Distribusi Bose Einstein - Himastron

DISTRIBUSI BOSE EINSTEIN
Oleh : Kunjaya
Prodi Astronomi,
FMIPA, ITB
DASAR PEMIKIRAN
Andaikan kita mau mendistribusikan mi partikel ke
dalam gi keadaan. Persoalan ini adalah persoalan
kombinasi mengatur mi partikel identik dan gi-1
pembatas identik dalam satu garis lurus
 Banyaknya cara :

(mi  g i  1)!

mi !( g i  1)!
i
ln    ln( mi  gi  1)! ln mi ! ln( gi  1)!
i
GUNAKAN PENDEKATAN

Gunakan pendekatan Stirling
ln x! x ln x  x

Maka
(mi  g i  1) ln( mi  g i  1) 


ln     (mi  g i  1)  mi ln mi  mi 
i
 ( g i  1) ln( g i  1)  ( g i  1) 
MENCARI MAKSIMAL DARI ln Ω

Karena mi >> 1 dan gi>> 1 maka persamaan
diatas dapat menjadi :
(mi  gi ) ln( mi  gi ) 
ln    

i  mi ln mi  ( g i ) ln( g i )

Agar ln Ω maksimum, haruslah d(ln Ω) = 0
d (ln )   dmi ln( mi  gi )  dmi  dmi ln mi  dmi  0
i
PENAMBAHAN FAKTOR

Maka:
 mi  g i 
i  ln m  dmi  0
i



Tambahkan faktor berikut :
  dmi  0
i
dan
    i dmi  0
i
MENGAPA ADA TAMBAHAN FAKTOR?
Mengapa ditambahkan faktor tersebut?
 Karena harus memenuhi kekekalan partikel :

n
i
 n1  n2  n3      N
i

Karena N adalah suatu konstanta, maka
diferensialnya nol, dN=0
 dn
i
i
0
CONSTRAINT DARI HUKUM KEKEKALAN

Juga harus memenuhi hukum kekekalan energi:
 m
i
i
E
i

Karena E harus tetap, maka diferensialnya nol,
dE = 0
  dm
i
i
 dE  0
i
 Kekekalan massa dan kekekalan energi ini
merupakan constraint dalam proses mencari
maksimum dari ln Ω
LAGRANGE MULTIPLIER

Metode untuk mencari nilai ekstrim suatu fungsi
multi variable f(x,y) dengan constraint suatu
fungsi lain g(x,y) = c adalah dengan metode
Lagrange multiplier dengan memaksimumkan
fungsi :
H ( x , y ,  )  f ( x , y )    ( g ( x, y )  c )

Maka di dalan kasus statistik MB, BE dan FD, α
dan β berfungsi sebagai konstanta Langrange
Multiplier λ.
MENCARI MAKSIMAL DARI ln Ω

Untuk memaksimumkan ln Ω, diferensial berikut
haruslah nol:
  mi  g i 





ln




i   m 
i  dmi  0
i

 


Dengan demikian :
 mi  g i 
    i
ln 
 mi 
DISTRIBUSI BOSE EINSTEIN

Maka:
mi  g i
  i
e e
mi
gi
mi    i
e e 1
DISTRIBUSI BOSE EINSTEIN

Jika nj adalah rata-rata banyaknya partikel di
dalam setiap sel degenerasi, maka
mj  njg j

Sehingga diperoleh :
1
ni    i
e e 1
Inilah rumus dasar statistik Bose – Einstein
 Partikel yang memenuhi aturan statistik ini
disebut Boson, contoh : foton

FOTON

Khusus untuk partikel foton, yang memenuhi
statistik Bose – Einstein, harga α adalah nol.
Alasannya adalah di dalam ruang, foton dapat diciptakan dan dimusnahkan (diserap) sehingga constraint hukum kekekalan massa tidak diperlukan.
n
i
 N  konst
i

Karena constraint ini tidak ada maka sebenarnya
tidak diperlukan penambahan faktor berikut:
  dmi  0
i

Ekivalen dengan α = 0
KONSTANTA β
Bagaimana halnya dengan konstanta β ?
 Dapat dibuktikan bahwa :

1

kT