehingga interval 0,3 dari himpunan bilangan riil merupakan himpunan kompak (compact set). Diberikan ruang kompak (compact space) K dan C K merupakan suatu ruang vektor dari fungsi-fungsi kontinu f di K . Fungsi norma pada C K didefinisikan dengan f sup f x : x K . 2.6 Dalam hal ini supremum merupakan batas atas terkecil dan K merupakan suatu interval tertutup pada bilangan riil (Alsina, dkk., 2003:6). Contoh 2.3 Tunjukkan apakah fungsi f x x 2 dan g x 3 x pada C 0,1 memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. Penyelesaian: 1. f 0. Karena f sup x 0,1 f x sup 0 , 1 sup x 2 x 0,1 2 sup 0,1 1 0. 2 19 2. f 0 jika dan hanya jika f x 0. Jika f x 0 maka f sup x 0,1 f x sup x 2 x 0,1 0. sup 0 2 Sebaliknya, jika f 0 maka f x 0. Jadi, terbukti bahwa f 0 jika dan hanya jika f x 0. 3. f f . Ambil 3. Karena f sup f x x 0,1 sup x 2 x 0,1 sup 3 1 , 3 0 sup 12 , 02 2 2 sup 3 , 0 3 f sup x 0,1 f x sup x 2 x 0,1 3 sup 12 , 02 3 sup 1 , 0 3 1 3 20 4. f g f g . Karena f sup x 0,1 f x sup x 2 x 0,1 sup 02 , 12 sup 0,1 1 g sup g x x 0,1 sup 3 x x 0,1 sup 0 , 3 sup 0,3 3 f g sup x 0,1 f x g x sup x 2 3x x 0,1 sup 02 3 0 , 12 3 1 sup 0 , 2 sup 0, 2 2. Jadi, fungsi f x x 2 dan g x 3 x pada C 0,1 memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. 21 Definisi 2.5 Ruang L1 didefinisikan sebagai ruang dari fungsi kontinu pada interval tertutup a, b sedemikian hingga b f t dt . 2.7 a Fungsi norma pada L1 didefinisikan dengan b f 1 f t dt . a Contoh norma pada L1 Misalkan f L1 1,1 dengan f x x . Tentukan f 1 . Penyelesaian: b f 1 f x dx a 1 x dx 1 Diberikan fungsi f x x . Gambar 2.1: Fungsi f x x 2.8 22 Berdasarkan gambar 2.1 didapatkan x, x 0 x 0, x 0 x, x 0 Sehingga integral tentu dari fungsi nilai mutlak dapat ditulis menjadi 1 0 1 x dx xdx xdx 1 1 0 0 1 1 1 x2 x2 2 1 2 0 1 1 0 0 2 2 1 1 2 2 1. Ruang Lp didefinisikan sebagai ruang dari fungsi kontinu bernilai riil pada interval a, b sedemikian hingga b f t p 2.9 dt . a Fungsi norma pada Lp didefinisikan dengan b f p p f t dt a 1 p 2.10 (Alsina, dkk., 2003:6). Contoh 2.4 Tunjukkan apakah fungsi u x 2 x 1 dan v x 3 x 2 pada L1 1,1 memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. 23 Penyelesaian: 1. u 0 . Karena 1 u u x dx 1 1 2 x 1 dx. 1 Diberikan suatu fungsi u x 2 x 1 . Gambar 2.2: Fungsi u x 2 x 1 Berdasarkan gambar 2.2 didapatkan 1 2 x 1, x 2 2x 1 1 2 x, x 1 2 Sehingga integral tentu dari suatu fungsi nilai mutlak dapat ditulis menjadi 1 1 2 1 2 x 1 dx 1 2 x dx 2 x 1 dx 1 1 2 1 1 1 x x 2 2 x 2 x 1 1 2 24 9 1 4 4 10 0. 4 2. u 0 jika dan hanya jika u x 0 . Jika u x 0 maka 1 u u x dx 1 1 0 dx 1 1 0 dx 1 0. Jika u 0 maka u x 0 . 3. u u . Ambil 2 , maka diperoleh 1 u u x dx 1 1 2 x 1 dx 1 1 2 2 x 1 dx 1 1 4 x 2 dx 1 Diberikan suatu fungsi c x 4 x 2 25 Gambar 2.3: Fungsi c x 4 x 2 Berdasarkan gambar 2.3 diperoleh 2 4 x 2, x 4 4x 2 2 4 x, x 2 4 Sehingga integral tentu dari suatu fungsi nilai mutlak dapat ditulis menjadi 12 1 1 4 x 2 dx 1 2 4 x dx 1 4 x 2 dx 2 1 1 1 2 x 2 x 2 2 2 x 2 2 x 1 1 2 9 1 2 2 10 2 1 u u x dx 1 1 2 x 1 dx 1 26 1 2 2 x 1 dx 1 1 2 2 x 1 dx 1 12 1 2 1 2 x dx 2 x 1 dx 1 1 2 1 1 2 2 2 x x x 2 x 1 1 2 9 1 2 4 4 10 2 4 20 4 4. u v u v . Karena 1 u u x dx 1 1 2 x 1 dx 1 1 2 1 1 2 x dx 2 x 1 dx 1 2 1 1 2 1 x x 2 x 2 x 1 1 2 9 1 4 4 10 4 27 1 v v x dx 1 1 3x 2 dx 1 Diberikan suatu fungsi v x 3 x 2 Gambar 2.4: Fungsi v x 3 x 2 Berdasarkan gambar 2.4 diperoleh 2 3 x 2, x 3 3x 2 2 3 x, x 2 3 Sehingga integral tentu dari suatu fungsi nilai mutlak dapat ditulis menjadi 1 3 x 2 dx 1 2 3 3x 2 dx 1 1 3x 2 dx 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 x 2x x 2x 2 1 2 1 3 75 78 18 18 18 28 1 uv u x v x 1 1 2 x 1 3x 2 dx 1 1 5 x 1 dx 1 Diberikan suatu fungsi u x v x 5 x 1 Gambar 2.5: Fungsi u x v x 5 x 1 Berdasarkan gambar 2.5 didapatkan 1 5 x 1, x 5 5x 1 5 x 1, x 1 5 Sehingga integral tentu dari suatu fungsi nilai mutlak dapat ditulis menjadi 1 1 5 1 5x 1 dx 5x 1 dx 5x 1 dx 1 1 1 5 1 1 5 5 5 x2 x x2 x 2 1 2 1 5 16 36 52 10 10 10 29 Jadi, fungsi u x 2 x 1 dan v x 3 x 2 pada L1 1,1 memenuhi sifat-sifat ruang bernorma. Definisi 2.6 Ruang l1 didefinisikan sebagai ruang vektor yang anggotanya merupakan barisan-barisan tak hingga dari bilangan riil atau kompleks yang dapat ditulis dengan x i 1 , 2 ,... sedemikian hingga i , untuk setiap . 2.11 i 1 Fungsi norma pada ruang l1 didefinisikan dengan x i . 2.12 i 1 Contoh norma pada l1 Misalkan x l1 dengan x i 1, 0, 0,.... Tentukan x 1 . Penyelesaian: x 1 i i 1 1 2 3 4 1 0 0 0 1 Sedangkan ruang l p didefinisikan sebagai ruang vektor yang anggotanya merupakan barisan-barisan dari bilangan riil atau kompleks yang dapat ditulis dengan x i 1 , 2 ,... sedemikian hingga i 1 p i , untuk setiap . 