aljabar linier - Electro Corner

ALJABAR LINIER
MAYDA WARUNI K, ST, MT
ALJABAR LINIER (I)
1
MATERI ALJABAR LINIER
•
•
•
•
•
•
•
•
•
VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3
ALJABAR VEKTOR
SISTEM PERSAMAAN LINIER
MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS,
INVERS MATRIKS
TRANSFORMASI LINIER
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
TEOREMA GREEN, GAUSS STOKES
DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL VEKTOR
TEOREMA MENGENAI MEDAN SKALAR
ALJABAR LINIER (I)
2
PENDAHULUAN ALJABAR LINIER
1. Matrik, meliputi Definisi, Jenis Matrik,
Operasi Matrik, dan Sifat-sifatnya.
2. Vektor di R2 dan R3, meliputi Operasi Vektor
dan Sifat-sifatnya, Hasil Kali Titik, Hasil Kali
Silang di R3, dan Persamaan Garis dan
Bidang di R3.
3. Eliminasi Gauss yang digunakan untuk
menyelesaikan Sistem Persamaan Linier
umum, Sistem Persamaan Linier homogen
ALJABAR LINIER (I)
3
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Invers matrik dengan menggunakan matrik elementer, Pencarian
solusi Sistem Persamaan Linier dengan matrik invers, Hasil lebih
lanjut matrik invers terhadap Sistem Persamaan Linier.
Determinan, meliputi determinan dengan ekspansi kofaktor, Sifatsifat determinan terhadap Operasi Baris Elementer, Matrik Adjoin,
Matrik Invers dengan Matrik Adjoin, Aturan Cramer
Ruang Vektor, meliputi Ruang n Euclides, Definisi Ruang Vektor,
Sub Ruang, Bebas Linier, Membangun, Basis, dan Dimensi
Ruang Hasil Kali Dalam, meliputi Definisi, Panjang dan Sudut di
Ruang Hasil Kali Dalam, Ortonormalisasi Basis
Nilai dan Vektor Eigen, meliputi Persamaan Karakteristik,
Diagonalisasi, dan Diagonalisasi secara Ortogonal
Transformasi Linier, meliputi Definisi, Kernel, Rank, Koordinat
sebagai bentuk Transformasi dari Ruang vektor sebarang ke Rn,
Matrik Transformasi
ALJABAR LINIER (I)
4
MATRIKS
• Definisi:
Susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur
dalam baris dan kolom.
• Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen
matrik.
• Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar,
sedangkan entri (elemen)
• dilambangkan dengan huruf kecil
Contoh:
  4 3
A   2 0
 1 7 
1 3
B

3
1


ALJABAR LINIER (I)
5
Matriks (Lanjutan)
• Bentuk umum suatu matriks:
 a1n 
 a2 n 

 

am 2  amn   a11 
a 
 21 
• Elemen kolom ke-1 =
  
 
am1 
 a11
a
A   21
 

am1
a12
a22
• Elemen baris ke-1 =
a11
a12  a1n 
Matriks (Lanjutan)
• aij adalah elemen baris ke-i, kolom ke-j
• Matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut berordo
m  n.
• Matriks berordo mxn yang banyak baris sama dengan
banyaknya kolom disebut matriks persegi.
• Contoh:
1
3 2
A  4  6 7 
9 8  1
• Elemen 3, -6, -1 disebut elemen-elemen diagonal utama.
Matriks (Lanjutan)
 Kesamaan Dua Matriks
Dua matriks disebut sama jika ordonya sama dan elemenelemen yang seletak sama.
 Jumlah Dua Matriks
Dua Matriks A dan B dapat dijumlahkan jika ordonya sama.
Jumlah dua matriks A dan B ialah matriks C yang ordonya
sama dengan ordo matriks A maupun B, sedangkan elemenelemen yang seletak dijumlahkan:
Contoh:
2  1  3 4   1 3 
0 5    2  8   2  3

 
 

Matriks (Lanjutan)
 Hasil Kali Matriks dengan Skalar
Hasil kali matriks A dengan skalar k ialah matriks yang
ordonya sama dengan ordo matriks A sedangkan elemenelemennya dikalikan dengan k.
 Hasil Kali 2 Matriks
Jika A adalah sebuah matriks m  r dan B adalah matriks r  n
maka hasil kali A  B adalah matriks mxn yang elemenelemennya ditentukan sbb: elemen di dalam baris ke-i, kolom
ke-j dari AB, maka pilihlah baris ke-i dari matriks A dan
kolom ke-j dari matriks B, kalikanlah elemen-elemen yang
bersangkutan dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan
kemudian tambahkanlah hasil perkalian yang dihasilkan.
Matriks (Lanjutan)
• Contoh:
4 1 4 3 
1 2 4 
0  1 3 1 
A
B




2 6 0
2 7 5 2
1 2 4 
2 6 0


4 1 4 3 
0  1 3 1   .12.. ..27. .30.. .13..


