1 visualisasi mode medan cahaya berdasarkan

VISUALISASI MODE MEDAN CAHAYA BERDASARKAN
PENGARUH KEKUATAN DEFEK DAN UKURANNYA
TERHADAP POLA RAGAM MEDAN LISTRIK
PADA KISI KRISTAL FOTONIK
ABSTRAK
Kurniati, Diana. 2014. Visualisasi Mode Medan Cahaya Oleh Ragam Medan
Listrik Pada Kisi Kristal Fotonik. Skripsi, Jurusan Fisika FMIPA,
Universitas Negeri Malang. Pembimbing: (I) Prof. Dr. Arif Hidayat, M.Si,
(II) Hari Wisodo, S.Pd, M.Si,
Kata Kunci: Kisi Kristal Fotonik, Visualisasi, Defek
Daerah defek terjadi karena adanya ketidakselarasan pada susunan periodik kisi. Penelitian tentang bentuk
ukuran defek single-site dengan formulasi berpangkat 4 pada kisi kristal fotonik telah dijelaskan sebelumnya. Namun
belum dijelaskan bagaimana intensitas dan potensial medannya. Penelitian ini mengkaji kondisi dan ukuran defek
dengan formulasi yang lain yaitu single-site dengan formulasi berpangkat 2.
Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode numerik. Dalam metode ini, langkah
pertama yang dilakukan adalah mengkaji persamaan umum gelombang pada kisi kristal fotonik yang didasarkan pada
prinsip dasar persamaan Maxwell. Sehingga diperoleh solusi umum persamaan gelombang pada kisi. Dengan
menentukan kondisi dan persamaan defek yang akan dikaji maka dilakukan visualisasi berdasarkan solusi persamaan
yang diperoleh tersebut melalui program Matlab 7.0.
Hasil yang dicapai adalah didapatkannya variasi bentuk ukuran defek single-site pertama FD1 dan ukuran defek kedua
FD2. Selanjutnya untuk memperoleh pengaruh konstanta kekuatan defek  terhadap nilai  nya pada ukuran defek FD1
dan FD2, dibuat grafik perbandingan dengan menggunakan metode numerik yang didasarkan pada solusi persamaanya.
Pada ukuran defek FD1, diperoleh pola dengan puncak daerah defek bergradasi warna merah tua dengan diameter 4.
Kemudian untuk ukuran defek FD2 diperoleh pola dengan puncak defek 3 kali lebih besar dibandingkan daerah ukuran
defek FD1.Selanjutnya, membandingkan pengaruh ukuran defek FD1 dan FD2 terhadap ragam medan listriknya. Diperoleh
bahwa Ukuran defek FD2 memiliki pola mode defek yang lebih beragam pada dibandingan dengan ukuran defek FD1 .
Sedangkan untuk perbandingan kekuatan defeknya, semakin besar kekuatan defeknya maka semakin besar nilai µ nya
juga semakin beragam pula mode area defek yang dihasilkan.
1
I. PENDAHULUAN
sebelumnya yaitu metode interaksi operator
kuadrat (M. Skorobogatiy, 2009). Hal ini
dilakukan dengan harapan untuk memperoleh
hasil penjelasan yang lebih baik dan jelas.
Sehingga dalam penelitian ini, peneliti
mengambil judul “Visualisasi Mode Medan
Cahaya Berdasarkan Pengaruh Kekuatan
Defek Dan Ukurannya Terhadap Pola Ragam
Medan Listrik Pada Kisi Kristal Fotonik”.
Kristal fotonik adalah material
dielektrik yang memiliki indeks bias atau
permitivitas berbeda secara periodik, sehingga
dapat mencegah perambatan cahaya dengan
frekuensi dan arah tertentu. Rentang daerah
frekuensi tersebut dinamakan photonic
bandgap (PBG). Dasar teoritis mengenai
kristal fotonik dikembangkan pertama kali
oleh E. Yablonovic dan S. John pada tahun
1987. Sebagai hasilnya dijelaskan bahwa
banyak fenomena yang terjadi pada
semikonduktor terjadi pula pada bahan kristal
fotonik. Manfaat dari kristal fotonik di dalam
bidang fisika-optik yaitu mengendalikan sifatsifat optis material dengan aplikasi yang
sangat menjanjikan di masa depan.
Contohnya dalam mengendalikan dan
melokalisasi penjalaran cahaya sehingga
menghasilkan teknologi seperti serat optik,
laser, serta teknologi komunikasi
berkecepatan tinggi lainnya.
Daerah defek terjadi karena adanya
ketidakselarasan pada susunan periodik kisi.
Penelitian tentang defek pada kisi kristal
fotonik telah dijelaskan sebelumnya. Model
ukuran defek pada paket medan listrik ini
diselesaikan melalui metode numerik yaitu
metode interaksi operator kuadrat (M.
Skorobogatiy, 2009). Tetapi pada penelitian
tersebut hanya menjelaskan bentuk ukuran
defek single-site dengan formulasi berpangkat
4.. Nilai periodik potensial medan dalam kisi
kristal belum ditentukan. Sehingga penelitian
tersebut belum sepenuhnya menjelaskan
secara lengkap. Oleh sebab itu, peneliti
bermaksud mengeksplorasi bagaimana
hasilnya kondisi dan ukuran defek dengan
formulasi yang lain. Karena suatu sifat yang
penting pada kristal fotonik dapat diperoleh
jika terdapat defek pada struktur kristal
fotonik tersebut dengan berbagai macam
mode medan listriknya.
Penelitian ini mengkaji tentang pola
daerah defek dan keadaan fisisnya, serta
menghitung nilai u dalam medan listrik
yang
kemudian
u  x, y  tersebut
membandingkannya dengan defek pertama
secara numerik. Metode numerik yang
digunakan mengacu pada metode yang
II. KAJIAN PUSTAKA
A. Perumusan Prinsip Dasar Persamaan
Maxwell
Keadaan radiasi dari suatu sistem dapat
dijelaskan dari persamaan Maxwell. Jika simetri
tambahan dalam suatu sistem terdapat kuantitas
fisik kekal yang dapat diidentisifikasi untuk
menggambarkan perilaku umum dari sistem
tersebut.
Berikut adalah Persamaan Maxwell :
B
 0,
t
D
H 
 0,
t
  B  0,
E 
  D  0,
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Secara umum, medan elektromagnetik adalah
fungsi ruang dan waktu. Namun, karena linieritas
persamaan Maxwell dan teorema analisis Fourier
dapat mewakili solusi dari persamaan tersebut
dalam hal kombinasi linear dari mode harmonik
dalam waktu.
Dimana masing-masing Er , t  dan H r , t 
adalah listrik dan medan magnet mikroskopis,
Dr, t  serta Br, t  adalah perpindahan dan
medan induksi magnet. Hubungan konstitutifnya
sebagai berikut :
D   r E,
B  H,
(2.5)
B. Perambatan Paket Gelombang Untuk
Dielektrik
Gelombang elektromagnetik yang merambat
disampaikan oleh vektor orthogonal triplet
2
E0 , H 0 , k 
dimana
solusi
dari
Gambar 1 : Simetri translasi diskrit (a) Translasi
diskrit 1D (b) Translasi diskrit (c) Translasi diskrit
2D (d) Translasi diskrit 2D (e) Simetri diskrit rotasi
persamaan
Maxwell adalah :
Hr, t   H 0 expik  r  it ,
Er, t   E 0 expik  r  it ,
1
H 0  k ,