2.13 30 Fungsi norma pada ruang l p didefinisikan dengan 1 p p x i . i 1 2.14 Contoh norma pada l p Misalkan x l p dengan x i 0,1, 0, 0,.... Tentukan x p . Penyelesaian: 1 x p p p i i 1 0 p p p p 1 2 3 4 p p p p 1 0 0 1 p 1 p 1 (Kreyszig, 1978:61). Teorema 2.2 Ketaksamaan Young Misalkan p, q 1 sedemikian hingga ab 1 1 1 , maka berlaku p q a p bq , untuk semua a, b 0 p q 2.15 Bukti: Perhatikan gambar 2.6, diberikan fungsi y x p 1, dengan x 0. Daerah A1 yang dibatasi oleh kurva y x p 1, y 0, dan x a . Daerah A2 yang dibatasi kurva y x p 1, x 0, dan y b . 31 y y x p 1 b A2 A1 a x Gambar 2.6: Ilustrasi pada Ketaksamaan Young (sumber: Fabian, dkk., 2010:5) Berdasarkan ilustrasi gambar jelaslah bahwa a A1 x p 1dx 0 a 1 x p 11 p 1 1 0 a 1 xp p 0 1 p a . p Jika y x p 1 maka y b A2 y q 1dx 0 b 1 y q 11 q 1 1 0 b 1 yq q 0 1 p 1 x 1 p 1 p 1 atau x y 1 p 1 y q 1. Sehingga diperoleh 32 1 q b . q Berdasarkan perhitungan diperoleh a p bq ab A1 A2 p q (Fabian, dkk., 2010:5). Teorema 2.3 Ketaksamaan Holder Misalkan p, q 1 sedemikian hingga 1 1 1 dan n . Maka untuk p q semua ak , bk di mana k 1, 2,3,..., n berlaku 1 n i 1 1 n n p p q q ak bk ak bk i 1 i 1 2.16 Bukti: Asumsikan bahwa ak , bk 0 dengan ak dan bk keduanya tak nol. Kemudian untuk k 1, 2, 3,..., n. Ak dan Bk didefinisikan dengan ak Ak n p ak k 1 1 p bk dan Bk n q bk k 1 1 q 2.17 Karena n n A p k k 1 Bk q 1. 2.18 k 1 Berdasarkan teorema 2.2 untuk k 1, 2,..., n diperoleh Ak Bk 1 p 1 q Ak Bk . p q 2.19 33 Jumlahkan ketaksamaan pada 2.19 sehingga diperoleh n Ak Bk k 1 1 n 1 n q 1 1 p A Bk 1. k q p k 1 p q k 1 2.20 Substitusikan persamaan 2.17 pada 2.20 sehingga diperoleh n ak 1 k 1 n p p ak k 1 bk 1. 1 n q q bk k 1 2.21 Persamaan 2.21 dapat ditulis menjadi 1 1 n n p p n q q a b k k ak bk k 1 k 1 k 1 (Fabian, dkk., 2010:4-5). Contoh 2.5 Misalkan u dan v vektor-vektor pada 3 , di mana u 4, 2,6 dan v = 1,3,3 . Tunjukkan apakah vektor u dan v pada 3 memenuhi ketaksamaan Holder, jika diketahui p 3 . Penyelesaian: Untuk p 3 maka 1 1 1 p q 1 1 1 q 3 1 2 q 3 34 q 3 2 Karena 3 ui vi u1v1 u2 v2 u3v3 i 1 4 1 2 3 6 3 4 6 18 28 1 3 3 3 3 3 3 ui u1 u2 u3 i 1 43 23 63 1 3 1 3 1 288 3 6, 60... 2 2 3 3 3 3 32 3 32 2 2 v v v v i 1 2 3 i 1 2 3 3 3 32 2 1 3 6 2 2 11, 0392... 3 5, 062... 1 2 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 u v i i u1 u2 u3 i 1 i 1 3 3 3 32 2 2 v v v 1 2 3 6, 60... 5, 062... 1 3 33, 409... Berdasarkan perhitungan diperoleh bahwa 3 3 u v i i i 1 1 3 3 3 2 2 3 ui 3 vi , i 1 i 1 35 sehingga vektor u 4, 2,6 dan v = 1,3,3 pada 3 memenuhi ketaksamaan Holder. Teorema 2.4 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Ketaksamaan Cauchy-Schwarz merupakan salah satu ketaksamaan yang penting dalam cabang aljabar dan analisis. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz merupakan konsep pengembangan dari ketaksamaan Holder dengan syarat p 2 dan q 2, sehingga ketaksamaan Cauchy-Schwarz dapat ditulis menjadi 1 1 n n 2 2 n 2 2 a b a b k k k k k 1 k 1 k 1 2.22 Bukti: Untuk a a1 , a2 ,..., ak dan b b1 , b2 ,..., bk di mana ak , bk dengan k 1, 2,..., n . Ambil fungsi yang didefinisikan dengan n 2 2.23 x ak x bk . k 1 Fungsi pada persamaan 2.23 dapat ditulis menjadi n x ak 2 x 2 2ak bk bk 2 2.24 k 1 Berdasarkan persamaan 2.24 , diketahui bahwa fungsi x merupakan suatu kuadrat. Misalkan n n n A ak 2 , B 2 ak bk , C bk 2 . k 1 k 1 k 1 2.25 36 Persamaan 2.24 dapat ditulis menjadi bentuk Ax 2 Bx C 0. 2.26 Karena persamaan kuadrat pada 2.26 selalu bernilai positif atau nol, yang mengimplikasikan bahwa persamaan kuadrat pada 2.26 tidak memiliki akar-akar riil atau memiliki akar riil kembar, sehingga nilai diskriminannya harus lebih kecil atau sama dengan nol. Substitusikan nilai A, B, dan C pada fungsi diskriminan, D B 2 4 AC 0 2 n n n 2 ak bk 4 ak 2 bk 2 0 i 1 i 1 i 1 2 n n n 4 ak bk 4 ak 2 bk 2 0. i 1 i 1 i 1 2.27 Masing-masing ruas pada persamaan 2.27 dibagi dengan 4, sehingga diperoleh 2 n n 2 n 2 a b k k ak bk i 1 i 1 i 1 (Cohen, 2003:88). Contoh 2.6 Misalkan a dan b merupakan vektor-vektor pada 2 , di mana a 3, 4 dan b 1, 2 . Tunjukkan bahwa vektor a dan b pada 2 memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz. Penyelesaian: Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlaku untuk nilai p 2 q. Karena 37 2 2 2 ai bi a1b1 a2b2 i 1 3 1 4 2 3 8 2 2 52 25 2 2 2 2 ai a1 a2 i 1 32 42 9 16 25 2 2 2 2 bi b1 b2 i 1 2 1 22 1 4 5. Berdasarkan perhitungan diperoleh bahwa 2 2 2 2 2 2 a b i i ai bi , i 1 i 1 i 1 sehingga vektor a 3, 4 dan b 1, 2 pada 2 memenuhi ketaksamaan Cauchy-Schwarz. Teorema 2.5 Ketaksamaan Minkowski Misalkan 1 p n . dan Maka untuk semua ak , bk , k 1, 2,..., n diperoleh 1 1 1 n n n p p p p p p ak bk ak bk k 1 k 1 k 1 2.28 38 Bukti: Asumsikan bahwa p 1, dan q 1, sedemikian hingga 1 1 1. p q Asumsikan juga bahwa ak , bk 0, dengan menggunakan ketaksamaan Holder pada teorema 2.3 dan p 1 q p diperoleh n ak bk p k 1 n ak bk p 1 ak bk k 1 n = ak bk p 1 k 1 n ak ak bk p 1 bk k 1 1 1 n n p p p 1 q q ak bk ak k 1 k 1 1 1 n n p p p 1 q q ak bk bk k 1 k 1 1 1 n n p q p p ak bk ak k 1 k 1 n 1 q n p p ak bk bk k 1 k 1 1 p 2.28 1 Masing-masing ruas pada untuk 2.28 n p q dibagi dengan ak bk dan k 1 1 1 1 diperoleh p q n a k bk p k 1 1 n p q a b k k k 1 1 1 1 n n n p q p p p p ak bk ak bk k 1 k 1 k 1 1 n p q a b k k k 1 39 1 n p ak bk k 1 1 q 1 1 n n p p p p ak bk k 1 k 1 1 1 1 n n n p p p p p p a b a b k k k k k 1 k 1 k 1 (Fabian, dkk., 2010:5). 