kalkulus ii - WordPress.com

KALKULUS II
TEKNIK INTEGRASI 2
Dosen Pengampu :
Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc
1
KALKULUS II - Puji Andayani
2. Integral Fungsi Trigonometri
Metode menyelesaikan integral bentuk :
𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥
dengan 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat tak negatif.
Integral dengan bentuk
𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑑𝑥 dan 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥
dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus reduksi.
2
KALKULUS II - Puji Andayani
2. Integral Fungsi Trigonometri
 Terdapat metode alternatif lebih sederhana, yang
memerlukan identitas trigonometri berikut :
1
2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 = (1 − cos 2𝑥)
2
1
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 = (1 + cos 2𝑥)
2
yang diperoleh dari rumus ganda
cos 2𝑥 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥
dan
cos 2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1
3
KALKULUS II - Puji Andayani
2. Integral Fungsi Trigonometri
Contoh :
4
2
1.
𝑠𝑖𝑛 𝑥
2.
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
1
𝑑𝑥 = 2
1
𝑑𝑥 = 2
KALKULUS II - Puji Andayani
1
1
(1 − cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = 2 𝑥 − 4 sin 2𝑥 + 𝐶
1
1
(1 + cos 2𝑥) 𝑑𝑥 = 2 𝑥 + 4 sin 2𝑥 + 𝐶
Untuk 𝑚 dan 𝑛 bilangan bulat positif, maka integral
𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 dapat diselesaikan dengan salah satu dari
prosedur berikut :
 Untuk 𝑚 ganjil, 𝑚 = 2𝑘 + 1, 𝑘 ≥ 0. Tuliskan :
sin n x  sin x sin n1 x
dan gunakan identitas terkait
sin 2 x  1  cos2 x
 Untuk 𝑛 ganjil, 𝑛 = 2𝑙 + 1, 𝑙 ≥ 0 .Tuliskan :
cosn x  cos x cosn 1 x
dan gunakan identitas
cos2 x  1  sin 2 x
5
KALKULUS II - Puji Andayani
 Untuk 𝑚 genap, 𝑚 = 2𝑘, 𝑘 ≥ 0.
Gunakan identitas terkait
1
sin x  1  cos 2 x 
2
2
 Untuk 𝑛 genap, 𝑛 = 2𝑘, 𝑘 ≥ 0.
Gunakan identitas terkait
1
cos x  1  cos 2 x 
2
2
6
KALKULUS II - Puji Andayani
Contoh 1
Hitung
4
sin
 x dx
Jawab :
𝑚 = 4 → 𝑚 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2 𝑑𝑥
=
1
(1 − cos 2𝑥)
2
2
=
1
4
1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥
dengan menggunakan identitas terkait, diperoleh :
1
1 1
𝑐𝑜𝑠 2𝑥 = 1 + cos 4𝑥 = + cos 4𝑥
2
2 2
2
Jadi penyelesaiannya,
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 =
7
1
4
3
1
3
1
1
− 2 cos 2𝑥 + cos 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − sin 2𝑥 + sin 4𝑥 + 𝐶
2
2
8
4
32
KALKULUS II - Puji Andayani
Contoh 2
Hitung
4
sin
 x dx
Jawab :
1  cos 2 x 1  cos 2 x
4
2
2
sin
x
dx

sin
x
sin
x
dx
 (
)(
) dx


2
2
1
1
1  cos 4 x
  (1  2 cos 2 x  cos2 2 x)dx  (  dx 2 cos 2 x dx  
dx)
4
4
2
3
1
1
1
1
1
1
 x  sin 2 x  x  sin 4 x  C  x  sin 2 x  sin 4 x  C
8
4
32
4
4
8
32
8
KALKULUS II - Puji Andayani
Pengintegralan Perpangkatan
Sinus dan Cosinus
Bentuk
m
n
sin
x
cos
xdx

a) Untuk 𝑛 atau 𝑚 ganjil, keluarkan sin 𝑥 atau cos 𝑥 dan
gunakan identitas
sin2 x  cos2 x  1
b) Untuk 𝑚 atau 𝑛 genap, tuliskan
sin m x dan cosn x
menjadi jumlah suku-suku dalam cosinus, gunakan
identitas
2
2
cos 2x  2 cos x  1  1  2 sin x
9
KALKULUS II - Puji Andayani
Contoh :
3
2
2
2
sin
x
cos
x
dx

sin
x
cos
xsin x dx



  cos

  1  cos2 x cos2 x d cosx 
2

x  cos4 x d cosx 
1 5
1 3
 cos x  cos x  C
5
3
1
1  cos 2x 1  cos 2x
2

(
1

cos
2 x)dx
dx 4 
 sin x cos x dx  
2
2
3
1
  dx   cos 4 x dx  1 (  1  1  cos 4 x dx)
8
8
4
2
2
2

10
KALKULUS II - Puji Andayani
3
1
x
sin 4 x  C
8
32
m
n
m
n
tan
x
sec
x
dx
dan
cot
x
csc
xdx
Bentuk 

Gunakan identitas
tan 2 x  sec2 x 1 , cot2 x  csc2 x 1
Serta turunan tangen dan kotangen
d (tan x)  sec2 x dx , d (cot x)   csc2 x dx
.
Contoh :
a.
4
2
2
2
2
tan
xdx

tan
x
(sec
 1)dx
  tan x tan x dx 

  tan x sec xdx   tan xdx
2
2
2
  tan 2 xd (tan x)   (sec2 x  1)dx
 13 tan 3 x  tan x  x  C
11
KALKULUS II - Puji Andayani
b.
2
4
2
2
2
tan
x
sec
x
dx

tan
x
sec
x
sec
xdx


  tan 2 x(1  tan 2 x)d (tan x)
  tan 2 x  tan 4 x dx
1 5
1 3
 tan x  tan x  C
5
3
12
KALKULUS II - Puji Andayani
Soal Latihan
Hitung :
1.
4
5
sin
x
cos
x dx

 /4
4
2
tan
t
sec
t dt
2. 
0
4
sec
x dx
3. 
2
4
cot
w
csc
w dw
4. 
5.
13
3
csc
 x dx
KALKULUS II - Puji Andayani
Tugas
(lihat papan tulis)
14
KALKULUS II - Puji Andayani
THANK YOU
謝謝
15
KALKULUS II - Puji Andayani