  ..8. ..  4. 26
12

2 7 5 2 
23
•
34
(2  4) + (6  3) + (0  5) = 26
24
JENIS MATRIKS
1. bujursangkar dikenal diagonal utama, yaitu
entri-entri yang mempunyai nomor
baris=nomor kolom.
pada matrik di atas mempunyai ordo 3, dan ditulis A3, sedangkan entri yang
terletak pada diagonal utama adalah: a11, a22, dan a33.
ALJABAR LINIER (I)
11
2. Matrik segitiga atas
yaitu matrik bujur
sangkar yang semua
entri di bawah diagonal
utama bernilai nol
3. Matrik segitiga bawah
yaitu matrik bujur
sangkar yang semua
entri di atas diagonal
utama bernilai nol
ALJABAR LINIER (I)
12
4. Matrik diagonal
adalah matriks persegi
yang semua elemen di luar
diagonal utamanya adalah
nol, sedangkan elemen
diagonal utamanya tidak
semua nol.
5. Matrik satuan/ Identitas
adalah matriks persegi
yang semua elemen
diagonal utamanya satu,
sedangkan elemen lainnya
nol. Matriks identitas
dinyatakan dengan I.
ALJABAR LINIER (I)
13
6. Matrik skalar , yaitu matrik
diagonal yang semua entri
pada diagonal utama
bernilai sama, asalkan tidak
nol, atau c≠0 .
• Efek dari perkalian sebarang
matrik dengan matrik skalar
adalah seperti mengalikan
matrik sebarang tersebut
dengan skalar c.
7. Matrik nol yaitu matrik yang
semua entrinya nol. Dengan
lambang: O jika ordo
dipentingkan ditulis O35
untuk menyatakan matrik
nol dengan ordo 3x5.
ALJABAR LINIER (I)
14
8. Matrik invers,
matrik bujursangkar A disebut mempunyai
invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I,
lambang: invers matrik B biasanya A-1. Untuk matrik berordo
2x2, telah diberikan rumus pencariannya,
9. Matrik bujur sangkar Sebuah matrik bujur sangkar disebut
Simetri, jika A = AT.
ALJABAR LINIER (I)
15
10. Sebuah matrik bujur sangkar disebut SkewSimetri, jika AT = -A.
Contoh:
Tentukan a, b, c, sehingga matrik A menjadi
matrik skew-simetri, jika
ALJABAR LINIER (I)
16
penyelesaian
ALJABAR LINIER (I)
17
Operasi matrik
1.
2.
3.
4.
Penjumlahan matrik
Perkalian dengan skalar
Perkalian dua matrik
Transpose matrik
ALJABAR LINIER (I)
18
Penjumlahan matrik
ALJABAR LINIER (I)
19
ALJABAR LINIER (I)
20
2. Perkalian skalar
ALJABAR LINIER (I)
21
contoh
ALJABAR LINIER (I)
22
3. Perkalian Dua matrik
ALJABAR LINIER (I)
23
contoh
ALJABAR LINIER (I)
24
ALJABAR LINIER (I)
25
4. Transpose matrik
ALJABAR LINIER (I)
26
5. Trase matrik
ALJABAR LINIER (I)
27
Hitung :
1. A + B
2. AB
3. A+E
4. BC + 3D
5. TRASE A
6. TRASE B
7. 3A
8. 3IA
9. TRASE D
ALJABAR LINIER (I)
28
ALJABAR LINIER (I)
29
Sifat – sifat Matriks
SOAL
TENTUKAN:
1. (A+B)T
2. AT+BT
3. (AB)T
4. ATBT
5. BTAT
6. (1/2B)T
7. 1/2BT
8. -2A
9. -2IA
10. A2
11. A3
12. TRASE A
13. TRASE B
14. TRASE (A+B)
ALJABAR LINIER (I)
31