2.3 Ruang Hasilkali Dalam Definisi 2.7 Jika diketahui V sebagai ruang vektor riil. Hasilkali dalam pada V adalah fungsi , : V x V sedemikian hingga untuk semua x, y , z V dan , memenuhi sifat-sifat berikut: 1. x, x 0 . 2. x, x 0 , jika dan hanya jika x 0 . 3. x y, z x, z y, z . 4. x, y y, x . (Rynne & Youngson, 2008:51). Definisi 2.8 Jika diketahui V sebagai ruang vektor kompleks. Hasilkali dalam pada V adalah fungsi , : V x V sedemikian hingga untuk semua x, y , z V dan , memenuhi sifat-sifat berikut: 1. x, x dan x, x 0 . 2. x, x 0 jika dan hanya jika x 0 . 3. x y, z x, z y, z . 40 4. x, y y , x . (Rynne & Youngson, 2008:53). Contoh 2.7 Tunjukkan apakah vektor-vektor u, v, dan w pada K memenuhi sifatsifat ruang hasilkali dalam, jika K dilengkapi dengan fungsi hasilkali dalam yang didefinisikan dengan u, v u1v1 2u2v2 3u3v3 Penyelesaian: Untuk u, v, w K dan , berlaku: 1. u, u 0. Karena u, u u1u1 2u2u2 3u3u3 u12 2u2 2 3u32 0, karena ui 2 selalu bernilai positif, untuk i 1, 2,3. 2. u, u 0 jika dan hanya jika u 0. Jika u 0 maka u, u u1u1 2u2u2 3u3u3 u12 2u2 2 3u32 02 2 0 2 3 02 0. Jika u, u 0 maka u1 u2 u3 0 atau u 0 . 3. u v, w u, w v, w u v, w u1 v1 w1 2 u2 v2 w2 3 u3 v3 w3 41 u1w1 v1w1 2 u2 w2 2 v2 w2 3 u3 w3 3 v3 w3 u1w1 2 u2 w2 3 u3 w3 v1w1 2 v2 w2 3 v3 w3 u1w1 2u2 w2 3u3 w3 v1w1 2v2 w2 3v3 w3 u, w v , w 4. u, v v, u . u, v u1v1 2u2v2 3u3v3 v1u1 2v2u2 3v3u3 v, u . Jadi, vektor-vektor u, v dan w pada K memenuhi sifat-sifat ruang hasilkali dalam. Definisi 2.9 Fungsi hasilkali dalam pada ruang bernorma C a, b , yaitu ruang dari himpunan fungsi kontinu pada interval a, b didefinisikan dengan b f , g f x g x dx 2.30 a (Cohen, 2003:255 ). Contoh 2.8 Tunjukkan apakah fungsi f x x 2 , g x 2 x, dan h x x pada C 1,1 memenuhi sifat-sifat ruang hasilkali dalam, jika fungsi hasilkali dalam pada C 1,1 didefinisikan dengan 42 1 f,g f x g x dx. 1 Penyelesaian: 1. f , f 0. Karena 1 f,f f x f x dx 1 1 4 x dx 1 1 1 x5 5 1 1 5 5 1 1 5 1 1 1 5 2 0. 5 2. f , f 0 jika dan hanya jika f x 0. Jika f x 0 maka 1 f,f f x f x dx 1 1 2 f x dx 1 1 02 dx 1 0. Jika f , f 0 maka f x 0. 43 3. f g, h f , h g,h . Ambil 2 dan 3. Karena 1 f g, h f x f x h x dx 1 1 x 2 2 x xdx 1 1 x2 x 2 x 3 2 x dx 1 1 1 2 x 3dx 6 x 2 dx 1 1 1 1 2 6 x 4 x3 4 1 3 1 0 12 12 3 3 1 1 f , h g, h f x h x dx g x h x dx 1 1 1 1 2 f x h x dx 3 g x h x dx 1 1 1 1 2 x 3dx 3 2 x 2 dx 1 1 1 1 1 2 2 x 4 3 x3 4 1 3 1 4 2 0 3 3 12 3 4. f , g g,f . Karena 1 f,g f x g x dx 1 1 x 2 x dx 2 1 44 1 2 x 3dx 1 1 2 x4 0 4 1 1 g, f g x f x dx 1 1 2 x x dx 2 1 1 2 x 3dx 1 1 2 x4 0 4 1 Jadi, fungsi f x x2 , g x 2 x, dan h x x pada C 1,1 memenuhi sifat-sifat ruang hasilkali dalam. Teorema 2.6 Misalkan H merupakan ruang hasilkali dalam, di mana x, y, z H dan , , maka berlaku: 1. 0, y x, 0 0 . 2. x, y z x, y x, z . 3. x y , x y 2 x, x x, y y , x 2 y, y . (Rynne & Youngson, 2008:56). Bukti: 1. Vektor 0 dapat ditulis sebagai penjumlahan vektor 0, y, -y H berlaku y -y , untuk 45 0, y y -y , y . Sehingga berdasarkan sifat-sifat ruang hasilkali dalam diperoleh 0, y y -y , y y, y -y , y y, y y, y 0 dan x, 0 x, x -x x -x , x x, x -x , x x, x x, x 0. 2. Berdasarkan definisi 2.8 diperoleh x, y z y z, x y, x z, x x, y x, z . 3. Berdasarkan definisi 2.8 diperoleh x y , x y x, x y y , x y x y, x x y, y x , x y , x x, y y , y x, x y , x x, y y, y x, x x, y y , x y , y 46 x, x x, y y, x y , y 2 x, x x, y y, x 2 y, y . Definisi 2.10 Ruang hasilkali dalam merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi hasilkali dalam. Fungsi norma pada suatu ruang hasilkali dalam didefinisikan dengan x x, x 2.31 (Debnath & Mikusinski, 1990:90). Teorema 2.7 Untuk setiap x dan y pada suatu ruang hasilkali dalam H berlaku x, y x y . 2.32 Persamaan x, y x y berlaku jika dan hanya jika x dan y bergantung linier. Bukti: Jika y 0 maka persamaan 2.32 terpenuhi karena kedua ruas samasama bernilai nol 0 . Asumsikan bahwa y 0 maka diperoleh 0 x y, x y x, x x, y y , x y , y x, x y , x y , x y , y x, x x, y y , x y , y x, x x, y y , x y , y x, x x, y y , x 2 y, y . 2.33 47 Ambil x, y , substitusikan pada persamaan y, y 2.33 sehingga diperoleh 0 x, x x, y y , x x, x x, y x, y y, y x, y x, y x, x y, y x, x x, y y , x y, y 2 x, y y, y x, y y , x y, y y, y y, x x, y y, y 2 y, y x, y x, y y, y . Kemudian kalikan kedua ruas dengan y, y sehingga diperoleh 0 x, x y , y x, y y , x y, y y, y x, x y , y x, y y , x . Atau dapat ditulis dengan x, y y, x x, x y, y x, y x, y x, x y , y x, y 2 x y 2 . Sehingga didapatkan x, y x y (Debnath & Mikusinski, 1990:90). Teorema 2.8 Untuk setiap x dan y pada suatu ruang hasilkali dalam H berlaku xy x y . 