bab 3 trigonometri

BAB 3
TRIGONOMETRI
A
RINGKASAN MATERI
1. Perbandingan Trigonometri
C
a = proyektor
b = proyektum
c = proyeksi
b2 = a2 + c2
b
a

B
c
A
a
b
c
 cos  =
b
sin 
a
 tan  =
=
cos
c
1
b
=
sin 
a
1
b
 sec =
=
cos
c
1
c
 cot  =
=
tan
a
 sin  =
 csc =
 sin 2 + cos 2 = 1
 tan 2 + 1 = sec 2
 cot 2 + 1 = csc 2
2. Sifat-sifat Kwadran
kwadran II
sin +
kwadran I
semua +
tan +
kwadran III
cos +
kwadran IV
kwadran I
(0o <  < 90o)
sin (90 – ) = cos 
cos (90 – ) = sin 
tan (90 – ) = cot 
sin (k.360 + ) = sin 
cos (k.360 + ) = cos 
tan (k.360 + ) = tan 
kwadran II
(90o <  < 180o)
sin (180 – ) = sin 
cos (180 – ) = –cos 
tan (180 – ) = –tan 
sin (90 + ) = cos 
cos (90 + ) = –sin 
tan (90 + ) = –cot 
3. Sudut-sudut Istimewa
o
30o
45o
 0
1
1
sin 0
2
2
2
cos
1
1
2
3
1
2
tan
0
1
3
3
1
2
60o
1
2
3
kwadran III
(180o <  < 270o)
sin (180 + ) = –sin 
cos (180 + ) = –cos 
tan (180 + ) = tan 
sin (270 – ) = –cos 
cos (270 – ) = –sin 
tan (270 – ) = cot 
kwadran IV
(270o <  < 360o)
sin (360 – ) = –sin 
cos (360 – ) = cos 
tan (360 – ) = –tan 
sin (270 + ) = –cos 
cos (270 + ) = sin 
tan (270 + ) = –cot 
sin (–) = – sin 
cos (–) = cos 
tan (–) = –tan 
90o
1
0
1
2
3

4. Pengukuran Sudut
Hubungan antara ukuran sudut dalam derajat dengan radian adalah 360o = 2 radian atau  radian = 180o
1
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
5. Hubungan Koordinat
 Jika diketahui koordinat Cartesius P(x, y), maka koordinat kutub P(r, ) dapat di cari dengan hubungan :
y
r = x 2  y 2 dan
tan  =
x
 Jika diketahui koordinat kutub P(r, ), maka koordinat Cartesius P(x, y) dapat di cari dengan hubungan :
x = r cos 
dan
y = r sin 
6. Rumus-rumus Segitiga
C
a
b
c
A
B
 Aturan Sinus
a
b
c
= 2R


sin A sin B sin C
L ABC =
dengan s =
1
2
b.c.sin A
s(s  a)(s  b)(s  c) ,
L ABC =
 Aturan Cosinus
a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C
 Luas Segitiga
L ABC = 12 a.b.sin C
L ABC =
1
2
1
2
(a + b + c)
1
3600
n. r 2 sin
n
2
LABC
 Jari-jari lingkaran dalam Rd =
s
abc
 Jari-jari lingkaran luar Rl =
4 LABC
 Lsegi-n beraturan =
a.c.sin B
7. Rumus-rumus Trigonometri
 Rumus jumlah dan selisih dua sudut
sin (a  b) = sin a cos b  cos a sin b
cos (a  b) = cos a cos b  sin a sin b
tan a  tan b
tan (a  b) =
1  tan a tan b
 Rumus sudut rangkap
sin 2a = 2 sin a cos b
cos 2a = cos 2 a – sin 2 a
= 2 cos 2 a – 1
= 1 – 2 sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1  tan2 a
 Rumus konversi perkalian ke penjumlahan sudut
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a – b)
2 cos a sin b = sin (a + b) – sin (a – b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a – b)
–2 sin a sin b = cos (a + b) – cos (a – b)

