= ∫ + ∫ - IPB Repository

 LANDASAN TEORI
Kontrol Optimum
dengan f0 fungsi yang diberikan. T tidak
Teori kontrol optimum berkembang
secara pesat pada tahun 50-an, dengan
adanya penemuan dua metode penyelesaian
masalah kontrol optimum yaitu dynamic
programming (pemrograman dinamik) yang
ditemukan oleh Richard Bellman (1957) dan
maximum principle (prinsip maksimum)
oleh Pontryagin (1962). Pembahasan akan
difokuskan pada teknik prinsip maksimum
Pontryagin.
Saat waktu t , sistem berada dalam
keadaan atau kondisi (state), yang dapat
diungkapkan dengan peubah keadaan (state
variable) x1 (t ), x2 (t ), ..., xn (t ) , atau dalam
harus fixed (ditentukan) dan xT mempunyai
kondisi tertentu.
Di antara semua fungsi atau peubah
kontrol yang diperoleh, ditentukan salah satu
sehingga J menjadi maksimum. Kontrol
yang bersifat demikian disebut kontrol
optimum. Permasalahan kontrol optimum
dapat
dinyatakan
sebagai
masalah
memaksimumkan suatu fungsional dengan
kendala:
bentuk vektor x(t ) ∈ℜn . Dengan nilai t
yang berbeda, vektor x (t ) menempati posisi
yang berbeda di ruang ℜ n sehingga dapat
dikatakan bahwa sistem bergerak sepanjang
suatu kurva di ℜn .
x (t ) adalah peubah keadaan (state
variable) yang dapat dikontrol atau
dikendalikan. Artinya ada fungsi atau
peubah kontrol u (t ) yang mempengaruhi
proses.
Dinamika sistem dapat dinyatakan secara
matematik melalui persamaan diferensial:
x = f ( x(t ), u(t ), t ).
Misalkan
diketahui
keadaan
pada
(2.1)
(state)
waktu
dari
t0
sistem
yaitu
x(t0 ) = x0 ∈ℜ . Jika dipilih peubah kontrol
u (t ) = (u1(t ), u2 (t ),....uk (t )) ∈ ℜ
k
yang
terdefinisi untuk t > t0 , maka diperoleh
sistem x(t). x(t) merupakan respons terhadap
kontrol u(t). Karena x0 diberikan, maka
(2.1) mempunyai solusi tunggal.
Solusi yang diperoleh merupakan
respons terhadap u yang dilambangkan
dengan x u ( t ). Dengan memiliki fungsi
kontrol yang sesuai, berbagai solusi dapat
diperoleh. Agar solusi yang diperoleh adalah
solusi yang diinginkan, diperlukan adanya
kriteria bagi solusi yang diinginkan, artinya
untuk setiap kontrol u (t ) dan responsnya
state x (t ) dihubungkan dengan fungsi
T
J (u ) = ∫ f 0 [ x (t ), u (t ), t ]dt ,
t0
x = f ( x(t ), u(t ), t ),
sehingga dapat dilihat bahwa dengan
mengganti peubah x dengan u pada
fungsional J , maka permasalahan kalkulus
variasi sama dengan permasalahan kontrol
optimum.
[Tu, 1993]
Syarat Perlu
Prinsip Maksimum Pontryagin
Misalkan terdapat masalah
suatu vektor kontrol
u (t ) = [u1 (t ), u 2 (t ), ..., u r (t )]
dari himpunan semua fungsi yang kontinu
bagian demi bagian (admissible control).
Kontrol optimum dipilih untuk membawa
sistem dinamik
x = f ( x(t ), u(t ), t ),
dari keadaan awal [ x 0 , t 0 ] ke keadaan akhir
[ xT , T ] sehingga memaksimumkan
T
J (u ) = S ( xT , T ) + ∫ f 0 ( x (t ), u (t ), t ) dt
0
x (t )
dengan
variable
keadaan
(state
variable) dan S[ xT , T ] yang didefinisikan
sebagai fungsi scrap.