2.34 48 Bukti: Jika diambil 1 maka persamaan 2.33 dapat ditulis sebagai 2 x y x y, x y x, x x, y y , x y , y x, x x, y x, y y , y x, x 2 Re x, y y , y x, x 2 x, y y , y Ketaksamaan Schwarz x, x 2 x y y , y 2 x 2 x y y x y 2 2 . Sehingga diperoleh x y x y (Debnath & Mikusinski, 1990:91). Teorema 2.9 Hukum Jajaran Genjang (Parallelogram Law) Untuk setiap x dan y pada suatu ruang hasilkali dalam H berlaku 2 2 2 xy xy 2 x y (Debnath & Mikusinski, 1990:91-92). Bukti: Berdasarkan definisi 2.10 diperoleh 2 x y x y, x y x, x y y , x y x y, x x y, y x, x y , x x , y y , y 2 (2.35) 49 2 x y , x x, y y 2 2.36 2 x y x y, x y x, x y y , x y x y, x x y , y x, x y, x x, y y, y 2 x y, x x, y y 2 2.37 Jumlahkan persamaan 2.36 dan 2.37 , sehingga diperoleh 2 2 2 x y x y x y , x x, y y 2 2 x 2 y 2 + x 2 y , x x, y y 2 2 Contoh 2.9 Misalkan u dan v merupakan vektor-vektor pada ruang vektor 2 yang dilengkapi dengan fungsi norma , di mana u 3, 4 dan v 6,8 . Tunjukkan bahwa vektor u dan v pada 2 memenuhi hukum jajaran genjang. Penyelesaian: Karena u dan v merupakan vektor-vektor pada 2 maka berlaku 2 2 u ui 2 i 1 2 u1 u2 2 3 4 9 16 25 2 2 50 2 2 v vi 2 i 1 2 v1 v2 2 6 8 2 2 36 64 100 2 2 2 u + v ui vi i 1 2 u1 v1 u2 v2 2 3 6 4 8 2 3 12 2 2 2 9 144 153 2 2 u - v ui vi 2 i 1 2 u1 v1 u2 v2 2 3 6 4 8 2 9 4 2 2 2 81 16 97. Berdasarkan perhitungan diperoleh 2 2 u v 2 250 dan u v u v 250, sehingga vektor u 3, 4 dan v 6,8 pada 2 2 2 memenuhi hukum jajaran genjang. 51 Contoh 2.10 Misalkan f dan g merupakan fungsi-fungsi kontinu pada C 0,1 , di mana f x 1 dan g x x , untuk setiap x 0,1 . Tunjukkan apakah fungsifungsi pada C 0,1 memenuhi hukum jajaran genjang. Penyelesaian: f sup x 0,1 f x sup 1 1. g sup g x x 0,1 sup x x 0,1 sup 0 , 1 1 Sehingga diperoleh 2 f f g sup x 0,1 2 g 2 2 1 1 4 . 2 2 f x g x sup 1 x 2 f g sup x 0,1 f x g x sup 1 x 1. 2 2 Sehingga diperoleh f g f g 22 12 5 . 52 Berdasarkan 2 2 f g 2 f g perhitungan 2 diperoleh bahwa 2 f g , sehingga fungsi-fungsi f x 1 dan g x x pada C 0,1 tidak memenuhi hukum jajaran genjang. Teorema 2.10 Identitas Polarisasi (Polarization Identity) Untuk setiap x dan y vektor-vektor pada suatu ruang hasilkali dalam H berlaku 2 2 2 4 x , y x y x y i x iy i x iy Bukti: Berdasarkan definisi 2.10 diperoleh 2 x y x y, x y x, x y y, x y x y, x x y, y x, x y, x x, y y, y 2 x y, x x, y y 2 2 x y x y, x y x, x y y, x y x y, x x y, y x, x y, x x, y y, y 2 x y, x x, y y 2 2 2.38 53 2 i x iy i x iy , x iy i x, x i y i y , x i y i x, x x, i y i y , x i y , i y . Karena y -y sehingga 2 i x iy i x, x x, iy iy , x iy , i -y i x, x x, iy i y , x i y , i y i x, x i x, y i y , x i 2 y , y i x, x i x, y i y , x y , y 2 i x y , x x, y i y 2 i x iy i x iy , x i y 2 2 i x, x i y i y , x i y i x , x x, i y i y , x i y , i y . Karena y -y sehingga 2 i x i y i x, x x, i y i y , x i y , i y i x, x i x, y i y , x y , y 2 2 i x y , x x, y i y . Berdasarkan perhitungan diperoleh xy 2 2 2 x y i x iy i x iy (Rynne & Youngson, 2008:58). 2 4 x, y 54 2.4 Ruang Semi Hasilkali Dalam Definisi 2.11 Diberikan ruang vektor riil V . Semi hasilkali dalam pada V adalah fungsi u, v pada V x V yang memenuhi aksioma berikut: 1. ku v, w k u, w v, w . 2. u, u 0 , untuk u 0 . 3. u, v 2 u, u v, v . 4. u, v v, u . Untuk semua u, v, w V dan untuk semua k . Ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi semi hasilkali dalam disebut ruang semi hasilkali dalam (Alimin, 2009:28). Contoh 2.11 Misalkan u 2, 0, 2 , v 3, 2,1 , dan w 0, 4, 6 merupakan vektorvektor pada ruang vektor riil X . Apabila fungsi semi hasilkali dalam didefinisikan dengan u, v u1v1 u2v2 3u3v3 . Tunjukkan apakah vektor-vektor u, v, dan w memenuhi sifat-sifat ruang hasilkali dalam. Penyelesaian: 1 1. ku v, w k u, w v, w . Ambil k , maka 2 55 1 2 ku v, w 2, 0, 2 3, 2,1 , 0, 4, 6 1, 0,1 3, 2,1 , 0, 4,6 4, 2, 2 , 0, 4, 6 4 0 2 4 3 2 6 0 8 36 28 1 2, 0, 2 , 0, 4, 6 3, 2,1 , 0, 4, 6 2 1 2 0 0 4 3 2 6 3 0 2 4 3 1 6 2 1 36 0 8 18 2 18 10 28 k u, w v , w 2. u, u 0 , untuk u 0 . u, u 2, 0, 2 , 2, 0, 2 2 2 0 0 3 2 2 4 0 12 16 0. 3. u, v 2 u, u v, v . u, v 2 2, 0, 2 , 3, 2,1 2 3 0 2 3 2 1 606 12 2 144 2 2 2 56 u, u v, v 2, 0, 2 , 2, 0, 2 3, 2,1 , 3, 2,1 2 2 0 0 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 4 0 12 9 4 3 16 16 256 4. u, v v, u . u, v 2, 0, 2 , 3, 2,1 2 3 0 2 3 2 1 606 12 v, u 3, 2,1 , 2, 0, 2 3 2 2 0 3 1 2 606 12. Jadi, vektor-vektor u, v, dan w pada ruang vektor riil X memenuhi sifatsifat ruang semi hasilkali dalam. 2.5 Ortogonalitas Konsep sudut antara vektor merupakan perkembangan dari konsep hasilkali dalam. Berdasarkan ketaksamaan Schwarz pada teorema 2.7, jika x dan y merupakan vektor-vektor tak nol pada ruang hasilkali dalam H maka berlaku 1 x, y x y 1, 2.39 dan sudut antara vektor x dan y didefinisikan dengan x, y x y cos 1 (Rynne & Youngson, 2008:60). 