k  H 0   0.
Pada gambar diatas menunjukkan bahwa
struktur umum dari solusi elektromagnetik pada
sistem menunjukkan berbagai macam bentuk
simetri diskrit. Mode profil dielektrik berhubungan
dengan serat kisi Bragg ditunjukkan pada Gambar
2 (ai), bidang pandu gelombang kristal fotonik
pada Gambar 2 (aii), difraksi kisi Gambar 2 (b),
kristal fotonik dua dimensi Gambar 2 (c),
lempengan kristal fotonik Gambar 2 (d), dan
resonator dimasukkan ke dalam kisi kristal fotonik
Gambar 2 (e).
E0 
(2.6)
Dimana frekuensi terhubung ke perambatan
vektor k oleh hubungan dispersi:
 2   k 2  0.
(2.7)
Hal ini penting untuk memahami hambatan
yang berlaku pada hubungan dispersi dalam
bentuk  k  seperti pada persamaan (2.7).
Banyak proses fisika yang diatur oleh keadaan
C.Macam-macam Kisi Kristal Fotonik
kerapatan radiasi D  dalam volume fisika V
Kristal Fotonik (photonic crystal, PhC)
adalah struktur periodik dari material
dielektrik dengan permitivitas (e) atau indeks
bias (n) yang berbeda, sehingga dapat
menghambat perambatan gelombang dengan
frekuensi dan arah tertentu. Dikatakan sebagai
”kristal” karena dibentuk oleh susunan blok
yang periodik bangunan dasar. Istilah
”fotonik” ditambahkan karena fotonik kristal
dirancang
untuk
mempengaruhi
sifat
propagasi foton.
pada frekuensi tertentu  . Jika jumlah keadaan
radiasi antara  dan   d didefinisikan
sebagai N  ,   d  , maka:
N  ,   d   D  d  2
V
3
d k.
3   k  d
2π 
Kuantitas penting lainnya adalah karakterisasi
keadaan elektromagnetik yang erat kaitannya
dengan hubungan dispersi kecepatan kelompok
pada kristal fotonik dimana setara dengan
kecepatan energi. Kecepatan grup didefinisikan
sebagai:
vg 
ωk 
,
k
(2.8)
dan dalam ruang bebas v g  1  dalam satuan c .
Gambar 2 : Kristal fotonik 1D, 2D dan 3D. Warna
menggambarkan material dielektrik dengan
permitivitas atau indeks bias yang berbeda.
Jika gelombang elektromagnetik menjalar
ke dalam struktur kristal fotonik, maka ia akan
dihamburkan akibat perbedaan indeks bias di
dalam struktur. Jika panjang gelombang jauh
lebih besar daripada konstanta kisi dari kristal
fotonik, struktur berperilaku seperti suatu
medium efektif, namun jika panjang
gelombang sebanding atau lebih kecil
daripada konstanta kisi PhC, maka akan
terjadi refleksi Bragg, sehingga membentuk
material photonik bandgap (PBG).
3
D.Persamaan Umum Gelombang dalam Kisi
Kristal Fotonik
Dalam eksperimen terbaru dalam kristal
fotoreaktif, kisi kristal fotonik biasanya
terpolarisasi pertama dicetak pada kristal dengan
metode interferensi balok atau sampul amplitudo.
Kisi fotonik dapat dibuat seragam sepanjang arah
propagasi dalam kristal. Distribusi cahaya kisi ini
menciptakan variasi indeks bias lemah (pada
rentang 10-3 sampai 10-4 ), sehingga membentuk
low indeks kontras pada serat kristal fotonik.
Ketika sebuah balok terpolarisasi diluncurkan
pada kisi fotonik ini, sehingga variasi indeks
secara signifikan mengubah perilaku propagasi.
H  
D
t
(2.11)
D  0
B  0
(2.12)
(2.13)
Dan persamaan medium yang sesuai adalah
D  E
B  0 H
(2.14)
Dimana E dan H adalah vektor medan listrik
dan magnetik; D dan B adalah perpindahan listrik
dan vektor medan induksi magnetik, dan ε dan µ0
adalah konstanta dielektrik dan permeabilitas
medium.
Dengan asumsi bahwa bidang medan adalah
monokromatik dan harmonis yaitu,
E1  Aeik x xikz z
E( x, y, z, t )  E( x, y, z )e iwt dan
E2  Ae  ik x x ik z z
B( x, y, z, t )  B( x, y, z)eiwt dengan mengambil
curl dari kedua sisi pada persamaan (2.10) dan
persamaan (2.11) kemudian mensubsitusi ke
persamaan mediumnya (2.10), sehingga
dihasilkan:
E3  Ae
ik y y ik z z
 ik y  ik z
(2.9)
E 4  Ae y z
Skema eksperimen membuat kisi fotonik
seragam dengan metode interferensi balok
ditunjukkan pada 2.3 (a). Dimana, ada empat
gelombang bidang datang pada kristal fotoreaktif,
dengan distribusi intensitas cahaya yang
dihasilkan :
  H 
 B 
    E     
   0 
t 
 t 