[Tu, 1993]
Teorema 1 (Pontryagin)
sebagai
kontrol
Misalkan
u∗ (t )
admissible yang membawa state awal
[ x ( t 0 ), t 0 ]
dengan
(2.2)
memilih
kepada state akhir
xT dan
ditentukan.
T
Misalkan
[ xT , T ] ,
secara umum tidak
x∗ (t )
merupakan
3
trajektori dari sistem yang berkaitan dengan
u∗ (t ) . Supaya kontrol u∗ (t ) merupakan
kontrol optimum maka perlu terdapat fungsi
vektor p∗ (t ) ≠ 0 sedemikian sehingga
1.
p ∗ (t ) dan x∗ (t ) merupakan solusi dari
sistem kanonik
x ∗ (t ) =
∂H ∗
[ x (t ), u ∗ (t ), p∗ (t ), t ],
∂p
p ∗ (t ) = −
∂H ∗
[ x (t ), u ∗ (t ), p∗ (t ), t ],
∂x
dengan fungsi Hamilton
oleh
H diberikan
H [ x , u , p , t ] = f 0 [ x , u , t ] + p. f [ x , u , t ].
2.
3.
H [ x∗ , u ∗ , p∗ , t ] ≥ H [ x, u, p, t ].
Semua syarat batas terpenuhi.
5.
6.
memberikan syarat perlu untuk masalah
yang dibicarakan.
7. Syarat batas diberikan oleh persamaan
arti, kecuali maksimum dari H
diberikan oleh bagian dalam (interior)
himpunan U .
Jika H fungsi monoton naik dalam
peubah u dan U tertutup, maka kontrol
optimum adalah uimax untuk masalah
uimin
untuk
masalah meminimumkan. Jika fungsi
monoton turun, maka kontrol optimum
adalah
uimin
untuk
masalah
memaksimumkan
dan
uimax
untuk
masalah meminimumkan. Hal ini juga
berlaku apabila H adalah fungsi linear
dalam u . Sehingga peubah kontrol
optimum ui adalah kontinu bagian dan
3.
4.
0
loncat dari satu verteks ke verteks
lainnya. Hal ini merupakan kasus
khusus dari kontrol bang-bang.
H [ x ∗ , u ∗ , p ∗ , t ] ≥ H [ x, u , p, t ]
juga
mencakup syarat cukup.
Vektor p disebut juga vektor adjoin,
memiliki peranan sebagai pengali
Lagrange. Dalam masalah optimisasi
dinamis, peubah atau vektor adjoin,
merupakan shadow price nilai marginal
t =T
t =T
0
0
p (t )δ x (t ) t = t + H (t )δ t t = t = 0
(2.4)
Khususnya pada waktu awal t0 dan
x (t0 ) telah ditentukan, sedangkan T
dan x(T ) belum ditentukan, maka
syarat batas menjadi
− p(T )δ x(T ) + H (T )δ T = 0
(2.5)
[Tu, 1993]
tertutup, maka H u = 0 tidak memiliki
dan
t =T
0
Apabila fungsi scrap S = 0 , maka
persamaan (2.3) menjadi
H uu < 0 . Jika u ∈ U dan U himpunan
memaksimumkan
t =T
[ S x − p ]δ x t = t + [ H + St ]δ t t = t = 0 (2.3)
Bukti : [Lihat lampiran 1]
Catatan:
disebut
1. H [ x∗ , u ∗ , p∗ , t ] ≥ H [ x, u, p, t ]
dengan prinsip maksimum Pontryagin.
Kondisi ini dipenuhi oleh H u = 0 dan
2.
x,
dari
vektor
atau
peubah
menunjukkan jumlah kenaikan atau
penurunan untuk setiap kenaikan atau
penurunan dalam nilai x pada waktu t
yang berkontribusi terhadap fungsional
objektif optimum J sedangkan p
mengindikasikan
tingkat
kenaikan
p > 0 )
(appresiasi
untuk
atau
penurunan (depresiasi untuk p < 0 )
dalam nilai dari tiap unit modal.
