Penentuan Pupuk yang Mengandung Nutrisi

dengan karakter tanah dan meminimumkan
total biaya produksi pupuk.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah
menunjukkan peranan ILP dalam penentuan
pupuk yang mengandung nutrisi sesuai
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini diberikan beberapa definisi
dan teori tentang pemodelan seperti linear
programming
(LP),
integer
linear
programming (ILP), dan metode branch and
bound untuk menyelesaikan masalah integer
programming. Berikut ini akan dibahas satu
persatu.
2.1 Linear Programming
tindakan
untuk
LP
merupakan
memperoleh hasil yang optimal dari tujuan
yang diinginkan terhadap kendala yang ada.
Model LP merupakan pengoptimuman suatu
fungsi linear terhadap kendala linear.
Pada karya ilmiah ini, suatu LP
mempunyai bentuk standar seperti yang
didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 1 (Bentuk standar suatu LP)
Suatu linear programming didefinisikan
mempunyai bentuk standar:
Minimumkan fungsi objektif z = cTx
Terhadap Ax = b
x≥0
dengan b ≥ 0
…(1)
dengan x dan c berupa vektor berukuran n,
vektor b berukuran m, sedangkan A berupa
matriks berukuran m × n yang disebut juga
matriks kendala.
(Nash & Sofer, 1996)
Solusi LP
Metode simpleks merupakan salah satu
metode yang dapat digunakan untuk
menentukan solusi optimum suatu masalah
LP. Metode ini mulai dikembangkan oleh
Dantzig
tahun
1947.
Dalam
perkembangannya, metode ini adalah metode
yang paling umum digunakan untuk
menyelesaikan masalah LP, yaitu berupa
metode iteratif untuk menyelesaikan masalah
LP dalam bentuk standar.
Definisi 2 (Solusi Fisibel)
Suatu solusi disebut fisibel jika memenuhi
semua kendala pada LP.
(Nash & Sofer, 1996)
Definisi 3 (Daerah Fisibel atau Himpunan
Fisibel)
Daerah fisibel atau himpunan fisibel
adalah himpunan dari semua solusi fisibel.
(Nash & Sofer, 1996)
Misalkan matriks A dapat dinyatakan
sebagai A = ( B N ), dengan B adalah matriks
berukuran m × m yang elemennya berupa
koefisien variabel basis dan N adalah matriks
berukuran m × ( n − m ) yang elemennya
berupa koefisien variabel nonbasis pada
matriks kendala. Matriks B disebut matriks
basis untuk LP (1). Berikut definisi matriks
basis:
Definisi 4 (Matriks Basis)
Matriks B disebut matriks basis untuk LP
(1) jika B adalah matriks tak singular, yaitu
matriks yang determinannya tidak sama
dengan nol.
(Garfinkel & Nemhauser, 1972)
Jika vektor x dapat dinyatakan sebagai vektor
⎛ xB ⎞
x = ⎜ ⎟ dengan xB adalah vektor variabel
⎝ xN ⎠
basis dan xN adalah vektor variabel nonbasis,
maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai
⎛ xB ⎞
Ax = ( B N ) ⎜ ⎟
…(2)
⎝ xN ⎠
= BxB + NxN = b
Karena B adalah matriks tak singular, maka B
memiliki invers, sehingga dari (2) xB dapat
dinyatakan sebagai
−1
−1
x B = B b − B Nx N
…(3)
Definisi 5 (Solusi Basis)
Vektor x disebut solusi basis jika:
i. x memenuhi kendala persamaan Ax = b
dari LP.
ii. Kolom-kolom dari matriks koefisien yang
berpadanan dengan komponen tak nol
dari x adalah bebas linear.
(Nash & Sofer, 1996)
Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)
Vektor x disebut solusi fisibel basis jika x
merupakan solusi basis dan x ≥ 0 .
(Nash & Sofer, 1996)
Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis
dapat dilihat dalam contoh berikut :
Contoh 1
Misalkan diberikan LP berikut:
Minimumkan z = −2 x1 − 3 x2
Definisi 7 (Linear Programming-Relaksasi)
LP-Relaksasi dari suatu IP merupakan LP
yang diperoleh dari IP tersebut dengan
menghilangkan kendala integer atau kendala
0-1 pada variabelnya.