2.40 57 Definisi 2.12 Misal H merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan fungsi hasilkali dalam. Vektor x, y H dikatakan ortogonal jika x, y 0. Jika vektor x dan y saling ortogonal dapat ditulis x y (Rynne & Youngson, 2008:60). Definisi 2.13 Misalkan X , , sebagai ruang hasilkali dalam, untuk setiap x, y , z X memenuhi sifat-sifat berikut: 1. Sifat Nondegenerasi, jika x x maka x 0. 2. Sifat Simetri, jika x y maka y x . 3. Sifat Homogenitas, jika x y maka x y , untuk setiap , . 4. Sifat Aditif Kanan, jika x y dan x z maka x y z . 5. Sifat Resolvabilitas, jika x, y X maka terdapat sedemikian hingga x x y . 6. Sifat Kontinuitas, jika x n x , y n y dan xn y n , untuk semua n maka x y . (Gunawan dkk., 2005:1). Contoh 2.12 Jika diketahui x dan y sebagai vektor-vektor pada 3 , di mana x 1, 0, 2 dan y 2, 0,1 dengan fungsi hasilkali dalam pada 3 yang didefinisikan dengan x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3 . Buktikan bahwa vektor x dan y ortogonal di 3 . 58 Penyelesaian: Karena x, y x1 y1 x2 y2 x3 y3 1 2 0 0 2 1 2 0 2 0 Sehingga terbukti bahwa vektor x dan y saling ortogonal di 3 . Contoh 2.13 Jika diketahui fungsi u x sin x dan v x cos x , di mana u, v L2 , maka buktikan bahwa u dan v ortogonal di L2 , . Penyelesaian: Hasilkali dalam (inner product) pada L2 , didefinisikan dengan u, v sin x cos x dx. Secara trigonometri diketahui bahwa sin x cos x 1 sin 2 x. 2 Sehingga persamaan u, v dapat ditulis menjadi 59 u, v 1 2 sin 2 x dx 1 sin 2 x dx 2 1 cos 2 x 2 1 cos 2 cos 2 2 1 1 1 2 1 0 2 0. Karena u, v sin x cos x dx 0 sehingga vektor u dan v pada L2 , saling ortogonal (Reddy, 1997:91). 2.6 Kajian Agama tentang Ortogonalitas Secara bahasa ortogonal dapat diartikan sebagai hubungan saling tegak lurus antara dua garis. Ortogonalitas merupakan salah satu konsep penting pada ruang hasilkali dalam. Melalui konsep ortogonalitas dapat diketahui besarnya sudut antara dua vektor. Dua vektor u dan v dikatakan saling ortogonal pada ruang hasilkali dalam V jika dan hanya jika 2004:327). u, v 0 (Anton & Rorres, 60 Secara tidak langsung konsep ortogonalitas telah dikaji dalam Al-Qur’an. Hal ini tercantum pada Al-Qur’an surat ‘Ali Imran ayat 112 yang berbunyi sebagai berikut: Artinya: “Mereka diliputi kehinaan di mana saja mereka berada, kecuali mereka berpegang kepada tali (agama) Allah dan tali (perjanjian) dengan manusia dan mereka kembali mendapat kemurkaan dari Allah dan mereka diliputi kerendahan yang demikian itu karena mereka kafir kepada ayat-ayat Allah dan membunuh para Nabi tanpa alasan yang benar, yang demikian itu disebabkan mereka durhaka dan melampaui batas (Q.S ‘Ali Imran: 112)”. Al-Qur’an surat ‘Ali Imran ayat 112 memberikan dorongan kepada umat manusia, khususnya kepada kaum muslim agar senantiasa berpegang kepada tali (agama) Allah dan tali (perjanjian) dengan manusia. Berpegang teguh kepada tali (agama) Allah dapat dimaknai sebagai suatu bentuk ketaatan seorang hamba kepada Tuhannya, yaitu Allah SWT dengan menjalankan segala perintah-Nya dan menjauhi segala larangan-Nya, melalui serangkaian ibadah yang dapat dilakukan. Rangkaian ibadah seperti shalat, puasa, zakat, dan haji merupakan sebagian contoh dari serangkaian ibadah yang berhubungan langsung kepada Allah SWT, yang dalam hal ini dapat dianalogikan sebagai suatu vektor yang bergerak secara vertikal. Sedangkan berpegang pada tali (perjanjian) dengan manusia dapat diartikan sebagai suatu usaha untuk menjalin hubungan yang baik antar sesama manusia. Hal ini sejalan dengan kodrat manusia sebagai makhluk sosial yang 61 tidak dapat hidup sendiri dan harus berinteraksi dengan makhluk lain. Berdasarkan kedua analogi tentang vektor yang bergerak secara vertikal dan horizontal didapatkan hubungan antara dua vektor, yaitu saling tegak lurus (ortogonal). BAB III PEMBAHASAN 3.1 Ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality) Definisi 3.1 Pada ruang bernorma riil X , . , suatu vektor x dikatakan ortogonalitasP ke y atau dapat ditulis x p y jika dan hanya jika berlaku xy 2 2 2 x y , untuk setiap x, y X . Pada ruang hasilkali dalam, ortogonalitas-P x p y ekuivalen dengan ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam x y . Ortogonalitas-P pada suatu ruang bernorma ditunjukkan pada gambar 3.1 xy y xy x Gambar 3.1: Ilustrasi Ortogonalitas-P pada Ruang Bernorma Asumsikan bahwa x y , sehingga berlaku 2 x y x y, x y x, x y y, x y x, x x, y y, x y, y 62 63 x, x x, y x, y y , y x, x 2 x, y y , y x, x y , y 2 x y 2 Teorema 3.1 Diberikan X , . ruang bernorma atas lapangan bilangan riil, untuk setiap x, y , z X dan , berlaku: 1. Sifat Nondegenerasi, jika x p x maka x 0 , untuk x X . 2. Sifat Simetri, jika x p y maka y p x , untuk setiap x, y X . 3. Jika x p y maka x p -y , untuk setiap x, y X . 4. Sifat Homogenitas, jika x p y maka x p y , untuk setiap , dan x, y X . 