dH ∂H
=
∂t
dt
p = − H x ,
Hu = 0 ,
x = H p
Current-Value Hamilton
Dalam penggunaan teori kontrol
optimum pada masalah ekonomi, fungsi
integran f0 sering memuat faktor diskon
− rt
e . Dengan demikian, fungsi integran f0
secara umum dapat dituliskan menjadi
f 0 (t , x , u ) = G (t , x , u ) e
− rt
,
sehingga masalah kontrol optimum menjadi
memaksimumkan fungsi nilai
T
max V = ∫ G (t , x,u )e− rt dt
0
terhadap kendala x = f (t , x, u ) ditambah
dengan syarat batas. Dengan definisi
standar, fungsi Hamilton dapat dituliskan
dalam bentuk
H (t , x , u , p ) = G (t , x , u ) e
− rt
+ p ( t ) f ( t , x , u ).
Akan tetapi, karena prinsip maksimum
menggunakan prinsip turunan fungsi
Hamilton terhadap x dan u, dengan hadirnya
4
faktor diskon akan menambah kerumitan
penentuan turunan tersebut. Untuk itu,
dikenalkan fungsi Hamilton baru, yang
sering disebut dengan current-value
Hamilton. Untuk menerapkan konsep
current-value Hamilton, diperlukan konsep
current-value fungsi adjoin. Misalkan λ (t )
menyatakan current-value fungsi adjoin,
yang didefinisikan dengan λ ( t ) = p ( t ) e rt ,
− rt
yang
berimplikasi
p (t ) = λ (t ) e .
Sehingga fungsi current-value Hamilton
yang dinotasikan dengan H c , dapat
dituliskan menjadi
rt
Hˆ ≡ He = G ( t , x , u ) + λ ( t ) f ( t , x , u )
Perhatikan bahwa Ĥ , sebagaimana yang
diinginkan sudah tidak memuat faktor
ˆ − rt .
diskon. Juga, perhatikan bahwa H ≡ He
Kemudian penerapan prinsip maksimum
Pontryagin terhadap Ĥ harus disesuaikan.
Karena u yang memaksimumkan H juga
akan memaksimumkan Ĥ , maka
max Hˆ , ∀t ∈ [0, T ].
u
Persamaan state yang muncul dalam sistem
∂H
kanonik, aslinya adalah x (t ) =
. Karena
∂p
∂H
∂Hˆ
,
= f 0 (t , x , u ) =
∂p
∂λ
maka persamaan state disesuaikan menjadi
∂Hˆ
x (t ) =
.
∂λ
Persamaan untuk peubah adjoin yang
muncul dalam sistem kanonik, aslinya
∂H
adalah dalam bentuk p (t ) = −
. Pertama∂x
tama, transformasikan masing-masing suku
dalam bentuk yang melibatkan peubah
adjoin baru, λ (t ) , kemudian hasilnya
disamakan. Untuk suku kiri,
− rt
− rt
p (t ) = λ(t )e − rλ (t )e .
Dengan memanfaatkan definisi H , suku
kanan dapat dituliskan kembali dalam
bentuk
∂H
∂Hˆ − rt
−
=−
e
∂x
∂x
Dengan menyamakan kedua persamaan di
atas, persamaan adjoin menjadi
∂Hˆ
+ r λ (t ).
∂x
Selanjutnya akan diperiksa kondisi (syarat)
batas. Untuk syarat batas p(T ) = 0 , syarat
λ (t ) = −
batas yang sesuai adalah λ (T )e
− rT
= 0 dan
untuk syarat batas [ H ]t =T = 0 , syarat batas
yang sesuai adalah ⎡⎣ Hˆ e − rt ⎤⎦
t =T
= 0.
[Tu, 1993]
Syarat Cukup
Syarat Legendre-Clebsch
Didefinisikan fungsi ekstra E sebagai
berikut:
E ( x , x , p , t ) = f ( x , x , t ) − f ( x , p , t ) − ( x − p ) f p
dengan p(t , x) adalah fungsi kemiringan
atau slope dari ekstremum yang melalui titik
(t , x) .