Rumus setengah sudut
1  cos a
sin 12 a  
2
1  cos a
cos 12 a  
2
1  cos a
sin a
1  cos a
tan 12 a  


1  cos a 1  cos a
sin a
 Rumus konversi penjumlahan ke perkalian sudut
sin A + sin B = 2 sin 12 (A + B) cos 12 (A – B)
sin A – sin B = 2 cos 12 (A + B) sin
cosA + cos B = 2 cos 12 (A + B)cos
cosA – cosB = –2 sin 12 (A + B)sin
1
(A – B)
2
1
(A – B)
2
1
(A – B)
2
8. Grafik Fungsi Trigonometri
Grafik fungsi sinus
Grafik fungsi cosinus
Y
Y
1
1
y = cos x
Grafik fungsi tangen
Y
y = tan x
y = sin x
90O 180O 270O 360O
X
90O
180O 270O 360O
X
90O 180O 270
-1
O
360O
X
-1
2
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
 Grafik fungsi y = a sin (bx + c) + d , y = a cos (bx + c) + d dan y = a tan (bx + c) + d
2

- Untuk fungsi sinus dan cosinus periode T =
dan untuk fungsi tangen T =
b
b
- amplitudo = | a |
- Untuk fungsi sinus dan cosinus ymax = | a | + d dan untuk fungsi tangen ymax = 
- Untuk fungsi sinus dan cosinus ymin = – | a | + d dan untuk fungsi tangen ymin = – 
c
= pergeseran ke kanan (–) atau ke kiri (+)
b
- d = pergeseran ke atas (+) atau ke bawah (–)
9. Persamaan Trigonometri
 sin x = sin 
x =  + n.360
x = (180 – ) + n.360
 cos x = cos 
x =  + n.360
x = –  + n.360
 tan x = tan 
x =  + n.180
n = { . . ., –2, –1, 0, 1, 2, . . .}
10. Bentuk a cos x + b sin x
 a cos x + b sin x = k cos(x – ), dengan k =
a 2  b 2 dan tan  =
b
(kw ….?)
a
 y = a cos x + b sin x + c
y maks = k + c
y min = – k + c
 agar persamaan a cos x + b sin x = c memiliki penyelesaian, maka syaratnya | c | 
B
a2  b2
SOAL DAN PEMBAHASAN
sin 1500  sin 1200
= ....
cos 2100  cos 3000
a. –2
b. –1
Jawaban: b
Penyelesaian:
1. Nilai dari
c. 0
d. 1
e. 2
1
 12 3
sin (180  30)   sin (180  60) 
sin 150  sin 120
sin 30  sin 60
2
=
=
=
= –1
cos 210  cos 300
 cos 30  cos 60
cos (180  30)   cos (360  60) 
 12 3  12
2. Jika tan x =
1
2
, maka 2 sin x + sin (x +
1
2
) + cos( – x)
a. – 15 5
b. – 52 5
c. 15 5
Jawaban: d
Penyelesaian:
tan x = 12  buat segitiga siku-siku
(1 depan sudut x dan 2 samping sudut x)
2 sin x + sin (x +
1
2
d.
2
5
5
1
x
2
) + cos( – x) = 2 sin x + cos x – cos x = 2 sin x = 2 (
1
5
)=
3. Koordinat Cartesius dari koordinat kutub P(10, 240o) adalah ....
a. (–5, –5 3 )
b. (–5, 5 3 )
c. (5, –5 3 )
d. (5, 5 3 )
Jawaban: a
Penyelesaian:
P(10, 240o) = P(r, ), maka
x = r cos  = 10 cos 240o = 10 (– 12 ) = –5 dan
y = r sin  = 10 sin 240o = 10 (– 12
5
e.
5
2
5
=
2
5
5
e. (5, 5)
3 ) = –5 3
Jadi, P(x, y) = P(–5, –5 3 )
3
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
4. Ebtanas 1998
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AC = 5 cm, sisi BC = 4 cm dan sin A =
3
5
. Nilai dari cos B = ….
1
4
3
1
3
b.
c.
d.
e.
7
7
7
3
5
4
4
7
Jawaban: a
Penyelesaian:
Gunakan aturan sinus, diperoleh
BC
AC
C
Untuk menentukan nilai cos B buat segitiga siku-siku