5. Sifat Aditif Kanan, jika x p z dan y p z maka x y p z , untuk setiap x, y , z X . Bukti: 1. Berdasarkan definisi 3.1 diperoleh 2 2 xx x x 02 x 2 2 2 x 0. Berdasarkan teorema 2.6 diperoleh 2 x x, x 0 jika dan hanya jika x 0 . 64 2. Karena 2 x y 1 -x y 1 2 -x y -x y yx 2 2 2 2 dan 2 2 2 2 x y y x Sehingga diperoleh hubungan jika x p y maka y p x , untuk setiap x, y X 3. Berdasarkan definisi 3.1 diperoleh 2 2 2 x p -y jika dan hanya jika x -y x -y . 2 x y x y, x y x, x y y, x y x y, x x y, y x, x y , x x, y -y , y x, x x, y x, y y , y x, x 2 x, y y , y . Asumsikan bahwa x y atau x, y 0 sehingga diperoleh 2 x y x, x y , y x , x 2 x, y y , y x , x 2 x, y y , y 65 x, x y , x x, y y , y x y, x x y, y x, x y y, x y x y, x y xy 2 x -y 2 dan 2 2 x y x, x y , y x, x -y , -y x x -y -y 2 2 x -y . 4. Untuk setiap x, y X dan , sedemikian hingga ada x, y X . Berdasarkan definisi 3.1 diperoleh 2 x y x y, x y x, x y y , x y x y, x x y, y x, x y , x x, y y , y x, x y, x x, y y, y x, x x, y x, y y , y x, x 2 x, y y , y . Asumsikan bahwa x y atau x, y 0 sehingga diperoleh 66 2 x y x, x 2 x, y y , y x, x 2 x, y y , y x, x y , y 2 2 x y Karena 2 2 x 2 x y 2 2 2 y . 2 x 2 y 2 sehingga x p y , untuk setiap , dan x, y X . 5. Berdasarkan definisi 3.1 diperoleh 2 2 2 2 2 2 x p z jika dan hanya jika x z x z dan y p z jika dan hanya jika y z y z . x y z 2 x y z, x y z x y , x y z z, x y z x y z, x y x y z, z x y , x y z, x y x y, z -z, z x, x x, y y , x y , y z, x z, y x, z y, z z, z x, x x, y x, y y , y x, z y , z x, z y, z z, z x, x 2 x, y y , y 2 x, z 2 y , z z , z . Asumsikan bahwa x z atau x, z 0 dan y z atau y , z 0 sehingga diperoleh 67 x y z 2 x, x 2 x, y y, y z, z 2 x 2 x, y y 2 2 z 2 2 xy z . Karena x y z 2 2 xy z 2 sehingga x y p z , untuk setiap x, y , z X . Contoh 3.1 Misalkan pada X l1 , yang dilengkapi dengan norma x 1 i . i 1 Ambil x 3, 6, 0, 0,... dan y 8, 4, 0, 0,... . Tunjukkan bahwa vektor x ortogonalitas-P ke y . Penyelesaian: Berdasarkan definisi 3.1 diketahui bahwa 2 2 x P y jika dan hanya jika x y x y sehingga diperoleh 2 x1 i i 1 2 1 2 3 2 3 6 0 0 92 81 2 2 68 2 y1 i i 1 2 1 2 3 4 8 4 0 0 2 2 122 144 2 x-y 1 i i i 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 3 8 6 4 0 0 0 0 2 2 152 225 2 2 2 Karena x y 1 x 1 y 1 , sehingga vektor x ortogonalitas-P ke y. 3.2 Ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality) Definisi 3.2 Pada ruang bernorma riil X , . , suatu vektor x dikatakan ortogonalitas-I ke y atau dapat ditulis x I y jika dan hanya jika berlaku x y x y , untuk setiap x, y X . Pada ruang hasilkali dalam, ortogonalitas-I ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam x y . ruang bernorma ditunjukkan pada gambar 3.2 x I y ekuivalen dengan Ortogonalitas-I pada suatu 69 xy y xy x Gambar 3.2: Ilustrasi Ortogonalitas-I pada Ruang Bernorma Asumsikan bahwa x y , sehingga diperoleh 2 x y x y, x y x, x 2 x, y y , y x, x 2 x, y y, y x, x x, y x, y y , -y x, x x, y y , x y, -y x, x y y , x y x y, x y 2 xy . 2 Karena x y x y 2 sehingga berlaku x y x y . Teorema 3.2 Diberikan X , . ruang bernorma atas lapangan bilangan riil, untuk setiap x, y , z X dan berlaku: 1. Sifat Nondegenerasi, jika x I x maka x 0 , untuk x X . 2. Sifat Simetri, jika x I y maka y I x , untuk setiap x, y X . 3. Jika x I y maka x I y , untuk setiap dan x, y X . 70 4. Sifat Aditif Kanan, jika x I z dan y I z maka x y I z , untuk setiap x, y , z X . Bukti: 1. Berdasarkan definisi 3.2 diperoleh xx xx 2x 0 2 x 0 x 0. Berdasarkan teorema 2.6 diperoleh x, x 0 jika dan hanya jika x 0 . x 2. Berdasarkan Definisi 3.2 diperoleh 2 x y x y, x y x, x y y, x y x y, x x y, y x, x y , x x, y y , y x, x x, y x, y y , y x, x 2 x, y y , y y , y 2 x, y x, x 2 y 2 x, y x yx dan 2 2 71 2 x y x y, x y x, x y y , x y x y, x x y, y x, x y , x x, y -y , y x, x x, y x, y y , y x, x 2 x, y y , y y, y 2 x, y x, x 2 y 2 x, y x yx 2 2 Karena xy xy y x y x sehingga diperoleh jika x I y maka y I x , untuk x, y X . 3. Untuk x, y X dan sedemikian hingga ada y X . Berdasarkan definisi 3.2 diperoleh 2 x y x y, x y x, x y y, x y x y, x x y, y x, x y , x x, y y, y x, x x, y x, y y , y x, x 2 x, y y , y x, x 2 x, y 2 y, y 2 2 x 2 x, y 2 y . 72 Asumsikan bahwa x y atau x, y 0 sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi 2 2 x y x 2 x, y 2 y 2 x, x 2 x, y 2 y, y x, x 2 x, y y, y x, x x, y x, y y , y x, x y , x x, y y , y x y, x x y, y x, x y y, x y x y, x y 2 x y . Sehingga diperoleh x y x y . Karena x y x y sehingga diperoleh hubungan jika x I y maka x I y , untuk setiap dan x, y X . 4. Berdasarkan definisi 3.2 diperoleh x I z jika dan hanya jika x z x z dan y I z jika dan hanya jika y z y z . 