(Winston, 1995)
Metode Branch and Bound untuk
Menyelesaikan Masalah IP
Prinsip dasar metode branch and bound
adalah memecah daerah fisibel dari masalah
LP-relaksasi dengan membuat subproblemsubproblem.
terhadap : −2 x1 + x2 + x3 = 4,
− x1 + 2 x2 + x4 = 11,
x1 + x5 = 5,
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
Integer Linear Programming
Model ILP atau disebut juga Integer
Programming (IP), adalah suatu model LP
yang menggunakan bilangan bulat (integer)
sebagai variabel keputusan. Jika semua
variabel harus berupa integer, maka masalah
tersebut disebut pure integer programming.
Jika hanya sebagian yang harus integer, maka
disebut mixed integer programming. IP
dengan semua variabelnya harus bernilai 0
atau 1 disebut 0-1 IP.
(Garfinkel & Nemhauser, 1972)
…(4)
•
Dari LP tersebut didapatkan:
⎛ −2 1 1 0 0 ⎞
⎛4⎞
⎜
⎟
A = −1 2 0 1 0 , b = ⎜11⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ 1 0 0 0 1⎠
⎝5⎠
maka matriks basisnya adalah
⎛ 1 0 0⎞
B = ⎜ 0 1 0⎟ .
⎜
⎟
⎝ 0 0 1⎠
Branch
Dalam tahap ini daerah solusi dipartisikan
ke dalam beberapa subproblem. Tujuannya
untuk menghapus daerah solusi yang tidak
fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan
kendala yang penting untuk menghasilkan
solusi IP sehingga secara tidak langsung titik
integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan
kata lain, hasil pengumpulan dari subproblemsubproblem yang lengkap menunjukkan setiap
titik integer yang fisibel dari masalah asli.
Karena sifat alami partisi itu, maka proses
tersebut dinamakan branching.
Dengan menggunakan matriks basis tersebut,
diperoleh
•
Misalkan dipilih
xB = ( x3
xN = ( 0
x4
x5 ) dan xN = ( x1
T
0) ,
x2 )
T
T
xB = B −1b = ( 4 11 5 ) .
T
…(5)
Solusi (5) merupakan solusi basis karena
solusi tersebut memenuhi kendala pada LP (4)
dan kolom-kolom pada matriks kendala yang
berpadanan dengan komponen taknol dari (5)
yaitu B adalah bebas linear (kolom yang satu
bukan merupakan kelipatan dari kolom yang
lain). Solusi (5) juga merupakan solusi fisibel
basis karena nilai-nilai variabelnya lebih dari
atau sama dengan nol.
Bound
Misalkan
masalahnya
diasumsikan
merupakan tipe maksimisasi. Nilai objektif
yang optimal untuk setiap subproblem dibuat
dengan membatasi pencabangan dengan batas
atas dari nilai objektif yang dihubungkan
dengan sembarang nilai integer yang fisibel.
Hal ini sangat penting untuk mengatur dan
menempatkan solusi optimum. Operasi ini
yang menjadi alasan dinamakan Bounding.
(Taha, 1975)
Aspek kunci dari metode branch and
bound adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Periksa apakah IP memenuhi
kondisi berikut:
1) Subproblem tidak fisibel.
2) Subproblem menghasilkan solusi optimal
dengan semua variabel bernilai integer.
3) Nilai optimal untuk subproblem lebih
kecil
dari
(dalam
masalah
memaksimumkan) batas bawah (lower
bound/LB).
Jika ketiga kondisi tersebut terpenuhi
maka cabang subproblem tidak diperlukan.
Langkah 2: Sebuah subproblem mungkin
dapat dihapuskan dari pertimbangan dengan
kondisi sebagai berikut:
1) Subproblem tidak fisibel.
2) Batas bawah (yang menunjukkan nilai
optimal dari kandidat terbaik) setidaknya
lebih besar dari nilai optimal subproblem.
(Winston, 1995)
variabel yang tidak memenuhi kendala
integer. Karena nilai dari kedua variabel yang
diperoleh bukan integer, maka dipilih salah
satu variabel untuk dasar pencabangan.
Misalkan dipilih x1 = 1,8 sebagai dasar
pencabangan. Dengan memilih
diketahui bahwa daerah
(1 < x1
x1 = 1,8 ,
< 2)
dari
daerah fisibel subproblem 1 tidak akan
memuat solusi IP (6) yang fisibel karena tidak
memenuhi kendala integer. Subproblem yang
baru adalah sebagai berikut :
• Subproblem 2 : Subproblem 1 + kendala
( x1 ≥ 2) ,
• Subproblem 3 : Subproblem 1 + kendala
( x1 ≤ 1) .