  2 0E
Sisi kiri dari persamaan (2.15) dilanjutkan
dengan menggunakan identitas vektor sebagai
berikut:
2
I
 Ej
j 1,...,4
 16 A 2 cos 2
kxx  ky y
2
cos 2
(2.16)
    E    E   2 E
Selain itu, dengan menggunakan persamaan
(2.16) dengan memasukkan nilai D  E
dihasilkan:
  D    E   E      E  0 (2.17)
Ini dikenal sebagai pendekatan skalar sehingga
persamaan Helmholtz :
kx x  ky y
2
 2 E  k 02 n 2 E  0
Dimana k 0   c , n 
Dalam optik induksi kisi fotonik, variasi
indeks bias yang dihasilkan lemah. Dalam hal ini
pendekatan skalar persamaan Maxwell berlaku
untuk penerapan kasus optik induksi kisi fotonik.
Persamaan Maxwell’s sebagai berikut :
B
t
(2.18)
 0 c adalah indeks
bias medium, dan c adalah kecepatan cahaya
dalam ruang hampa. Jika medan listrik E
terpolarisasi linier sepanjang sumbu transversal,
maka persamaan Helmholtz (2.18) menjadi skalar.
Skalar terpenuhi jika Indeks bias n berubah
tidak begitu banyak didalam medium. Pada
beberapa kasus contohnya ada pada serat lowrefractive-index-constanst, Kristal fotoreaktif
dengan kisi fotonik, dan problem optik nonlinier
lainnya. Pada problem ini, indeks bias n dapat
Gambar 3 : (a) kisi fotonik seragam yang dibuat
dari balok yang diberi gangguan pada Kristal
fotoreaktif. (b) Kisi fotonik dengan single-site cacat
E  
(2.15)
(2.10)
4
dianggap sebagai
nb
Balok kisi mengalami cacat seragam
sepanjang arah propagasi. Persamaannya ditulis
sebagai berikut :
E0
iU z  U xx  U yy 
U  0 (2.25)
1  I L  x, y 
dengan indeks latar
belakang konstan ditambah variasi n .
n  nb  n, n  nb
(2.19)
Variasi n tergantung pada koordinat spasial
2
Nilai IL membujuk pada persamaan defek pada
kisi kristal, yaitu :
menengah dan intensitas cahaya E .
Medan listrik E dalam bentuk paket
gelombang yang bervariasi lambat sepanjang arah
propagasi ẑ .
E  U  x, y, z e
ikz
I L  I 0 cos 2  x  cos 2  y 1  FD  x, y  (2.26)
Dimana I0 adalah intensitas puncak kisi
fotonik jika tidak seragam, dan FD  x, y 
(2.20)
menggambarkan bentuk dari defek dengan
kekuatan defek pada kisi yaitu  .
Defek pada kisi kristal fotonik mempunyai
berbagai macam bentuk karakter. Namun bentuk
defek yang diteliti pada kisi kristal fotonik ini
yaitu single-site dengan ukuran yang berbeda,
merujuk pada persamaan (2.25) yaitu:
maka persamaan Helmholtz (2.18) menjadi :
i
U
1 2
kn