Jika f ( x, x , t ) diperluas dengan formula
Taylor akan diperoleh bentuk:
f ( x, x , t ) = f ( x, p, t ) + ( x − p) f p +
( x − p)2
f xx
(t , x, q )
2!
dengan
q = θ x + (1 − θ ) p ,
0 < θ < 1.
Subtitusikan ke persamaan akan diperoleh
bentuk sederhana dari fungsi ekstra, yaitu:
E ( x, x, p , t ) =
( x − p )2
f xx
(t , x , q )
2!
dengan
q = θ x + (1 − θ ) p ,
0 < θ < 1.
Supaya x (t ) mencapai minimum (atau
maksimum),
cukup
dipenuhi
syarat
Legendre-Clebsch, yaitu E ≥ 0 (≤ 0) yang
berarti
f xx
≥ 0 (≤ 0) atau dalam bentuk
yang lebih umum, matriks [ f xx
] merupakan
semi-definit positif (atau negatif).
[Tu, 1993]
Syarat Batas dan Syarat Transversalitas
Masalah
kontrol
optimum
yang
memaksimumkan fungsional objektif
T
max J = S [ xT , T ] + ∫ f [ x(t ), u (t ), t ]dt
u ( t )∈u
0
0
(2.6)
5
terhadap kendala
Sistem Persamaan Diferensial
x ( t ) = f ( x ( t ), u ( t ), t ), x ( t 0 ) = x 0 , x ( t ) ∈ ℜ
n
(2.7)
Syarat transversalitas atau syarat batas
diberikan oleh
[ S x − p ]δ x t =T + [ H + St ]δ t t =T = 0
(2.8)
Pada kasus di mana x (T ) taknegatif
[ xi (T ) ≥ 0] dengan i dan T besar (dalam
hal ini T → ∞ ), syarat batas yang harus
dipenuhi adalah:
xi* (T ), pi* (T ) ≥ 0
dan
pi* (T ) xi* (T ) = 0
dengan fungsi scrap didefinisikan dengan:
n
S ( x) ≡ ∑ ci min( xi ,0)
1
di mana
∂S
{
c , x <0
= 0,i x i≥0
i
∂x
sehingga
syarat
batas
pi (T ) = S x
disederhanakan menjadi:
pi (T ) ≥ 0, xi (T ) ≥ 0
pi (T ) xi (T ) = 0.
Syarat batas tersebut dikenal dengan
istilah syarat Arrow-Kurz. Walaupun syarat
batas
ini
sering
digunakan
untuk
menyelesaikan masalah-masalah ekonomi,
terdapat juga beberapa kesulitan dalam
penggunaannya.
Syarat Arrow-Kurz untuk waktu
takhingga [ p(∞) x* (∞) = 0] ini dapat
digunakan untuk kasus tertentu dengan
syarat batas p∂x* ≥ 0 . Untuk t yang
berukuran besar akan berlaku:
p (t )∂x* (t ) ≡ p(t )[ x(t ) − x* (t )] ≥ 0
≡ p (t )[ x(t )] − p(t )[ x* (t )] ≥ 0
lim p (t ) x (t ) − lim p (t ) x (t ) ≥ 0,
*
t→∞
sehingga syarat batas yang dapat digunakan:
lim p (t ) x * (t ) = 0,
t→∞
lim p(t ) x(t ) > 0.
t →∞
[Tu, 1993]
dx
= x = f ( x) ; x = [ x1 , x2 ,..., xn ]T
dt
dengan f ( x ) merupakan fungsi dari x .
[Kreyszig, 1993]
Sistem Persamaan Diferensial Mandiri
Diberikan sistem persamaan diferensial
(SPD) sebagai berikut:
x = F ( x, y),
(2.9)
y = G( x, y).
SPD (2.9) disebut sistem persamaan
mandiri karena secara eksplisit f dan g tidak
bergantung oleh waktu (t), dengan f dan g
adalah fungsi kontinu bernilai real dari x dan
y serta mempunyai turunan parsial kontinu
dengan x dan y adalah peubah bernilai real.