73 x y z 2 x y z, x y z x y , x y z z, x y z x y z, x y x y z, z x y , x y z , x y x y , z z, z x, x x, y y , x y , y z , x z , y x, z y, z z, z x, x x, y x, y y , y x, z y , z x, z y, z z, z x, x 2 x, y y , y 2 x, z 2 y , z z, z Asumsikan bahwa x z atau x, z 0 dan y z atau y , z 0 sehingga diperoleh x y z 2 x, x 2 x, y y, y 2 x, z 2 y , z z, z x, x 2 x, y y, y 2 x, z 2 y, z z, z x, x x, y x, y y , y x, z y, z x, z y , z z, z x, x x, y y, x y , y z, x z, y x, z y , z z, z x y , x y z, x y x y , z -z , z x y z, x y x y z, z x y , x y z z, x y z x y z, x y z 2 x y z . 74 x y z Karena x y z sehingga berlaku jika x I z dan y I z maka x y I z . Contoh 3.2 Misalkan pada X l1 , yang dilengkapi dengan norma x 1 i . i 1 Ambil x 1,1, 0, 0,... dan y 2, 1, 0, 0,... . Tunjukkan bahwa vektor ortogonalitas-I ke y . Penyelesaian: Berdasarkan definisi 3.2 diketahui bahwa x I y jika dan hanya jika x y x y sehingga diperoleh x + y 1 i i i 1 1 2 1 1 0 0 0 0 3 0 0 0 3 x - y 1 i i i 1 1 2 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 3 Karena x y 1 x y 1 sehingga vektor x ortogonalitas-I ke y . x 75 3.3 Ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality) Definisi 3.3 Pada ruang bernorma riil X , . , suatu vektor x dikatakan ortogonalitasBJ ke y atau dapat ditulis x BJ y jika dan hanya jika berlaku x ty x , untuk setiap t . Pada ruang hasilkali dalam, ortogonalitas-BJ x BJ y ekuivalen dengan ortogonalitas pada ruang hasilkali dalam x y . Ekuivalensi pada ortogonalitasBJ ditunjukkan sebagai berikut: Asumsikan x y atau x, y 0 , untuk setiap t berlaku 2 x ty x ty , x ty x, x ty ty, x ty x, x x, ty ty , x ty , ty x, x t x, y t y , x t 2 y , y x, x 2t x, y t 2 y, y 2 2 x 2t x, y t 2 y . Karena 2 2 2 2 2 x 2t x, y t 2 y x x ty x , sehingga diperoleh x ty x . 76 Teorema 3.3 Diberikan X , . ruang bernorma atas lapangan bilangan riil, untuk setiap x, y X dan , , t maka berlaku: 1. Sifat Nondegenerasi, jika x BJ x maka x 0 , untuk x X . 2. Sifat Homogenitas, jika x BJ y maka x BJ y , untuk setiap , skalar dan x, y X . 3. Jika x BJ y maka x I y , untuk setiap x, y X . Bukti: 1. Berdasarkan definisi 3.3 diperoleh 2 x tx x tx, x tx x, x tx tx, x tx x, x x, tx tx, x tx, tx x, x t x, x t x, x t 2 x, x 2 2 2 x t x t x t2 x 2 2 x 2t x t 2 x 2 2 2 2 2 2 x 2t x t 2 x x x tx x 2 2 x tx x . Ketaksamaan di atas berlaku jika dan hanya jika x 0 . Berdasarkan teorema 2.6, x 0 berlaku jika dan hanya jika x 0 . 77 2. Asumsikan x BJ y , di mana , 0 dan t , sehingga diperoleh x t y x y , di mana t . Berdasarkan persamaan di atas berlaku x y x x . Sehingga terbukti jika x BJ y maka x BJ y , untuk setiap , skalar dan x, y X . 3. Berdasarkan definisi 3.3 diperoleh 2 x ty x ty , x ty x, x ty ty, x ty x, x x, ty ty , x ty, ty x, x t x, y t y , x t 2 y , y x, x 2t x, y t 2 y, y 2 2 x 2t x, y t 2 y . x, y 0 sehingga persamaan di atas dapat Asumsikan bahwa x y atau ditulis menjadi 2 2 x ty x 2t x, y t 2 y 2 x, x 2t x, y t 2 y , y x, x t x, y t y, x t 2 y , y x, x x, ty ty , x ty , ty x, x ty ty , x ty x t y , x t y 78 x ty , x ty x ty 2 sehingga diperoleh x ty x ty . Karena x ty x dan x ty x ty , sehingga diperoleh x ty x . Contoh 3.3 Misalkan pada X l1 , yang dilengkapi dengan norma x 1 i . i 1 x 1, 0, 0, 0... dan y 1,1, 0, 0,... . Ambil Tunjukkan bahwa vektor ortogonalitas-BJ ke y . Penyelesaian: Berdasarkan definisi 3.3 diketahui bahwa x ty x , untuk setiap t sehingga diperoleh x 1 i i 1 1 2 3 i 1 0 0 0 1 x + ty 1 i ti i 1 1 t1 2 t2 3 t3 4 t4 1 t t 0 0 x 79 Untuk t 0 diperoleh x + ty 1 i ti i 1 1 t1 2 t2 3 t3 4 t4 1 t t 0 0 t 1 t 2t 1. Untuk t 0 diperoleh x + ty 1 i ti i 1 1 t1 2 t 2 3 t3 4 t4 1 t t 0 0 1 t t 2t 1. Untuk t 0 diperoleh x + ty 1 i ti i 1 1 t1 2 t2 3 t3 4 t4 1 t t 0 0 1 0 0 1. Karena x ty 1 x 1 sehingga vektor x ortogonalitas-BJ ke y . 3.4 Ortogonalitas-g Definisi 3.4 Misalkan g adalah suatu semi hasilkali dalam pada X , di mana X merupakan ruang bernorma riil dan x, y X , sehingga x dikatakan ortogonal-g ke y , ditulis x g y jika dan hanya jika g x, y 0. 80 Diberikan g sebagai suatu fungsional yang didefinisikan dengan g : X 2 di mana g x, y x x, y x, y 2 dengan x, y lim t 0 Untuk menunjukkan bahwa g x ty x . t merupakan suatu fungsional yang dinotasikan dengan g : X 2 dapat ditunjukkan sebagai berikut: Berdasarkan definisi 3.4 berlaku g x, y x ty x . Karena t di mana: x, y lim t 0 g x, y x x, y x, y 2 x x, y x, y 2 x x ty x x ty x lim tlim t 0 2 0 t t x x ty x 2 tlim 2 0 t x lim x ty x t t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 2 x x ty x x t x, x ty x, x t x, x x, ty x, x t 81 x, ty lim t t 0 lim t x, y t t 0 x, y di mana telah diketahui sebelumnya bahwa suatu hasilkali dalam yang dinotasikan dengan , : X x X . Teorema 3.4 Misalkan g merupakan suatu semi hasilkali dalam pada X dan x, y X maka berlaku: 2 1. g x, x x , untuk semua x X . 2. g x, y g x, y , untuk semua x, y X dan , . 2 3. g x, x y x g x, y , untuk semua x, y X . 4. g x, y x y , untuk semua x, y X . Bukti: 1. Berdasarkan definisi 3.4 berlaku g x, x di mana: x, x lim t 0 x tx x . t x x, x x, x 2 82 g x, x x x, x x, x 2 x x tx x x tx x lim tlim t 0 2 0 t t x x tx x 2 tlim 0 2 t x tx x x lim t t 0 lim x x tx x x t t 0 lim x, x t x x, x t t 0 lim x, x t x x, x t t 0 lim x, x x, t x x, x t t 0 lim t 0 lim t 0 2 x, t x t t x, x t 2 x, x x . 