 U 
U 0
z 2k
nb
(2.21)
nb = indeks bias bahan
Pada urutan kedua dari n dan  2U z 2
nilainya yang sangat kecil maka tidak
2
2
2
2
diperhitungkan, dan  U   x   y
adalah operator Laplace melintang.
Persamaan (2.21) dikenal sebagai persamaan
Schrodinger. Perambatan cahaya pada persamaan
tersebut masing-masing suku dijelaskan sebagai
berikut :
 Suku pertama menjelaskan perambatan
FD2

Suku kedua menjelaskan arah transversal
dari cahaya
 Suku ketiga menjelaskan efek perubahan
indeks bias terhadap perambatan cahaya.
Setelah mensubsitusi persamaan ini ke dalam
persamaan (2.21), persamaannya menjadi :
ux, y 
 x, y    x  D  , y  D   ,
lokasi
pandu
(2.28)
F.Potensial periodik untuk daerah defek

E0  E0   2 k 2 ne2 D 2 r33 ,
Persamaan (2.48) lebih lanjut dipermudah
dengan persamaan :
U xx  U yy    V  x, y u   f  x, y   O  2  (2.30)
Dimana D adalah jarak kisi, persamaan (2.23)
dapat dibuat tidak berdimensi :
Dimana I  I L  U
persamaan


E0
U xx  U yy    
u  0 (2.29)
1  I 0  x, y  

z  z  2kD  ,
2
adalah
Sehingga persamaan umum untuk defek yaitu :
2
U
E
  2U  0 U  0
z
1 I
2 2
U x, y, z   u  x, y  exp iz 
kn 2 r E
U
1 2