sin A sin B
AC
4
 sin B =
 sin A
5
3
BC
4
5 3
 
4 5
7
B
3
1
B
A
Jadi, nilai dari cos B =

7.
4
4
5. UN 2006
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044o sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan arah
104o sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah ….
a. 10 95 km
b. 10 91 km
c. 10 85 km
d. 10 71 km
e. 10 61 km
Jawaban: e
Penyelesaian:
Menggunakan aturan cosinus, diperoleh
AC 2 = 502 + 402 – 2  50  40  cos 120o
104o
40
km
= 2500 + 1600 – 4000  (– 12 )
120o
C
50 km
= 6100
044o
AC = 6100
a.
A
= 10 61 km
6. Ebtanas 2000
Luas segitiga ABC adalah 24 cm2, sisi AC = 8 cm dan AB = 12 cm. Nilai cos A = ….
a.
1
2
3
b.
1
2
c.
1
3
3
d.
1
2
2
e.
1
3
2
Jawaban: e
Penyelesaian:
L = 12 AB  AC sin A
24 =
1
2
 12  8 sin A
 sin A =
1
2
A = 30 atau A = 150
Jadi, cos A = cos 30 = 12 3 atau cos A = cos 150 =  12
7. Diketahui sin  =
8
17
a. 
Jawaban: a
Penyelesaian:
 sudut tumpul
sin  = 178
60
85
dan cos  =
b.

3
5
dengan  sudut tumpul dan  sudut lancip. Nilai sin ( + ) = ….
36
85
17
8
15

cos  = – 17
–15
sehingga
7
sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin 
15
= 178  53 + (– 17
) 54
=
24
85

3
c.

24
85
d.
 sudut lancip
cos  = 53
sin  =
4
5
24
85
e.
36
85
5
4

3
60
85
36
=  85
4
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
8. Ebtanas 2000
Bentuk sederhana 4 sin 36 cos 72 sin 108 adalah ….
a. 1 – cos 72o
b. 1 + cos 36o
c. 1 – cos 36o
Jawaban: a
Penyelesaian:
4 sin 36 cos 72 sin 108 = 2 (2 sin 108 cos 72) sin 36
= 2 (sin 180 + sin 36) sin 36
= 2 sin2 36
= 1 – cos 72
d. 1 + cos 72o
e. 2 cos 72o
9. UAN 2002
sin 5 x  sin 3x
Bentuk
senilai dengan .…
cos 5 x  cos 3x
a. tan 2x
b. tan 4x
c. tan 8x
d. cos 4x
e. cot 8x
Jawaban: b
Penyelesaian:
2 sin 12 (5 x  3x) cos 12 (5 x  3x)
sin 5 x  sin 3x
2 sin 4 x cos x
sin 4 x
=
=
=
= tan 4x
1
1
2 cos 2 (5 x  3x) cos 2 (5 x  3x)
cos 5 x  cos 3x
2 cos 4 x cos x
cos 4 x
10. Ebtanas 1999
Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar adalah…..
Y
2
a. y = 2 cos (2x – 60)o
1
b. y = 2 cos (x – 30)o
240
c. y = 2 sin (x + 30)o
X
O
60
d. y = 2 cos (x + 30)o
1
e. y = 2 sin (x – 30)o
Jawaban: c
2
Penyelesaian:
Gambar grafik fungsi y = 2 sin xo kemudian digeser horizontal ke kiri sejauh 30o , maka diperoleh grafik
fungsi trigonometri y = 2 sin (x + 30)o
Y
2
y = 2 sin(x + 30)o
Metode praktis:
Subtitusikan x = 0 ke dalam jawaban,
maka yang benar adalah jawaban a dan c.
Subtitusikan x = 60 ke dalam jawaban a
dan c, maka yang benar adalah jawaban c.
1
30
o
180
O
240
60 90
270
X
360
1
y = 2 sin xo
2
11. Ebtanas 1997
Himpunan penyelesaian dari cos xo –
a. {75, 285}
b. {15, 105}
Jawaban: e
Penyelesaian:
cos xo – 3 sin xo = 2
k=
12 
 3
2
= 2 dan tan  =
Persamaan cos xo –
3 sin xo =
3 sin xo = 2 , untuk 0  x < 360 adalah ....
c. {75, 165}
d. {195, 285}
e. {255, 345}
 3
  3 ( dikuadran IV)   = 300°
1
2 ekuivalen dengan persamaan
2 cos (x – 300)° = 2
 cos (x – 300)° = 12 2 = cos 45°
 x – 300o = 45 o + k  360 o
 x – 300 o = 45 o + k  360 o
 x = 345 + k  360o
 x = 255 o + k  360 o
o
k = 0  x = 345
k = 0  x = 255 o
o
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {255 , 345 }
5
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
12. Ebtanas 2001
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan cos 2xo – cos xo > 0, untuk 0o ≤ x ≤ 360o adalah ....
a. {x|120 < x < 240}
c. {x|240 < x < 360}
e. {x|0 < x < 210}
b. {x|0 < x < 120}
d. {x|120 < x < 360}
Jawaban: a
Penyelesaian:
cos 2 xo – cos xo > 0
 2 cos2 xo – cos xo – 1 > 0
 (2 cos xo + 1) (cos xo – 1) > 0
 (2 cos xo + 1) (cos xo – 1) = 0
cos xo = – 12
atau cos xo = 1