[Verhulst, 1990]
Sistem Persamaan Diferensial Linear
Suatu persamaan diferensial linear (PDL)
orde 1 dinyatakan sebagai berikut:
x + a(t ) x = g (t ). (2.10)
dan
x→∞
Sistem Dinamik
Sistem Dinamik (SD) adalah suatu
sistem yang berubah sesuai dengan waktu.
Sistem Dinamik dinyatakan sebagai berikut:
Jika g (t ) = 0 maka persamaan (2.10) disebut
PDL homogen dan jika g (t ) ≠ 0 maka
disebut PDL takhomogen.
[Farlow, 1994]
Definisi 1 (Titik Tetap)
Misalkan suatu sistem persamaan
diferensial dituliskan seperti persamaan
(2.9), solusi yang memenuhi sistem
F ( x, y ) = 0
persamaan
dengan
dan
G ( x, y ) = 0 disebut titik tetap.
(Kreyszig 1993)
Titik Tetap Stabil
Misalkan x* adalah titik tetap stabil
sebuah sistem persamaan diferensial yang
tidak bergantung pada waktu secara eksplisit
dan x(t) adalah solusi yang memenuhi
kondisi awal x(0) = x0 , dengan x0 ≠ x *.
Titik x* dikatakan titik tetap stabil jika untuk
sebarang radius ε > 0 , terdapat r > 0
sehingga posisi awal x0 memenuhi
6
x0 − x * < r , maka solusi x(t) memenuhi
x(t ) − x * < ε untuk t > 0.
(Verhulst 1990)
Titik Tetap Takstabil
Misalkan x* adalah titik tetap stabil
sebuah sistem persamaan diferensial yang
tidak bergantung pada waktu secara eksplisit
dan x(t) adalah solusi yamg memenuhi
kondisi awal x(0) = x0 , dengan x0 ≠ x *.
Titik x* dikatakan titik tetap takstabil jika
untuk sebarang radius ε > 0 , terdapat r > 0
sehingga posisi awal x0 memenuhi
x0 − x * < r , maka solusi x(t) memenuhi
x(t ) − x * ≥ ε untuk paling sedikit satu t >
0.
(Verhulst 1990)
Pelinearan
Diberikan sistem persamaan diferensial
tak linear
x = f ( x) , x ∈ R n .
(2.11)
Dengan menggunakan perluasan Taylor
pada titik tetapnya, maka diperoleh
x = A( x) + ϕ ( x),
(2.12)
Ax = λ x ,
(2.15)
nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A.
Untuk mencari nilai λ dari matriks A,
maka persamaan (2.15) dapat ditulis kembali
sebagai
(2.16)
( A − λ I ) x = 0,
dengan I matriks identitas. Persamaan di atas
mempunyai solusi tak trivial jika dan hanya
jika
A − λ I = 0.
(2.17)
Persamaan (2.17) disebut persamaan
karakteristik dari matriks A.
(Anton 1995)
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Suatu titik tetap dikatakan stabil jika
setiap solusi pada persamaan (2.9) yang
berawal dari suatu titik x(0) akan menuju ke
titik tetap tersebut dan akan tetap berada
disana sepanjang waktu.
Misalkan terdapat SPDL sebagai berikut:
⎡a b ⎤
A=⎢
⎥,
⎣c d ⎦
dan memiliki persamaan karakteristik
det ( A − λ I ) = 0,
dengan
⎡ ∂f1
⎢ ∂x
⎢ 1
A=⎢ #
⎢
⎢ ∂f n
⎢⎣ ∂x1
∂f1 ⎤
"
∂xn ⎥
⎥
% # ⎥
⎥
∂f n ⎥
"
∂xn ⎥⎦
λ 2 − τλ + ∆ = 0,
∆ = det A = ad − bc,
maka diperoleh nilai eigen dari A adalah
⎡ a11 " a1n ⎤
= ⎢⎢ # % # ⎥⎥
⎢⎣ an1 " ann ⎥⎦
dan fungsi ϕ ( x) memenuhi lim ϕ ( x) = 0.
x →0
Akibatnya persamaan diferensial (2.12)
dapat dihampiri oleh persamaan
x = Ax .