 U  e 33 0 U  0 (2.22)
z 2 k
2 1 I
Dengan transformasi variabel
i
2
4
gelombang dalam arah melintang.
i

 128 (2.26)
 y  800 (2.27)
Pada persamaan (2.26) merupakan bentuk
defek dengan ukuran pertama, sedangkan
persamaan (2.27) merupakan bentuk defek pada
ukuran kedua. Ketika   0 intensitas kisi pada
daerah defek akan lebih tinggi dari daerah
sekitarnya.
Solusi untuk lokasi defek dari persamaan
(2.25) diselesaikan dengan metode numerik,
dimana  adalah konstanta perambatan. Dan
paket gelombang U x, y, z 
2

x, y   exp x
FD1  x, y   exp  x 2  y 2
2
Dimana,
(2.24)
V  x, y   
dan I L adalah
E0
1  I 0 cos ( x) cos 2 ( y)
2
(2.31)
Persamaan (2.31) bisa disebut juga sebagai
persamaan Hill gangguan pada dua dimensi,
dimana f  x, y  adalah lokasi gangguan 2D
distribusi intensitas kisi periodik.
E.Bentuk Defek dalam Kisi Kristal Fotonik
5
(yaitu, f x , y   0 dengan  x, y   ~ ) untuk
Lu  u  0
potensial periodik V x , y  .
Dimana nilai L nya sebagai berikut:
Dengan asumsi,
bahwa potensial periodik V x , y  adalah periodik
sepanjang arah x dan y.
Dengan meninjau kembali persamaan (2.25)
maka nilai potensial V x , y  adalah :
V  x, y   
L
persamaan (2.30), maka pada defek pertama
solusi potensialnya sebagai berikut :
I L  I 0 cos 2 x  cos 2  y 1  FD1  x, y 
V x, y   

4

128
L   xx   yy 
(2.32)
E0
1  I 0 cos x  cos  y 1  exp x  y  128
Solusi potensial pada defek kedua sebagai
berikut :
2
2
2
2 4

FD2  x, y   exp  x  y
V x, y   

E0

2 2
800


2

(2.33)
800


L n ,  n
,
n , n
1
didefinisikan sebagai
(2.39)

f , g   f * g dx dan C

dan t adalah konstanta positif. Dengan asumsi
nilai E0=15, I0=6 dan kekuatan defek   1,1 .
Bentuk defek dalam penelitian ini dipilih ada 2
bentuk yang dapat diwakili oleh persamaan (2.45)
dan (2.46). Perlu dijelaskan solusi dihitung dengan
software Matlab 7.0. dengan kode program adalah
sebagai berikut :
Lx=10*pi; N=150; %mesh parameters
max_iteration=1e4; error_tolerance=1e-8;
x=-Lx/2:Lx/N:Lx/2-Lx/N; dx=Lx/N;
kx=[0:N/2-1 -N/2:-1]*2*pi/Lx;
y=x; dy=dx; ky=kx; [X,Y]=meshgrid(x,y);
[KX, KY]=meshgrid(kx, ky);
E0=15; I0=6; epsi=-0.6; c=4; DT=1.2; %
scheme parameters
V=-E0./(1+I0*cos(X).^2.*cos(Y).^2.*(1
+epsi*exp(-...(X.^2+Y.^2).^4/128)));
U=exp(-(X.^2+Y.^2)/2.0); % initial
conditions
for nn=1:max_iteration % iterations start
Uold=U;
LU=ifft2(
-(KX.^2+KY.^2).*fft2(U))+V.*U;
MinvLU=ifft2(fft2(LU)./(c+KX.^2+KY.^2));
MinvU=ifft2(fft2(U)./(c+KX.^2+KY.^2));
Gambar 4 : Intensitas IL pada kisi Kristal fotonik
(a) Terjadi tolakan defek dengan   0,9 . (b)
  0,9
III.METODE PENELITIAN
A.MetodePenelitian
Tujuan penelitian dalam persamaan ini akan
dicapai dengan cara menyelesaikan secara
numerik persamaan (2.25). persamaan tersebut
dapat dituliskan kembali dalam bentuk sebagai
berikut :
E0 
 2 u  2u 
 2   
u  0
2
x
y
1 IL 