Daerah fisibel untuk subproblem 2 dan
subproblem 3 diberikan pada gambar berikut:
Contoh 2
Misalkan diberikan IP berikut :
Maksimumkan z = 4 x1 + 5 x2
Terhadap : x1 + 4 x2 ≤ 5
3 x1 + 2 x2 ≤ 7
…(6)
x1 , x2 ≥ 0 dan integer
Daerah fisibel untuk masalah IP diatas
diberikan pada gambar berikut :
Subproblem 2 dan subproblem 3 tidak
dapat diselesaikan secara bersamaan, sehingga
harus diselesaikan dengan dua masalah linear
programming yang berbeda. Pada subproblem
3 diperoleh solusi x1 = 1 , x2 = 1 , dan z = 9.
Karena semua variabel bernilai integer, maka
tidak perlu membuat subproblem baru dan
solusi ini merupakan kandidat solusi. Pada
subproblem 2 diperoleh solusi x1 = 2 ,
x2 = 0, 5 , dan z = 10,5. Karena variabelnya
Metode branch and bound dimulai dengan
menentukan solusi LP-relaksasi (subproblem
1). Solusi LP-relaksasi untuk masalah diatas
x1 = 1, 8, x2 = 0, 8, dan z = 11, 4.
adalah
Solusi tersebut tidak memenuhi kendala
integer. Oleh karena itu, harus dibuat
subproblem yang baru dengan memilih
tidak memenuhi kendala integer, maka harus
dibuat subproblem baru. Dipilih pencabangan
pada subproblem 2 atas x2 , sehingga
diperoleh dua subproblem lagi, yakni :
• Subproblem 4 : Subproblem 2 + kendala
( x2 ≥ 1) ,
• Subproblem 5 : Subproblem 2 + kendala
( x2 ≤ 0 ) .
Pada subproblem 5 diperoleh solusi
x1 = 2, 33 , x2 = 0 , dan z = 9,32. Sedangkan
pada subproblem 4 diperoleh solusi takfisibel.
Karena variabel pada subproblem 5 masih
tidak memenuhi kendala integer, maka harus
dibuat subproblem baru. Seluruh Subproblem
untuk masalah IP (6) diatas diberikan pada
gambar
berikut
Subproblem 1
x1 = 1,8, x2 = 0,8, dan z = 11,4
Subproblem 3*
x1 =1, x2 = 1, dan z = 9
Subproblem 2
x1 =2, x2 = 0,5, dan z = 10,5
Subproblem 4
Solusi tak fisibel
Subproblem 5
x1 = 2,33, x2 = 0, dan z = 9,32
Subproblem 7
x1 = 2, x2 = 0, dan z = 8
Subproblem 6
Solusi tak fisibel
Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode branch and bound untuk menentukan
solusi IP (6)
Pada Gambar 3, subproblem 3 merupakan
kandidat awal karena semua variabelnya
bernilai integer . Setelah dilakukan
pencabangan hingga subproblem 5 dan
subproblem 7, tidak diperoleh kandidat solusi
yang lebih baik. Nilai fungsi objektif
subproblem 5 dan subproblem 7 tidak lebih
besar dari nilai fungsi objektif subproblem 3.
Oleh karena itu, z = 9 merupakan solusi
optimal untuk masalah IP di atas. Solusi
lengkapnya dapat dilihat pada Lampiran 1.
III PEMODELAN
Para petani membutuhkan pupuk agar
tanaman tetap subur. Pupuk yang dibutuhkan
oleh petani sangat dipengaruhi oleh karakter
tanah wilayahnya. Untuk menentukan
penggunaan pupuk yang baik, para petani
harus menyesuaikan kandungan pupuk dengan
karakter lahan pertaniannya. Para produsen
berusaha bersaing memenuhi permintaan
petani dengan menentukan pupuk yang
mengandung nutrisi sesuai dengan karakter
tanah yang dimiliki oleh para petani. Para
produsen memproduksi berbagai jenis pupuk
yang dapat dipilih oleh petani sesuai dengan
karakter tanah yang dimiliki.