+

x = 120o, 240o atau
x = 0o, 360o


o
o
o
Uji daerah : x = 270  (), x = 180  (+), dan x = 90  ()
0
120
240
o
360
o
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 120 < x < 240 }.
C
1.
sin 2
LATIHAN SOAL

4
sin 2

3
 cos2


4
cos2

3
= ....

tan 6 tan 3
a.
1
4
3
2
e. 2
d.
b. 1
1
c.
c
2
2. Jika sin A =
3
, A sudut di kuadran II, maka cos A =
5
4
d.
5
e. 1
4
– a
5
b. –1
c. 0
3. UN 2008
Diketahui segitiga MAB dengan AB = 300 cm, sudut
MAB = 60o dan sudut ABM = 75o. Maka AM = ….
a. 150(1 + 3 )
d. 150( 2 + 6 )
a.
b. 150( 2 +
c. 150(3 +
3)
e. 150( 3 +
6)
3)
4. Ditentukan segitiga ABC dengan panjang sisi BC =
3 cm, sisi AC = 4 cm dan sin A =
a.
b.
c.
2
5
5
1
5b
3
1
3
2
d.
e.
1
. Nilai cos B =...
2
2
3
1
2
5. UAN 2003
Diketahui segitiga ABC dengan AC = 5 cm, AB = 7
cm, dan BCA = 120o. Keliling segitiga ABC = ....
a. 14 cm
d. 17 cm
b. 15 cm
e. 18 cm
c. 16 cm
6
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
6. Ebtanas 2001
Nilai cos BAD pada gambar adalah ....
A
1
20
1
a. –
d.
3
21
B
1
2
b. –
e.
4
2
3
2
1
c.
5
C
D
3
7. UN 2007
Diketahui A dan B adalah titik-titik ujung sebuah
terowongan yang dilihat dari C dengan sudut ACB =
45o. Jika jarak CB = p meter dan CA = 2p 2 meter,
maka panjang terowongan itu adalah ….
a. p 5 meter
d. 4p meter
b. p 17 meter
e. 5p meter
c. 3 2 meter
8. UN 2006
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah
044o sejauh 50 km. Kemudian berlayar lagi dengan
arah 104o sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak
pelabuhan A ke C adalah ….
a. 10 95 km
d. 10 71 km
b. 10 91 km
e. 10 61 km
c. 10 85 km
9. Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi
BC = 36 cm, besar A = 120° dan B = 30°. Luas
segitiga ABC adalah… cm².
a. 432
d. 216
b. 216 3
e. 108 3
c. 324
10. Ebtanas 1999
Pada segitiga ABC panjang sisi BC = 30 cm dan
sin BAC = 13 5 . Jari-jari lingkaran luar segitiga
tersebut adalah … cm.
a. 2 5
d. 9 5
b. 3 5
e. 18 5
c. 5 5
11. Luas segi 12 beraturan dengan jari-jari lingkaran
luar 6 cm adalah ....
a. 118 3 cm2
d. 108 3 cm2
2
b. 108 cm
e. 192 cm2
2
c. 118 cm
12. Ebtanas 2001
Diketahui sin α – cos α =