(2.38)
akselerator untuk mempercepat konvergensi
persamaan (2.37), produk dalam persamaan (2.39)
Pada gambar 4 (a) dan (b) menunjukkan
contoh bentuk intensitas daerah defek dengan
nilai kekuatan cacat
masing-masing adalah
  0,9 dan   0,9 .
Terjadi Tarikan defek dengan
E0
,
1 IL
Dimana M  C   xx   yy adalah operator

1  I 0 cos 2  x cos 2  y 1  exp  x 2  y 2
M
M
1
un  
I L  I 0 cos 2  x  cos 2  y 1  FD 2  x, y 
2
E0
, dan
1 IL
Untuk menyelesaikan persamaan (2.25)
ditentukan dengan metode numerik interaksi
operator kuadrat (Photonic Crystal2:188). Dan
dihasilkan solusi persamaan berturut-turut
dibawah ini :
un 1  un  M 1 L   n M 1 L   n un t (2.37)
Dimana nilai I L  x, y  diperoleh dari

(2.36)
I L  I 0 cos2  x cos2  y 1  FD  x, y  .
1  I L  x, y 
FD1  x, y   exp  x 2  y 2
E0
2
2


0
2
2
1 IL
x
y
Dengan V  
E0
(2.35)
(2.34)
Persamaan (2.34) tersebut bisa diubah menjadi :
6
mu=sum(sum(U.*MinvLU))/sum(sum(U.*MinvU));
MinvLmuU=MinvLU+mu*MinvU;
LmuMinvLmuU=ifft2((KX.^2+KY.^2).*fft2(MinvLmuU))+
...(V+mu).*MinvLmuU;
MinvLmuMinvLmuU=ifft2(fft2(LmuMinvLmuU)./
(KX.^2+KY.^2+c));
U=U-MinvLmuMinvLmuU*DT;
Uerror(nn)=sqrt(sum(sum(abs(UUold).^2))*dx*dy); Uerror(nn)
if Uerror (nn) < error_tolerance
break
end
end
imagesc(x, y, real(U))
IV.HASIL DAN PEMBAHASAN
A.Keadaan Awal Paket Gelombang Pada
Medan Listrik
Untuk memperoleh grafik perambatan µ
dengan  pada defek pertama dan kedua
diperoleh melalui langkah-langkah sebagai
berikut:
1. Dengan menggunakan variasi nilai
kekuatan defek   1,1 , diselesaikan
Gambar 5 : Kondisi awal penampang kisi dalam
bidang medan listrik
secara numerik melalui persamaan (2.37)(2.39) serta persamaan (2.32) untuk
mewakili persamaan pada defek pertama.
Sehingga dihasilkan nilai µ pada masingmasing variasi nilai  .
2. Sama halnya dengan point b, akan tetapi
pada
keadaan
ini
menggunakan
persamaan (2.33) untuk mewakili
persamaan defek kedua.
3. Selanjutnya dibuat tabel hubungan antara
µ dengan  baik untuk defek pertama dan
kedua.
4. Dari tabel tersebut, dihasilkan grafik
hubungan nilai µ dengan kekuatan defek
pada defek pertama dan kedua.
Untuk mencapai tujuan pada penelitian skripsi
ini, berikut akan dijelaskan langkah-langkahnya :
1. Pada grafik hubungan yang telah
diperoleh diatas, dipilih nilai  0,9 dan
0,7 serta  -0,9 dan -0,7.
2. Untuk mencapai tujuan pertama, yaitu
pengaruh kekuatannya. Diambil nilai
 0,9 dan 0,7 serta
-0,9 dan -0,7
dengan ukuran defek yang sama.
3. Selanjutnya, untuk mencapai tujuan
kedua, yaitu pengaruh ukurannya.
Divariasi ukuran yaitu defek pertama dan
kedua dengan kekuatan defek yang sama.
Dari perbandingan tersebut dihasilkan bagaimana
pengaruh kekuatan maupun ukuran defeknya.
Pada gambar 5 menjelaskan keadaan kisi
Kristal fotonik pada paket gelombang dalam
medan listrik. Keadaan tersebut merupakan
kondisi awal bidang melintang yang dinyatakan
dengan E  U  x, y , z e ikz , dimana k  k 0 nb dan
U  x, y , z 
merupakan
bidang
penampang
gelombang medan listrik u  x, y  yang berubahubah searah sumbu ẑ .
B.Variasi Defek Pertama Dan Kedua Serta
Nilai Potensial Dalam Masing-masing Medan
Listriknya
Gambar 6 : Penampang bidang defek pertama
Persamaan (2.32) diatas merupakan defek
