kalkulus integral

KALKULUS INTEGRAL
BAB sebelumnya telah di bahas kalkulus DIFERENSIAL yang pada intinya mengukur tingkat perubahan
fungsi . Dalam ilmu Ekonomi seringkali perlu untuk membalik proses pendiferensialan dan mencari fungsi
awal F(X) yang tingkat perubahannya (yaitu turunannya f’(X) telah diketahui. Ini disebut pengintegralan .
Fungsi F(X) disebut INTEGRAL atau anti turunan (antiderivatif) fungsi f’(X).
Integral suatu fungsi f(X) secara matematis ditulis dan dinyatakan sebagai:
Dibaca dengan : INTEGRAL fungsi X berkenaan dengan X . dimana :
1. Lambang
adalah tanda INTEGRAL ,
2. f(X) adalah integran
3. c adalah konstanta pengintegralan
4. F(X) + c.
INTEGRAL DIBAGI ATAS :
1. Integral taktentu, adalah integral yang mana nilai X dari fungsi tidak disebutkan sehingga dapat
menghasilkan nilai dari fungsi tersebut yang banyak.
2. Integral tertentu adalah integral yang mana nilai X dari fungsi telah ditentukan, sehingga nilai dari
fungsi integral tersebut terbatas pada nilai x yang telah ditetapkan tersebut..
KAIDAH INTEGRAL TAKTENTU
1.
2.
3.
4.
;
;
5.
6.
7.
8.
9.
KAIDAH INTEGRAL TERTENTU
1.
2.
3.
4.
5.
(k adalah bilangan konstan)
SIFAT INTEGRAL TERTENTU
PEMBALIKAN SUSUNAN LIMIT AKAN MERUBAH TANDA DARI INTEGRAL TERTENTU
JIKA LIMIT ATAS PENGINTEGRALAN SAMA DENGAN LIMIT BAWAHNYA,
NILAI INTEGRAL ADALAH =0
CONTOH INTEGRAL TAKTENTU
CONTOH: 1
(kaidah 1)
CONTOH: 2
(kaidah 3)
CONTOH: 3
(kaidah 7)
(kaidah 3)
CONTOH: 4
=
(kaidah7, 8,9)
=
x + c (kaidah 2,3)
=
CONTOH: 5
=
(kaidah 7)
= 3 ln x + c (kaidah 4)
CONTOH: 6
=
(kaidah 5)
CONTOH: 7
=
(kaidah 5)
=
CONTOH INTEGRAL TERTENTU:
A.
B.
C.
Luas bidang dibawah kurva
INTEGRAL DENGAN SYARAT AWAL DAN SYARAT PEMBATAS
-
Untuk Menentukan Nilai Konstanta ‘”c” dari suatu integral
Syarat awal (initial condition) adalah Y=Y0 dan X = 0
Syarat pembatas (boundary condition) Y=Y0 dan X = X0
Dengan menentukan syarat awal dan syarat pembatas akan ditemukan nilai konstanta “c”
sehingga dapat memilih suatu kurva tertentu dari rumpun kurva dari hasil integral taktentu
Contoh:
Diketahui syarat pembatas Y=11 bila x=3, integral Y = ∫2dx
Jawab:
Y = ∫2dx =2X + c ; dimana Y=11 jika x = 3
11 = 2(3) +c
c = 11 – 6 = 5
Sehingga persamaan menjadi Y = 2X + 5 , meskipun c telah ditentukan tapi masih merupakan integral
tak tentu karena nilai dari X adalah bebas dan tidak terbatas nilainya.
INTEGRAL DALAM EKONOMI