(2.13)
Persamaan (2.13) disebut pelinearan dari
persamaan diferensial (2.12).
(Tu 1994)
Vektor Eigen dan Nilai Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan A
berukuran n × n , dan sistem persamaan
diferensial homogen berikut
x = Ax , x(0) = x0 , x ∈ R .
n
(2.14)
Suatu vektor taknol x dalam ruang Rn disebut
vektor eigen dari A jka untuk suatu skalar λ
berlaku
τ = tr( A) = a + b dan
dengan
λ1,2 =
(
)
1
τ ± τ 2 − 4∆ .
2
(2.18)
Analisis kestabilan titik tetap dilakukan
untuk setiap nilai eigen yang diperoleh,
sehingga terdapat dua kasus yang
bergantung pada (τ 2 − 4 ∆ ). Kasus I (τ 2 − 4δ ) > 0
Nilai eigen yang diperoleh real dan
berbeda (λ1 ≠ λ2 ) dengan solusi yang dapat
dituliskan kembali sebagai berikut :
x(t ) = c1v1eλ1t + c2 v2 eλ2t
(2.19)
dengan λ1 , λ2 adalah nilai-nilai eigen dari
matriks A . Vektor v1 dan v2 adalah
vektor-vektor eigen yang bersesuaian
dengan nilai- nilai eigen tersebut.
Pada kasus ini kestabilan titik tetap
mempunyai tiga sifat, yaitu
7
i. Jika nilai eigen negatif (λ1 < 0 dan
λ2 < 0) dengan τ < 0 dan δ > 0 ,
maka dari persamaan (2.19) diperoleh
lim x(t ) = 0 , sehingga titik tetapnya
Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai eigen
real ganda (λ1 = λ2 = λ ) dengan solusi yang
dapat dituliskan kembali sebagai berikut
x(t ) = c1v1eλt + c2 (tv1 + v2 )eλt
t →∞
bersifat simpul stabil.
(2.20)
Pada kasus ini kestabilan titik tetap
mempunyai dua sifat, yaitu
a.
Jika nilai eigen negatif (λ1 < 0 dan
1.0
0.5
λ2 < 0) maka dari persamaan (2.20)
0.0
diperoleh lim x(t ) = 0 , sehingga titik
t →∞
-0.5
-1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
b.
1.0
Gambar 1 Simpul stabil.
λ2 > 0) maka dari persamaan (2.20)
ii. Jika nilai eigen positif (λ1 > 0 dan
λ2 > 0) dengan τ > 0 dan δ > 0 ,
maka dari persamaan (2.19) diperoleh
lim x(t ) = ∞ , sehingga titik tetapnya
t →∞
bersifat simpul takstabil.
1.0
0.5
diperoleh lim x(t ) = ∞ , sehingga titik
t →∞
tetapnya bersifat takstabil.
Kasus III (τ 2 − 4δ ) < 0
Nilai eigen yang diperoleh adalah nilai
eigen kompleks. Misalkan nilai eigen yang
diperoleh adalah λ1,2 = α ± i β . Sistem yang
memiliki nilai eigen
dilambangkan dengan
0.0
⎡α
x = ⎢
⎣−β
-0.5
-1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
iii. Jika nilai eigen λ1 < 0 dan λ2 > 0 atau
sebaliknya, dengan τ < 0 dan δ < 0
maka persamaan (2.19) diperoleh
λ1 < 0 dan
lim x(t ) = 0
untuk
t →∞
lim x(t ) = ∞
t →∞
λ2 > 0
untuk
atau
x(t) akan menuju nol
sepanjang vektor v1 dan menuju
takhingga sepanjang vektor v2 atau
sebaliknya,
sebaliknya
sehingga
membentuk
asimtot pada bidang v1 dan v2 . Titik
tetap ini adalah titik sadel.
1.0
0.5
0.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
Gambar 3 Titik sadel.