2. Berdasarkan definisi 3.4 berlaku g x, y di mana: x, y lim t 0 x x, y x, y 2 x t y x t , untuk , . 83 g x , y x x, y x, y 2 x lim 2 t 0 x t y x t x 2 lim 2 t 0 lim t 0 x t y x t x t y x t x t y x x lim t t 0 x x t y x x lim t t 0 x, x t y x, x lim t t 0 x, x x, t y x, x lim t t 0 x, t y lim t t 0 t x, y lim t 0 t lim x, y t 0 lim x, y t 0 x, y g x, y . 3. Berdasarkan definisi 3.4 berlaku g x, x y di mana: x, x y lim t 0 x x, x y x, x y 2 x t x y x t . 84 g x, x y x x, x y x, x y 2 x t x y x x t x y x x lim lim t 0 2 t 0 t t x t x y x x 2 lim 2 t 0 t x lim x t x y x t t 0 lim x x t x y x x t t 0 lim x, x tx ty x, x t t 0 lim x, x x, tx x, ty x, x t t 0 lim t 0 lim t 0 lim t 0 x, tx x, ty t t x, x t x, y t t x, x x, y t lim x, x x, y t 0 lim x, x lim x, y t 0 t 0 x, x x, y 2 x g x, y . 4. Diketahui g x, y x, y , di mana x, y . Jika x, y 0 maka g x, y x, y , jika dan hanya jika 85 x, y g x, y x, y . Sehingga diperoleh g x, y x, y x y . Teorema 3.5 Misalkan g merupakan suatu hasilkali dalam pada X , di mana x, y , z X dan , sehingga berlaku: 1. Sifat Nondegenerasi, jika x g x maka x 0. 2. Sifat Homogenitas, jika x g y maka x g y. 3. Sifat Aditif Kanan, jika x g y dan x g z maka x g y z . Bukti: 1. Berdasarkan teorema 3.4 diperoleh 2 g x, x x . Jika x g x atau g x, x 0 maka 2 x 0. Berdasarkan teorema 2.6 diperoleh 2 x x, x 0 jika dan hanya jika x 0. 2. Berdasarkan teorema 3.4 diperoleh g x, y g x, y . Jika x g y atau g x, y 0 maka 86 g x, y g x, y .0 0. 3. Berdasarkan teorema 3.4 diperoleh 2 g x, x y x g x, y . Jika x g y atau g x, y 0 dan x g z atau g x, z 0 maka g x, y z x, y g x, z 00 0. Contoh 3.4 Misalkan x dan y merupakan barisan-barisan pada l1 , di mana x 1, 2, 0, 0,... dan y 1,1, 0, 0,... . Fungsional g didefinisikan dengan g x, y sgn x k y k k 1 Tunjukkan bahwa barisan x dan y pada l1 saling ortogonalitas-g. Penyelesaian: Ingat kembali mengenai fungsi signum yang didefinisikan dengan 1, x 0 sgn x 0, x 0 1, x 0 sehingga diperoleh 87 sgn x y k k sgn x1 y1 sgn x2 y2 sgn x3 y3 sgn x4 y4 k 1 sgn 1 1 sgn 2 1 sgn 0 0 sgn 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0. Karena g x, y 0 , sehingga vektor x dan y saling ortogonalitas-g. BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan Dari uraian pada BAB III dapat disimpulkan bahwa ortogonalitas-P (Phytagorean Orthogonality) pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, simetri, homogenitas, dan aditif kanan. Ortogonalitas-I (Isosceles Orthogonality) pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, simetri, dan aditif kanan. Ortogonalitas-BJ (Birkhoff-James Orthogonality) pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, dan homogenitas. Ortogonalitas-g pada ruang bernorma riil memenuhi sifat nondegenerasi, homogenitas, dan aditif kanan. 4.2 Saran Pada skripsi ini, penulis hanya memfokuskan masalah pada ruang bernorma-1. Disarankan untuk penelitian selanjutnya dapat mengkaji sifat-sifat dasar ortogonalitas yang berlaku pada ruang bernorma-2 bahkan hingga ruang bernorma-n. Selain itu, juga masih terdapat beberapa definisi ortogonalitas lain pada ruang bernorma, seperti ortogonalitas-R dan ortogonalitas-D, sehingga yang masih membuka kemungkinan untuk melakukan penelitian. 88 DAFTAR PUSTAKA Abdussakir. 2007. Ketika Kyai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang Press. Alimin, S.. 2009. Kajian Semi Hasilkali Dalam. Skripsi. Tidak Diterbitkan. Malang: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Alsina, C., Sikorska, J., dan Tomas. M.S.. 2003. Norm Derivatives and Characterzations of Inner Product Spaces. Singapore: World Scientific. Al Maraghi, A.M.. 1993. Terjemah Tafsir Al Maraghi Jilid 4. Semarang: CV Toha Putra. Anton, H. dan Rorres, C.. 2004. Aljabar Linier Elementer Versi Aplikasi Edisi Delapan Jilid 1. Jakarta: Erlangga. Bartle, R.G. dan Sherbert, D.R.. 2000. Introduction to Real Analysis Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc. Cohen, G.. 2003. A Course in Modern Analysis and its Applications. Cambridge: Cambridge University Press. Debnath, L. dan Mikusinski, P.. 1990. Introduction to Hilbert Spaces with Applications. San Diego: Academic Press. Fabian, M. Habala., P. Hajek, P., dan Zizler, V.. 2010. Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag. Gunawan, H., Nursupiamin., dan Kikianty, E.. 2005. Beberapa Konsep Ortogonalitas di Ruang Norm. Bandung: Departemen Matematika Istitut Teknologi Bandung. Kreyszig, E.. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. New York: Wiley Classics Library. Reddy, B.D.. 1998. Introductory Functional Analysis. New York: SpringerVerlag. Rynne, B.P. dan Youngson, M.A.. 2008. Linear Functional Analysis. New York: Springer-Verlag. 89