sin α + cos α = ....
1
a.
25
1
b.
5
25
c.
49
d.
e.
7 o
, 0 ≤ α ≤ 180o . Nilai
5
5
7
49
25
7
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
13. Diketahui segitiga ABC, sin A =
Nilai sin C = ….
56
a. –
d.
45
16
b. –
e.
45
16
c.
45
14. UN 2008
Jika tan  = 1 dan tan  =
3
12
, cos B =
.
5
13
16
65
56
65
1
3
dengan  dan  sudut
lancip, maka sin ( – ) = ....
2
2
a.
d.
5
3
5
1
1
b.
e.
5
5
5
1
c.
2
15. UN 2002
Diketahui cos(A – B) =
5
3
dan cos A cos B = .
5
7
Nilai 2 tan A tan B = ….
a.
b.
c.
8
25
8
7
7
8
d.
e.
8
25
8
7
16. Jika tan 3o = p, maka tan 228o = . . .
a.
1 p
1 p
d.
1
p
b.
p 1
p2
e.
1 p
1 p
c.
p
17. Diketahui sudut lancip A dengan cos 2A =
1
. Nilai
3
tan A = .…
a.
b.
c.
1
3
3
1
2
2
1
6
3
d.
e.
2
5
5
2
6
3
18. UAN 2003
Diketahui A adalah sudut lancip dan
1
x 1
cos A =
. Nilai sin A adalah ....
2x
2
a.
b.
c.
x2 1
x
x2  1
d.
x2 1
e.
x2  1
x
x2 1
c
x
8
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
19. UN 2007
Nilai dari cos 40o + cos 80o + cos 160o = ….
1
1
a. –
d.
2
2
2
1
1
b. –
e.
2
2
2
c. 0
20. UN 2008
Nilai dari
a. 1
cos 50o  cos 40o
adalah ….
sin 50o  sin 40o
1
d. –
3
2
1
2
2
c. 0
e. –1
b.
21. PRA UN 2007
Nilai dari sin 52,5o . cos 7,5o = ….
a.
1
( 2  3)
2
d.
1
( 3  2)
4
b.
1
( 3  2)
4
e.
1
( 3  2)
2
c.
1
( 3  2)
2
22. Ebtanas 2001
Persamaan fungsi trigonometri pada gambar grafik
adalah ....
a. y = 3 sin x
b. y = 2 sin 3x
3
c. y = 3 sin 4x
1
d. y = 3 sin 2x


-3
2
1
e. y = 3 sin x
2
23. UN 2008
Himpunan penyelesaian persamaan
cos 2xo + 7 sin xo – 4 = 0, 0  x  360 adalah ….
a. {240, 300}
d. {60, 120}
b. {210, 300}
e. {30, 150}
c. {120, 240}
24. Himpunan penyelesaian persamaan
3 cos 2x + 5 sin x + 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 2 adalah...
 7 11 
1 5 
a.   ,  
d.   ,  
6 6 
6 6 
 5 11 
5 7 
b.   ,  
e.   ,  
6 6 
6 6 
1 7 
c.   ,  
6 6 
25. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan
cos 2x – 5 cos x = 2 dengan 0 ≤ x ≤ 360 adalah ….
a. 60 dan 120
d. 120 dan 360
b. 60 dan 300
e. 240 dan 300
c. 120 dan 240
Kusnandar
9
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas
10
Trigonometri
Sukses Ujian Kenaikan Kelas