pertama, diilustrasikan pada gambar (6). Bentuk
defek ditunjukkan pada penampang yang
menyerupai lingkaran yang disebut sebagai daerah
7
defek. Melalui gambar dapat ditunjukkan puncak
daerah defek yang memiliki gradasi warna merah
adalah daerah dengan nilai defek yang paling
besar yaitu 1, sedangkan puncak yang lebih kecil
lainnya memiliki gradasi warna yang berangsurangsur menurun yaitu kuning = 0,6, hijau = 0,5,
serta biru muda nilainya 0,4. Selain itu, dari
gambar dapat dilihat besar diameter lingkaran
daerah defek yaitu 4.
FD2 ini lebih luas yaitu memiliki daimeter daerah
defeknya sebesar 12. Sehingga bila dibandingkan
dengan nilai diameter pada FD1 , ukuran daerah
defek pada FD2 adalah 3 kali lebih besar dari FD1 .
Melalui gambar dapat ditunjukkan daerah defek
yang memiliki gradasi warna merah adalah daerah
dengan nilai defek yang paling besar yaitu 1,
sedangkan puncak yang lebih kecil lainnya
memiliki gradasi warna yang berangsur-angsur
menurun yaitu kuning = 0,6, hijau = 0,5, serta biru
muda nilainya 0,4.
Gambar 7: (a) dan (b) Intensitas defek dan
penampang potensial FD1 dengan   0,9 (c) dan
(d) Intensitas defek dan penampang
potensial FD1 dengan   0,9
Jika
ditinjau
dari
hasil
Gambar
Gambar 9: (a) dan (b) Intensitas defek dan
penampang potensial FD2 dengan   0,9 (c) dan
(d) Intensitas defek dan penampang potensial
FD2 dengan   0,9
(7)
menunjukkan bahwa pada FD1 dan   0,9
memiliki satu daerah potensial dan bernilai sangat
kecil dan tersusun secara periodik, sedangkan
pada Gambar (7) dengan   0,9 juga memiliki
Jika dibandingkan, untuk
FD1 dan FD2
dengan nilai   0,9 sama-sama memiliki nilai
daerah potensial yang kecil yaitu pada Gambar 4.2
(a) dan (b) dengan 4.4 (a) dan (b) hal ini
ditunjukkan dengan gradasi warna biru.
satu daerah potensial dan tersusun periodik akan
tetapi nilainya besar.
Sedangkan, untuk FD1 dan FD2 dengan nilai
  0,9
sama-sama
memiliki
nilai
daerah
potensial yang besar, yaitu pada gambar 4.2 (c)
dan (d) dan gambar 4.4 (c) dan (d) hal ini
ditunjukkan dengan gradasi warna merah tua.
Gambar 8 : Bentuk defek kedua. Pada gambar (a)
bentuk defek pertama dalam 3D sedangkan pada
gambar (b) contour dari bentuk defek kedua.
C.Perbandingan Diagram Perambatan Pada
Defek
Untuk memperjelas hubungan perbandingan
Bentuk defek kedua ini diwakili oleh
persamaan
(2.46).
Persamaan
tersebut
diilustrasikan pada gambar (4.3). Jika ditinjau dari
FD1 yaitu dari gambar (4.2) daerah defek pada
nilai  dengan µ pada FD1 dan FD2 di buat grafik
hubungan  dengan nilai µ pada gambar (4.5).
8
Gambar 10 : Grafik hubungan nilai
 dengan µ pada FD1 dan FD2
Keterangan :
Gambar 12 : Bentuk penampang defek tolakan
dengan  bernilai negatif. (a) dan (b) Defek FD1
dengan  = -0,9 dan  = -0,7 sedangkan (c) dan
(d) Defek FD2 dengan  = -0,9 dan  = -0,7
= nilai µ pada FD1
= nilai µ pada FD2
Gambar
(4.5)
menunjukkan
keadaan
konstanta perambatan µ sebagai fungsi dari
kekuatan defek  pada FD1 dan FD2 yang linier.
Hasil analisis gambar diatas untuk defek
tolakan, pada ukuran defek FD1 nilai µ nya lebih
Dari hasil tampilan grafik, pada FD1 dan FD2
kecil bila dibandingkan defek FD2 . Sedangan
dihasilkan garis yang linier yang menjelaskan