Kasus II (τ − 4δ ) = 0
dapat
β⎤
α ⎥⎦
atau dalam bentuk skalar
x = α x + β y
y = − β x + α y
(2.21)
Dalam bentuk koordinat polar (r,θ ) ,
x = r cos(θ ) dan
y = r sin(θ ) , sehingga
y
diperoleh r 2 = x 2 + y 2 dan tan(θ ) = .
x
Selanjutnya dengan menurunkan
terhadap waktu t , diperoleh
2rr = 2 xx + 2 yy
jika setiap ruas dikalikan
diperoleh
1/ 2
r
maka
rr = xx + yy
(2.22)
dengan mensubtitusi persamaan (2.21) ke
dalam persamaan (2.22), maka akan
didapatkan
rr = x(α x + β y ) + y (− β x + α y )
rr = xα x + x β y − y β x + yα y
rr = xα x + yα y
rr = α ( x 2 + y 2 )
2
tersebut
1.0
Gambar 2 Simpul takstabil.
-1.0
-1.0
tetapnya bersifat stabil.
Jika nilai eigen positif (λ1 > 0 dan
Jadi diperoleh solusi
8
r (t ) = r0 eα t
membentuk suatu lingkaran dengan
titik tetapnya sebagai pusat. Titik tetap
tersebut disebut center.
(2.23)
y
diturunkan terhadap t ,
x
maka akan menghasilkan
Jika tan(θ ) =
1.0
0.5
xy − yx
sec (θ )θ =
x2
x 2 sec 2 (θ )θ = xy − yx
2
(2.24)
0.0
-0.5
Dengan mensubtitusi persamaan (2.21)
dan x 2 sec 2 (θ ) = r 2 pada persamaan (2.24),
akan diperoleh
-1.0
-1.0
c.
r 2θ = x ( − β x + α y ) − y (α x + β y )
r 2θ = − β ( x 2 + y 2 )
r 2θ = − β r 2
θ = − β
θ (t ) = −β t + θ0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Gambar 4 Spiral stabil.
b.
α =0
r(t) pada
Jika α = 0 , maka
persamaan (2.23) tidak berubah
sepanjang waktu t . Jika β > 0 maka
θ (t ) pada persamaan (2.25) akan
membesar dan jika β < 0 maka θ (t )
pada persamaan (2.25) akan mengecil.
Karena r(t) tetap, maka gerak orbit
0.0
0.5
1.0
α >0
r(t) pada
Jika α > 0 , maka
persamaan (2.23) akan semakin besar
pada saat t bertambah. Jika β > 0
maka θ (t ) pada persamaan (2.25)
akan berkurang pada saat t bertambah
besar, sehingga arah gerak orbit akan
bergerak searah jarum jam menjauhi
titik tetap. Jika β < 0 , maka arah
gerak orbitnya akan berlawanan
dengan arah jarum jam. Titik tetap
yang terjadi bersifat spiral takstabil.
Jadi diperoleh solusi
(2.25)
Solusi di atas mempunyai tiga kasus yang
bergantung pada nilai α dan β seperti
pada persamaan (2.23) dan (2.25), yaitu
a. α < 0
r(t) pada
Jika α < 0 , maka
persamaan (2.23) berkurang pada saat
t bertambah. Jika β > 0 maka θ (t )
pada persamaan (2.25) akan berkurang
pada saat t bertambah besar, sehinga
arah gerak orbitnya akan bergerak
searah jarum jam menuju titik tetap.
Jika β < 0 , maka arah gerak orbitnya
akan berlawanan dengan arah jarum
jam menuju titik tetap. Dalam hal ini
titik tetapnya bersifat spiral stabil.
-0.5
Gambar 5 Center.
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Gambar 6 Spiral takstabil.
[Strogatz 1994]
Isoklin
Diketahui
persamaan
diferensial
x = f ( x, t ).
Kemiringan
kurva
dari
persamaan di atas merupakan sebuah
konstanta yang disebut sebagai isoklin dari
persamaan tersebut. Selain itu, isoklin
merupakan himpunan solusi dari persamaan
f (x, t) = m, untuk beberapa nilai m. Cara
yang baik untuk menciptakan medan arah
adalah dengan menghubungkan beberapa
isoklin (terutama null-cline, di mana f (x, t) =
0).
(Tu 1994)