bahwa semakin besar konstanta perambatannya
maka semakin besar pula kekuatan defeknya.
untuk kekuatan defek   0,9 memiliki nilai µ
yang lebih kecil bila dibandingkan dengan
kekuatan defek   0,7 .
Akan tetapi, untuk FD2 nilai perambatan µ nya
lebih besar dibandingkan pada FD1 .
D.Pengaruh Ukuran dan Kekuatan Defek
Tolakan Terhadap Kisi Kristal Fotonik
Gambar 13 : Bentuk penampang defek tarikan
dengan  bernilai positif. (a) dan (b) Defek FD1 dan
FD2 dengan  = 0,9 sedangkan (c) dan (d) Defek FD1
dan FD2 dengan  = 0,7
Gambar 11 : Bentuk penampang defek tolakan
dengan  bernilai negatif. (a) dan (b) Defek FD1
dan FD2 dengan  = -0,9 sedangkan (c) dan (d)
Defek FD1 dan FD2 dengan  = -0,7
9
sedangkan untuk FD2 semakin besar kekuatan
defeknya semakin besar pula nilai µ nya.
B.Saran
Dalam penelitian selanjutnya tentang Kristal
Fotonik sebaiknya lebih dikembangkan, yaitu
penelitian lebih divariasi pada bentuk defek kristal
fotonik yang tidak hanya berbentuk penampang
lingkaran akan tetapi bentuk defek yang lebih
variatif lagi.
VI.DAFTAR RUJUKAN
Baumann, Gerd. 2004. Mathematica for
Theoretical Physics(second edition).
New York: Springer Science+Business
Media.
Gambar 14 : Bentuk penampang defek tarikan
dengan  bernilai positif. (a) dan (b) Defek FD1
dengan  = 0,9 dan  = 0,7 sedangkan (c) dan (d)
Defek FD2 dengan  = 0,9 dan  = 0,7
Grossmann, Chrisitan. 2005. Numerical Treatment
of Partial DifferentialEquations. New
York : Springer.
Hasil
analisis
gambar
untuk
defek
tarikan,untuk  sama ukuran defek FD1 nilai µ
nya lebih kecil bila dibandingkan defek FD2 .
Langtangen, Hans Peter. 2012. Finite Difference
Methods for Wave Motion. Oslo:
Departement of Informatics, University of
Oslo.
Sedangan untuk FD sama, kekuatan defek
  0,9 memiliki nilai µ yang lebih kecil bila
dibandingkan dengan kekuatan defek   0,7 .
Suarga, Drs, M.Sc, Ph.D. 2007. FISIKA
KOMPUTASI Solusi Problema Fisika
dengan MATLAB. Yogyakarta. CV ANDI
OFFSET.
V.PENUTUP
A.Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan sebelumnya,
dapat disimpulkan bahwa hasil visualisasi defek
pada kisi kristal fotonik memiliki berbagai macam
bentuk penampang fisis, intensitas kisi, serta
potensial di dalam medan listriknya.
Dari pembahasan pada Gambar (11) dan (13)
menunjukkan hasil visualisasi variasi ukuran
defek terhadap kekuatan defeknya. Dapat
disimpulkan bahwa dengan kekuatan defek tetap,
semakin besar ukuran defek maka semakin besar
pula nilai µ nya,
Dari pembahasan pada Gambar (12) dan (14)
menunjukkan hasil visualisasi variasi kekuatan
defek terhadap ukuran defeknya. Dapat
disimpulkan bahwa untuk defek tolakan (bernilai
negatif) semakin besar kekuatan defeknya maka
semakin kecil nilai µ nya, sedangkan untuk defek
Skorobogatiy, Maksim dan Jianke. 2009.
Fundamentals of Photonic Crystal Guiding.
Canada. Cambridge University Press.
Tim Penyusun. 2010. Pedoman Penulisan Karya
Ilmiah (PPKI). Malang: UM.
The Math Works Inc. 1999. Matlab The Language
Of Technical Computing. Using Matlab
http://kristalfotonikdefek.html. Diakses tanggal 4
Juni 2014.
tarikan (bernilai positif) pada FD1 semakin besar
kekuatan defeknya semakin kecil nilai µ nya,
10